資源簡介

.竟賽輔導(dǎo)
狹義相對論淺涉
以太風(fēng)
教你一手
①B
、狹義相對論的基本假設(shè)
1.伽利略的相對性原理
S
為描述物體的機械運動所取的參考系,根據(jù)牛頓運動定
B半透明玻璃片
律是否適用而分別稱作慣性參考系與非慣性參考系;伽利略
通過實驗指出:在任何一個慣性系內(nèi)部所做的任何力學(xué)實驗
圖26-1
圖26-2
都無法確定該參考系是靜止的還是在做勻速直線運動,一切
的兩束:光束①透過玻璃片向M,被M反射后到達B,部分被
彼此相對做勻速直線運動的慣性參考系,對于描寫運動的力銀膜反射;光束②射向平面鏡M再返回,部分透過B.根據(jù)光
學(xué)規(guī)律是完全等價的,并不存在某一個比其他慣性系更為優(yōu)干涉原理,兩束光到達觀察者眼中,將會出現(xiàn)明暗相間的條
越的慣性系,任何力學(xué)實驗都不可能確定某個慣性系是否“絕紋,若兩束光同時到達則中央亮紋位置居中,若兩束光到達時
對靜止”
間有先后,就會發(fā)生亮紋的偏移,所以這種測量的設(shè)計是很精
伽利略運用相對性原理闡述:設(shè)兩個沿同一方向相對速巧的,邁克爾遜設(shè)想:以太存在且完全靜止,那么地球相對于
度為的慣性系,在一段時間t內(nèi),質(zhì)點P對其中一個慣性系
以太做絕對運動,對于安裝在地面的儀器而言,相當(dāng)于以太以
運動的位移為x,對另一個慣性系運動的位移為x,則x=x
地球運動的速率拂過地面,設(shè)“以太風(fēng)”以v沿圖26-1中MB
ut;對其中一個慣性系運動的速度v=,對另一個慣性系
方向吹過,剛才說的兩束相干光到達觀察者眼中的時間就有
了先后:光束①先逆“風(fēng)”而上后順“風(fēng)”而下,所用時間t1=
運動的速度==0-u;若在-t+△時間內(nèi)質(zhì)點P對其
+c+0,是無“風(fēng)”時的—1,式中c是無“風(fēng)時的光
中一個慣性系運動的加速度a=,則對另一個慣性系運
C
速,即光在以太中的速度,是平面鏡與鍍銀鏡的距離;而光束
動的加速度a=
U4--0+
a,這說明在不同
△t
②是“橫渡”的,所用時間t2=2
,是無“風(fēng)”時的
的慣性系中,質(zhì)點的加速度是相同的,所以牛頓運動定律F=
ma在所有相互做勻速直線運動的慣性系內(nèi)均成立
,可見,光束①將比光束②推遲到達B處,“以太
伽利略相對性原理是基于這樣的一種時空觀:在兩個參√1-(
考系里,時間間隔與空間間隔的量度是一樣的,不會因參考系
風(fēng)”的速度(地球運動速度)約v=30km/s,光速3.0×105km/s,兩
的運動而有所變更,并且時空也是相互獨立的.這種把時間、
束光因以太風(fēng)而延遲的時間各為萬分之一與十萬分之五,對
空間與運動完全脫離的絕對時空觀將面臨高速運動現(xiàn)實的挑應(yīng)地,到達B的兩束光有一相位差,若將儀器轉(zhuǎn)過90°,兩光束
戰(zhàn)
相對于以太風(fēng)的速度會改變,到達B的相位差就會引起改變,
2.邁克爾遜的困難
干涉條紋的中央亮紋位置應(yīng)明顯偏移,觀測者使用該裝置應(yīng)
在光本性的探究過程中,以太被認為是傳播光的無處不當(dāng)容易觀測到在絕對參考系下發(fā)生的這種干涉條紋移動的現(xiàn)
在的介質(zhì),人們對它除了名稱以外一無所知,它被設(shè)想成具有象但是,邁克爾遜在各種條件下一次又一次地精心實驗,卻
種種無法協(xié)調(diào)的力學(xué)性質(zhì)及物態(tài),并且認為它是絕對靜止的
始終未能觀察到干涉條紋有絲毫的移動,在驚愕之余,事實不
參考系,相對于以太的絕對運動會區(qū)別于相對于其他參考系容置辯地指出,以太是不存在的,絕對靜止的參考系也是不存
的運動邁克爾遜實驗就是期望找到在絕對靜止的參考系中在的,真空中的光速對任何參考系都是一個恒量
發(fā)生的物理現(xiàn)象來證明以太的存在,并得到絕對運動的.圖
3.愛因斯坦的假設(shè)
26-1與圖26-2是邁克爾遜實驗裝置與實驗原理示意圖,儀器
“無論光在以太中怎樣傳播,以太風(fēng)對光速都沒有影響”,
的中心部件是一塊鍍銀的半透明玻璃片B,與入射光線成45
這是愛因斯坦在1905年依據(jù)邁克爾遜光干涉實驗中,預(yù)期的
角,可以讓入射光線一半透射一半反射,M、M是與B等距離干涉條紋的移動始終未能出現(xiàn)這令人驚訝的事實而提出的,
的兩塊平面鏡,S是光源,它射出的光到達B時,分成互相垂直
愛因斯坦揚棄了宇宙中存在以太介質(zhì)的假說及絕對參考系的第 卷 第 一 期 中學(xué)物理教學(xué)參考
年 月 一
專題 功 與 能
沈 晨
, “
拋物線 圖線與 二 軸 。一 區(qū) 間圍成的曲邊 三角形 面
哮教像一乎側(cè) 積 ,’豎 劃線 部分 即表示 力
、 ,
一 變力做功的求解方法 的功 而 由圖可 知這個面積是
利 用 圖象法求功 矩形 面 積 與拋 物 線 弓形 面 積
」
利用 圖象求功的方法主要用于 當(dāng)力對位移的關(guān)系 橫劃線部分 一半之差 我們
,
,
為線性時 或在 、 圖中表示 力變化 的圖線與 軸圍 知道 阿基米德對拋物線弓形 氰氛
“ ” , ,成的圖形 面積 有公式可依時 因為在 圖中 這種 面積公式的著名推導(dǎo) 拋物線
“ 一
面積 ”的物理意義就是功的大小 所包含的弓形面積等于它的底 圖
,
例 錘子打擊木樁 如果錘每次 以相同的動能 與高之積 的 于是利用 圖
, , , 一 ,
打擊木樁 而且 每次均有 的能量傳給木樁 且木 我們所要求的功大小是
二 ,樁所受阻力 與插入深度 成正 比 試求木樁每次打 一 只 一粵 一
,
入的深度 比 若第一次打擊使木樁插人 了全長 的粵 用微元法求功
,
那么木樁全部插入必須錘擊多少次 如果在某一位移區(qū)間 力隨位移變化的關(guān)系為
, ,
分析與解 該題 中木樁受 到的阻力 為一 與位 一 求該變力的功通常用微元法 即將位移區(qū) 間分
,
移 成正 比的變力 我們可 以作 ,成 。 一 個小區(qū) 間音在每個小區(qū) 間內(nèi)將力視為恒一 ,
如圖 所示 的 圖 用 圖象
“ ” ·, 、 ”’ ” , 、 、 , , “法求解 圖 中 面積 定 求其元功 一 二 由于功是標(biāo)量 具有 可加
、 · · ,
表示第 次錘擊 中 木樁
” ,, ‘
克服阻力做的功 數(shù)值上等于錘 養(yǎng) 性 那么總功等于每個小 區(qū) 間內(nèi)元功之代數(shù)和 習(xí)
劣 ,
, 。
傳給木樁的能量
,
設(shè)為 根據(jù) 的極限 即變力在這段位移中所做的功為
一
,
三角形面積與高的平方成正 比 圖 ,
一 習(xí)
有 ,
, ,
工 。 一 。 。 。 , 在數(shù)學(xué)上 確定元功相 當(dāng)于給出數(shù)列通項式 求總
, 功即求數(shù)列 項和 當(dāng) 時的極限
,
· 。 例 半徑等于 的半球形水池 內(nèi) 了水, , , , , , , , , 充滿 把
則 一 涯 萬 在 池內(nèi)的水完全抽出至少要做多少功
