資源簡介

(共28張PPT)
人教版
八年級數(shù)學(xué)上
18.2.2菱形（1）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系.
2.探索并證明菱形的性質(zhì)定理.（重點）
3.應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)計算或證明問題.（難點）
回顧舊知
問題1
矩形的性質(zhì)有哪些？
問題2
矩形的判定有哪些？
邊：兩組對邊平行且相等；
角：四個角都是直角；
對角線：對角線互相平分且相等。
對角線：對角線相等的平行四邊形是矩形；
角：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；
情境導(dǎo)入
欣賞下面圖片，圖片中框出的圖形是你熟悉的嗎？
合作探究---菱形的性質(zhì)
平行
四邊形
矩形
前面我們學(xué)行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個角是直角時,就成為了矩形.
有一個角是直角
思考1
如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長度讓它有一組鄰邊相等,這個特殊的平行四邊形叫什么呢?
平行四邊形
定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形.
菱形
鄰邊相等
溫馨提示：菱形是特殊的平行四邊形.
合作探究---菱形的性質(zhì)
合作探究---菱形的性質(zhì)
活動1
如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)確地剪出一個菱形的紙片？觀看下面視頻：
活動2
在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕,折疊手中的圖形(如圖），探究菱形有哪些性質(zhì)。
合作探究---菱形的性質(zhì)
猜測：
1、菱形是軸對稱圖形,兩條對角線所在直線都
是它的對稱軸.
2、菱形的四條邊都相等.
3、菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對
角線平分一組對角.
你能證明2、3條嗎？
合作探究---菱形的性質(zhì)
已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD，對角線AC與BD相交于點O.
求證:(1)AB
=
BC
=
CD
=AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB
=
CD，AD
=
BC
又∵AB=AD,
∴AB
=
BC
=
CD
=AD.
A
B
C
O
D
合作探究---菱形的性質(zhì)
（2）∵AB
=
AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OB
=
OD
（平行四邊形的對角線互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB
=
OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可證∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
合作探究---菱形的性質(zhì)
對稱性：是軸對稱圖形.
邊：四條邊都相等.
對角線：互相垂直，且每條對角線平分一組對角.
菱形除了具有平行四邊形所有性質(zhì)，還具有的性質(zhì)有：
幾何語言：
∵四邊形ABCD是菱形.
∴AB
=
BC
=
CD
=AD；
AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD
A
B
C
O
D
典例精析
例1
如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD＝16cm，AC＝12cm，求菱形的周長．
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AO＝
AC，BO＝
BD.
∵AC＝12cm，BD＝16cm，
∴AO＝6cm，BO＝8cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴菱形的周長＝4AB＝4×10＝40
(cm)．
典例精析
例2
如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點E，CF⊥AD于點F，
求證：AE＝AF.
證明：連接AC.
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
小試牛刀
1.如圖，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝
6，則△ABD的周
長是
(　　)
A.12
B.18
C.24
D.30
C
2.如右圖，菱形ABCD的周長為60cm，對角線AC、BD相交于O點，E是AD的中點，連接OE，則線段OE的長為_______.
7.5cm
合作探究---菱形的面積
思考1
菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形面積公式計算菱形ABCD的面積嗎?
A
B
C
D
思考2
前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的對角線互相垂直,那么能否利用對角線來計算菱形ABCD的面積呢?下面我們一起探究一下。
能.過點A作AE⊥BC于點E,
則S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
合作探究---菱形的面積
如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O,試用對角線表示出菱形ABCD的面積.
A
B
C
D
O
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC
+S△ADC
=
AC·BO+
AC·DO
=
AC(BO+DO)
=
AC·BD.
你有什么發(fā)現(xiàn)？
菱形的面積
=
底×高
=
對角線乘積的一半
典例精析
例3
如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長和花壇的面積（結(jié)果分別精確到0.01m和0.1m2
）.
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花壇ABCD是菱形，
小試牛刀
1、如圖，已知菱形的兩條對角線分別為6cm和8cm，則這個菱形的高
DE為（　?。?br/>A.2.4cm
B.5cm
C.
4.8cm
D.9.6cm
C
小試牛刀
2、如圖，在菱形ABCD中，∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，周長是
16cm．求：（1）兩條對角線的長度；（2）菱形的面積．
解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，OA=OC
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，
∴∠ABC=
×180°=60°，
∴∠ABO=
×∠ABC=30°，△ABC是等邊三角形.
∵菱形ABCD的周長是16cm．∴AB=4cm，
小試牛刀
∴AC=AB=2cm,
OA=
AC=2cm，
∴BD=2OB=
cm；
（2）S菱形ABCD=
AC?BD
=
×4×
=
（cm2）．
知識點撥：菱形的面積算法：(1)一邊長與兩對邊的距離(即菱形的高)的積；(2)四個小直角三角形的面積之和(或一個小直角三角形面積的4倍)；(3)兩條對角線長度乘積的一半．
綜合演練
1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的特殊性質(zhì)是（
）
A.對角線相等
B.對角線互相垂直
C.對邊相等
D.對角相等
B
2.如圖，在菱形ABCD中，AC=12，BD=5，則△ACD的周長等于（　　）
A.16
B.17
C.24
D.25
D
綜合演練
3.根據(jù)下圖填一填：
（1）已知菱形ABCD的周長是20cm，那么它的邊長是
______.
（2）在菱形ABCD中，∠ADC＝120
°，則∠BCD＝
_______.
（3）菱形ABCD的兩條對角線長分別為6cm和8cm，則菱形的邊長是_
______.
5cm
30°
A
B
C
O
D
5cm
綜合演練
4、如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求證：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB
，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，?
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.?
又∵AD＝BA
，∴△AOD≌△BEA
，∴AO＝BE
.
綜合演練
5、如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC與BD的交點，且在△AOB中，OA＝6，OB＝8.求菱形ABCD兩對邊的距離h.
解：在Rt△AOB中，OA＝6，OB＝8，
∴S△AOB＝
OA·OB＝
×6×8＝24，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×24＝96.
∵
又∵菱形兩組對邊的距離相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝10h，
∴10h＝120，得h＝
12
.
綜合演練
6.如圖，O是菱形ABCD對角線AC與BD的交點，CD＝13cm，OD＝5cm；過點C作CE∥DB，過點B作BE∥AC，CE與BE相交于點E.
(1)求OC的長；(2)求四邊形OBEC的面積．
解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在RT△OCD中，由勾股定理得OC＝12cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四邊形OBEC為平行四邊形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四邊形OBEC為矩形.
∵OB＝OD＝5cm，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝5×12＝60(cm2)．
課堂小結(jié)
本節(jié)課你有哪些收獲？
1、菱形的性質(zhì)：邊、角、對角線；
2、菱形的面積算法。
課后作業(yè)
教材60頁習(xí)題18.2第5題．
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php

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