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難題分析-萬有引力定律
我國史記《宋會要》記載：我國古代天文學(xué)家在公元1054年就觀察到超新星爆炸。這一爆炸后的超新星在公元1731年被英國一天文愛好者用望遠鏡觀測到,是一團云霧狀的東西，外形象一個螃蟹，人們稱為“蟹狀星云”。它是超大行星爆炸后向四周拋出的物體形成的。在1920年它對地球上的觀察者張開的角度為360″。由此推斷：“蟹狀星云”對地球上的觀察者所張開角度每年約增大0.24″，合2.0×10-6rad,它到地球距離約為5000光年。請你估算出此超新星爆炸發(fā)生于在公元前 年,爆炸拋射物的速度大約為 m/s 。
3946 ±10年 ，1.5×106
海洋占地球面積的71，它接受來自太陽的輻射能比陸地要大得多。根據(jù)聯(lián)合國教科文組織提供的材料，全世界海洋能的可再生量，從理論上說近800億千瓦。其中海洋潮汐能含量巨大.海洋潮汐是由于月球和太陽引力的作用而引起的海水周期性漲落現(xiàn)象。
理論證明：月球?qū)Ｋ囊绷εc成反比，即
。同理可證 。
潮汐能的大小隨潮汐差而變，潮汐差越大則潮汐能越大。加拿大的芬迪灣，法國的塞納河口，我國的錢塘江，印度和孟加拉國的恒河口等等，都是世界上潮汐差大的地區(qū)。1980年我國建成的浙江溫嶺江廈潮汐電子工業(yè)站，其裝機容量為3000kW，規(guī)模居世界第二，僅次于法國的浪斯潮汐電站。已知地球的半徑為6.4×106m.月球繞地球可近似看著圓周運動。通過估算再根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)解釋為什么月球?qū)Τ毕F(xiàn)象起主要作用？
（
答案：
由以下兩式：
不難發(fā)現(xiàn)月球與地球的距離未知，可以把月球繞地球的運轉(zhuǎn)近似的看著圓周運動，月球的公轉(zhuǎn)周期約29d. ┄┄┄①1/則有┄┄┄┄②1/
和┄┄┄┄┄③1/得┄④1/
代入數(shù)據(jù)得┄┄┄┄┄┄┄┄┄⑤1/
再根據(jù)所給的理論模型有： ┄┄┄┄⑥1/
即月球的引力是太陽潮力的2.18倍，因此月球?qū)Τ毕鹬饕饔?┄┄⑦1/
來源：
題型：計算題，難度：綜合
（10.浙江）宇宙飛船以周期為T繞地地球作圓周運動時，由于地球遮擋陽光，會經(jīng)歷“日全食”過程，如圖所示。已知地球的半徑為R，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，地球自轉(zhuǎn)周期為T0。太陽光可看作平行光，宇航員在A點測出的張角為α，則
A．飛船繞地球運動的線速度為
B．一天內(nèi)飛船經(jīng)歷“日全食”的次數(shù)為T/T0
C．飛船每次“日全食”過程的時間為αT0/(2π)
D．飛船周期為T=
神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律。天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時，發(fā)現(xiàn)了LMCX－3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T。
（1）可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質(zhì)量為m’的星體（視為質(zhì)點）對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m’（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式；
（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率v＝2.7×105m/s，運行周期T＝4.7π×104s，質(zhì)量m1＝6ms，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？（G＝6.67×10－11N·m2/kg2，ms＝2.0×1030kg）
答案：
（1）設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為、，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設(shè)其為。由牛頓運動定律，有
設(shè)A、B之間的距離為，又，由上述各式得 ①
由萬有引力定律，有，將①代入得
令 比較可得 ②
（2）由牛頓第二定律，有 ③又可見星A的軌道半徑 ④
由②③④式解得 ⑤
（3）將代入⑤式，得
代入數(shù)據(jù)得 ⑥
設(shè)，將其代入⑥式，得 ⑦
可見，的值隨的增大而增大，試令，得 ⑧
若使⑦式成立，則必大于2，即暗星B的質(zhì)量必大于2，由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞。
來源：2006年高考天津
題型：計算題，難度：應(yīng)用
