資源簡介

等效最高點模型專練（較難）
1．如圖所示，光滑水平軌道與半徑為R的光滑豎直半圓軌道在B點平滑連接。在過圓心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的勻強電場。現有一質量為m，電荷量為＋q的小球從水平軌道上A點由靜止釋放，小球運動到C點離開圓軌道后，經界面MN上的P點進入電場(P點恰好在A點的正上方，如圖所示。小球可視為質點，小球運動到C點之前電荷量保持不變，經過C點后電荷量立即變為零)。已知A、B間距離為2R，重力加速度為g。在上述運動過程中，求
(1)小球在電場中受到的電場力大小；
(2)
小球過B點時對圓軌道的壓力大小
(3)小球在圓軌道上運動時的最大速率。
2．如圖所示，空間某區域存在足夠大的水平方向的勻強電場E=2×104
N/C，將一長為L=1m的不可伸長的絕緣細線一端固定于O點，另一端連接一個質量為m=0.1
kg的可視為質點小球，小球帶電量q=
+5
×l0-5
C，現將絕緣細線AO拉至與電場線平行位置，且細線剛好拉直，讓小球從A處靜止釋放，取g=
10
m/s2，求：
(1)小球第一次到達O點正下方的B點時細線的拉力F;
(2)小球從A運動到B過程中，小球的最大速度vm；
(3)若讓小球在如圖所示的豎直平面內做完整的圓周運動，則需在A處給小球一個垂直于細線的初速度vo，求vo的最小值．（以上結果可用根式表示）
3．用長為L的絕緣細線拴一個質量為m，電荷量為q的小球，如圖所示，線的另一端固定在水平方向的勻強電場中，開始時將帶電球拉到使線成水平的位置，小球由靜止從A點向下擺動，當細線轉過60°角，小球到達B點時，速度恰好為零，試求：
（1）勻強電場的場強E為多大？
（2）小球由A運動到B點的過程中，細線的最大拉力多大？
（3）在A點給小球一豎直向下的初速度使小球能完成豎直平面內的完整的圓周運動，求小球速度最小的點的電勢．（設O點的電勢為零，電場區域足夠大，小球始終在勻強電場中）
4．如圖所示，虛線左側有一長度為L，動摩擦因數μ=0.5、傾角θ=37°的粗糙斜面AB，虛線右側有一光滑的半圓形軌道BCD，圓心為O，半徑，斜面AB與半圓形軌道BCD在B點平滑連接.已知在虛線的右側空間有方向水平向右、電場強度的勻強電場.現將一質量為m、電量為+q的小球從斜面AB頂端A由靜止釋放，求：
(1)小球第一次經過圓形軌道最低點B時，對圓形軌道的壓力(用m，g表示)；
(2)試分析小球在運動過程中是否會脫離半圓形軌道；
(3)小球在整個運動過程中在斜面AB上因摩擦產生的熱量(用m，g，L表示).
5．如圖所示，在豎直平面內有一固定的光滑絕緣軌道，圓心為O，半徑為r，A、B、C、D分別是圓周上的點，其中A、C分別是最高點和最低點，BD連線與水平方向夾角為。該區間存在與軌道平面平行的水平向左的勻強電場。一質量為m、帶正電的小球在軌道內側做完整的圓周運動（電荷量不變），經過D點時速度最大，重力加速度為g（已知，），求:
(1)小球所受的電場力大小；
(2)小球經過A點時對軌道的最小壓力。
6．如圖所示，在沿水平方向的勻強電場中用一根長度L=0.8m的絕緣細繩把質量為m=0.20kg、帶有正電荷的金屬小球懸掛在固定點O點，小球靜止在B點時細繩與豎直方向的夾角為θ=37?．現將小球拉至位置A使細線水平后由靜止釋放，（g=10m/s2，sin37?=0.6，cos37?=0.8）求：
(1)從A到C靜電力對小球做的功；
(2)小球通過最低點C時的速度的大小；
(3)小球在擺動過程中細線對小球的最大拉力。
7．如圖所示，AB是一傾角為θ=37°的絕緣粗糙直軌道，滑塊與斜面間的動摩擦因數，BCD是半徑為R=0.2m的光滑圓弧軌道，它們相切于B點，C為圓弧軌道的最低點，整個空間存在著豎直向上的勻強電場，場強E
=
4.0×103N/C，質量m
=
0.20kg的帶電滑塊從斜面頂端由靜止開始滑下．已知斜面AB對應的高度h
=
0.24m，滑塊帶電荷q
=
-5.0×10-4C，取重力加速度g
=
10m/s2，sin37°=
0.60，cos37°=0.80．求：
（1）滑塊從斜面最高點滑到斜面底端B點時的速度大小；
（2）滑塊滑到圓弧軌道最低點C時對軌道的壓力．
8．如圖所示，在豎直面內放置光滑的絕緣軌道，勻強電場水平向右，電場強度為E.一帶負電的小球從高h的A處由靜止開始下滑，沿軌道ABC運動(小球通過B點時無機械能的損失)并進入圓環內做圓周運動.已知小球帶電量為，圓環半徑為R，斜面傾角，BC段長為2R.
