資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
概況
教材版本及章節：北師大版必修4第一章第2節
課型：概念課
內容：《角的概念的推廣》
年級：高一
授課人：
學校：
審核人：
學校：
教材分析
本節課主要內容是角的概念的推廣，是把學生學習的角從不大于周角的非負角擴充到任意角，使角有正角、負角和零角。首先通過生產、生活的實際例子闡明了推廣角的必要性和實際意義，然后又以“動”的觀點給出了正、負、零角的概念，最后引入了幾個與之相關的概念：象限角、終邊相同的角等。本節內容是在學了集合和函數之后的又一重要章節，是對初中銳角三角函數的一個延伸和推廣，主要是推廣到任意角三角函數。也是對集合與函數的知識的又一滲透。本節課《角的概念的推廣》起到了一個鋪墊和承上啟下的作用，為今后學習任意角的三角函數提供了有力的依據。
教學目標
1.通過實例，引導學生理解角的概念推廣的必要性，理解任意角的概念，根據角的終邊旋轉方向，能判定正角、負角和零角。2.引導學生建立直角坐標系來討論任意角，理解象限角的定義，掌握終邊相同的角的表示方法。3.引導學生通過觀察、聯想、歸納得出相應的數學概念和規律，體會由特殊到一般、類比、數形結合等數學思想方法，學會運用運動變化的觀點認識事物。4.通過本節的學習，引導學生意識到數學來源于生活，服務于生活，激發學生學習數學的興趣。5.滲透提升數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學學科核心素養。
學習目標
1.理解角的概念推廣的必要性，理解任意角的概念，會判定正角、負角和零角。2.學會建立直角坐標系來討論任意角，理解象限角的定義，掌握終邊相同角的表示方法。3.在學習過程中體會類比、數形結合等數學思想方法。
教學重點
理解正角、負角、零角、象限角、終邊相同的角的概念，初步掌握終邊相同的角的表示方法。
教學難點
終邊相同的角的表示方法
教學環節
內容摘要
方法策略
設計意圖
用時
備注
一、微課引入
播放微課《角的概念的推廣》（一）角的概念的推廣的必要性同學們，我們的生活中有許多“角”。有些“角”非常直觀，例如：直角三角板中的“角”，鐘表指針構成的“角”。1.初中角的概念1）角是由兩條具有公共端點的射線組成的圖形。2）角也可以看做一條射線繞端點旋轉所組成的圖形。2.歷史上數學家對角的認識實際上，最初的角的定義不是這樣的，我們一起來看一下《歷史上數學家對角的認識》。（詳見附錄）那么，我們現在采用的是源于哪種定義呢？這里，我們要特別介紹一下歐幾里得和他的《幾何原本》。
《幾何原本》是古希臘
(?https:?/??/?baike.so.com?/?doc?/?5401618-5639258.html?)數學家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數學成果和精神于一書。既是數學
(?https:?/??/?baike.so.com?/?doc?/?5343249-5578692.html?)巨著，也是哲
(?https:?/??/?baike.so.com?/?doc?/?4921033-5140127.html?)學巨著，并且第一次完成了人類對空間的認識。
3.我國在這方面的研究漢語的最早譯本是由意大利傳教士利瑪竇和明代科學家徐光啟于1607年合作完成的，但他們只譯出了前6卷。正是這個殘本奠定
(?https:?/??/?baike.so.com?/?doc?/?2632970-2780213.html?)了中國現代數學的基本術語，諸如三角形、角、直角等等。
我們現在所用的角的定義是數學家們不斷修訂后的結果。
4.初中角的分類和范圍初中學習的角有：
銳角、直角、鈍角、平角、周角。5.我們的生活中，還有其它的角。高空纜車的旋轉；跳水中，運動員旋轉的周數如何用角度來表示？轉體兩周指的是多少度？生活中扳手的旋轉等。6.角的概念的推廣的必要性這些例子所提到的角，它們按照不同方向旋轉，它們不全是0°～3600范圍內的角.因此，僅有0°～360°范圍內的角是不夠的，有必要將角的概念進行推廣。
那么，我們怎樣對角的概念進行合理推廣？
