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第五章
曲線運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
§5-1
曲線運(yùn)動(dòng)
&
運(yùn)動(dòng)的合成與分解
一、曲線運(yùn)動(dòng)
1.定義：物體運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線的運(yùn)動(dòng)。
2.條件：運(yùn)動(dòng)物體所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直線上。
3.特點(diǎn)：①方向：某點(diǎn)瞬時(shí)速度方向就是通過這一點(diǎn)的曲線的切線方向。
②運(yùn)動(dòng)類型：變速運(yùn)動(dòng)（速度方向不斷變化）。
③F合≠0，一定有加速度a。
④F合方向一定指向曲線凹側(cè)。
⑤F合可以分解成水平和豎直的兩個(gè)力。
4.運(yùn)動(dòng)描述——蠟塊運(yùn)動(dòng)
二、運(yùn)動(dòng)的合成與分解
1.合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系：等時(shí)性、獨(dú)立性、等效性、矢量性。
2.互成角度的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的判斷：
①兩個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)仍然是勻速直線運(yùn)動(dòng)。
②速度方向不在同一直線上的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，其合運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，a合為分運(yùn)動(dòng)的加速度。
③兩初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)仍然是勻加速直線運(yùn)動(dòng)。
④兩個(gè)初速度不為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)可能是直線運(yùn)動(dòng)也可能是曲線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的初速度的和速度方向與這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的和加速度在同一直線上時(shí)，合運(yùn)動(dòng)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，否則即為曲線運(yùn)動(dòng)。
三、有關(guān)“曲線運(yùn)動(dòng)”的兩大題型
（1）小船過河問題
模型一：過河時(shí)間t最短：
模型二：直接位移x最短：
模型三：間接位移x最短：
（2）繩桿問題(連帶運(yùn)動(dòng)問題)
1、實(shí)質(zhì)：合運(yùn)動(dòng)的識(shí)別與合運(yùn)動(dòng)的分解。
2、關(guān)鍵：①物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是合速度，分速度的方向要按實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果確定；②沿繩（或桿）方向的分速度大小相等。
模型四：如圖甲，繩子一頭連著物體B，一頭拉小船A，這時(shí)船的運(yùn)動(dòng)方向不沿繩子。
甲
乙
處理方法：如圖乙，把小船的速度vA沿繩方向和垂直于繩的方向分解為v1和v2，v1就是拉繩的速度，vA就是小船的實(shí)際速度。
§5-2
平拋運(yùn)動(dòng)
&
類平拋運(yùn)動(dòng)
一、拋體運(yùn)動(dòng)
1.定義：以一定的速度將物體拋出，在空氣阻力可以忽略的情況下，物體只受重力的作用，它的運(yùn)動(dòng)即為拋體運(yùn)動(dòng)。
2.條件：①物體具有初速度；②運(yùn)動(dòng)過程中只受G。
二、平拋運(yùn)動(dòng)
1.定義：如果物體運(yùn)動(dòng)的初速度是沿水平方向的，這個(gè)運(yùn)動(dòng)就叫做平拋運(yùn)動(dòng)。
2.條件：①物體具有水平方向的加速度；②運(yùn)動(dòng)過程中只受G。
3.處理方法：平拋運(yùn)動(dòng)可以看作兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)：一個(gè)是水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。
4.規(guī)律：
5.應(yīng)用結(jié)論——影響做平拋運(yùn)動(dòng)的物體的飛行時(shí)間、射程及落地速度的因素
a、飛行時(shí)間：，t與物體下落高度h有關(guān)，與初速度v0無關(guān)。
b、水平射程：由v0和h共同決定。
c、落地速度：，v由v0和vy共同決定。
三、平拋運(yùn)動(dòng)及類平拋運(yùn)動(dòng)常見問題“斜面問題：
§5-3
