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(共22張PPT)
第26章：反比例函數
人教版·九年級下冊
26.1.2
反比例函數的圖像和性質（2）
　　問題1
下列反比例函數：①
；②
；③
；④
．
（1）圖象位于第一、第三象限的是_________；
（2）圖象位于第二、第四象限的是_________．
在回答這個問題之前，我們首先來看下面幾個問題：
導入新課
答案：（1）k值分別是①-2；②
；③
；④
．
（1）上述四個函數中，k值分別是多少？
（2）當k＞0時，反比例函數的圖象分別位于第幾象限？
（3）當k＜0時，反比例函數的圖象分別位于第幾象限？
（2）第一、第三象限．
（3）第二、第四象限．
前面兩個問題的答案是：（1）②④；（2）①③．
導入新課
　　問題2
在反比例函數：①
；②
；
③　　　
；④
的圖象上，（x1，y1），
（x2，y2）是其圖象上同一象限內的點．
（1）若x1＜x2，則y1＜y2的函數是________；
（2）若x1＜x2，則y1＞y2的函數是________．
　　在回答這個問題之前，我們首先來看下面幾個問題：
新課講解
　?。?）反比例函數
，
的圖象位于哪幾個象限？y隨x的變化趨勢是什么？
　　（2）反比例函數
，
的圖象位于哪幾個象限？y隨x的變化趨勢是什么？
新課講解
　　答案：
　?。?）位于第二、第四象限；在每一個象限內，y隨x的增大而增大．
　?。?）位于第一、第三象限；在每一個象限內，y隨x的增大而減?。?br/>　　最后得出前面兩個問題的答案是：
　?。?）①③；（2）②④．
新課講解
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　問題3
（1）在雙曲線
上取點（4，1.5），過該點分別作x軸，y軸的垂線，所得矩形的面積是多少？
新課講解
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　問題3
（2）在雙曲線
上取點（-3，-2），過該點分別作x軸，y軸的垂線，所得矩形的面積是多少？
新課講解
　　問題3
（3）若點P（a，b）在雙曲線
上，過點P分別作x軸，y軸的垂線，所得矩形的面積是多少？
　　（3）所得矩形的面積
，即所得矩形的面積等于比例系數k的絕對值．
新課講解
　　例1
已知反比例函數的圖象經過點A（2，6）．
　　（1）這個函數的圖象位于哪些象限？y隨x的增大如何變化？
　?。?）點B（3，4），
，D（2，5）是否在這個函數的圖象上？
　　我們首先來看下面幾個問題：
新課講解
　　（1）點A（2，6）在圖象上的含義是什么？
　?。?）圖象的位置由哪個量確定？我們如何求出這個量？
　　（3）反比例函數y隨x的變化情況與哪個量有關？y隨x的變化情況有沒有限制條件？
　　（4）某點不在圖象上的含義是什么？
新課講解
　　解：（1）因為點A（2，6）在第一象限，
　　所以這個函數的圖象位于第一、第三象限，在每一個象限內，y隨x的增大而減小．
　?。?）設這個反比例函數的解析式為
，
　　因為點A（2，6）在這個函數的圖象上，
　　所以點A的坐標滿足
，即
．
　　解得k=12．
新課講解
　　所以這個反比例函數的解析式為
．
　　把點B，C，D的坐標代入
，可知點B，點C的坐標滿足函數關系式，點D的坐標不滿足函數關系式，
　　所以點B，點C在函數
的圖象上，點D不在這個函數的圖象上．
新課講解
　?。?）圖象的另一支位于哪個象限？
常數m的取值范圍是什么？
x
y
　　例2　如下圖，它是反比例函數
的圖象的一支，根據圖象，回答下列問題：
　?。?）在這個函數圖象的某一支上任取點A（x1，y1），和點B（x2，y2）．如果x1＞x2，那么y1和y2有怎樣的大小關系？
新課講解
　　我們首先來看下面幾個問題：
　　（1）函數圖象的一支位于哪個象限？
　　（2）函數圖象所在象限與解析式中哪個量有關？
　?。?）函數解析式中的系數由哪個式子表示？
　?。?）在系數范圍確定的情況下，在圖象的某一支上，y如何隨x的大小變化？
新課講解
　　解：（1）反比例函數的圖象的分布只有兩種可能，即位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限．
　　因為這個函數的圖象的一支在第一象限，
　　所以另一支必位于第三象限．
　　因為該函數的圖象位于第一、第三象限，
　　所以m-5＞0．解得m＞5．
新課講解
　?。?）因為m-5＞0，所以在這個函數圖象的任一支上，y都隨x的增大而減小，
因此當x1＞x2時，y1＞y2
．
新課講解
　　例3
　過反比例函數
的圖象上任意
