資源簡介

《橢圓及其標準方程》教學設計
【設計理念】
以單元整體性作為新的設計理念，把三種圓錐曲線在第一節課全部展示，在教學過程中重點強調了坐標法對于研究圓錐曲線的重要作用。充分利用各種學習資源（包括文字教材、音像資料、多媒體課件、軟件工具以及從Internet上獲取的各種教學信息等等），通過
“情境創設”、“協作學習”、“小組研討”，逐步體會橢圓及其標準方程的獲得過程，培養學生的數學審美素養、數學運算素養和數形結合素養。介紹坐標法和機械數學的發展歷程和世界及中國的著名數學家吳文俊的“吳方法”，激勵同學們學習的斗志，學習榜樣的力量，了解數學歷史和文化。
高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質，讓學生體會蘊涵在其中的思想方法。在“橢圓及其標準方程”的引入與推導中，遵循學生的認識規律，通過動手實踐、觀察思考、合作交流、應用反思等過程，讓學生逐步將認識由感性上升到理性，把學生學習知識當作認識事物的過程來進行教學，努力揭示知識的發生、發展過程。
【教材分析】
解析幾何是數學一個重要的分支，它溝通了數學內數與形、代數與幾何等最基本對象之間的聯系。平面解析幾何問題，就是借助建立適當的坐標系，科學合理地把幾何問題代數化，運用代數的方法來研究幾何問題。
《橢圓及其標準方程》2019人教A版新教材選擇性必修第一冊第三章的第一節，是繼學習圓以后運用“曲線與方程”思想解決二次曲線問題的又一實例，從知識上說，本節課是對坐標法研究幾何問題的又一次實際運用，同時也是進一步研究橢圓幾何性質的基礎；從方法上說，它為進一步研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎，因此本節課起到了承上啟下的重要作用．
【學情分析】
知識層面：在選擇性必修第一冊第二章里學生已經學習了直線和圓的方程，并初步熟悉了求曲線方程的一般方法和步驟，具備主動探究橢圓知識的基礎；根據日常生活中的經驗，學生對橢圓有了一定的認識，但仍沒有上升到成為“概念”的水平，將感性認識理性化將會是對他們的一個挑戰；在初中階段沒有涉及過含兩個字母、兩個根式的方程化簡問題；
學習層面：橢圓與圓相似，在生活中常見，相比函數等抽象概念，學生更易理解，因此在學習中學生更易接受，學習興趣也更加濃厚。學生已經具備一定的自學能力，多數同學對數學的學習有相當的興趣和積極性。在思維上，學生已經具備一定的抽象思維能力，對本節課的內容不難理解。
難度層面：學生的計算能力是需要不斷培養的，本節課涉及兩個根式的和的化簡，對學生而言，是一個難點。新課標強化對數學運算能力的培養，因此本節課將花更多時間在標準方程的推導，目的，培養學生的運算能力和數據分析能力，也是為下節課對雙曲線的推導做準備。
【教法分析】
結合生活經驗觀察發現、啟發引導、探究合作。在學生的生活體驗、直觀感知、知識儲備的基礎上，引導學生逐步建構概念，為學生數學思想方法的形成打下基礎。利用多媒體課件,精心構建學生自主探究的教學平臺,啟發引導學生觀察,想象,思考,實踐,從而發現規律、突破學生認知上的困難，讓學生體驗問題解決的思維過程，獲得知識,體驗成功。主要采用探究實踐、啟發與講練相結合。
【教學目標】
掌握橢圓的定義；
理解橢圓標準方程的推導過程，掌握橢圓標準方程的兩種形式，會運用待定系數法求橢圓的標準方程。
經歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，逐步提高學生的觀察、分析、歸納、類比、概括能力；
通過橢圓標準方程的推導，進一步掌握求曲線方程的一般方法——坐標法，并滲透數形結合、等價轉化的數學思想方法。
5，通過課堂活動參與，激發學生學習數學的興趣，提高學生審美情趣，培養學生勇于探索的精神。
【教學重點難點】
教學重點：橢圓的定義和橢圓標準方程的兩種形式
教學難點：橢圓的標準方程的建立和推導教學方法
【教學準備】
使用多媒體搜索相關視頻，利用幾何畫板做出橢圓圖形，通過百度搜索與橢圓有關的圖片資料，利用百度搜索相關的教學資料制作多媒體課件，自制學案。
【教學過程】
創設情景引入新課
情景1
情景2
學生觀察、學生舉例、學生思考后回答。
二．參與活動探索新知
復習圓的定義、圓的標準方程和圓的標準方程獲得的方法。
讓學生自己動手畫圖，使其探究性學習，再提出以下問題：
a.