, ,
每次打人深度 △ 一 汁 一
、
故木樁每次打入的 一 , ,
分析與解 如圖 所示 沿著容器的豎直直徑
深度比為
我們將水池 內(nèi)的水均勻細分成
’ ’ , ·△ △ △ 。 , , △ , 一 , 涯一 萬 , ,層 每一元層水 的高度 △ 一 二
一 ,涯 石一 丫不萬
,
, , , △
由上述 比例關(guān)系可知 當(dāng) 二 一 時 得 很小 故每一層水均可看做是
,
。 。 八 , 、 一個薄圓柱 水面下第 ￡層水柱 一
而 、 圖
一 , 即 “了 丁 一
。 、認 , ‘ ,底面的半徑 尸 一 ’竺 這
,
例 某質(zhì)點受到 一 尹 的力 的作用 從 二 一 層水的質(zhì)量為
, 、 · ‘ ·
處移到 一 處 試求力 做了多少功 一 , 趕尸一‘鉚 〕 蘭
, 一 刀
分析與解 根據(jù)題給條件作圖 如圖 所示 在
, 那么將這層水抽出至少應(yīng)做的功是
異 坐標(biāo)系中 質(zhì)點所受力 隨位移 變化 的圖線為
,
、 ·一 一 ’ 于是可知 小車沿該半圓周從最低點勻速運動到最、 〕 高耐 鉚 于 ,點時 摩擦力做的總功為
而將池 內(nèi)水完全抽出至少要做的功就是
一 產(chǎn)冗一 導(dǎo) 陰鏟一 ‘一 、 一 全 一產(chǎn)
沉明
悠象 賊 示 熟 九,
一 冗尸 恤仁 ‘十
· 一 十 上面我們利用 了 對 稱性 使號對 元功 之 和 為常赤 告
,
量 大大簡化了求和的運算 如果要計算小車在水平直
十 十 〕 ,
徑以, 下或以上兩段運 動過程摩擦力分別做多少功 則一丫
一 萬尸 。 。必須用到三 角數(shù)列 一 前 項 之 和 的結(jié)
,
一 二粵 。
論 即
。、 刀 十 ,咬
, 氣萬口 ”
, 氣
, 二獷
例 一個質(zhì)量為 的機 動小車 以恒定速度
在半徑為 且固定在地面上 的豎直 圓軌道 內(nèi)做 圓周 , 萬
,
運動 已知動摩擦因數(shù)為 尸 間在小車從最低點運動到 下面我們先來計算水平直徑 以下段摩擦力的功
,
最高點過程中 摩擦力做了多少功
分析與解 小車沿豎直圓內(nèi)軌勻速率運動到最高 下 一 、藝
, , 月 日卜 二子
點的過程中 由于軌道支持力是變力 故而摩擦力為一
‘
, ,
悶, 廠 、
, 二 二
隨位置變化的力 現(xiàn)在我們來求此變力功 承 鏟二 , , ‘、‘ 少
么產(chǎn) 萬卞 萬 」
’
一 ,
如圖 所示 將小車運動的半個圓周均勻細分 不
捉尺 , 二 萬, 兀
成 段 每段 圓弧 一 ’產(chǎn) 丁 十 產(chǎn) 找 黑下 — 下
長 巫 所 對應(yīng) 的 圓 心 角 為 · ·。 , 、 耽 、 ,
‘ , ’ ’、— , 二 氣 二產(chǎn)
,
刀 ‘ —
氣
二 小車在 每段 長 為 尺
—四 產(chǎn)卜一︸忱一冗 白一
, 一兀乞
一 十尸
”習(xí)
,
圓弧上運動時 可認為軌道 ‘
, 雙 、 , 、十
對小 車支 持力 從 為 一 恒 、 一 一 夕 、一 丁一 一幾 — ,任 刀 任 —
,
力 因而小車所受的摩擦力
,
無 不 變 摩 擦 力 的功 可 用 ”
, 、
功 的公 式 計算 當(dāng) 一圖 ’
一 二不 ‘ 一 產(chǎn)
一 產(chǎn) 刃
小車運動 在 圖 所 示 州鏟 一 一 任 任
一 石一一 丁 嚴
‘ 、 一 長
—‘ 月 。口 —
,
處‘即在水平直徑下方與 二 軸成 么 一‘令,時 有
‘ 云
、 ,
,
一 , 。 奈
一釜 ‘兀二 一鏟 。
。 、一 。 , 。 ,菩 么 一
一花獷一 ,一嚴。 八幾 二 、 , ,同理 在水平直徑以上段 摩擦力做的功為則此處元功為 二 產(chǎn) 斑鏟 。
。 、 兀 ’, 上 一一 石 一 產(chǎn)萬‘ 更、 ,
‘
產(chǎn)火 于歹十二仇 入 下丁」、 ‘ 上下兩段摩擦力的功相差 召 故摩擦力做的總功
一
當(dāng)小車運動在圖 所示 的與 處關(guān)于 軸對 為
,
稱的 處圓弧段時 則有 一 上 下 一 產(chǎn)咖擴
擴
目
丫月 十 勿 〕 陰 不石 , 從能量 變化 角度求功
一 又
,
這種求功方法依據(jù)功對能量變化 的量度關(guān)系 只
“ ‘一“ 貢一 ‘
、 ,
久 需了解初 未能量狀態(tài) 得到能量的增量便是相應(yīng)的功
那么 處元功為 量
, ,
例 一質(zhì) 勻
刀一 量均 的粗繩長為 質(zhì)量為 兩
月 側(cè)一風(fēng) 貢一 幼 ,端懸于水平天花板上相距為 的兩點而懸垂靜止 其
, 一
,
由此 小車在關(guān)于水平直徑對稱 的軌道兩元段 上 重心位于天花板下且到天花板 的距離為 如圖
,
摩擦力元功之和為 所示 現(xiàn)施一力于繩 的最低點 并將繩 拉直至 點
一鏟 研一 求拉力所做的功乙
一 產(chǎn)陰 , ,分析與解 由于拉力做功 使繩的重心高度變化
· ·
, ,
因而重力勢能發(fā)生變化 重 力勢能 的增量 即為所求拉 可 以 由做功的多少來量度 這是我們對功 與能之間關(guān)
, ,
力功量 由幾何知識可 知 拉 直 系的基本認識 也是我們從能量角度解決運 動問題的
后兩段繩 的重 心位置距 天 花板 依據(jù)
,
為 各種形式的能與物體 的各種運動形式相聯(lián) 系 描
。。 , 。、一 粵 一
。
西 述 出物體不同的運動狀態(tài) 當(dāng)物體的運動 由一種形 式
, ,
乙 變成另一種形式時 能量也相應(yīng)變化 一定的能量變化
、 、
, ,
重心升高 重力勢能增加了 由相應(yīng)的功來量度 例如 合力 可 以是重力 彈力 摩
佃 、 、△ 一 。一 · , 擦力 電場力 磁場力或其他力 做的總功量 度動 能的
令 ,變化 動能定理 即
圖
故拉力做的功為 習(xí) 一
、 一 。
,
一 。 , 。一 “ 重力功量度重力勢能的變化 即卓 一 ‘。 即 ,任 一 盡
,
例 一質(zhì)量 為 的皮球從高為 處 自由下 落 彈力功量度彈性勢能的變化 即
,
, ,
‘不 空 時計 氣阻力 , 反彈起來 的高度為原來 的 要使 一 一 ,尋 ,引力功量度引力勢能的變化 即
,
皮球反彈 回高 處 求每次拍球需對球做的功 ,網(wǎng) 一 內(nèi)
,
分析與解 皮球 的能量損耗 在與地碰撞 的過程 電場力功量度電勢能的變化 即
,
中 在球與地面接觸期 間 地面對球 的彈力對球 做負 磷 一 問 一 叫
, , , ,
功 使球的動能減少 在從 高處 自由下 落的情 況下 非重力和彈力功量度機械能的變化 功能原理 即
, ,
地面彈力功設(shè)為 對全過程有 非 一 三 一
,
一 ,
一 一 了不 九 牛 , 這是我們對功與能之間關(guān) 系的一些 具體認識 并
任 任 籍此對運動的量度作出正確的操作
,
在從高 處被拍擊后下落的情況下 地面彈力功設(shè)為 ,上述功對能量轉(zhuǎn)化量度的對應(yīng)關(guān)系 中 動能定理
,
則有 是最常用的一條 應(yīng)用動能定理建立方程 的具體操作