兩點A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為C，D，連接OA，OB，AC與OB的交點為E，
△AOE與梯形ECDB的面積分別為S1，S2，比較它們的大小可得（
）．
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1=S2
D．S1，S2的大小關系不能確定
新課講解
解析：因為S△AOC=S△BOD，
而S△AOC=S△AOE+S△EOC，S△BOD=S△EOC+S梯形ECDB，
所以S△AOE=
S梯形ECDB．
答案：C．
新課講解
　　1．在函數
的圖象上有三點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，則y1，y2，y3由小到大的順序是___________．
y2＜y1＜y3
　　2．如圖，點A為反比例函數
的圖象上一點，AB⊥x軸，S△ABO=2，
則此反比例函數的解析式為
________．
x
y
A
B
O
鞏固練習
x
y
P
O
　　反比例函數
(k為常數，k≠0)中k的幾何意義．
　　（1）過反比例函數圖象上的任意一點P作x軸、y軸的垂線，兩條垂線與x軸、y軸圍成的長方形的面積等于
．
課堂小結
　　注意：因為反比例函數
(k為常數，k≠0)中的k有正負之分，所以在利用解析式表示
長方形或三角形的面積時，都應加上
絕對值符號．
　　（2）若點A是反比例函數圖象上任意一點，過點A作x軸（或y軸）的垂線，則所作垂線、x軸（或y軸）與線段OA圍成的三角形的面積等于
．
x
y
A
P
O
課堂小結(共12張PPT)
第26章：反比例函數
人教版·九年級下冊
26.1.1
反比例函數
導入新課
下列問題中，變量間具有函數關系嗎？如果有，寫出它們的解析式．
（1）京滬線鐵路全長1
463
km，某次列車的平均速度v（單位：km/h）隨此次列車的全程運行時間t（單位：h）的變化而變化；
新課講解
　　
（2）某住宅小區要種植一個面積為1
000
矩形草坪，草坪的長y（單位：m）隨寬x（單位：
m）的變化而變化；
　?。?）已知北京市的總面積為
，人均占有面積S（單位：
/人）隨全市總人口n（單位：人）的變化而變化．
新課講解
　　上述問題中的函數關系式有什么共同特點？
　　上述問題中的函數關系式都有
的形式，其中k是非零常數．
　　歸納：
　　一般地，形如
（k為常數，k≠0）的函數，叫做反比例函數，其中x是自變量，y是函數．
新課講解
注意：在
中，自變量x是分式
的分母，當x=0時，分式
無意義，所以x的取值范圍是x≠0．
在上面的三個問題中，兩個變量的積均是一個常數（或定值），這也是識別兩個量是否成反比例函數關系的關鍵．
新課講解
【例】已知y是x的反比例函數，并且當x=2時，y=6．
（1）寫出y關于x的函數解析式；
（2）當x=4時，求y的值．
　　分析：（1）由題意，可設
，把x=2，y=6代入即可求得k，進而求得y關于x的函數關系式；
　?。?）在（1）所求得的函數關系式中，把x=4代入即可求得y的值．
新課講解
解：（1）設y關于x的函數解析式為
．
因為x=2，y=6，所以有
．
解得k=12．
因此
．
（2）把x=4代入
，得
．
新課講解
　　寫出下列函數關系式，并指出它們各是什么函數．
　?。?）平行四邊形的面積是24
，它的一邊長x
cm和這邊上的高h
cm之間的關系是
；
　?。?）小明用10元錢去買同一種菜，買這種菜的數量m
kg與單價n
元/kg之間的關系是
_；
　?。?）老李家一塊地收糧食1
000
kg，這塊地的畝數S與畝產量t
kg/畝之間的關系是
；
反比例函數
mn=10
St=1
000
xh=24
反比例函數
反比例函數
鞏固練習
　?。?）劉飛騎自行車行駛了100千米的路程，他行駛的時間t小時和速度v千米/時之間的關系是
；
　?。?）某小區的綠地總面積是400
，該小區的人口數y和人均綠地面積x
之間的關系是
．
vt=100
xy=400
反比例函數
反比例函數
鞏固練習
　　1．反比例函數的概念
　　一般地，形如
（k為常數，k≠0）的函數，叫做反比例函數，其中x是自變量，y是函數．
　　2．兩個量的乘積是一個定值，是識別兩個量成反比例關系的一個重要特征．
課堂小結
　　3．知識應用
　?。?）識別兩個量是否成反比例關系；
　　（2）識別兩個變量構成的關系式是否成反比例函數式；
　?。?）能夠確定反比例函數關系式．
課堂小結(共30張PPT)
第26章：反比例函數
人教版·九年級下冊
26.2
實際問題與反比例函數
　　問題1
某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的壓強p（單位：kPa）是氣體體積V（單位：m3）的反比例函數，其圖象如下圖所示．