在畫橢圓的過程中，細繩的兩端的位置是固定的還是運動的？
b.
在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？
c.移動的筆尖（動點）滿足什么幾何條件？
d.
在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關系？
同桌同學按照老師的要求合作畫圖，并思考軌跡上的點具備什么特點。
展示學生成果。請學生代表本小組交流探究結論。
根據橢圓畫法，從中歸納橢圓定義——與兩個定點的距離之和為定長
（繩長）的點的軌跡為橢圓（繩長大于兩定點間距離）．
幾何畫板演示動點生成軌跡的全過程，印證猜想
三．互動探究深化概念
教師指出：這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。
思考：焦點為的橢圓上任一點M，有什么性質
令橢圓上任一點M，則有
四．研討探究推導方程
為了突出橢圓標準方程這一重點，再進一步啟發：圓心是圓的中心，那么在橢圓中，兩焦點連線中點不也是橢圓的中心嗎？那么我們如何建系，才能使所得方程更簡潔呢？學生在問題誘導下，可能大部分會選擇兩焦點連線中點為原點，以兩焦點所在直線作為x軸建立平面直角坐標系，但還可能有學生以兩焦點所在直線作為y軸，甚至還會有個別同學堅持以某一個焦點為原點．
對于同學們的意見，要給予充分肯定，并鼓勵他們按照不同的建系方案進行推導．
五．小組討論推導方程
為了突破難點，在學生推導過程中進行思維點撥：
我們通常用什么方法化簡含有根號的式子？本式是直
接平方好呢，還是整理后再平方呢？讓學生以小組為
單位一起討論研究，時間5分鐘，并給于學生推導的
指導，讓學生充分展示。
對移項平方，直接平方，分子有理化等方法都加
以肯定，尋找方法。學生基本完成后，我在投影儀上
展示學生不同的推導過程讓學生分析討論．
學生討論后可能會形成以下意見：經過整理后再
平方過程較簡單；以兩焦點連線中點為原點建系所得
方程形式較簡單，但仍不是很簡潔．
知識拓展了解文化
七．數形結合強化知識
八．例題研討變式精析
九．練習檢測當堂鞏固
十．歸納小結
深化提高
板書設計
橢圓的定義
橢圓標準方程的推導過程書寫
例1：
2、橢圓的標準方程
（1）寫關鍵步驟
（1）、焦點在軸上
（2）詳寫
（2）、焦點在軸上
設計意圖：
通過“嫦娥二號”運行軌道圖片，激發學生興趣，得出“嫦娥二號”繞月球運行的軌跡是橢圓，從而引出課題
設計意圖：
引入生活情境激發學生的學習欲望，自然引入新課，同時與其實際相聯系，拓寬學生思維，發展他們聯想、類比能力。
使學生在感嘆祖國科技輝煌發展的氛圍中認識橢圓。
設計意圖：
用實例尋找圓與橢圓的關系，自然引出復習圓的定義及標準方程的復習。
設計意圖：
用類比的思想，通過已經學過的圓的知識猜想橢圓，開展后續教學。
設計意圖：
給學生提供一個動手操作，合作學習的機會；通過實驗讓學生去探究“滿足什么樣的條件下的點的集合為橢圓”；讓每個人都動手畫圖，自己思考問題，由此培養學生的自信心。
設計意圖：
使學生經歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質的認識，并逐漸養成嚴謹的科學作風
結論：繩長記為2a，兩定點間的距離記為2c(c≠0).