圓周運(yùn)動(dòng)
&
向心力
&
生活中常見圓周運(yùn)動(dòng)
一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)
1.定義：物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓的運(yùn)動(dòng)叫做圓周運(yùn)動(dòng)，物體運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變的圓周運(yùn)動(dòng)即為勻速圓周
運(yùn)動(dòng)。
2.特點(diǎn)：①軌跡是圓；②線速度、加速度均大小不變，方向不斷改變，故屬于加速度改變的變速曲線運(yùn)動(dòng)，
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度恒定；③勻速圓周運(yùn)動(dòng)發(fā)生條件是質(zhì)點(diǎn)受到大小不變、方向始終與速度方向垂直
的合外力；④勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)周而復(fù)始地出現(xiàn)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)具有周期性。
3.描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量：
（1）線速度v是描述質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，是矢量；其方向沿軌跡切線，國(guó)際單位制中單位符
號(hào)是m/s，勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，v的大小不變，方向卻一直在變；
（2）角速度ω是描述質(zhì)點(diǎn)繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量，是矢量；國(guó)際單位符號(hào)是rad／s；
（3）周期T是質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)一周所用時(shí)間，在國(guó)際單位制中單位符號(hào)是s；
（4）頻率f是質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)完成一個(gè)完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)，在國(guó)際單位制中單位符號(hào)是Hz；
（5）轉(zhuǎn)速n是質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，單位符號(hào)為r/s，以及r/min．
4.各運(yùn)動(dòng)參量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：
5.三種常見的轉(zhuǎn)動(dòng)裝置及其特點(diǎn)：
模型一：共軸傳動(dòng)
模型二:皮帶傳動(dòng)
模型三：齒輪傳動(dòng)
二、向心加速度
1.定義：任何做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度都指向圓心，這個(gè)加速度叫向心加速度。
注：并不是任何情況下，向心加速度的方向都是指向圓心。當(dāng)物體做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度的一個(gè)分加速度指向圓心。
2.方向：在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，始終指向圓心，始終與線速度的方向垂直。向心加速度只改變線速度的方向而非大小。
3.意義：描述圓周運(yùn)動(dòng)速度方向方向改變快慢的物理量。
4.公式：
5.兩個(gè)函數(shù)圖像：
三、向心力
1.定義：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受到的沿著半徑指向圓心的合力，叫做向心力。
2.方向：總是指向圓心。
3.公式：
4.幾個(gè)注意點(diǎn)：①向心力的方向總是指向圓心，它的方向時(shí)刻在變化，雖然它的大小不變，但是向心力也是變力。
②在受力分析時(shí)，只分析性質(zhì)力，而不分析效果力，因此在受力分析是，不要加上向心力。
③描述做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，不能說該物體受向心力，而是說該物體受到什么力，這幾個(gè)力的合力充當(dāng)或提供向心力。
四、變速圓周運(yùn)動(dòng)的處理方法
1.特點(diǎn)：線速度、向心力、向心加速度的大小和方向均變化。
2.動(dòng)力學(xué)方程：合外力沿法線方向的分力提供向心力：。合外力沿切線方向的分力產(chǎn)生切線加速度：FT=mωaT。
3.離心運(yùn)動(dòng)：
（1）當(dāng)物體實(shí)際受到的沿半徑方向的合力滿足F供=F需=mω2r時(shí)，物體做圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)F供（2）離心運(yùn)動(dòng)并不是受“離心力”的作用產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)，而是慣性的表現(xiàn)，是F供（3）