經(jīng)過用天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質(zhì)的存在形勢和分布情況有了較深刻的認識。雙星系統(tǒng)由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離。一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)處理。 現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是，兩者相距。他們正繞兩者連線的中點作圓周運動。
(1) 試計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T1 ；
(2)若實驗上觀測到的運動周期為T2，且T2:T1=1: (N>1)。為了解釋T2與T1的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質(zhì)。作為一種簡化模型，我們假定在這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響。試根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度。
答案：
（1）雙星均繞它們的連線的中點做圓周運動，則有
得
（2）根據(jù)觀測結(jié)果，星體的運動周期
這說明雙星系統(tǒng)中受到的向心力大于本身的引力，故它一定還受到其他指向中心的作用力，按題意這一作用來源于均勻分布的暗物質(zhì)，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量位于中點處的質(zhì)量點相同.考慮暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度，則有
得 將解得的T1、T2代入T2:T1=1:
得
設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為，則有 故
來源：
題型：計算題，難度：應(yīng)用
1.若近似認為月球繞地公轉(zhuǎn)與地球繞日公轉(zhuǎn)的軌道在同一平面內(nèi)，且均為正圓，又知這兩種轉(zhuǎn)動同向，如圖所示，月相變化的周期為29．5 天（圖示是相繼兩次滿月時，月、地、日相對位置的示意圖）。求：月球繞地球轉(zhuǎn)一周所用的時間T（因月球總是一面朝向地球，故T恰是月球自轉(zhuǎn)周期）。（提示：可借鑒恒星日、太陽日的解釋方法）。
【解析】用物理角速度、線速度原理解答，
地球繞太陽公轉(zhuǎn)每天的角速度ω=2π/365（取回歸年365天）。從上次滿月到下次滿月地球公轉(zhuǎn)了θ角，用了29．5天。
所以，θ＝ω·29．5=2π/365×29．5（天）。
月球在兩滿月之間轉(zhuǎn)過（2π＋θ），用了29．5天，所以月球每天的角速度ω/=
根據(jù)周期公式T=2π/ω/（即月球3600除以每天角速度所花的時間）得：
T＝2π/，因為θ=2π/365×29．5 所以T=27.3天
2.地球赤道上的N城市想實施一個“人造月亮”計劃，在地球同步衛(wèi)星上用一面平面鏡將太陽光射到地球上，使這座城市在午夜時分有“日出”時的效果，若此時的N城市正值盛夏季節(jié)，地球的半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，太陽在非常遙遠的地方．求
（1)地球同步衛(wèi)星離地心的距離
(2)懸掛平面鏡的同步衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的經(jīng)度與N城的經(jīng)度差α。
（3)此時平面鏡與衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的夾角θ
解析：（1)設(shè)地球及同步衛(wèi)星的質(zhì)量分別為M,m，則
又：g＝GM/R2，可得：
(2)過赤道平面的截面圖如圖所示，水平入射光線MA經(jīng)反射后的反射光線AN與地球相切，故∠MAN＝900
衛(wèi)星所在經(jīng)線在平面內(nèi)的投影為OA,N城市所在經(jīng)線在平面內(nèi)的投影為ON,
所以：α＝arccos ( R/r)
θ＝450＋arcsin（R/r）
3.早在19世紀(jì),匈牙利物理學(xué)家厄缶就明確指出:“沿水平地面向東運動的物體、其重量(即:列車的視重或列車對水平軌道的壓力)一定要減輕”.后來,人們常把這類物理現(xiàn)象稱之為“厄缶效應(yīng)”.如圖所示:我們設(shè)想,在地球赤道附近的地平線上,有一列質(zhì)量是M的列車,正在以速率v沿水平軌道勻速向東行駛.已知①地球的半徑R;②地球的自轉(zhuǎn)周期T.今天我們像厄缶一樣,如果僅僅考慮地球的自轉(zhuǎn)影響(火車隨地球做線速度為的圓周運動)時,火車對軌道的壓力為N;在此基礎(chǔ)上,又考慮到這列火車相對地面又附加了一個線速度v做更快的勻速圓周運動,并設(shè)此時火車對軌道的壓力為N′,那么,單純地由于該火車向東行駛而引起火車對軌道的壓力減輕的數(shù)量(N-N′)為(B )
