資源簡介

《基本不等式》教學設計
教學對象
高一三班，班級學生基礎稍微薄弱，通過本節課學生能掌握基本不等式的基本應用及其變形，鍛煉學生數形結合不同角度的理解能力.
教材分析
本節選自《普通高中教科書·數學必修第一冊（人教A版）》的第二章2.2基本不等式，本節課主要是先利用初中學過的完全平方得到基本不等式；并通過在學習算術平均數與幾何平均數的定義基礎上，引導學生給出基本不等式的代數證明和幾何解釋；與此同時讓學生學會簡單應用.算術平均數與幾何平均數是不等式這一章的核心，對于不等式的證明及利用基本不等式求最值等應用問題都起到工具性作用.通過本章的學習有利于學生對后面不等式的證明及函數最值、值域的進一步研究，起到鋪墊的作用，因此決定了它的重要地位.
三、教學目標
本節課本著新高考評價體系的“立德樹人、服務選才、引導教學”這一高考核心立場，提出如下教學目標：
必備知識：1.知道基本不等式的幾何背景，能結合具體實例解釋基本不等式成立的條件，會運用所學知識證明基本不等式，并能在證明過程中分析不等式成立的條件.
2.結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題，從中領會不等式成立時的三個限制條件（一正、二定、三相等）在求解實際問題的最值中的作用.
關鍵能力：1.用基本不等式數學模型解決實際問題的能力.
2.通過適當引導，進一步提高學生獨立思考、分析問題、解決問題的能力.
學科素養：1.從幾何和代數兩角度論證基本不等式，培養學生數形結合的思想、直觀想象的學科素養.
2.結合具體實例，培養學生邏輯推理的數學素養.
3.通過解決實際問題，培養學生數學建模和數學抽象的數學素養.
核心價值:通過適當引導，加強學生社會主義核心價值體系教育，增強學生社會責任感，形成正確核心價值觀.
四、教學重點、難點
重點：基本不等式的定義、證明方法和幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題.
難點：基本不等式的幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題.
五、教學方法與手段
教學方法：誘思探究教學法.
學習方法：自主探究、觀察發現、合作交流、歸納總結.
教學手段：多媒體輔助教學.
教學過程
（一）基本不等式的定義導入
以線段a
,b的和為直徑作圓，過點C作垂直于直徑AB的弦DE，依次連接AD、BD.
問題1：你能用a
,b表示我的們的半弦CD嗎？如果我們連接OD,用a
,b表示半徑呢？
師生活動：（思考片刻）一塊回答CD=，.
問題2：顯然半徑大于半弦，點C在直徑上運動時是否始終半徑大于半弦？能否相等？(幾何畫板展示點C運動狀態下的半徑與半弦)
師生活動：始終半徑大于等于半弦（點C與圓心重合時相等）
師生一塊完善基本不等式，并指出算術平均數和幾何平均數，及其基本不等式的文字表述.
設計意圖：不等式的幾何解釋是教學的重、難點，直接通過幾何圖形，將半徑和半弦放到直角三角形中，并結合幾何畫板動態展示，使學生通過直觀感知就得到了半徑是不小于半弦，從而突破難點的同時引入了我們的基本不等式.
（二）基本不等式的證明
問題3：我們已經從幾何圖形直觀感知得到了基本不等式，你能從其他角度證明我們的基本不等式嗎？結合我們上節課學過的比較兩個代數式大小的方法.
師生活動：根據提示能迅速想到作差法，并書寫證明過程，師生一塊補充完善.
設計意圖：根據不等式的性質，用作差法證明基本不等式，讓學生從數形兩個角度分別論證基本不等式，培養學生的數形結合思想.
（三）基本不等式的應用
例1
已知x
,
y都是正數，求證：
(1)如果和x
+
y等于定值S,那么當x=y時，x
y有最大值
(2)如果積x
y等于定值P
,那么當x=y時，x
+
y有最小值
師生活動：師生一起分析后，由學生思考并讓學生在黑板上書寫證明過程，師生一塊補充完善.