V
p
O
1
2
3
50
100
150
200
A(1.5，64)
導入新課
　?。?）觀察圖象經過已知點_________；
　?。?）寫出這個函數的解析式；
　?。?）當氣球的體積是0.8
m3時，氣球內的氣壓是多少千帕？
（1.5，64）
120
kPa．
導入新課
　　例1
市煤氣公司要在地下修建一個容積為104
m3的圓柱形煤氣儲存室．
　?。?）儲存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）有怎樣的函數關系？
新課講解
　?。?）公司決定把儲存室的底面積S定為500
m2，施工隊施工時應該向地下掘進多深？
　　（3）當施工隊按（2）中的計劃掘進到地下15
m時，公司臨時改變計劃，把儲存室的深度改為15
m．相應地，儲存室的底面積應改為多少（結果保留小數點后兩位）？
新課講解
解：（1）根據圓柱的體積公式，得
．
所以S關于d的函數解析式為
．
（2）把S=500代入
，得
，
解得d=20(m)．
　　如果把儲存室的底面積定為500
m2，施工時應向地下掘進20
m深．
新課講解
（3）根據題意，把d=15代入
，得
，
解得
．
當儲存室的深度為15
m時，底面積應改為
．
新課講解
　　有200個工件需要一天內加工完成，設當工作效率為每人每天加工p個工件時，需要q個工人．
　?。?）求出q關于p的函數關系式．
　?。?）若每人每天的工作效率提高20%，則工人數減少百分之幾？
提示：（1）
(p＞0)；
新課講解
　?。?）每人每天的工作效率變成(1+20%)p，代入
得到此時的工人數是
．
則工人數減少
×100%≈17%．
新課講解
　　例2
碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物，裝載完畢恰好用了8天時間．
　　（1）輪船到達目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v（單位：噸／天）與卸貨天數t之間有怎樣的函數關系？
　?。?）由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸？
新課講解
　　分析：根據“平均裝貨速度×裝貨天數=貨物的總量”，可以求出輪船裝載貨物的總量；
　　再根據“平均卸貨速度=貨物的總量÷卸貨天數”，得到v關于t的函數解析式．
新課講解
　　解：（1）設輪船上的貨物總量為k噸，根據已知條件得k=30×8=240，
　　所以v關于t的函數解析式為
．
　?。?）把t=5代入
，得v=
=48(噸)．
　　從結果可以看出，如果全部貨物恰好用5天卸完，那么平均每天卸載48噸．
新課講解
　　對于函數
，當t＞0時，t越小，v越大．這樣若貨物不超過5天卸載完，則平均每天至少要卸載48噸．
新課講解
　　某蓄水池的排水管道每小時排水8
m3，6
h可以將滿池的水全部排空．
　?。?）蓄水池的容積是多少？
　?。?）如果增加排水管，使每小時的排水量達到
Q
m3，將滿池的水全部排空所需的時間為t（h），求Q與t之間的函數關系式．
新課講解
　　（3）如果準備在5
h內將滿池的水全部排空，那么每小時排水量至少是多少？
　　（4）已知排水管的最大排水量為12
m3/h，那么最少多長時間能把滿池的水全部排空？
　　答案：（1）48
m3；（2）Q=
(t＞0)；（3）當t=5時，Q=
=9.6
m3；（4）當Q=12時，t=4
h．
新課講解
　　公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發現：若杠桿上的兩物體與支點的距離與其重量成反比，則杠桿平衡．
給我一個支點，我可以撬動地球！
——阿基米德
新課講解
　　后來人們把它歸納為“杠桿原理”．通俗地說，杠桿原理為：阻力×阻力臂=動力×動力臂．
支點
阻力
動力
阻力臂
動力臂
新課講解
　　例3
小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1
200
N和0.5
m．
　?。?）動力F與動力臂l有怎樣的函數關系？當動力臂為1.5
m時，撬動石頭至少需要多大的力？
　?。?）若想使動力F不超過（1）中所用力的一半，則動力臂l至少要加長多少？
新課講解
解：（1）根據“杠桿原理”，得Fl=1
200×0.5，
所以F關于l的函數解析式為
．
當l=1.5
m時，
．
　　對于函數
，當l=1.5
m時，F=400
N，此時杠桿平衡．因此，撬動石頭至少需要400
N的力．
新課講解
　?。?）對于函數
，F隨l的增大而減?。?br/>　　因此，只要求出F=200
N時對應的l的值，就能確定動力臂l至少應加長的量．
當
時，由
得
，
3-1.5=1.5(m)．