（1）若h=5R，求小球到斜面底端時的速度大小.
（2）若要求小球在全過程中不脫離軌道，求h的取值范圍.(用R表示)
9．如圖所示，在水平向右的勻強電場中，一個質量為、電量為的小球，用長為的絕緣細線懸掛于點，當小球靜止在點，此時細線與豎直方向夾角．現給小球一個垂直于懸線的初速度，使小球恰好能在豎直平面內做圓周運動．試求：
（1）小球速度的最小值．
（2）小球在點的初速度．
（3）小球機械能的最小值（設圓周運動的最低點為重力勢能的零點）．
10．如圖所示，BCDG是光滑絕緣的圓形軌道，水平軌道AB也是光滑的，位于豎直平面內，軌道半徑為R，下端與水平絕緣軌道在B點平滑連接，整個軌道處在水平向左的勻強電場中．現有一質量為m、帶正電的小滑塊（可視為質點）置于水平軌道上，滑塊受到的電場力大小等于mg，重力加速度為g．
（1）若滑塊從水平軌道上距離B點s=3R的A點由靜止釋放，滑塊到達與圓心等高的C點時速度為多大？
（2）在（1）的情況下，求滑塊到達C點時受到軌道的作用力大小；
（3）改變s的大小，使滑塊恰好始終沿軌道滑行，且從G點飛出軌道，求這種情況下滑塊在圓軌道上滑行過程中的最小動能。
參考答案
1．（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）設小球在C點速度的大小為vC，從C到P用時間為t，則從C到P：水平：2R=vCt
豎直方向：R=gt2
從A到C由動能定理：
解得；
（2）從A到B由動能定理：
，
在B點：
解得：N=5mg
（3）設等效豎直方向與豎直方向的夾角為θ，過O點的等效豎直線與BN軌道交于F點，
從A到F，由動能定理：
解得：
【點睛】
本題關鍵靈活地選擇過程并運用動能定律列式，同時根據向心力公式和平拋運動的位移公式列式進一步分析求解；注意由于電場力和重力都是恒力，則可以用等效思想進行解答。
2．(1)1N
(2)m/s
(3)m/s
【詳解】
（1）因mg=1N，qE=1N，則小球沿圓弧運動，由A到B由動能定理：
解得vB=0，
則F=mg=1N
（2）依題意小球運動到AB圓弧中點C時，速度最大，由A到C由動能定理：
解得：
（3）由題意可知，當小球運動到圓周上與C點對稱的D處時，有：
由A到D由動能定理：
解得：
【點睛】
此題是帶電粒子在電場和重力場中的運動問題，因重力和電場力都是恒力，則解題時也可以把它們等效為一個恒力來處理，然后結合圓周運動的規律求解.
3．（1）；
（2）（6﹣2）mg；
（3）
【解析】
（1）小球從A到B的運動過程中運用動能定理的：
﹣EqL（1﹣cos60°）+mgLsin60°=0
解得：E=
（2）當小球運動到細線方向與電場力和重力合力的方向相反時，繩子的拉力最大，
設此時繩子與水平方向夾角為θ，則tanθ=
所以θ=30°
根據動能定理得：mgLsinθ﹣Eq（1﹣cosθ）L=mv2
T﹣F合=m
由上述各式解得：T=（6﹣2）mg
（3）小球速度最小的點應在與C位置在同一直徑上的C′點，如圖所示
則有：U=ELsin60°
解得：φ=
4．(1)
方向豎直向下
(2)
小球不會脫離半圓形軌道
(3)
【解析】
(1)設第一次到達B點的速度為，則由動能定理：
所以
在B處根據牛頓第二定律：
所以根據牛頓第三定律：，方向豎直向下；
(2)小球進去虛線右側區域后，受到的電場力
電場力與重力的合力，斜向下、與豎直方向成53°，
如下圖所示：
假設小球始終不脫離軌道，且當速度減為0時，在合力的反方向上移動了距離h.