拍 , ,一 一 一 明 一 拍 步驟是 選定研究的對象與過程 在受力分析的
, , ,
所 以求出 就可得每次拍球要做的功 亦 即球需獲 ,基礎(chǔ)上 確定有哪些力對研究對象做了正功或負功 以
,
得的初動能 但是地面彈力功是一個變力功 很難直接 代數(shù)和的形式完成定理中等號左邊對合外力的功的表
、 ,
用功 的公式去求 那么兩 次與地碰撞過程 中地面對球 述 分析所研究過程的初 未兩狀態(tài)的動能 完成等
,
做的功是否相同 即 一
, ,
嗎 或者說 兩 種情 況 號右邊對動能變化的表述
, 一 ,
下 球在與地碰撞中損 失 的動能是否 相 同 結(jié)論是否 例 如圖 所示 一水塔的蓄水箱底離地面
。
一定呢 牛頓在研究碰撞問題時總結(jié)實驗結(jié)果提出碰 的高度為 一
,
其橫斷面是
。 、 。 ,
撞定律 若兩球碰撞前速度依次為 仇 碰撞后 速 半徑 一 的 圓 儲水 深 一
, 、 , , , 、
度為 則兩者的分離速度 仇 一 與碰撞前兩者 如果用裝在高 一 處 截
。 。 , “ ,
的接近速度 勸 一 成正 比 比值 。 。 稱恢 復(fù)系數(shù) 面積為 的水龍頭放水 問需
, ,
或反彈系數(shù) 比值由兩者的質(zhì)料決定 即 要多久才能將水放完 愉恩
一 分析與解 水箱 中的水從底
,
勸 一 部截面積為 的小孔流出 若流速
,
在我們的問題中 球?qū)Φ氐慕咏俣染褪乔蚵涞?認 , ‘ ‘為 則時間 內(nèi)的水流量 一
, 下, 私
速度 而分離速度 即起跳速度 因 為地 的速度 為零 現(xiàn) 隊‘ , 總水量 全部流盡 的時 間
在我們可 以 根據(jù)兩種情況下球與地碰撞的恢復(fù)系數(shù)相
一 、 我們先根據(jù)動能定理推導(dǎo)
同為等量關(guān)系列出下列方程 即 一
一 , 圖
出小孔流速 如圖 所示 一容
,
器底部小孔截面積為 容器 內(nèi)
,
液體深為 密度為 取正欲從
小孔流出的一液片考察 若其厚
·
△ △二 , ,
。 。 △一 、 則質(zhì)量為
由此解得 音 其上表 面受 到 向下 的壓 力 上 一 一 二 二 一 一
、 。
二 功能關(guān) 系面面觀 一 尸 下 表面則受 到
, 。 ,
功是力的空 間積 累作用 能是 對物體運動的一 種 向上 的壓 力 下 一 式 中 一圖
,
量度 功的作用效應(yīng)是使物體的能量狀態(tài)發(fā)生變化 做 為大氣壓強 若液片離開小孔時
, ,
功的過程就是物體能量轉(zhuǎn)化的過程 轉(zhuǎn)化了的能量都 速度為 由動能定理得
· ·
△工 “ △二
· , ,
一 鏟
合 代人題給數(shù)據(jù) 得兀 又 又 、 ,
一 一 一 典
一 又
可得 在麗 欠 一 礴 抓殆賈麗 任
,
這里 小孔流速大小與液面距小孔高度 有關(guān) ,上面對每一層水流 出時間的運算中 我們用 到了
,
現(xiàn)在 回到我們的水塔 如同在例 中曾經(jīng)的做法 “一個常用的近似處理 對牛頓二項式 的展
,
將 深 的蓄水箱儲水均勻分成 層 如 ,開式取前兩項作為近似—值 即
界
, , 一 二‘ 一 。 兀 “一 尺 ,
圖 所示 每層水的容量 一 二 ” 十
了 幻 口二 一
丫 ,例 質(zhì)量為 陰 的小球 以某一初速度豎直上拋
,
故可認 為每層水以相同流速流出 “ , ,
注 若運動 中所受阻力 凡 一 最大阻力為重 力的
, · 、 · ,
水龍頭 則 一 認 其中 隊 是對 ,倍 試求小球上升的最大高度 及落回拋出點時 的速
應(yīng) 于第 ‘
,
層水從水箱流出時 龍頭處 的 ,
度
“ ” ,
小孔流速 它表述為 , ,分析與解 這個問題中 有兩個力對小球做功 即
, ,
一
圖 重力與阻力 重力功為保守力功 阻力則做耗散功 并
,
且阻力是變力 故本題用微元方法求解
, ,
是放出該層水所需的時間 于是每層 水放 出時間的 , ,
這里 我們先介紹一個重要的極限 即
通項式為
一 。與一
, ,
現(xiàn)在 取上升過程中的某一元過程 該過程小球上
, 、 , 、 , ,
洲
” , ” 、 , ,升了爹‘ 速度從 減少為 由于廿 “ 各
,
那么 全部水箱儲水放盡的時間為 , ,
元過程中的阻力可視為不變 即 凡 一
’
合外力為
,
藝只 一 ‘
,
根據(jù)動能定理 對該元過程有
切 。、 、 , ,絲 一冬 礦 一
認 一 刀 巨
,
兀尺 占 “ 望矛
一 一二二二 乙 〕 、
” 。
了 ‘一 ’—
,
。 , 對該式變形氣 有丫 月 十 一 月 一 ” 干
十 , 一 一
兀尺 全生 勸 碧
了 入一
, 月 “萬 刀
十 認
十 勸 尹刀
‘
一 、 一一一立一一 ‘ ,
’ 一 。 十 一 明 彗 ’ 一 戶刀
, ,
至此 物理問題 已然解決 下面是運用數(shù)學(xué)工具求 , 、 , , ,一 一 、 一 矛
, ,
,
數(shù)列和極 限 為方便 起見 令 一 。 。一 田一牛 工八川 得翔 仕一 青
柏 洲 俐 上井 向度干誠兀 甲 田
氣月 。州卜 一一月 一 少 于 ‘ ,合外力大小 藝 近似恒定不變 因而動能的增量是
,
興 則有 , ,· , , 二 , 成等比數(shù)列遞減的 其公比為 一絲旦 于是有
全工 ·
” 藝 、 上
卜 , 三 謂黯碧舒 一 卜槳
一 一
一 魚
一
絲
全生 命 瞥
·
月 、以 反、 刀 ‘一
合 令 ,兩邊取極限 得
, 、 二 , , 、
· · 針
一 全生 “ ‘合 令 又 , 一下 氣獷一 少 氣 少。 “ 一 一行偉 入萬 】 一 十 左勸 、 —勿, ,
,
“ 十 十 十 刀 ’ 注意到小球拋出時所受阻力最大 合外力為
,
一 生州
一 下下 刀
” 李 , 二 ,乙 上升到最高點時速度為零 合外力的大小為 以及
, ” ·一 ‘十 。 ,
一
一 下廠 一丁 又 生 一 得
乙 ” 刀“ 一圖 一乙 備 之 士漢
兀尺 · , ·一
‘ 左邊一或雇而弄索無示 備 卿架黔 群
一 · ·
卿瑟潰豐魔 一纂償豐黔 畢竿 其中 夕, 州廣 況場一一
, 以
幾菇 解 上各式得深是砰 一 工儡奮
九 二 , ,
右邊 一 一 一備‘一絲宜 臀 從二二 亡 爪
、
, 工 ,刀 即 尸 兩點的高度差總等于釋放點 尸 與球心高
叫 一月 ,
一塑進一 度差的三分之一 若 等于 即質(zhì)點從球頂部無初
, 二 , 、 ,,
, 一 一 一
,
匕一 速滑下 則可沿球面滑過 下丁 陰 公從 種放 局 度
于是求得 一 竺
,
越小 在球面上滑過的弧長亦短 這是一個有趣又有用
, ,
在下落階段 我們用 同樣的方法 對下降第 藝個元 的模型
、 二 二二 , 、 , , 、
一 一 一 一 、
向 ,厭萬陰兀雙性結(jié)出 叨能正理表邁式 即 三 初涉元功法
,
取元功作微元 以 功能原理為基本物理規(guī)律求得
·
肋 ,一 一 一 , “ ” ,一類物理問題解答的方法 我們稱之為 元功法 從下
, ,
一 認一 , 面展示的例解中 讀者將發(fā)現(xiàn) 用元功法可 以處一 理某些、
變形 整理后得 絲絲 ,陰 一 平衡問題 并且頗為簡單
一 , 、
,