A. B.M［］
C.M D.M［］
4．我國發(fā)射的“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號發(fā)回地球。設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R1，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r1，月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期為T。假定在衛(wèi)星繞月運行的一個周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動對遮擋時間的影）。
解：如圖，O和O′分別表示地球和月球的中心。在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心級OO′與地月球面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點，根據(jù)對稱性，過A點在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點。衛(wèi)星在上運動時發(fā)出的信號被遮擋。
設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m0,萬有引力常量為G，根據(jù)萬有引力定律有
①
②
式中，T1是探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動的周期。由①②式得 ③
設(shè)衛(wèi)星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動，應(yīng)有
④
式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B。由幾何關(guān)系得
⑤ ⑥
由③④⑤⑥式得 ⑦
評分參考：①②式各4分，④式5分，⑤⑥式各2分，⑦式3分。得到結(jié)果
的也同樣給分。
10．假設(shè)太陽系內(nèi)某行星和地球的公轉(zhuǎn)軌道均為圓形，且在同一平面內(nèi)，如圖所示，半徑較小的軌道是某行星公轉(zhuǎn)的軌道，半徑較大的軌道是地球公轉(zhuǎn)的軌道。在地球上觀測，發(fā)現(xiàn)該行星與太陽可呈現(xiàn)的視角（太陽與行星均看成質(zhì)點，它們與眼睛連線的夾角）有最大值，并且最大視角的正弦值為。則該行星的公轉(zhuǎn)周期為多少年？
10．解：設(shè)太陽的質(zhì)量為M，地球質(zhì)量為m0，地球軌道半徑為r0，公轉(zhuǎn)周期為T0，該行星質(zhì)量為m，軌道半徑為r，公轉(zhuǎn)周期為T。當(dāng)眼睛和該行星的連線與行星公轉(zhuǎn)軌道相切時，視角最大，此時有
，
， ，
聯(lián)立解得 。
5.設(shè)A、B為地球赤道圓的一條直徑的兩端，利用地球同步衛(wèi)星將一電磁波信號由A傳播到B，至少需要幾顆同步衛(wèi)星？這幾顆同步衛(wèi)星間的最近距離是多少？用這幾顆同步衛(wèi)星把電磁波信號由A傳播到B需要的時間是多少？已知地球半徑R，地表面處的重力加速度g，地球自轉(zhuǎn)周期T。不考慮大氣層對電磁波的影響，且電磁波在空氣中的傳播速度為c。
【解析】由圖可明顯地看出，為實現(xiàn)上述目的，至少需要兩顆同步衛(wèi)星，其位置在P1、P2；且這兩顆同步衛(wèi)星的最近距離是。
設(shè)同步衛(wèi)星的軌道半徑為，則有
又在地表面處，有
解得
由圖可見，此時通過這兩顆同步衛(wèi)星由A到B傳播電磁波信號經(jīng)過的路程為
而根據(jù)勾股定理，有
故 電磁波信號由A傳播到B需要的時間
6. 地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為。萬有引力恒量為G，如果規(guī)定物體在離地球無窮遠處勢能為0，則質(zhì)量為m的物體離地心距離為r時，具有的萬有引力勢能可表示為。國際空間站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大氣層上空繞地球飛行的一個巨大人造天體，可供宇航員在其上居住和科學(xué)實驗。設(shè)空間站離地面高度為h，如果雜該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使其能到達地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運行，由該衛(wèi)星在離開空間站時必須具有多大的動能？
解析：由得，衛(wèi)星在空間站上動能為
衛(wèi)星在空間站上的引力勢能為
機械能為
同步衛(wèi)星在軌道上正常運行時有 故其軌道半徑
由上式可得同步衛(wèi)星的機械能
衛(wèi)星運動過程中機械能守恒，故離開航天飛機的衛(wèi)星的機械能應(yīng)為E2設(shè)離開航天飛機時衛(wèi)星的動能為 則＝.