你覺得主要推廣的是什么？（二）探究一：角的概念的推廣角的概念的推廣，實質就是范圍的推廣。1.我們規定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，
按順時針方向旋轉形成的角叫做負角．如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它為零角。2.角的畫法如何畫出一個角呢？注意兩方面：（1）要畫出旋轉方向（2）要畫出旋轉量（三）探究二：把角放入直角坐標系角是平面圖形，為了進一步研究角的需要，我們考慮把角放入直角坐標系內討論。
請同學們思考：怎么放入？所有角的放入應該有一個統一的標準？1.象限角的定義把角放在直角坐標系中，使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊（除端點外）落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。2.軸線角的定義如果角的終邊落在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，稱為軸線角．(亦稱軸上角)（四）小結1.按旋轉方向不同分為正角、負角和零角。2.按終邊位置不同分為象限角和軸線角。
微課學習，通過視頻梳理角的相關知識，對角的概念做推廣，為本節課的深入學習做準備。類比、數形結合。類比初中對正數、負數、零的學習，給出正角、負角、零角的概念。并學習角的畫法。引導學生思考給出放入標準。引導學生表達，根據角的終邊位置的不同，可重新對角分類，并生成新的角的相關概念。
（一）“角”來源于生活。1.復習初中角的概念。對比“靜”“動”兩種定義。2.數學史的相關學習。主要介紹歐幾里得和他的《幾何原本》。3.我國相關研究。主要介紹明代科學家徐光啟。（介紹概念的形成是有一個漫長的過程的，并且在不斷修訂和推廣。）4.復習初中角的分類和范圍。為后面推廣角的概念做準備。5.生活中的角的范圍遠超出初中角的范圍，形成認知沖突。有必要將角的概念進行推廣，并且提出相應的思考問題。（二）引導學生先把角的范圍推廣到全體正數，再思考有沒有零角，再根據旋轉方向給出正角和負角。會區分正角和負角的畫法。（三）讓學生繼續體會類比、數形結合等思想方法。滲透培養學生的理性思維和創新精神，并思考概念的合理性。（四）微課小結
8分鐘
二、探究：終邊相同的角的集合
（一）探究三：終邊相同的角探究：在直角坐標系中畫出下列各角：30°，390°，-330°。終邊相同的角：所有與角30°終邊相同的角，連同角30°在內，可構成一個集合（二）一般結論：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合說明：（1）k∈Z；（2）α是任意角；（3）終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角有無數個，它們相差周角的整數倍；（4）k?360°+α之間是“+”號，k?360°-α可理解為k?360°+(-α).
集合的書寫可組織學生小組交流討論
在探究中，練習角的畫法，強化象限角和軸上角的概念，同時為終邊相同的角的學習埋下伏筆。終邊相同的角的集合是本節課的重點和難點
11分鐘
三、典型例題
類型一：角的概念例1：辨析概念（1）銳角是第幾象限的角？答：銳角是第一象限的角。（2）第一象限的角是否都是銳角？答：第一象限的角并不都是銳角。（3）小于90°的角都是銳角嗎？答：小于90°的角并不都是銳角，它也有可能是零角或負角。類型二：象限角的判定及終邊相同的角例2：寫出與－1000?角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360?≤β<720?的元素β寫出來，并判斷
－1000?是第幾象限的角。解：S={β|
β=
－
1000?
+k·360?，
k∈Z
},
S中適合－360?≤β<720?的元素是：
－
1000?+2×360?=
－
280?；
－
1000?+3×360?=
80?
；
－
1000?+4×360?=
440?