兩邊取 次方 得 例 如圖 所示 質(zhì)量為 長度 為 的均
,
產(chǎn)絲二三李 一 絲絲 竿 勻柔軟粗繩穿過半徑為 的滑輪 繩 的兩 吊 天半 撒 端 在 花, ,
明 一 紀析 幼 板上的兩個釘子上 兩釘間距離為 滑
, , ,
兩邊取極限 并注意到初始時 最高點 合力為 。 回 輪軸上 掛 一重 物 重 物 與滑 輪 總質(zhì) 量 為
, , ,
到拋出點時合力為 勿 一 討 得 且相互間無 摩擦 求繩上最低點 處
張
芹 的 力 、一 一 分析與解 分析粗繩 滑輪和重物構(gòu)
,
兩邊取對數(shù)得 嬰 成的系統(tǒng)的受力情況可 知 懸點 處‘
乙左 。 一 訪
,
繩子的張力 幾 分析繩之一半
卜 一 一
麗川 一 , 一
竺 圖
一
例如圖 中所示 段受力情況是
陰 合一
,
,
普 這段繩的重力 處釘對繩 的拉力
, 處繩之張力
產(chǎn)
陰 一 認
。 及 段滑輪的正
,
壓力 現(xiàn)設(shè)想在 處 以力 將
一 ,
解得 了平黯 班黯 段繩豎直向上拉過一極小距離 △ 在此微 動過, · ,
程中 幾 所 做 元 功 △
, 一 幾 八刃 所 做 元 功
將 端一 代入上式得 ·△ 。 ,一 △ 正壓力不做功 繩勢能增加相 當(dāng)于
, ,
一萬 端長為 △ 的一段繩元移至 , 處 即為竿 其 中
故小球落回拋出點時的速度是拋出時速度的冬 ,是 到天花板的垂直距離 即
‘
一 雙尺
例 一質(zhì)點位于光滑的固定半球面上距球心高 。月 一找十 一一下萬一一
乙
,
度為 的任意點 尸 處 在重力作用下質(zhì)點由靜止開始
由功能原理得
, , 、
往下滑 從 點離開球面 求 尸 兩點的高度差
△二 一 △二 一 全 塑二
,
二
一 , 幾 李絲
分析與解 如 圖 所示 質(zhì)點從 尸 處運動 至 衛(wèi) 洲藝 一 乙
, ,
處 除重 力外 無其他 力做 即得
,
功 是一個機械能守恒的過 兀 ·一 陰
一 獷程 重力勢能的減少等于動 ‘
一
能的增 加 質(zhì)點 在 點 只 ,例 如圖 所示 一輕質(zhì)三足 支架每邊長
, ,
受重 力 設(shè)球半球 為 質(zhì) ,度均為 每邊與豎直線成 同一角度
一
, , ,
點速度為 由機械能守恒 圖 三足 置 于 一光滑 水平面 上 且 恒
定律得 成一正三角形 現(xiàn)用 一繩 圈套在 三
。 。 ,一粵 鏟 足支架的三 足上 使其不 能 改 變與
,
‘ 豎直線間 的夾角 設(shè)三 足 支架 負重
在 點的動力學(xué)方程為 ,為 試求繩 中張力
, , ’ 分析與解 分析支架 受 力 由 一
萬 圖,
于負重受 到重 力 ‘ 支架 的每邊 足
部同時受到兩側(cè)繩的拉力 了
, , ,
易得其合力為萬 方 經(jīng)過若干次碰撞 最后兩個鋼球一直處于接觸
,
,
向指向三足構(gòu)成的正 三角形 的幾何 中心 支架三邊足 狀態(tài) 下 運 動 試求 由于 甲
部受水平地面支持 力 、 此力方 向豎直向上 現(xiàn)設(shè)想 碰撞而失去的總能量 為 占 ·
支架各邊足部在涯 力作 用下 向正三角形 中心移動
多大 怡
,
一極小位移 △二 因而支架的高度升 了高 △
,
則在此虛 從一個容器里 向
,
, , 、 , 外抽空氣 直到壓 強 為擬的微動過程 中 萬 力有一元功 力不做功 負 ,容器上有一 小孔 用
重重 力勢能增大 對系統(tǒng)用功能原理得 黔
塞子塞著 現(xiàn) 把塞 子 拔
· · ,
萬 △ 一 。 , 么 ,掉 問空 氣最初 以 多 大 一圖
上式中 支架升高 △ 與 △ 關(guān) 速率沖進容器 設(shè)外界
一 ,
系如圖 圖中支架一邊位 。 ,大氣壓強為 大氣密度為
‘ ‘ , ,
置從 變?yōu)?作 ’’上 ,
質(zhì)點的質(zhì)量為 。
,
被固定中心排斥 斥力的大
, ’ ‘ , ,
上 由于 △ 很小 。‘邊 一
小 一產(chǎn)勿
,
其中 為質(zhì)點離開此中心的距離 在開始
,
轉(zhuǎn)過的角度 △ 也很小 故可認 , ,二 ,時 求質(zhì)點經(jīng)過位移 時所 達 到 的速度
,
為石下 一 石了 且 ’’邊 與豎 直 大小
, ‘
方向夾角為 口 則有 , , 一葷訓(xùn)中 戰(zhàn)士距墻 以速度 起跳 如圖
△定 一 △夕 , ,所示 再用腳蹬墻面一次使身體變?yōu)樨Q直 向上 的運動
一
·
△ 一 △ , 圖 ,以繼續(xù)升高 墻面與鞋底之間的靜
于是可得 摩擦因數(shù)為 產(chǎn) 求能使人體重 心有
· · ·
萬 公一 如 氏 、最大總升高 的起跳角 民
夕 、質(zhì)量 長為 的光滑木
凡 為
萬 ,板放在冰面上 在木板 的一端坐著
、 , “ ‘
通過例 兩道題試解 我們可以歸納出 元功 質(zhì)量為 叨 的小貓要跳 到板的另一 卜—一叫
”
法 處理平衡問題的基本思路 取與原平衡狀態(tài)逼近的 , 川 一端 問小貓對冰面 的最小速度 場 圖
, ,
另一平衡狀態(tài) 從而虛設(shè)了一個元過程 此過程中所有 應(yīng)為 多少 小貓 欲一 次跳 到板 的
, ,
元功之和為零 以此為基本關(guān)系列 出方程 通過極限處 ,另一端所消耗的能量最少 問它的初速度 應(yīng)該與水
,
理 求得終解 這種解法所循基本原理是分析力學(xué)中的 平面成多大角
“ ,
虛功原 ”理 該原理是 由伯努利首先提出的 跳水運動員從高于水面 的跳 臺 自由
, ,
落下 運動員的質(zhì)量 一 其體形可等效為長度
哮灘墉破屏乎別 、一 直徑 一 二
, ,
的圓柱 體 略去 空 氣阻 力
將木板在 水平地 面上 繞其一端轉(zhuǎn)動的角度 為 運動員人 水后 水 的等效 阻 了
, , ,
求所需要做的功 木板長度為 質(zhì)量 為 木板 與 ,力 作用圓柱體下端面 力
地 面之間的動摩擦因數(shù)為 熱 的大 小 隨人 水深 度 變
、
一質(zhì)量為 。 長為 的柔軟繩索的一部分平直 一 ,化如 圖 所 示 該 曲線
,
地放在桌面上 另一部分跨過桌面邊緣 的光滑定滑輪 , 一
近似為橢 圓的一部分 長軸 匕圖
, 一 ,
下垂 如圖 所 示 柔繩 與桌 ,
和短軸分別與 和 重合 為 了確保運 動員絕對
面間的動摩擦因數(shù)為 陣 ,
安全 試計算水池中水的深度 至少應(yīng)等于多少
,
柔繩能由靜止開始下滑 , 一 ,如圖 所示 有兩個薄壁圓筒 半徑為 的
求下垂部分長度至少多長
圓
一 筒 繞 自己 的 軸 以 角,
由這一位置開始運動 柔 圖 。 ,速度 轉(zhuǎn)動 而另一個
繩剛離開桌面時的速度多大 設(shè)桌面足夠高
圓筒靜止 使兩 圓筒相
一 ,
如圖 甲所示 把質(zhì)量均為 的兩個小鋼
接觸 并且 它 們 的轉(zhuǎn) 軸
, ,
球用長為 的細線連接 放在光滑的水平面上 在線 , ,
平行 過 一 會 兒 由于
, ,
的中央 處作用一個恒定的拉力 其大小為 其方向
摩擦兩 圓筒 開 始 做 無 一
, 圖
沿水平方向且與開始時連線的方向垂直 連線是非 常