問題4：通過本題，你能說說用基本不等式能解決什么樣的問題嗎？
師生活動：學生思考后回答，教師總結：滿足“兩個正數的和為定值，積有最大值”“積為定值和有最小值”并且總結應用基本不等式求最值時應滿足的三個條件.
設計意圖：用本例示范基本不等式可以用來求最值，并且應用時要滿足的條件，為后面的應用作鋪墊.
問題5：代數式是和式形式，結合例1，是否可以利用基本不等式求它的最小值？
師生活動：學生思考后回答。教師總結：求和的最值我們要看他們的積是否為一個定值，如果是，在滿足正數的情況下就可以利用基本不等式求解，最后還要看一下等號何時取，能否取到.
問題6：如果積不為定值呢（例2(2)）？如果不是和式或積式求最值，能否將其變形為和式或者積式呢?你還有其他的解法嗎（例2(3)）？
師生活動：學生思考后，學生說，教師板書例2（2）（3）.
師生活動：練習（2）學生直接口述教師板書，練習（3）由學生上黑板書寫展示，師生一塊補充完善，強化配湊的過程.
設計意圖：通過例1得到應用基本不等式解最值的數學模型后，例2強化學生解最值時的應用，練習強化訓練學生的配湊能力.
例3（1）用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？
用一段長為36
m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園面積最大？最大面積是多少？
師生活動：師生一塊分析后，由學生口述，教師板書，共同補充完善.
設計意圖：本例是典型而較簡單的能夠用基本不等式求解的問題.通過本例的教學，可以幫助學生理解如何用基本不等式模型理解和識別實際問題，從而用基本不等式解決問題，進一步發展學生的模型思想.
練習
某工廠要建造一個長方形無蓋水池，其容積為4800
，深3m，如果池底每平方米造價150元，池壁每平方米造價120元，那么怎樣設計能使總造價最低？最低總造價是多少？
師生活動：學生獨立閱讀題目，理解題意，由學生展示并講解自己的求解思路.
設計意圖：本練習在例3的基礎上，進一步培養學生用數學的眼光看問題的能力，提升他們的數學建模素養.
（四）學習感悟
本節課我們研究了哪些問題？有什么收獲？
設置開放性問題，讓學生暢所欲言，并引導學生將本節的重難點總結一遍.
設計意圖：引導學生回顧總結本節的學習內容和學習方法，以及會研究一個特殊代數對象的一般過程.
（五）課后作業
1.課后習題；
2.《基本不等式》評測練習
1.
已知x,求的最值____.
已知x
,y均為正數,且
，則x
+
y的最小值為____.
已知x
,y均為正數,且，則x
+
y的最小值為____.(共15張PPT)
基本不等式
壹
新知
D
O
B
b
A
C
a
初探
E
,當且僅當a=b時號成立.
基本不等式
算術平均數
幾何平均數
基本不等式表明:
兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.
你能從其他角度證明基本不等式嗎？
證明:（作差法）
貳
例題
講解
例1
已知x,y都是正數，求證：
(1)如果和x
+
y等于定值S,那么
當x=y時,x
y有最大值
(2)如果積x
y等于定值P
,那么當x=y時,x
+
y有最小值
利用基本不等式解決最值問題
例1
已知x,y都是正數，求證：
(1)如果和x
+
y等于定值S,那么當x=y時,x
y有最大值
例1
已知x,y都是正數,求證：
(2)如果積x
y等于定值P
,那么當x=y時,x
+
y有最小值
例3（1）用籬笆圍成一個面積為100m
2
的矩形
菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用
籬笆最短？最短的籬笆是多少？
（2）用一段長為36
m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時,菜園面積最大？最大面積是多少？
利用基本不等式解決實際問題
練習
某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？
解：設水池底面一邊的長度為
，則另一邊的長度為
，又設水池總造價為
元，根據題意，得
叁
學習
感悟
本節課我們研究了哪些問題？有什么收獲？
肆
課后
作業
1.課后習題；
2.查閱相關資料了解數學史上對基本不等式的研究和發現。
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