5、圓周運(yùn)動(dòng)的典型類型
類型
受力特點(diǎn)
圖示
最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況
用細(xì)繩拴一小球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)
繩對(duì)球只有拉力
①若F＝0，則mg＝，v＝②若F≠0，則v>
小球固定在輕桿的一端在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)
桿對(duì)球可以是拉力也可以是支持力
①若F＝0，則mg＝，v＝②若F向下，則mg＋F＝m，v>③若F向上，則mg－F＝或mg－F＝0，則0≤v<
小球在豎直細(xì)管內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)
管對(duì)球的彈力FN可以向上也可以向下
依據(jù)mg＝判斷，若v＝v0，F(xiàn)N＝0；若vv0，F(xiàn)N向下
球殼外的小球
在最高點(diǎn)時(shí)彈力FN的方向向上
①如果剛好能通過球殼的最高點(diǎn)A，則vA＝0，F(xiàn)N＝mg②如果到達(dá)某點(diǎn)后離開球殼面，該點(diǎn)處小球受到殼面的彈力FN＝0，之后改做斜拋運(yùn)動(dòng)，若在最高點(diǎn)離開則為平拋運(yùn)動(dòng)
六、有關(guān)生活中常見圓周運(yùn)動(dòng)的涉及的幾大題型分析
（1）解題步驟：
①明確研究對(duì)象；
②定圓心找半徑；③對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析；
④對(duì)外力進(jìn)行正交分解；
⑤列方程：將與和物體在同一圓周運(yùn)動(dòng)平面上的力或其分力代數(shù)運(yùn)算后，另得數(shù)等于向心力；
⑥解方程并對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的討論。
（2）典型模型：
I、圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)問題
談一談：圓周運(yùn)動(dòng)問題屬于一般的動(dòng)力學(xué)問題，無非是由物體的受力情況確定物體的運(yùn)動(dòng)情況，或者由物體的運(yùn)動(dòng)情況求解物體的受力情況。解題思路就是，以加速度為紐帶，運(yùn)用那個(gè)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列方程，求解并討論。
模型一：火車轉(zhuǎn)彎問題：
模型二：汽車過拱橋問題：
II、圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
A.常見豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)的臨界問題
談一談：豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速圓周運(yùn)動(dòng)。對(duì)于物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，中學(xué)物理只研究問題通過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況，并且經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)最高點(diǎn)的臨界問題。
模型三：輕繩約束、單軌約束條件下，小球過圓周最高點(diǎn)：
模型四：輕桿約束、雙軌約束條件下，小球過圓周最高點(diǎn)：
模型五：小物體在豎直半圓面的外軌道做圓周運(yùn)動(dòng)：
B.物體在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
談一談：在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)角速度ω變化時(shí)，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)（半徑變化）的趨勢(shì)。這時(shí)要根據(jù)物體的受力情況判斷物體所受的某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)方向如何（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。
模型六：轉(zhuǎn)盤問題
P
蠟塊的位置
v
vx
vy
涉及的公式：
θ
v
v水
v船
θ
，
d
d
v
v水
v船
θ
當(dāng)v水，
A
v水
v船
θ
當(dāng)v水>v船時(shí)，，
，
θ
v船
d
B
O
O
A
vA
θ
v1
v2
vA
甲
乙
α
（1）位移：
（2）速度：，，，
（3）推論：①?gòu)膾伋鳇c(diǎn)開始，任意時(shí)刻速度偏向角θ的正切值等于
位移偏向角的正切值的兩倍。
證明如下：,
tanθ=2tan