滑動的轉(zhuǎn)動 問有多少
,
柔軟且不會伸縮的 質(zhì)量可忽略不計 試求 、
機械能轉(zhuǎn)換成內(nèi)能 兩圓筒的質(zhì)量分別為 ,
,
, 一 ,
當(dāng)兩連線 的張角為 時 如 圖 乙 所示 一 ,
如圖 所示 厚度不計的圓環(huán)套在粗細均
在與力 垂直的方向上鋼球所受的作用力是 多大 、 , ,
勻 長度為 的棒的上端 兩者質(zhì)量均為 圓環(huán)與棒
, ,
鋼球第一次碰撞時 在與力 垂直的方 向上 ,
間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力 大小
鋼球的對地速度為多大
, ,
為一常量 棒能沿光滑的豎直細桿 上下滑動 棒與 設(shè)柔繩恰 由靜止開始下滑 時下垂部分長度
, 。 ,
地碰撞 時觸地 時 間極 短 且無動 能 為 則
,
損失 設(shè)棒從其下端距地高度為 , 、
名 一 嚴 、‘ 尹
’
, 甸 一
處 由靜止 自由下 落 與 , 劫她經(jīng) 次碰 丁 丁
撞后 圓環(huán)從棒上脫落
分析棒第二次碰地 以 前 的血 左十召 ,
, , 設(shè)柔繩剛 開 面時的速 為 面為
過程 中 環(huán)與棒 的運動情況 求出棒
離 桌 度 取桌 零
一 ,
, 圖 勢能面 由動能定理得
與環(huán)剛達 到相對靜止 時 棒下 端距
。 一 ,
地高度 公 一 , 廠 一下 十陰 二 一 一 二獷 丁 ,
乙 ‘ 乙 乙
、 、 、
求出 四個量應(yīng)滿足的關(guān)系
一 。
, 其中摩擦力對 段繩做的功為
鋼球沿著光滑的長梯彈跳 在每一級臺階上僅
。 , 一 產(chǎn) 一 。
, 一
跳一 次 如 圖 所 示 每 獷 ,— 乙
,
次與臺階碰撞時 球要損失 ,
一 產(chǎn) 一
。 ’明 一 ’則 鏟
一 。 的機械能 試求小球 爺 警 專 合
拋出后與臺階第一次碰撞前 ‘,
。 衛(wèi)生 代人 。 一
的初速度 及其與豎直線的 將 一 —產(chǎn) 價霖
夾角 甲 梯 子 臺階的高度 、 一 。
。 , ,
, 又 戶 , 二。 寬 乙
一 。 , ,如圖 所示 的曲 設(shè)鋼球第一次碰撞時沿 力 方 向速度為
一
, 圖 , , ,
柄連桿機 械 中 設(shè) 曲柄端 垂直于力 方 向速度為 設(shè)力 的位移為 由動
,
上所受的豎直力為 由活塞 上所受的水平力 尸 維 能定理得
, 、 ·
持平衡 試用元功法求 尸 與 的 比值 圖 中 月為 已
,
一
合 、 弓卜 、 咪知
在力 方向上根據(jù)牛頓第二定律得
二 ,
陰 , “ ,
一 即 鑄 —氣 一 少
代人前式可得 、一
, 裸 , ,
達到終態(tài)時 兩球 巧 力 總位移為 則
一 冬 諾十 △
一 一
圖 圖 乙
。 , , , , 、
一 , , 一
如圖 所示 均勻桿 扒 重 能在豎 直 一 乙 又尸一 氣入 一 乙 寸 凸乙 ,
乙刀誣
,
面內(nèi)繞固定軸 轉(zhuǎn)動 此桿的 端用鉸鏈連住另一重
△ 乙
, ,
的均勻桿 在 桿的 端施一水平力 試用 一 , ,
如圖答 所示 設(shè)小孔截面積為 打開塞子
元功法求二桿平衡時各桿與水平方向所成的角度 及
后小孔外側(cè)厚度為 △ 的一薄層
月 、
空氣在內(nèi) 外壓強差作用 下 沖人
, ,
容器 獲得速 度 由動能 定理
參考答案 得
。
, 一 , △二 一粵 △
,
端 一圖答
, 、
一 一 一 山 。 心
, ,
如 團 合 沙 所不 取 △ 一 ‘萬 弟 段筑驪息 場 一
,
轉(zhuǎn)過 角 克服摩擦力做功為 嚴儼
,
, ‘
一產(chǎn) ’ 斥力為線性變化力 其功干 干 一 ,
如圖答 所示 所求功為圖中
則對木板的功為 “ ” ,劃斜線部分 面積 即
一
一 名產(chǎn) 圖答 一 。 。 。
, 沖 改 丁名 — 令
‘
產(chǎn) 名 一 。 “ ’號
刀一 一
, 圖答
一產(chǎn) 習(xí) 產(chǎn) 根據(jù)動能定理 得
· 〔
。 浮
,
一 ①
普 一合 ‘ ,其中重力功 一 陰不 ②
且 一 。 一 、杯雍 阻力功根據(jù)圖 所示的曲線與 軸所 圍面積即
, , ,
設(shè)抵達墻時戰(zhàn)士速度為 蹬墻后速度為 了 各 “為四
”
分之一橢圓 面積 得
一 , · ·
矢量間關(guān)系如圖答 所示 從起跳到 了 明 、
腳蹬墻時和蹬墻后 以速度 ’上升至最高 一令 號
, ,
, ,
處 分別應(yīng)用機械能守恒 得 人水過程中 浮力為線性變化力 故
, · · ,
一 , ,一合
“ ‘ 等、跳 一 鏟
一 二一萬一 長一’ 完全人水后浮力功為
’ 成
一 鏟 浮
蘭生一一止立一上一蘭一 , ① 一 一
一不一 氣九 ,
一 一
’ 圖答 任
, , , , 、
一
由圖答 有 改 浮 一 一 一下一 ‘
“
尸 九一 二獷 田
仇 夕 ’ ,
任 ‘
一
、 、 ,
‘ 產(chǎn) , 將 ② ③ ④式代人 ①式 整理可得一 夕 夕一
兀
其中 ‘
, 。 、 ,一 幻裱渝刁將 ’代人 ①式 整理后得 兀一
, ,根據(jù)題意 一段時間內(nèi) , 線速度從 創(chuàng)尺 變 到
一 ·‘· “ ?！?。 “ ’一 “ 。
化
蠢〔
, 〕 。 , ,而 線速度從零變化到 吶 叭 這種變化是
,
產(chǎn) ‘ ,一 ‘, , 一 , 一 因為兩者間有大小相等的一對力作用 即
?！?夕 去 , 」 創(chuàng)尺一田一 叭
, ‘ 一 一 ,
。 , 一 一一萬一一 執(zhí) 萬可知 當(dāng) 去時 得一 工 陰由上式得 。 ·,
二 而 田
一 一 絲一粵碧 、 對系統(tǒng)應(yīng)用動能定理得
, , 一 、 , 。 一 , ,貓消耗能量 使貓及木板獲得初動能 即 ?；?粵
,
珠 一粵 端 令蒯 刀孟】 田
,
寫出貓消耗能量與 “方向夾角 間的
函 陰數(shù)式 從中求 功
,
出最值 起跳時間 內(nèi)二 與 間水平方向相互作用力 “由機械能守恒可得 棒第一次碰地 以前速度 、 , 、, 甲大小相等 故有 愜石萬 棒與地相碰后 瞬時速度大小不 變 方
, ,
七 。 住 , , 刃 向向上 加速度為 向下 棒做勻變速運動 環(huán)
一 ‘
’
一丁一 ” 丁 , ,速度也為 一 砂驪育 方向向下 加速度為 一 方
刀硯 口 ,
’ 向向上做勻變速運動 環(huán)與棒的相對運動初速度為 相麗一
, ,
一 冰百萬 方 向向下 相對加速度
相 一 方 向向
貓從跳離板一端到落至板另一端歷時為
,
, 上 到相對靜止時環(huán)相對棒下滑的距離為一 全些竺竺 二 、
星二坦相
這段時間內(nèi)貓對板的位移滿足
,
,一 、 。。 · 一 刃 。
竺齋燮 歷時 二塑相 漂
,
由此得 一 乏 石誣石石 環(huán)與棒的共同速度為麗齋條 ②③ , 一 梅面萬一 庵一
一 一麗了 漂一 ,棒從地面向上到與環(huán)相對靜止的過程 中孕一對摩擦力
、 ,
將 ② ③兩式代人 ①式整理 得 , 、 ,做負功 重力分別對環(huán) 棒做負功 由動能定理得
