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高一物理競賽輔導
第一講 矢量的運算
任何物理量的變化量均可以表示為x=x末-x初。
矢量是指有大小又有方向的物理量，矢量可以用 表示。
矢量是可以任意 的。
它和標量的根本區別在于：矢量運算遵循幾何運算法則——三角形法則或者平行四邊形法則。
三角形法則：
平行四邊形法則：
。
矢量的合成和分解
合矢量和分矢量具有 的關系。已知分矢量求合矢量的過程叫做矢量的合成；已知合矢量求分矢量的過程稱為矢量的 。合成和分解都遵循三角形法則（平行四邊形法則）。
特殊情況下的兩矢量之和（已知s1的大小為3m，s2的大小為4m）
、 、
兩矢量之和的大小范圍：（已知F1的大小為3N，F2的大小為4N）
7、一般情況下的矢量和計算公式
合矢量的大小與分矢量的大小關系：
s=
余弦定理：對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則滿足性質——
　　a = b + c - 2·b·c·cosA；b = a + c - 2·a·c·cosB；　　c = a + b - 2·a·b·cosC
其中cos（180O-A）= -cosA，sin0= ，sin90o= ，cos0= ，cos90o= ，
正弦定理(Sine theorem)：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r
8、用三角形或平行四邊形法則進行矢量的減法（如圖s=3m，s2=4m，求s1）
直角平面內的矢量運算
10、相對運動的關系式
A對B的速度vAB，，B對C的速度vBC，A對C的速度vAC
11、矢量的乘法
(1)計算力F所作的功w。
（2）力矩的計算
練習題
1．甲、乙兩輛車分別以速度v1，v2（v1>v2）正在向東行駛，討論甲相對于乙的速度大小和運動方向，以及乙相對于甲的速度大小和運動方向。
如果乙向西運動，情況怎樣呢？
2．汽車正向東13m/s勻速運動，雨滴以5m/s豎直下落。求汽車中靜止不動的乘客看到的雨滴速度大小和方向？
3．靜止在傾角為的固定斜面上的物體質量為m，求物體支持力和摩擦力？
4．有一汽車的頂篷只能蓋到A處，如圖所示，乘客可坐到車尾B處，AB聯線與豎直方向成=30O角，這汽車正在平直的公路上冒雨行駛，當它的速度為u1=6km／h時，C點剛好不被雨點打著，若它的速度為u2=18km／h時，則B點剛好不被雨點打著，求雨點的速度v．
5．小船從A點出發向河對岸劃去，如圖所示，如果保持與岸垂直的方向劃行，10分鐘以后到達對岸C點，如果要使小船正好到達B點，則小船必須向著D點方向劃行，這時需要12.5分鐘才能到達對岸，AB垂直于河岸，己知BC=120m，試求小船劃行的速率v’，河面的寬度L，水流速度u，AD和AB之間的夾角a．
6．已知F1=300N，F2=100N。兩力和X軸的夾角分別為30度和60度，求兩個力的合力F？
8．兩直桿L1、L2夾角為θ，各以v1、v2的速度沿垂直于桿方向平動，如圖，求交點M的速度大小。
．
10．如圖所示，質點A和B同時從A、B兩點出發，分別以速度v1沿AB和以速度v2沿BC做勻速直線運動，BC和AB的夾角為a。開始時質點A和B的距離為L，求兩點之間的最短距離。
11．質量為m的物體從傾角為、長為L的斜面頂端滑倒底端，求重力所作的功？
兩角和差的三角函數：
1、sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ 2、sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
3、cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ 4、cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
和差化積公式
1、sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 2、sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 　　
3、cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 4、 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
積化和差公式
1、sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 2、cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 　　
3、cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 4、sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
s1
s2
s1
s2
s1
s2
s1
s2
s1
s2
s1
s2
s
s2
s
s2
s
s2
s
s2
x
y
o
r1
r2
A
BA
F
s
F1
F21
XF21
YXF21
OYXF21
7.
9．高一物理競賽輔導
第二講 微元法（微積分初步）
一、導數的引入（瞬時變化快慢的有關問題）
1、瞬時速度的定義：瞬時速度是質點在某一時刻或經過某一位置是的速度，它定義為在此時的平均速度的極限，即。
2、瞬時加速度：瞬時加速度的定義應為。
3、切線斜率問題
曲線為函數的切線的斜率
4、如果與之比當時的極限存在，則稱函數在點處可導，并稱這個極限為函數在點處的導數，記為， 也可記作，或者。
5、由此我們稱速度v是函數位移s（t）的導數，寫作，
物體的加速度a是 的導數，寫作 。
在圓周運動中，角速度和物體轉過的角度的關系： 寫作 ；
角加速度β和角速度的關系： 寫作 ；
同時加速度又可以稱作s（t）的二階導數，寫作，
角加速度β又可以稱作 的二階導數，寫作 。
6、常數和基本初等函數的導數公式
，，，，，
，，，
例題：已知一物體的位移—時間關系為s=10+3t+t2 單位全部采用國際單位制。求物體2s內的平均速度？第2s的平均速度？用導數求物體的加速度和出t=2秒時的位移、瞬時速度。
7、在連續可導函數中，當函數y（x）的導數等于零時，函數y取得極值。
由此可得：當加速度為零時， 可以取得極值。
當速度為零時， 可以取得極值。
已知一物體的位移—時間關系為s=10+3t-t3 單位全部采用國際單位制。求物體2s內的平均速度？第2s的平均速度？用導數求物體在t=2秒時的位移、速度和加速度。求速度的極大值？
二、積分的引入（連續變量的累積）
1．計算A、B物體4秒時的位移分別為多少？
2．求出圖示電梯總位移？
3．求出v-t圖像中的位移。
無限分割后：
=
設時，
得：
4．積分的引入
，S總趨于確定的極限,這時我們稱這個極限為函數的積分, 記作,即==,其中叫做被積函數, 叫做被積表達式。
5．常用積分公式
(為常數)， ()
，，
例題：彈簧的彈力與伸長量成正比，F=kx，已知輕質彈簧的勁度系數k=2000N/m，假設用手將彈簧拉長0.05m時由靜止釋放木塊，求恢復原長的過程中彈簧彈力所作的功。
練習1.一質點沿直線向Ox方向做加速運動,它離開O點的距離x隨時間t變化的關系為x=5+2t3(m),它的速度隨時間變化的關系為v=6t2(m/s),該質點在t=0到t=2s內的平均速度是________,在t=2s到t=3s內的平均速度大小是__________，t=2s時的速度等于 ，t=2s時的速度等于 。
練習2。已知物體做圓周運動轉過的角度和時間t的函數=4t3+3t，求角速度和角加速度的關系式？
練習3。x=sin（5t+4），則v（t）= ，a（t）= 。
練習4。甲、乙物體同時同地出發，甲做初速度為零的勻加速運動，加速度為2m/s2，乙做勻速直線運動，速度為6m/s。求再次相遇前，甲乙的最大距離，此時甲的速度為多少？
練習5。已知v=2t+4，求物體運動5s內的位移？
t
s
o
BA
③
２
1.
0
1
２
3
4
v/ms-1
t/s
A
B
t
v
o
BA
練習5

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