②從拋出點(diǎn)開始，任意時(shí)刻速度的反向延長(zhǎng)線對(duì)應(yīng)的水平位移的交點(diǎn)為此水平位移的中點(diǎn)，即如果物體落在斜面上，則位移偏向角與斜面傾斜角相等。
處理方法：1.沿水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)；2.沿斜面方向的勻加速運(yùn)動(dòng)和垂直斜面方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)。
考點(diǎn)一：物體從A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間：根據(jù)
考點(diǎn)二：B點(diǎn)的速度vB及其與v0的夾角α：
考點(diǎn)三：A、B之間的距離s：
A
B
r2
r1
r
R
O
B
A
A
B
O
r
R
O
等效處理：O可以看作一只手或一個(gè)固定轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，B繞著O經(jīng)長(zhǎng)為R的輕繩或輕桿的牽引做著圓周運(yùn)動(dòng)。還是先對(duì)B進(jìn)行受力分析，發(fā)現(xiàn)，上圖的f在此圖中可等效為繩或桿對(duì)小球的拉力，則將f改為F拉即可，根據(jù)題意求出F拉，帶入公式，即可求的所需參量。
R
B
O
等效為
f
mg
N
A
O
處理方法：先對(duì)A進(jìn)行受力分析，如圖所示，注意在分析時(shí)不能忽略摩擦力，當(dāng)然，如果說明盤面為光滑平面，摩擦力就可以忽略了。受力分析完成后，可以發(fā)現(xiàn)支持力N與mg相互抵銷，則只有f充當(dāng)該物體的向心力，則有，接著可以求的所需的圓周運(yùn)動(dòng)參數(shù)等。
兩種情況：
（1）若使物體能從最高點(diǎn)沿軌道外側(cè)下滑，物體在最高點(diǎn)的速度v的限制條件是
（2）若，物體將從最高電起，脫離圓軌道做平拋運(yùn)動(dòng)。
（1）臨界條件：由于輕桿和雙軌的支撐作用，小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的臨街速度
（2）如圖甲所示的小球過最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的彈力情況：①當(dāng)v=0時(shí)，輕桿對(duì)小球有豎直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN=mg；
②當(dāng)時(shí)，輕桿對(duì)小球的支持力的方向豎直向上，大小隨小球速度的增大而減小，其取值范圍是；
③當(dāng)時(shí)，F(xiàn)N=0；
④當(dāng)時(shí)，輕桿對(duì)小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大。
（3）如圖乙所示的小球過最高點(diǎn)時(shí)，光滑雙軌對(duì)小球的彈力情況：
①當(dāng)v=0時(shí)，軌道的內(nèi)壁下側(cè)對(duì)小球有豎直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN=mg；
②當(dāng)時(shí)，軌道的內(nèi)壁下側(cè)對(duì)小球仍有豎直向上的支持力FN，大小隨小球速度的增大而減小，其取值范圍是；
③當(dāng)時(shí)，F(xiàn)N=0；
④當(dāng)時(shí)，軌道的內(nèi)壁上側(cè)對(duì)小球有豎直向下指向圓心的彈力，其大小隨速度的增大而增大。
乙
v
甲
v
桿O
R
繩O
O
v
v
v
（注意：繩對(duì)小球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力.）
（1）臨界條件：小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，繩子的拉力或單軌的彈力剛好等于0，小球的重力提供向心力。即：
。
（2）小球能過最高點(diǎn)的條件：，繩對(duì)球產(chǎn)生向下的拉力或軌道對(duì)球產(chǎn)生向下的壓力。
（3）小球不能過最高點(diǎn)的條件：（實(shí)際上球還沒到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道）。
a、涉及公式：,所以當(dāng)，
此時(shí)汽車處于失重狀態(tài)，而且v越大越明顯，因此汽車過拱橋時(shí)不宜告訴行駛。
b、分析：當(dāng)：
（1），汽車對(duì)橋面的壓力為0，汽車出于完全失重狀態(tài)；
（2），汽車對(duì)橋面的壓力為。
（3），汽車將脫離橋面，出現(xiàn)飛車現(xiàn)象。
c、注意：同樣，當(dāng)汽車過凹形橋底端時(shí)滿足，汽車對(duì)橋面的壓力將大于汽車重力，汽車處于超重狀態(tài)，若車速過大，容易出現(xiàn)爆胎現(xiàn)象，即也不宜高速行駛。
a、
涉及公式：①
②，由①②得：。
b、分析：設(shè)轉(zhuǎn)彎時(shí)火車的行駛速度為v，則：
（1）若v>v0，外軌道對(duì)火車輪緣有擠壓作用；
（2）若vL
h
mg
F合
FN
ω一定
v一定
r
r
an
an
O
O
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