　　對于函數
，當l＞0時，l越大，F越小．
　　因此，若想用力不超過400
N的一半，則動力臂至少要加長1.5
m．
新課講解
　　某空調廠的裝配車間計劃組裝9
000臺空調．
　?。?）從空調廠組裝空調開始，每天組裝的臺數m（單位：臺/天）與生產時間t（單位：天）之間有怎樣的函數關系式？
　　（2）原計劃用2個月時間（每月按30天計算）完成，由于氣溫提前升高，廠家決定這批空調提前10天上市，那么裝配車間每天至少要組裝多少臺空調？
新課講解
答案：（1）m=
(t＞0)；（2）180．
新課講解
　　電學知識告訴我們，用電器的功率P（單位：W）、兩端的電壓U（單位：V）及用電器的電阻R（單位：Ω）有如下關系：PR=U2．這個關系也可寫為　　　或
．
新課講解
　　例4
　一個用電器的電阻是可調節的，其范圍為110～220
Ω．已知電壓為220
V，這個用電器的電路圖如圖所示．
　　（1）功率P與電阻R有怎樣的函數關系？
　　（2）這個用電器功率的范圍是多少？
U
R
新課講解
　　解：（1）根據電學知識，當U=220時，得
．①
　?。?）根據反比例函數的性質可知，電阻越大，功率越小．　　
　　把電阻的最小值R=110代入①式，得到功率的最大值
　　　　　　　??；
　　把電阻的最大值R=220代入①式，得到功率的最小值
．
因此用電器功率的范圍為220～440
W．
新課講解
　?。?）蓄電池的電壓是多少？
　　（2）請寫出這個反比例函數的解析式；
　?。?）完成下表：
　　已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）和電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如下圖所示．
R（Ω）
3
4
6
8
9
10
I（A）
　　（4）如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過10
A，那么用電器可變電阻應控制在什么范圍？
R/Ω
I/A
O
4
9
鞏固練習
答案：（1）36
V；
（2）
(R＞0)；
（3）依次是12，9，6，4.5，4，3.6；
（4）≥3.6
Ω．
鞏固練習
　　1．一般地，建立反比例函數的解析式有以下兩種方法：
　?。?）待定系數法：若題目提供的信息中明確此函數為反比例函數，則可設反比例函數的解析式為
，然后求出k的值即可．
　?。?）列方程法：若題目所給信息中變量之間的函數關系不明確，在這種情況下，通常是列出關于函數（y）和自變量（x）的方程，進而解出方程，便得到函數解析式．
課堂小結
2．常見的典型數量關系：
（1）當路程s一定時，時間t與速度v成反比例，即
；
　　（2）當三角形的面積S一定時，三角形的底邊a與高h成反比例，即
；
　?。?）在物理知識中：
　?、佼敼一定時，力F與物體在力F的作用下移動的距離s成反比例，即
；　　
課堂小結
　　
②當壓力F一定時，壓強p與受力面積S成反比例，即
；
　　③在電路中，當電壓U一定時，電流I與電阻R成反比例，即
．
　　④杠桿原理為：阻力×阻力臂=動力×動力臂．
課堂小結(共23張PPT)
第26章：反比例函數
人教版·九年級下冊
26.1.2
反比例函數的圖像和性質（1）
　　問題1
一次函數y=2x-3的圖象是什么？它經過哪些象限？你能畫出它的圖象嗎？說一說一次函數y=2x-3具有什么性質？
　　答：一次函數y=2x-3的圖象是一條直線；它經過第一、三、四象限；過點（0，-3）、（2，1）作直線，所得直線就是一次函數y=2x-3的圖象；函數y隨x的增大而增大……
　　上節課我們學習了反比例函數，你知道反比例函數　　
的圖象是什么嗎？這節課我們就一起來探討反比例函數的圖象和性質．
　　問題2
猜一猜反比例函數
的圖象經過哪些象限？
　　答：從比例系數k=6=xy，得x，y同號且不為零，說明該函數圖象經過第一、三象限，且該函數圖象與坐標軸沒有交點．
　　從上圖可以看出，只描出三五個點不能看出函數圖象的形狀．
　　追問1
我們描出三五個點能看出圖象是什么
形狀嗎？
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
（1，6）
（2，3）
（3，2）
　　追問2　在（1，6）與（2，3）兩點之間的點如（1.5，4）在什么位置？這三點共線嗎？
　　點（1.5，4）的位置比點（1，6）低，比點（2，3）高，這三點不共線．
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
（1，6）
（2，3）
（3，2）
（1.5，4）
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