（1）當2a>2c時，軌跡是
；
（2）當2a=2c時，軌跡是
；
（3）當2a<2c時，
；
設計意圖：
充分發揮學生的學習主動性。
通過坐標系的不同選擇，用不同的方法得到不同的方程，通過比較體會曲線的方程的不確定性，理解曲線與方程的關系，感受恰當選擇坐標系的優越性，感受標準方程的簡潔、對稱、和諧之美，并在實踐中通過對比提高決策能力、計算能力、培養學生簡約的思維能力。
培養學生的觀察、分析歸納能力。
設計意圖：
加強學生對數學運算能力的培養，為下一節研究雙曲線的標準方程做好鋪墊
設計意圖：
數形結合，讓學生結合圖形強化三個基本量的位置關系和數量關系。
設計意圖：
通過類比得到焦點在y軸的標準方程，提升類比推理的數學能力。
設計意圖：
通過數學歷史和數學家的故事激勵學生學習的積極性，樹立榜樣的力量，提升自己對人生的思考。
設計意圖：
通過圖表強化重要知識，比較異同，加深印象，明確重要知識點。
設計意圖：
培養學生運用知識解決問題能力
解決情景設置中的問題
設計意圖：
會用待定系數法與定義法求橢圓的標準方程
設計意圖：
擺脫傳統教學中教師小結的做法，以表格形式出現，讓學生自己總結，加深對本節課內容的認識
設計意圖：
讓學生自己小結，不僅僅總結知識，更重要的是總結數學思想方法，這樣可幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養成良好的學習習慣。強化鞏固本節內容，激發學生學習的興趣，提高數學文化品位。圓及其標準方程》評測練習
基磁達標】
橢圓
離為
焦點的距離為(
B.6
橢
標是
正確的一項
(C)
b
64,b=36
知F,F2是定點
滿足|MF1
(A)橢圓(
線(C)圓(D)線段
的橢圓的標準方程是
6.橢圓
的焦距
若CD為過左焦
△F,C
寫出適合下列條件的橢圓的標準方程
兩個焦點坐標分別是(40)、(4,0),橢圓
P到兩焦點的距離
和等于
兩個焦點坐標分別是(0
且
能力提升
知橢圓的方程
軸
方程
表示橢圓,則α的取值范圍
n(2a
B.
K
k
(k∈z)
k丌
(k∈z)
圓以坐標軸為對稱軸
短半軸之和為
橢圓方程
為
在橢圓
橢圓的焦點
則P點的
橢圓
(a
兩個焦點及
角
頂點,且橢圓上的點到焦點距離的最小值為
求橢圓的方程
知橢圓
離是長軸兩端
離的等
項,求P點坐(共42張PPT)
教材：2019人教A版數學選擇性必修第一冊
?
?
?
?
橢圓
雙曲線
拋物線
創設情景引入新課
對稱美和諧美
這么美的橢圓該如何精確地設計、制作呢？
活動一：
用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在水平桌
面上，水平面是什么形狀．當端起水杯喝水
時，水杯傾斜，再觀察水平面
參與活動探索新知
類比舊知獲取新知
活動二：
1.
圓是怎么畫出來的？用手中的繩怎么畫一個圓？
2.圓是如何定義的？
平面內到定點的距離為定長的點的軌跡叫做圓。
3.圓的標準方程是什么形式的？
o
x
y
b
4.我們是用什么方法推導圓的標準方程的？
坐標法
a
R
x
y
互動探究形成概念
活動三：
1.橢圓怎么畫出來？
將圓心從一點“分裂”成兩點，同桌一組合作，一人兩手將繩子兩個端點固定在學案的兩個點
上，一人用筆尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動，觀察……
a.
在畫橢圓的過程中，細繩的兩端的位置是固定的還是運動的？
b.
在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？
d.
在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關系？
c.移動的筆尖（動點）滿足什么幾何條件？
互動探究深化概念
文字敘述：
平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數（
）的點的軌跡叫橢圓。
符號敘述：
若設M為橢圓上的任意一點，
|MF1|+|MF2|=定長
a.
在畫橢圓的過程中，細繩的兩端的位置是固定的還是運動的？
b.
在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？
d.
在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關系？
c.移動的筆尖（動點）滿足什么幾何條件？
1.兩定點之間的距離與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？請大家試一下
2．繩長能小于兩定點之間的距離嗎？
活動四：
結論：繩長記為2a，兩定點間的距離記為2c(c≠0).
（1）當2a>2c時，軌跡是
；
（2）當2a=2c時，軌跡是
；
（3）當2a<2c時，
；
橢圓
以F1、
F2為端點的線段
無軌跡
定點F1、F2叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.
大于|F1F2|
互動探究深化概念
文字敘述：
平面內與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數（
）的點的軌跡叫橢圓。
符號敘述：
若設M為橢圓上的任意一點，
|MF1|+|MF2|=定長
求軌跡方程的基本步驟？
3：如何求橢圓的方程？
?
求動點軌跡方程的一般方法：
坐標法
（1）建立坐標系;
（2）設點的坐標；
（3）寫出限制條件；
（4）代入點的坐標；
（5）化簡方程。
建
設
限
代
化
?