明 , , 、·
乓 。 材 〕 一 七 一陰 一幼 內(nèi) 一 叨 吸 一 幾戶 ,
況 左
, ·
時 有 ,, 一 。
利用基本不等式性質(zhì) 當(dāng) 一丫黔 喜 玉亙 粵
了厄妥萬
藝 左 乙 一
、。 罕福惡 解得棒下耗 端距地高度為一 , ,一
一丁言 」」
,
對全過程應(yīng)用動能定理 得 ‘龍
棒與環(huán)一起第二次落地時速度仍 由機械能守 。且 月
】, 了 ‘ 八 一
一 日
恒得 角
、 。 。 , , ,一 。 在 點發(fā)生位移 八 的時
下廠 又乙陰 一
“
十 乙功 幾萬一 月 一 下廠 、乙功 勸 一 ,△
‘ 憶 ‘ 間 內(nèi) 點在力 方 向
州 , 發(fā)生位移大小為
韶平 △ ,一 縱 △
·
。 那么 鯉 月
此后相對滑動 為 厚 △ 一戶泛云 一 一麗 根據(jù)元功法有 圖答
, 。 、 、 、 · ,則若在碰 次后環(huán)脫離棒 四 個量應(yīng)滿 尸 △ 一 △
足的關(guān)系為 衛(wèi) 些畢澳止二嬰尹一產(chǎn)月一幾
,
二 氣
少
華 典 弄 半 一 一
尸
“ “ ’ ’“ ” 去 一”一 ‘ 、一 一 如 圖答 所 示 設(shè)力 作 用 點 的 坐 標(biāo) 為
, , ,
, 用
典 ” 力 作 點坐奧 標(biāo)為“ ’ ’ 劣” , ,” 力 的作用點 坐
口一 一 ” 二 , ,一 一
下二 一 標(biāo)為 由元功法得即” 共”一 舟毛好六 夭月一 一 云
下
十 ’ 一 , ’一 · ·△ 一 △ , 認 △
,
根據(jù)題意 第一次與平臺碰撞前后有 、
’
,
粵 鏟 。 一 ,
起 頭 甲 一 一萬一
‘ ’ ‘ “ 尹 一 粵’ ‘
一 一 她 一
‘ ’一
涯 萬一
一
, 圖答
即。 一、 等 一 ’, 腸 , 口
‘ , ’
,
式中 、 表示鋼球起跳速度 設(shè)其方 向與豎直方 向的 一萬一
, ,
夾角為 由于鋼球在長梯上 的每一 臺階只能跳一次 口
‘ “ , ’十一萬一
故可近似認為鋼球每次與臺階碰撞前后的均有
二 、
·
刃落 ,一 落 起 起
夕
少 ,
而且每一跳中均有 夕
, 一 。。 , 一 。起 , 由此可得粵 △ , 一 一加 一 司 〔田‘ 尹一邸 一姍 月
· ·
·落 · ,。 一 一 △ 月 △盡
合 音、 △, 一 〔·、 、普 一 一 , 〕
一 二 △一
落 令
得 一 瑰 涯
如 一 , 〔
· 。 ·一匆 、
·
、 ‘鋼球每一次飛行時間為 一 夸 、、〕
, 。 · ·‘ △
落 一甲
一 專一 , 邸
由圖答 所示—矢量關(guān)系可得 一起 , 將以上各項代人公式得鰓 滬 · · ·
仁 △ 召 △月
一“ 起 。 產(chǎn) ,一 一告 一 工 。。 。 ‘ 。二 、 。 · ·令 夸一 ,
△
,
即 , 甲一 甲
一 ·
圖答 ‘ ·‘ · , △·
代人題給數(shù)據(jù)解得 即 〔 一 夸 一 〕
, · 一
二 。 一 二 。 一 ,音 。?！?·一 〔 夸 ,
一 , 、
,
后一解說明起跳速度變?yōu)樗?除鋼球落在拐點 、 ,
因 △ 邸是互相獨立的 等式成立必須滿足,
情況外 應(yīng)舍去此解
“ 一 一 ,
設(shè)活塞 即連桿的 端 以速度 通過一微 一 一
△ , ,小位移 與此同時 連桿 端 以速度 么 繞 點通 咒 戶 ,
, ,
過一小段弧 如 方 向與曲柄 垂直 且 是 與 相 同 切 “萬 一
‘ 川 月一
。 ,
的水平速度 及對 點的轉(zhuǎn)動速度 的矢量和 由圖 , 。 。 。 , , 。旦土里旦 。 里
一 , ’
’ ’
一 一 一一 ‘答 所示 應(yīng)有關(guān)系 戶 戶
釗 此即平衡時二桿與水平方向所成角度關(guān)系
。
一口 一 一口第33卷第9期
中學(xué)物理教學(xué)參考
Vol 33 No 9
2004年9月
Physics Teaching in Middle Schools
Sep.2004
競賽輔導(dǎo)
專題4矢量圖解運動問題
沈晨
線段未端重合,即從同一點出發(fā)分別畫出兩相減矢量
歌你一于
由B的有向線段箭頭畫到A矢量箭頭的有向線段即
、矢量加、減運算的圖示
為R(如圖4-1(c)).運用這種方法可以進行多個矢量
矢量的加、減運算,即矢量的合成與分解是處理物的連續(xù)相加或相減.我們可歸納如下
理問題必備的數(shù)學(xué)方法.矢量加減依據(jù)平行四邊形定
圖解方法求矢量和:相加各矢量依次首尾相接后,
則,也可簡化為三角形(多邊形)法.其圖解方法如圖連接第一個“加數(shù)尾與最后一個“加數(shù)”頭的有向線段
4-1,若已知矢量A、B、(如圖4-1(a)),當(dāng)求R=A+B,即為各矢量之和.
即作矢量的加法時,可將A、B兩矢量依次首(有向線
圖解方法求矢量差:末端共點地分別作相減二矢
段箭頭)尾(有向線段未端)相接后,由A的尾畫到
量,連接兩箭頭、方向指向“被減數(shù)”的有向線段即為該
二矢量之差
、運動的合成與分解
當(dāng)物體實際發(fā)生的運動較復(fù)雜時,我們可將其等
B
R=A-B
效為同時參與幾個簡單的運動,前者稱作合運動,后者
則稱作物體實際運動的分運動.這種雙向的等效操作
過程叫運動的合成與分解,是研究復(fù)雜運動的重要方
的首的有向線段即為R(如圖4-1(b));當(dāng)求R=A
法.運動的合成與分解遵循如下原理
B,即作矢量的減法時,通常將表示A、B兩矢量的有向
1.獨立性原理構(gòu)成一個合運動的幾個分運動是
彼此獨立、互不相干的,物體的任意一個分運動,都按
繞地球運動,而不落回到地面上來.牛頓的草圖指出了驗的進展數(shù)學(xué)方法的進展相比,的確是微不足道的
實驗發(fā)展的一種預(yù)見性,這在牛頓時代是一種可能性,但是在人類進入20世紀的時候,思想實驗突然被頻繁
在今天變成了現(xiàn)實
地運用起來.愛因斯坦提出了狹義相對論,當(dāng)人們的思
在物理競賽中有這樣的一個問題:假設(shè)地球是
想離開伽利略大船的船艙,來到愛因斯坦火車的時候,
個密度均勻的球體,在地球上開鑿一個穿過地心的直關(guān)于同時的相對性、關(guān)于尺縮效應(yīng)……關(guān)于高速世界
隧道,讓一個物體從洞口自由下
里才可能發(fā)生的一個個奇妙的情景,被愛因斯坦用思
落,討論物體在洞中的運動形式
想實驗論述得合情合理.玻爾和愛因斯坦關(guān)于量子的
及其周期(如圖3).這個問題不
概率解釋進行爭論時,他們用思想實驗進行的論辯,讓
能看做是一種脫離實際的游戲,
人們看到世界上第一流的科學(xué)家是怎樣暢游在理念的
這是一個同樣會出現(xiàn)在科學(xué)家
世界里.在科學(xué)發(fā)展到今天,人們建立了大爆炸宇宙模
的腦海里的思想實驗.今天的人
型,當(dāng)代理論物理學(xué)家霍金在對我們這些普通的人演
們是無法建成這樣的隧道的,至
講中談到,世界是十維的,并說了一句意味深長的話
于將來是否有可能造成,現(xiàn)在誰
圖3
我們看到的世界就是火光照在山洞壁上的影子啊!