追問3　如何將這些點連接起來？
　　用平滑的曲線“從左到右”將同一象限內的點連接起來，得到兩條曲線．
　　最后得出反比例函數的圖象是雙曲線．反比例函數　　
，也可稱為雙曲線
．
問題3
你能畫出下列反比例函數的圖象嗎？
（1）
；（2）
；
（3）
．
　　要求：盡量取整數點和關于原點對稱的幾對點，并將這4個函數畫在同一個坐標系中．
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　問題4
將雙曲線
沿直線y=x對折，你發現了什么？將雙曲線
沿直線y=-x對折，你發現了什么？
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　問題4
將雙曲線
沿直線y=x對折，你發現了什么？將雙曲線
沿直線y=-x對折，你發現了什么？
　　發現：雙曲線
沿直線y=x對折后互相重合，雙曲線
沿直線y=-x對折后也互相重合
　　結論：雙曲線是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸，分別是直線y=x和直線y=-x．
　　問題5
點（1，6）和點（6，1）的位置有什么關系？在雙曲線上你還能找出類似的對應點嗎？點（1，6）和點（-1，-6）具有什么位置關系？在雙曲線上你還能找出類似的對應點嗎？
　　答：點（1，6）和點（6，1）關于直線y=x對稱，還能找出很多類似的對應點；點（1，6）和點（-6，-1）關于直線y=-x對稱，還能找出很多類似的對應點．
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　問題6
點（1，6）和點（-1，-6）有什么位置關系？在雙曲線上你還能找出類似的對應點嗎？
　　答：這兩點關于原點對稱，像這樣的對應點還有很多，這說明雙曲線關于原點對稱，即雙曲線是中心對稱圖形．
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　問題7
從左向右觀察雙曲線上的點（1，6）、（2，3）、
（3，2），橫坐標在怎樣變化？縱坐標又是怎樣變化的？從左向右觀察雙曲線上的點（-3，-2）、（-2，-3）、（1，6），橫坐標在怎樣變化？縱坐標又是怎樣變化的？
　　橫坐標在增大，而縱坐標在減?。▂值隨x值的增大而減?。粰M坐標在增大，而縱坐標先減小后增大．（看圖象）
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　　問題8
對于反比例函數
，
　?。?）當k＞0時，圖象的雙支分別位于哪些象限？y值隨x值的變化怎樣變化？
　?。?）又若k＜0呢？
　　
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　?。?）當k＞0時，x，y同號，所以雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一個象限內，y值隨x值的增大而減小；
x
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
5
O
–6
6
y
–6
6
　?。?）當k＜0時，x，y異號，所以雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一個象限內，y值隨x值的增大而增大．
　　例
已知反比例函數
，當x＜0時，y
隨x的增大而減小，求正整數m的值．
　　解：因為反比例函數
，
　　　　當x＜0時，y隨x的增大而減小，
　　　　所以3-2m＞0．解得
．
　　　　所以正整數m的值是1．
　　一次函數y=x+m(m≠0)與反比例函數
在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（
）．
B
x
y
x
y
x
y
x
y
B
A
C
D
O
O
O
O
　　1．一般地，反比例函數
的圖象是雙曲線，它具有以下性質：
　?。?）當k＞0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一個象限內，y隨x的增大而減??；
　　（2）當k＜0時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一個象限內，y隨x的增大而增大．
　　2．反比例函數的圖象是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x或y=-x；
　　反比例函數的圖象也是中心對稱圖形，對稱中心是坐標原點．

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