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微元法處理關聯速度類問題
因高中教材不講授相對運動，關聯速度也較少進行理論分析，因此，當學生遇到稍微復雜點兒的關聯速度類試題時，普遍感覺理解和分析的困難，即便教師著意補充了前兩個方面的內容，很多學生還是覺得難以想象。
其實，所有這類問題，全部可以用微元法——用幾何圖示的方法——直觀的展現和計算，這對絕大部分學生來說，就比相對運動、關聯速度的思路容易理解得多。
【例1】如圖1所示，當小車A以恒定的速度v向左運動時，對于B物體，下列說法正確的是(　　)
A．勻加速上升
B．B物體受到的拉力大于B物體受到的重力
C．勻速上升
D．B物體受到的拉力等于B物體受到的重力
[解析]本題是很常規的繩連接問題，將A車的速度沿繩、垂直繩分解，用沿繩方向分速度相等即可輕松解決。下面以微元法來解本題。
設A車在極短時間內向左運動一小段距離xA，則B的位移與A的位移關系如圖所示，由幾何關系，有：
兩邊除以，得
在此基礎上，易得B答案正確。
【例2】如圖所示，細繩一端固定在天花板上的O點，另一端穿過一張CD光盤的中央小孔后拴著一個橡膠球，橡膠球靜止時，豎直懸線剛好挨著水平桌面的邊沿．現將CD光盤按在桌面上，并沿桌面邊緣以速度v勻速移動，移動過程中，CD光盤中央小孔始終緊挨桌面邊線，當懸線與豎直方向的夾角為θ時，小球上升的速度大小為（　　）
A．vsinθ
B．vcosθ
C．vtanθ
D．vcotθ
[解析]本題按常規思路，需要用到相對運動和運動的分解合成，對很多學生來說這是有一定理解困難的。若是采用微元法，則問題卻變得簡單而直接。
設光盤在極短時間內向右運動一小段位移x，由幾何關系易知，小球水平位移也為x，豎直位移為
兩邊除以時間，得小球上升的速度（豎直速度）為
小球的位移為
兩邊除以，得小球的速度為
【例3】如圖3所示，頂角θ＝60°、光滑V字形軌道AOB固定在豎直平面內，且AO豎直．一水平桿與軌道交于M、N兩點，已知桿自由下落且始終保持水平，經時間t速度由6
m/s增大到14
m/s(桿未觸地)，則在0.5t時，觸點N沿傾斜軌道運動的速度大小為(g取10
m/s2)(　　)
A．10
m/s??
B．17
m/s??
C．20
m/s??
D．28
m/s
[解析]本題按常規思路，需要用到相對運動和運動的分解合成，對很多學生來說這是有一定理解困難的。若是采用微元法，則問題卻變得簡單而直接。
桿做自由落體運動，0.5t時刻，其豎直下落的速度為
設桿在極短時間內豎直下落位移為x，則由幾何關系，有觸點N沿傾斜軌道運動的位移為
兩邊除以，得
【例4】如圖所示為豎直黑板，下邊為黑板的水平槽，現有一三角板ABC，∠C=30?．三角板上A處固定一大小不計的滑輪，現讓三角板豎直緊靠黑板，BC邊與黑板的水平槽重合，將一細線一端固定在黑板上與A等高的Q點，另一端系一粉筆頭（可視為質點）．粉筆頭最初與C重合，且細線繃緊。現用一水平向左的力推動三角板向左移動，保證粉筆頭緊靠黑板的同時，緊靠三角板的AC邊，當三角板向左移動的過程中，粉筆頭會在黑板上留下一條印跡，關于此印跡，以下說法正確的是：（）
A．若勻速推動三角板，印跡為一條直線
B．若勻加速推動三角板，印跡為一條曲線
C．若變加速推動三角板，印跡為一條曲線
D．無論如何推動三角板，印跡均為直線，且印跡與AC邊成75?角
[解析]教學實踐表明，用相對運動固然簡潔明快，但是很多學生無法理解老師究竟在講什么，而如果采用微元法講解本題，學生普遍覺得好理解。
如右圖所示，設三角板在極短時間內向左運動位移為x，則粉筆頭沿斜面上升的距離也為x，粉筆頭對地的位移為，則由幾何關系易知，無論如何向左推動三角板，印跡均為直線，且印跡與AC邊成75?角。
【例5】在一大型超市小偷被保安發現，小偷一以不變速度v1沿著直線AB逃跑，保安以不變的速率v2追擊，其運動方向始終對準小偷．某時刻小偷在F處，保安在D處，FD⊥AB（如圖），試求此時保安的加速度的大小．(弧可以看成圓周運動的一部分)
[解析]要解決這個問題，高中階段幾乎只能用微元法。
經過一段極短的時間，保安和小偷各運動一段路程后，兩者的位置如圖所示，則有
，
且
聯立，得保安軌跡半徑為：
則此時保安的加速度的大小為：
【例6】如圖所示，將質量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質量為m的小環，小環套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d.
現將小環從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，B處在A處正下方距離為d處，則下列說法正確的是
A．小環剛釋放時輕繩中的張力一定大于2mg
B．小環在B處的速度與重物上升的速度大小之比等于
C．小環下降速度最大時，輕繩中的張力一定等于2mg
D．小環從A處開始能夠下降的最大高度為
[解析]本題B、D選項學生基本上都能應付，筆者在此著重分析A、C選項。
按常規思路，我們需要根據機械能守恒定律和牛頓定律，算出小環、重物速度隨時間變化的函數，然后對時間求導。但是，若用微元法，則更簡單直接。
（1）A選項：
設小環經過一段極短的時間t下落一小段距離y，小環的速度增加為v1，此時重物上升的速度為v2，則有：
，
而，則有：
則重物上升的加速度為：
當取t→0時，易知a=0.
則繩中張力等于2mg.
（2）C選項：
當小環速度最大時，小環加速度為零，經過一段極短的時間，小環的速度和重物的速度關系及其變化如圖所示，由圖極易看出，重物速度v2的大小增大了，即重物具有豎直向上的加速度，則繩中張力大于2mg.
更細致的分析如下：
將v1垂直于繩方向分速度vτ的變化量Δvτ分解為Δvτ1、Δvn1，v1沿繩方向分速度vn的變化量Δvn分解為Δvτ2、Δvn2，由于小環的加速度為0，必有：
Δvτ＝－Δvn
則有：
Δvτ1＝－Δvτ2，Δvn1＝－Δvn2
其中，Δvn1產生的加速度大小為：
方向由小環指向滑輪，即為向心加速度。
Δvn2產生的加速度大小為：
其中負號表示該加速度沿繩向左下方。
故此時重物上升的加速度為：，可知繩中張力大于2mg.
xA
xB
xB
θ
θ
y
θ
θ
y
x’
x
N
xN
x
θ
x
θ
x
Δx
x
ρ
θ
x1
θ
x2
v2
d
θ
v2
v1
y
vτ’
d
θ
v2
v1
y
v1
v2
v2’
v1
v2’
vτ
l
vτ
Δvτ
vτ’
d
θ
v2
v1
y
v1
v2
v2’
v1
v2’
vτ
l
vτ
Δvτ1
Δvn1
Δvn
Δvτ2
Δvn2

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