例4、（2004年廣西物理試題）某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g,地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對光的折射。
分析與解：設(shè)所求的時間為t，用m、M分別表示衛(wèi)星和地球的質(zhì)量，r表示衛(wèi)星到地心的距離.有
春分時，太陽光直射地球赤道，如圖6所示，圖中圓E表示赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，O表示地心. 由圖6可看出當(dāng)衛(wèi)星S繞地心O轉(zhuǎn)到圖示位置以后（設(shè)地球自轉(zhuǎn)是沿圖中逆時針方向），其正下方的觀察者將看不見它. 據(jù)此再考慮到對稱性，有
由以上各式可解得
7．如圖所示為宇宙中一恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O運行軌道近似為圓，天文學(xué)家觀測得到A行星運動的軌道半徑為R0，周期為T0。
（1）中央恒星O的質(zhì)量是多大？
（2）長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星實際運動的軌道與圓軌道總有一些偏離，且周期性的每隔t0時間發(fā)生一次最大的偏離，天文學(xué)家認為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B（假設(shè)其運行軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同），它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離。根據(jù)上述現(xiàn)象和假設(shè)，你能對未知行星B的運動得到哪些定量的預(yù)測？
解：設(shè)中央恒星質(zhì)量為M，A行星質(zhì)量為m，則由萬有引力定律和牛頓第二定律得
①
解得 ②
（2）由題意可知，A、B相距最近時，B對A的影響最大，且每隔t0時間相距最近。
設(shè)B行星周期為TB，則有： ③
解得： ④
設(shè)B行星的質(zhì)量為mB，運動的軌道半徑為RB，則有
⑤
由①④⑤得： ⑥
8.如圖，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點，在P點正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲藏有石油，假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為；石油密度遠小于，可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度（正常值）沿豎直方向；當(dāng)存在空腔時，該地區(qū)重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏高。重力加速度在原堅直方向（即PO方向）上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”。為了探尋石油區(qū)域的位置和石油儲量，常利用P點附近重力加速度反常現(xiàn)象。已知引力常數(shù)為G。
設(shè)球形空腔體積為V，球心深度為d（遠小于地球半徑），=x，求空腔所引起的Q點處的重力加速度反常
若在水平地面上半徑L的范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)：重力加速度反常值在與（k>1）之間變
化，且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半為L的范圍的中心,如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積。
答案（1）
（2）,
【解析】本題考查萬有引力部分的知識.
(1)如果將近地表的球形空腔填滿密度為的巖石,則該地區(qū)重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通過填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力………①來計算,式中的m是Q點處某質(zhì)點的質(zhì)量,M是填充后球形區(qū)域的質(zhì)量,……………②
而r是球形空腔中心O至Q點的距離………③在數(shù)值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點處重力加速度改變的大小.Q點處重力加速度改變的方向沿OQ方向,重力加速度反常是這一改變在豎直方向上的投影………④聯(lián)立以上式子得
,…………⑤
(2)由⑤式得,重力加速度反常的最大值和最小值分別為……⑥
……………⑦由提設(shè)有、……⑧
聯(lián)立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為
,
O
R
A
α
O
α
θ
第10題圖
圖6
太陽光
E
O
S
A
R
r
θ

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