由動能定理：，
由(1)知，所以
經分析，小球不脫離軌道需滿足，
因為，所以假設成立，小球不會脫離半圓形軌道；
(3)經分析，如上圖所示，最終小球將在半圓形軌道上的B點與E點間往復運動，，在B點與E點時速度恰好為0.
由能量守恒：，所以。
5．（1）；
（2）2mg，方向豎直向上.
【解析】
（1）由題意可知
:
?
所以:
（2）由題意分析可知，小球恰好能做完整的圓周運動時經過A點對軌道的壓力最小.
?
??
小球恰好做完整的圓周運動時，在B點根據牛頓第二定律有:?
小球由B運動到A的過程根據動能定理有:?
小球在A點時根據牛頓第二定律有:?
聯立以上各式得:
?由牛頓第三定律可知，小球經過A點時對軌道的最小壓力大小為2mg，方向豎直向上.
6．（1）-1.2J
（2）2m/s
（3）4.5N
【解析】
【詳解】
（1）小球受到電場力qE,重力mg和繩的拉力F的作用下處于靜止，
根據共點力的平衡條件有：qE=mgtan37
?
小球從A到C的過程中，W=-qEL=-1.2J
（2）A到C的過程中，根據動能定理有：mgL-qEL=mvc2
可得：vc=2m/s
（3）在擺動過程中，經B點時，細線的拉力最大，從A到B的過程中，
根據動能定理可得：mgLcos37?-qEL（1-sin37
?）=
在B點時，滿足:
拉力:F=4.5N
【點睛】
本題主要考查了動能定理及向心力公式的直接應用，注意小球在等效最低點受到的拉力最大是關鍵。
7．(1)
(2)
【解析】
(1)滑塊沿斜面滑下的過程中，受到的滑動摩擦力：
設到達斜面底端時的速度為v1，根據動能定理得：
解得：
v1=2.4m/s
(2)滑塊從B
到C
點，由動能定理可得：
當滑塊經過最低點時，有：
由牛頓第三定律：
方向豎直向下．
【點睛】
本題是動能定理與牛頓定律的綜合應用，關鍵在于研究過程的選擇.
8．（1），
（2）.
【解析】
（1）由動能定理可以求出小球到斜面底端時的速度大小，（2）對小球受力分析可知小球受到的合力為恒，在復合場中做完整的圓周運動的臨界條件是恰小球到達與圓心等效等高點D時速度為0或小球恰能通過等效最高點E，根據動能定理和牛頓第二定律即可求出h的取值范圍.
（1）由A到B的過程：重力做正功，電場力做負功
由動能定理：，又F=qE
解得：
（2）小球在復合場中運動，重力與電場力的合力，方向與豎直方向夾角為，斜向左下方，如圖所示
由等效重力思想，小球不脫離軌道，臨界時：
①小球到達與圓心等效等高點D時速度為0：
從C到D：
解得：
由斜面頂端到C點：
解得：
②小球恰能通過等效最高點E：
在E點：，解得：
從C到E：
解得：
由斜面頂端到C點：
解得：
綜上：或
9．（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）受力分析如圖所示：
等效重力為
依據幾何關系可得
解得
由題可知
解得
（2）由動能定理可得
解得
（3）設圓周運動的最低點為重力勢能的零點，根據動能定理
解得
故點的機械能
電場力做功且做負功
，
故機械能的最小值為
10．（1）
（2）7mg
（3）
【解析】
（1）設滑塊到達C點時的速度為v，從A到C過程，
由動能定理得：qE?（s+R）﹣mgR=
由題，qE=mg，s=3R
代入解得，v=
（2）滑塊到達C點時，由電場力和軌道作用力的合力提供向心力，則有
N﹣qE=m
解得，N=7mg
（3）重力和電場力的合力的大小為F=
mg
滑行過程中等效最高點速度最小，
,
故在圓軌道上滑行過程中的最小動能為
本題答案是：（1）（2）7mg（3）

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