．－
1000?是第
一
象限的角。類型三：終邊落在坐標軸上的角的集合解：終邊落在ｙ軸非負半軸上的角的集合為S1
={β|
β=900+K?3600,K∈Z}={β|
β=900+2K?1800,K∈Z}終邊落在ｙ軸非正半軸上的角的集合為S2
={β|
β=2700+K?3600,K∈Z}={β|
β=900+（2K+1）1800
，K∈Z}所以，終邊落在ｙ軸上的角的集合為S
=
S1∪S2={β|
β=900+K?1800
，K∈Z}
注意發揮學生的主動性，完成集合的書寫，完成相關例題和練習。引導學生研究象限角的判別。學生先獨立思考，然后小組合作交流，再學生展示，學生互評，師生互評。
典型例題的主體是對終邊相同的角的表示的應用。這是本節課的難點。引導學生數形結合進行思考和研究，并會分別從數到形、從形到數互相解釋。深化學習軸上角的表示。
22分鐘
四、小結
1.角推廣為正角、零角、負角。（根據角的范圍分類）2.角可分類為象限角、軸線角。（引入直角坐標系后，根據角的終邊位置分類）3.終邊相同的角的集合表示。4.類比、數形結合的數學思想方法。
引導學生小結，生生互評補充，教師評價和總結。
梳理本節的知識和方法。
4分鐘
五、作業布置
必做題：習題1-2，1、2選做題：寫出終邊在x軸上的角的集合。
思考題：第一象限的角怎樣用集合來表示，其它象限的角呢？
分層布置
給不同程度的學生不同的選擇和提升。
六、板書設計
《角的概念的推廣》一、角的定義：
3.象限角、軸上角
四、典型例題
二、任意角
三、終邊相同的角
1.正角、零角、負角
與終邊相同的角的集合
2.角的畫法
附錄：《歷史上數學家對角的認識》
時間
數學家
對角的認識
類別
公元前6世紀
泰勒斯
將“相等的角”稱為“相似的角”
質
公元前4世紀
亞里士多德
將“相等的角”稱為“相似的角”
質
公元前4世紀
歐德姆斯
角源于“折斷”或“偏斜”
質
公元前3世紀
歐幾里得
若一直線與另一直線構成的兩個相鄰的角相等，則稱這兩個角為直角；鈍角是大于直角的角；銳角是小于直角的角
質/量
公元前3世紀
歐幾里得
平面角是兩條線在一個平面內相交所形成的傾斜度
關系
公元前3世紀
阿波羅尼斯
角是折現或折面所含的面或體收縮到某點處
量
公元前1世紀
普魯塔克
角是折現或折面在某點處的初距
量
公元前1世紀
卡普斯
角是包含它的兩線或兩面之間的距離
量
4(共29張PPT)
新課標背景下信息技術與中小學數學、
小學科學學科融合應用及資源建設研究
2018—2019年
陜西省基礎教育資源建設研究課題
角的概念的推廣
北
師
大
版
高
中
數
學
必
修
4
學習目標
1.理解角的概念推廣的必要性，理解任意角的概念，會判定正角、負角和零角。
2.學會建立直角坐標系來討論任意角，理解象限角的定義，掌握終邊相同角的表示方法。
3.在學習過程中體會類比、數形結合等數學思想方法。
首先我們一起來看一個微課：
《角的概念的推廣》
生活中的“角”
同學們，我們的生活中有許多“角”。例如：直角三角板中的“角”，鐘表指針構成的“角”。
初中角的概念
1、角是由兩條具有公共
端點的射線組成的圖形。
2、角也可以看做一條射線繞端點旋轉所組成的圖形。
靜
動
角
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｏ
角
角的始邊
角的終邊
《歷史上數學家對角的認識》
時間
數學家
對角的認識
類別
公元前6世紀
泰勒斯
將“相等的角”稱為“相似的角”
質
公元前4世紀
亞里士多德
將“相等的角”稱為“相似的角”
質
公元前4世紀
歐德姆斯
角源于“折斷”或“偏斜”
質
公元前3世紀
歐幾里得
若一直線與另一直線構成的兩個相鄰的角相等，則稱這兩個角為直角；鈍角是大于直角的角；銳角是小于直角的角
質/量
公元前3世紀
歐幾里得
平面角是兩條線在一個平面內相交所形成的傾斜度
關系
公元前3世紀
阿波羅尼斯
角是折現或折面所含的面或體收縮到某點處
量
公元前1世紀
普魯塔克
角是折現或折面在某點處的初距
量
公元前1世紀
卡普斯
角是包含它的兩線或兩面之間的距離
量
我們現在采用的是源于哪種定義呢？這里，我們要特別介紹一下歐幾里得和他的《幾何原本》。
《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數學成果和精神于一書。既是數學巨著，也是哲學巨著，并且第一次完成了人類對空間的認識。
《歷史上數學家對角的認識》
漢語的最早譯本是由意大利傳教士利瑪竇和明代科學家徐光啟于1607年合作完成的，但他們只譯出了前6卷。正是這個殘本奠定了中國現代數學的基本術語，諸如三角形、角、直角等等。日本、印度等東方國家皆使用中國譯法，沿用至今。
我們現在所用的角的定義是數學家們不斷修訂后的結果。
《歷史上數學家對角的認識》
我們在初中學習的角有：
銳角、直角、鈍角、平角、周角。
但我們的生活中，還有其它的角。
跳水中，運動員旋轉的周數如何用角度來表示？
轉體兩周指的是多少度？向前翻騰3周半又指的是多少度？