探討建立平面直角坐標系的方案
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
F1
F2
O
x
y
M
O
x
y
“建”
研討探究推導方程
x
F1
F2
M(x
,
y)
0
y
設M(x,
y)是橢圓上任意一點，
橢圓的焦距|F1F2|=2c(c>0)，
則F1、F2的坐標分別是(?c,0)、(c,0)
.
M與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a>2c)
問題：下面怎樣化簡？
由橢圓的定義得，限制條件：
由于
得方程
“設”
“限”
“代”
“化”
小組討論推導方程
移項得：
兩邊再平方，得：
整理得：
平方得：
整理得：
上面方程變為：
焦點在x軸的橢圓的標準方程
1
2
y
o
F
F
P
x
M
F2
F1
x
y
猜想：若建立方案二焦點在y軸的坐標系，橢圓的方程的形式是怎樣的？
表示焦點在y軸上的橢圓
坐標法
坐標法
吳方法
數學機械化
形
數
計算機
知識拓展了解文化
O
X
Y
F1
F2
M
(-c,0)
(c,0)
Y
O
X
F1
F2
M
(0,-c)
(0
,
c)
?橢圓的標準方程的特點：
（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1
（2）橢圓的標準方程中三個參數a、b、c滿足a2=b2+c2。
（3）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。
分母哪個大，焦點就在哪個軸上
平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等
于常數（大于F1F2）的點的軌跡
標準方程
不
同
點
相
同
點
圖
形
焦點坐標
定
義
a、b、c
的關系
焦點位置的判斷
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
數形結合強化知識
則a＝
，b＝
；
則a＝
，b＝
；
則a＝
，b＝
；
則a＝
，b＝
．
5
3
4
6
3
2
判定下列橢圓的焦點在什么軸上，寫出焦點坐標
答：在
x
軸上,（-1，0）和（1，0）
答：在
y
軸上,（0，-5）和（0，5）
答：在y
軸上,（0，-1）和（0，1）
判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則：
x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。
5
4
3
(3,0)、(-3,0)
6
20
F1
F2
C
D
例1：求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）兩個焦點的坐標分別是（0，-4）、（0，4），橢圓上的一點P到兩焦點距離的和等于10；
解：∵
橢圓的焦點在y軸上
∴
設它的標準方程為
∴
所求的橢圓的標準方程為
∵
2a=10，
2c=8
∴
a=5，
c=4
例題研討變式精析
（2）兩個焦點的坐標分別是（-2，0）、（2，0），
并且橢圓經過點
思考：
你還能用其他方法求它的標準方程嗎？
定義法
解：∵
橢圓的焦點在x軸上，
由橢圓的定義知，
∴
設它的標準方程為
又
∵
c=2
∴
所求的橢圓的標準方程為
待定系數法
解：∵
橢圓的焦點在x軸上，
∴
設它的標準方程為
將點代入方程得：
又∵
代入上面方程得：
∴
所求的橢圓的標準方程為
小結：
1.求橢圓標準方程的步驟：
①定位：確定焦點所在的坐標軸；
②定量：求a,
b的值.
2.求橢圓標準方程的方法：
①定義法；
②待定系數法.
歸納小結
深化提高
課堂小結
1，這節課你學到了什么？
2，你還存在哪些疑惑？
3，對于本節課你還想了解什么？
坐標法
一種方法：
二類方程:
三種素養：
數學審美，
數學運算，數形結合
分母哪個大，焦點就在哪個軸上
平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等
于常數（大于F1F2）的點的軌跡
標準方程
不
同
點
相
同
點
圖
形
焦點坐標
定
義
a、b、c
的關系
焦點位置的判斷
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
2，你還存在哪些疑惑？
3，對于本節課你還想了解什么？
1，這節課你學到了什么？
歸納小結
深化提高
探索－嫦娥奔月
2010年10月8日中國“嫦娥”二號衛星成功實現第
二次近月制動，衛星進入距月球表面近月點高度
約210公里，遠月點高度約8600公里，且以月球
的球心為一個焦點的
橢圓形軌道。已知月
球半徑約3475公里，
試求“嫦娥”二號衛
星運行的軌跡方程。
作業布置
課后思考及作業——拓展提高
(1)收集有關坐標法與數學機械化的時代背景和有關資料，了解我國著名數學家吳文俊創立的“吳方法”
(2)書面作業：課本P109，練習第1題第2題
課本P109，練習第3題第4題
(3)拓展作業：
求嫦娥二號衛星近月運行的橢圓軌道方程
作業布置
課后延伸

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