也不能妄下斷言
主要參考文獻
伽利略創(chuàng)立近代科學(xué)時用的三個方法,即實驗方
法、數(shù)學(xué)方法和思想實驗方法,被其后的200年中的科
黑格爾.哲學(xué)史講演錄(第二卷).北京:商務(wù)印書
學(xué)家繼承的主要是前兩個方法.思想實驗的進展與實館.1997
59第33卷第11期
中學(xué)物理教學(xué)參考
Vol 33 No 11
2004年11月
Physics Teaching in Middle Schools
Nov,2004
競賽輔導(dǎo)
專題6動力學(xué)特殊問題與方法
沈晨
教你一
17
5188-g
g
由圖6-2可知,繩的加速度(即重物加速度)與人的加
這里,我們要介紹動力學(xué)的幾個特殊問題及處理速度同方向,則繩相對于人的加速度
方法
質(zhì)點系的牛頓第二定律
4繩對人=am
g
g
牛頓第二定律也可運用于由加速度不同的質(zhì)點組
例2如圖6-3所示,滑塊A、B質(zhì)量分別是m
成的系統(tǒng).設(shè)系統(tǒng)中各質(zhì)點的質(zhì)量為m1、m
和mB,斜面傾角為a,當(dāng)滑
mn;系統(tǒng)以外物體對系統(tǒng)的力有F1、F2
塊A沿斜面體D下滑,滑
F,這些力可能作用在系統(tǒng)內(nèi)不同的質(zhì)點;系統(tǒng)塊B上升時地板突出部團D
各質(zhì)點的加速度分別為a1、a2……a,……an,則有
分E對斜面體D的水平壓E
∑F,=∑m;a
力F為多大 (繩子質(zhì)量
圖6-3
與單獨質(zhì)點的牛頓第二定律一樣,上述關(guān)系具有及一切摩擦不計)
矢量性、瞬時性、獨立性且有相同的適用范圍
分析與解題目要求確定地板突出部分E對斜
在處理靜力學(xué)問題時,我們曾講到選取研究對象
面體D的水平壓力F,我們的思路依“盡量取整體”應(yīng)
般應(yīng)遵循“盡量取整體”的原則,以回避對象各部分
首先選定A、B、D構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對象,對這個系
間相互作用的“糾葛”關(guān)系;在處理動力學(xué)問題時,質(zhì)點
統(tǒng)而言,水平壓力F只引起質(zhì)點A水平方向加速度,
系的牛頓第二定律使我們對那些各部分加速度不同的
因滑塊B、斜面體D在水平方
質(zhì)點系也能用整體方法去解決
向加速度均為零.只要求出質(zhì)
例1如圖6-1所示,跨過定滑輪的一根繩子
點A的加速度,其水平分量唾
端系著m=50kg的重物,一端握在質(zhì)量
手可得,為了求A的加速度,
M=60kg的人手中.如果人不把繩握
我們可另取以繩相連的A、B
圖6-4
為研究對象,在圖6-4所示坐
死,而是相對地面以a=18的加速度下
標(biāo)中建立牛頓第二定律方程
降,設(shè)繩子和滑輪的質(zhì)量、滑輪軸承處的
對A、B、D構(gòu)成的系統(tǒng)有F=m3ax;
摩擦均可不計,繩子長度不變,試求重物
對A、B構(gòu)成的系統(tǒng)有
的加速度與繩子相對于人手的加速度
圖6-1
magin ambg=(ma +mB)as
分析與解本題中,人與重物通過繩相關(guān)聯(lián),若取又有
ar=acos a
人、繩、物組成的系統(tǒng)為研究對象,則可不
由上三式易得
m A sIn a mB
gcos
必考慮人與繩之間的相互作用,根據(jù)系統(tǒng)
mnB
的牛頓第二定律,在圖6-2所示坐標(biāo)軸上
我們看到借助于質(zhì)點系的牛頓第二定律,一些聯(lián)
建立運動方程為
結(jié)體問題的解答大為簡化了
mg
Mg-mg=ma +mam
二、加速度相關(guān)關(guān)系
Mg
于是可得
繩、桿等約束物系或接觸物系各部分加速度往往
M(g-a
圖6-2
有相關(guān)聯(lián)系,確定它們的大小關(guān)系的一般方法是:設(shè)想
g
物系各部分從靜止開始勻加速運動同一時間△t,則由
45第33卷第8期
中學(xué)物理教學(xué)參考
Vol 33 No, 8
2004年8月
Physics Teaching in Middle Schools
Aug.2004
競賽輔導(dǎo)
專題3平衡問題探啊
沈晨
線所示位置.該圖中,C為蛋的質(zhì)心,偏轉(zhuǎn)后的質(zhì)心位
心歌稱一留
置在C,O為碗球心,a、B分別是弧長MN所對蛋尖圓
和碗球的圓心角,
物體平衡的種類依稍微偏離平衡位置后是否能在即MN=B=b,
原位置保持平衡而分為穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡,能在其他幾何關(guān)系如
C
隨機位置保持平衡的則稱隨遇平衡控制物體的不同圖所示
平衡態(tài)勢,增大物體平衡的穩(wěn)度是有趣又有實際意義
解法
考
的事
察質(zhì)心位置高低
怎樣甄別物體平衡的種類呢 以處于重力場的物變化
體在重力和支持力作用下的平衡為例,一般操作步驟
要滿足蛋尖
圖3-2
是
端在球形碗內(nèi)有
1.設(shè)計一個元過程,即設(shè)想對物體施一微擾,使之穩(wěn)定平衡,應(yīng)證明圖3-2中的C位置高于C位置,即
稍偏離原平衡位置
需滿足
2.從能量角度考察受擾動后物體質(zhì)心位置的高度
CM′cos(a-p+Ma-BCM,
變化,根據(jù)質(zhì)心是升高降低還是不變來判斷物體原本
是穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡或是隨遇平衡;或從受力角度
在微擾的情況下,a、B都是小量,故有如下很好的
考察受擾動后重力作用點的側(cè)移量,即重力對擾動后近似
新支點的力臂,從而判斷物體原來的平衡態(tài)屬于哪
Rcos(a-B)trp9-P
>R
種.這里,僅是問題切入的視角不同,但殊途同歸,結(jié)論
2
是一致的,故可依問題的具體情況,擇簡而從
即rB
2 RLI-cos(a-B)]=2Rsipe a-P
3.為比較擾動前后物體的受力與態(tài)勢,要做出直
利用小角度的情況下,sina≈a,sinB≈B,且注意
觀明晰的圖示;由于對微擾元過程作的是“低細節(jié)”的
到rB=ba,則有
描述,故常需運用合理的近似這一數(shù)學(xué)處理手段
例1如圖3-1所示,一個熟
2R(aB)2,整理得
6R
R-6
雞蛋的圓、尖兩端的曲率半徑分
由題給條件知R>l-a故有
別為a、b,且長軸的長度為l,蛋圓
6R
bCl-a)
的一端可以在不光滑的水平面上
R-b
b
b
b
穩(wěn)定直立.求蛋尖的一端可以在
R
個半球形的碗內(nèi)穩(wěn)定地直立
這就是說,碗的球半徑尺寸不能太大,應(yīng)滿足條件
時,碗的半徑r需滿足的條件
為x<
l-a-b
分析與解因蛋圓一端在水
圖3-1
解法二考察質(zhì)心位置側(cè)移量
平面上可處于穩(wěn)定平衡態(tài),可知
欲滿足蛋保持穩(wěn)定平衡的條件,重力對支持點N
蛋的質(zhì)心位置C應(yīng)在圖3-1中A點之下,設(shè)其距蛋尖
的力矩應(yīng)可使蛋返回原處,故應(yīng)有
頂點為R,則R>l-a.現(xiàn)將蛋尖端直立于半徑為r的
CMsin(a-B)球形碗底M點處,如圖3-2中實線所示,設(shè)想當(dāng)?shù)凹?br/>外緣沿碗偏轉(zhuǎn)過一小段弧長MN則蛋在圖3-2中虛
即
R(a-B)將R>l-a,rB=b代入上式整理即得
50第33卷第6期
中學(xué)物理教學(xué)參考
Vol 33 No 6
2004年6月