這些例子所提到的角，它們按照不同方向旋轉，它們不全是0°～3600范圍內的角.因此，僅有0°～360°范圍內的角是不夠的，有必要將角的概念進行推廣。
那么，我們怎樣對角的概念進行合理推廣？
你覺得主要推廣的是什么？
探究一：角的概念的推廣
B
A
O
B
A
O
逆
時
針
順
時
針
1.我們規定：
按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，
按順時針方向旋轉形成的角叫做負角．
如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它為零角。
角的概念的推廣，實質就是范圍的推廣。
探究一：角的概念的推廣
B
A
O
B
A
O
逆
時
針
順
時
針
2.如何畫出一個角呢？
（1）要畫出旋轉方向
（2）要畫出旋轉量
探究一：角的概念的推廣
角是平面圖形，為了進一步研究角的需要，我們考慮把角放入直角坐標系內討論。
請同學們思考：怎么放入？所有角的放入應該有一個統一的標準？
探究二：把角放入直角坐標系
第二象限角
第一象限角
第三象限角
第四象限角
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
探究二：把角放入直角坐標系
1.象限角的概念：
把角放在直角坐標系中，使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角
。
2.軸線角的概念:
如果角的終邊落在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，稱為軸線角．(亦稱軸上角)
小結
角的概念的推廣，實質就是范圍的推廣。
1.按旋轉方向不同分為正角、負角和零角。
2.按終邊位置不同分為象限角和軸線角。
看完微課，我們繼續探究
探究：在直角坐標系中畫出下列各角：30?，390?
，-330?
。
并觀察圖形，你發現了什么？
x
y
o
300
3900
-3300
探究三：終邊相同的角
x
y
o
3900
3900
-3300
x
y
o
-3300
3900
-3300
x
y
o
300
3900
-3300
3900
-3300
終邊相同的角：所有與角30°終邊相同的角，連同角30°在內，可構成一個集合
探究三：終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合
說明：
（1）k∈Z；
（2）α是任意角；
（3）終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角有無數個，它們相差周角的整數倍；
（4）k?360°+α之間是“+”號，k?360°-α可理解為k?360°+(-α).
典型例題
類型一：角的概念
例1：辨析概念
（1）銳角是第幾象限的角？
（2）第一象限的角是否都是銳角？
（3）小于90°的角都是銳角嗎？
答：銳角是第一象限的角。
答：第一象限的角并不都是銳角。例：390°在第一象限，但不是銳角。
答：小于90°的角并不都是銳角，它也有可能是零角或負角。
典型例題
類型二：象限角的判定及終邊相同的角
例2：寫出與－1000?角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360?≤β<720?的元素β寫出來，并判斷
－1000?是第幾象限的角。
解：S={β|
β=
－
1000?
+k·360?，
k∈Z
},
S中適合－360?≤β<720?的元素是：
－
1000?+2×360?=
－
280?；
－
1000?+3×360?=
80?
；
－
1000?+4×360?=
440?
．
－
1000?是第
一
象限的角。
典型例題
類型三：終邊落在坐標軸上的角的集合
解：終邊落在ｙ軸非負半軸上的角的集合為
S1
={β|
β=900+K?3600,K∈Z}
={β|
β=900+2K?1800,K∈Z}
={β|
β=900+1800
的偶數倍}
終邊落在ｙ軸非正半軸上的角的集合為
S2
={β|
β=2700+K?3600,K∈Z}
={β|
β=900+1800+2K?1800,K∈Z}
={β|
β=900+（2K+1）1800
，K∈Z}
={β|
β=900+1800
的奇數倍}
例3　寫出終邊落在y軸上的角的集合。
S
=
S1∪S2
所以，終邊落在ｙ軸上的角的集合為
={β|
β=900+1800
的偶數倍}
∪{β|
β=900+1800
的奇數倍}
={β|
β=900+1800
的整數倍}　　
={β|
β=900+K?1800
，K∈Z}
課堂小結
1.任意角
正角
負角
零角
象限角
3
.
終邊與角α相同的角的集合
2.角
軸線角
4
.
數學思想方法：數形結合、類比
作
業
必做題：習題1-2，2、3
選做題：寫出終邊在x軸上的角的集合。
思考題：第一象限的角怎樣用集合來表示，其它象限的角呢？
謝
謝
大
家
北
師
大
版
高
中
數
學
必
修
4

展開更多......

收起↑