Physics Teaching in Middle Schools
jun.2004
競賽材導(dǎo)門
專題1準(zhǔn)靜態(tài)問題的力三角形判斷法
沈晨
編者按當(dāng)今市場上各種高中物理競賽輔導(dǎo)資料多以章節(jié)的形式羅列知識點,方法輔導(dǎo)較少,不利于激
發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.因此,許多老師要求本刊編輯部組織一個有別于市場上的競賽輔導(dǎo)資料,以給喜歡物理
學(xué),渴求獲得比高中教材所提供的更多的基礎(chǔ)物理知識與更妙的解決物理問題方法的中學(xué)生一套課外閱讀
材料,也便于普通中學(xué)用作競賽輔導(dǎo)并且與高中現(xiàn)行物理教學(xué)同步的教材,在編排上,知識線與高中現(xiàn)行物
理教材平行.對此,本刊編輯部特邀資深競賽輔導(dǎo)老師—浙江省特級教師、寧波效實中學(xué)高級教師沈晨老
師編寫高中物理競賽輔導(dǎo)專題,該專題內(nèi)容以《全國中學(xué)生物理競賽內(nèi)容提要》為依據(jù),不拘泥于其界定,數(shù)
學(xué)涉及高中現(xiàn)行教材全部內(nèi)容,但不需要用到微積分,對部分求導(dǎo)、積分與微分方程通過微元方法降解,是初
等數(shù)學(xué)的物理;對高中物理內(nèi)容不再作知識點的羅列,采用¨點擊式”介紹更高層面的物理知識,更巧妙的物
理方法;例講選題注重給學(xué)生以解決物理問題的具體操作方法與新信息傳達;練習(xí)題全部給出詳解或解答指
要;選編練習(xí)題盡少重復(fù)全國物理競賽試題以増大新題容;國際物理奧林匹克題降解選用比例高.每個專題
分“教你一手”與“小試身手”兩個模塊,前者點擊精彩物理知識與方法,后者提供研討、試手的問題與實例,以
便老師輔導(dǎo)和學(xué)生自學(xué),該系列專題共27講,分別是準(zhǔn)靜態(tài)問題的力三角形判斷法、點擊靜力學(xué)問題解答技
巧、平衡問題探驪、矢量圖解運動問題、物系相關(guān)速度、動力學(xué)特殊悶題與特別方法、曲線運動曲直談、功與
能、動量與動量、曲線運動的動力學(xué)解、天體宇宙種種、諧振的認定與周期、波的描述與波現(xiàn)象、剛體的運動學(xué)
與動力學(xué)問題、熱力學(xué)基礎(chǔ)、電容器、靜電學(xué)問題的等效處理、電阻等效ABC、電路計算、電磁感應(yīng)面面觀、交
流電路、費馬原理及其運用、成像冋題集成、光干涉研究、微觀世界的規(guī)律與方法、相對論淺涉、微元法.這
系列專題將從本期連載
類型一、三力中有一個力確定,即大小、方向不變,
個力方向確定,這個力的大小及第三個力的大小、方
心你一號
向變化情況待定
例1如圖1-1所示,豎直桿AB在繩AC拉力作
在靜力學(xué)中,經(jīng)常遇到在力系作用下處于準(zhǔn)靜態(tài)平衡
用下使整個裝置處于平衡狀態(tài),若繩AC加長,使點C
的物體其所受諸力變化趨勢判斷問題,這種判斷如果
緩慢向左移動,桿AB仍豎直,且處于平衠狀態(tài),那么
用平衡方程作定量分析往往很繁瑣,而采用力三角形繩AC的拉力T和桿AB所受的壓力N與原先相比
圖解討論則清晰、直觀、全面
下列說法中正確的是()
我們知道,當(dāng)物體受三力作用而處于平衡時,必有
A.T增大,N減小
∑F=0,表示三力關(guān)系的矢量圖呈閉合三角形,即三
B.T減小,N增大
個力矢量(有向線段)依次恰好能首尾相接.當(dāng)物體所
C.T和N均增大
受三力有所變化而又維系著平衡關(guān)系時,這閉合三角
Ⅰ.T和N均減小
形總是存在而僅僅是形狀發(fā)生改變,比較不同形狀的
分析與解由于繩AC以
力三角形各幾何邊、角情況,我們對相應(yīng)的每個力大
不同方向拉桿,使桿AB有一系
圖1-1
方向的變化及其相互間的制約關(guān)系將一目了然.所
列可能的平衡狀態(tài).我們考察兩
作出物體準(zhǔn)靜態(tài)平衡時所受三力矢量可能構(gòu)成的
繩系在直立桿頂端的結(jié)點A,它在繩AC的拉力T、重
簇閉合三角形,是力三角形判斷法的關(guān)鍵操作
物通過水平繩的拉力F(F=G)和桿AB的支持力作
三力動態(tài)平衡的力三角形判斷通常有三類情況
用下平衡.三力中,水平繩拉力不變,桿支持力方向不第33卷第7期
中學(xué)物理教學(xué)參考
Vol 33 No. 7
2004年7月
Physics Teaching in Middle school
Jul. 2004
競賽輔導(dǎo)
專題2點擊靜力學(xué)問題解答技巧
沈晨
心歌你一
故F1和F2的大小相等為F1=F
由圖
2
物理學(xué)好學(xué)高,方法得巧得妙解決任何問題都需
還容易得知,當(dāng)表示F1(F2)的線段處于直徑位置時
要掌握方法,若方法得當(dāng),就能達到事半功倍的效果
即表示相應(yīng)的力有最大值,且三力關(guān)系矢量三角形呈
處理靜力學(xué)問題也是這樣.專題1中我們曾介紹過的
直角三角形,這時F2(F1)大小為F·cot(x-0)=
力三角形法、引人摩擦角與約束力概念,對處理平衡問
Fcotθ
題帶來的便利已可見一斑這里,我們將通過具體實例
運用矢量圖,我們了解了符合題目要求的力分解
點擊處理靜力學(xué)問題之“三巧”:巧用矢量圖解,巧取研的全貌,并從中分檢出兩特殊解,解答過程非常簡單清
究對象,巧解匯交力系
晰
巧用矢量圖解
問題2如圖2-3所示,放在水平面上的質(zhì)量為
問題1將合力F分解為F1和F2兩個分力,若
m的物體,在水平恒力F1作
已知F的大小及F1和F2的夾角0,且0為鈍角,則當(dāng)
用下,剛好做勻速直線運動
F1、F2大小相等時,它們的大小為
;當(dāng)F1有最
若再給物體加一個恒力F2,且
大值時,F2大小為
使F1=F2(指大小),要使物體
圖2-3
分析與解將一個力分解成兩個力,在沒有附加
仍按原方向做勻速直線運動,力F2應(yīng)沿什么方向
條件時,可以有無數(shù)種解,在題紿有限制條件時,也有
此時地面對物體的作用力大小如何
解集根據(jù)力合成的平行四邊形定則,被分解的力與兩
分析與解首先分析未加力F2時物體受力情
分力之間關(guān)系是“對角線”與夾對角線的兩“鄰邊”的關(guān)
況:物體在重力mg水平恒力F1以及地面作用力(支
系,基于平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì),合力與它
持力與滑動摩擦力的合力)F作用下處于平衡狀態(tài),故
的兩分力之間的關(guān)系還可以用更簡單的矢量圖形
三力矢量依次首尾相接構(gòu)成閉合三角形,如圖2-4(1
角形來表示,如圖2-1所示.滿足合力F的兩分力
所示.在這個閉合三角形中,表示重力和水平恒力的有
F1和F2夾角θ且日為鈍角的矢量三角形是一解集
向線段大小方向都是確定的,表示地面作用力的有向
它們有公共外接圓,表示合力F的有向線段是該圓的
線段方向總是與豎直(地面支持力作用線)成tanu
條弦,該弦所對的圓周角均為丌-6,如圖2-2所示
但這個力的大小是可改變的.以此為基礎(chǔ),若要再加
個力而使物體仍處于平衡,這個力的作用線應(yīng)沿F
F
力,方向可與F力一致,如圖2-4(2)所示;也可與力F
F
F
g
圖2-1
圖2-2
由圖可知,當(dāng)F1、F2大小相等時,對應(yīng)的力矢量關(guān)系
圖為等腰三角形,表示F1和F2的線段為腰,底角為
相反,如圖2-4(3)所示返還實體,即F2力可以是與

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