資源簡介

(共37張PPT)
新課標背景下信息技術(shù)與中小學(xué)數(shù)學(xué)、
小學(xué)科學(xué)學(xué)科融合應(yīng)用及資源建設(shè)研究
2018—2019年
陜西省基礎(chǔ)教育資源建設(shè)研究課題
解三角形的實際應(yīng)用舉例
——高度的測量
北
師
大
版
高
中
數(shù)
學(xué)
必
修
5
學(xué)習(xí)目標
1.了解解三角形在測量、工程等實際問題中的應(yīng)用；能選擇正弦定理、余弦定理解決與三角形有關(guān)的實際問題。
2.在解三角形的實際應(yīng)用問題中，進一步體會數(shù)學(xué)建模的思想，掌握數(shù)學(xué)建模的方法。
3.體會數(shù)學(xué)知識來源于實際生活，體會正弦定理、余弦定理在實際生活中的廣泛應(yīng)用。
《攀登者》——攀登珠穆朗瑪峰
一部飽含愛國主義情懷的電影
1975年珠穆朗瑪峰高度測量
背后的故事1：
為什么登珠峰、測高度?
國家主權(quán)，堅決捍衛(wèi)！
我們自己的山，要自己登上去。
要測出準確的高度,中國的高度.
那么，怎樣測量山的高度呢？
下面，我們一起走進今天的測量之旅
——高度測量。
我們一起來看一個微課：
《學(xué)校旗桿高度的測量》
《學(xué)校旗桿高度的測量》
思考：怎樣測量學(xué)校旗桿的高度？
方法1:利用陽光下的影子
若學(xué)生身高是1.6m,其影長是1m,旗桿影長5m,利用相似的知識可求旗桿高度.
A
B
C
D
E
初中課本測量方法匯總
古埃及金字塔高度的測量
泰勒斯（公元前624年至前547年）：第一個測量出金字塔高度的人。在金字塔建成的1000多年里，人們都無法測量出金字塔的高度——它們實在太高大了。約公元前600年,泰勒斯從遙遠的希臘來到了埃及，他利用相似三角形的性質(zhì),利用影子，測出了金字塔的高度.
神奇的影子
方法2:利用標桿
若學(xué)生眼睛距地面高度是1.6m,標桿是2m，學(xué)生距標桿1m,標桿底部距旗桿底部是15m,利用相似的知識可求旗桿高度.
A
B
C
D
E
F
G
H
初中課本測量方法匯總
方法3、利用鏡子的反射
A
B
C
D
P
若學(xué)生眼睛距地面高度是1.6m,學(xué)生腳距鏡子1m,鏡子距旗桿底部是5m,利用相似的知識可求旗桿高度.
初中課本測量方法匯總
方法4、自主探究方法(1)
利用手機拍照，測量出圖片中旗桿和學(xué)生的長度，以及學(xué)生實際身高。利用相似比計算出旗桿實際高度。
其它測量方法匯總
方法4、自主探究方法(2)
測量出如圖兩位學(xué)生的高度差，兩學(xué)生相距距離，以及他們到旗桿的距離，構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相似比計算出旗桿實際高度。
其它測量方法匯總
方法4、自主探究方法(3)
利用學(xué)生手里的三角尺，測量出學(xué)生三角尺的邊長以及學(xué)生離旗桿的距離，構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相似比計算出旗桿實際高度。
其它測量方法匯總
方法4、自主探究方法(4)
利用學(xué)生手里的書本，測量出學(xué)生眼睛到書本的距離、書本的長度以及學(xué)生離旗桿的距離，構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相似比計算出旗桿實際高度。
其它測量方法匯總
方法4、自主探究方法(5)
通過解直角三角形來完成旗桿高度的測量。測量出圖中BC的長度和角C的大小，根據(jù)AB=BC?tanC計算出旗桿實際高度。
A
B
C
其它測量方法匯總
高度測量類型：底部可到達
方法一：皮尺、標桿。
利用相似來求解。
方法二：皮尺、標桿、測角儀。
解直角三角形。
看完微課，我們繼續(xù)探究：
微課中高度的測量我們可以歸為第一類，底部可到達的物體高度的測量。下面我們來看第二類，底部不可到達的物體的高度測量。
思考：生活中還有一些物體，底部不可到達，我們又該怎樣測量它的高度呢？
高度測量類型二：底部不可到達
如圖：A為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量方案，求出A相對于地面的高度.
學(xué)習(xí)方案一：
不看書，利用所學(xué)，自己設(shè)計測量方案。
A
學(xué)習(xí)方案二：(書中例2)
請同學(xué)們看書自學(xué)并思考：
1.解決問題的思路是什么;
2.此方案需要測量哪些數(shù)據(jù);
3.你能抽象出數(shù)學(xué)簡圖嗎;
4.你能順利完成計算嗎;
5.此方法用到了哪些知識點;
6.你有新的方案嗎？
高度測量類型二：底部不可到達
方法一：
方法二：
B
E
A
H
G
D
C
設(shè)立兩個觀測點
劉徽（生于公元250年左右），是中國數(shù)學(xué)史上一個非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是我國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。
《海島算經(jīng)》是古代漢族學(xué)者編撰的最早一部測量數(shù)學(xué)著作，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。《海島算經(jīng)》共九問。都是用表尺重復(fù)從不同位置測望，取測量所得的差數(shù)，進行計算從而求得山高或谷深，這就是劉徽的重差理論。
二望、三望、四望，處理誤差。
劉徽——《海島算經(jīng)》——望海島圖
1、分析：理解題意，畫出示意圖。
2、建模：把已知量與求解量集中在一個三角形中。
3、求解：運用正弦定理和余弦定理，有順序地解這些三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解。
4、檢驗：檢驗所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解。
實際問題→數(shù)學(xué)問題（三角形）
→數(shù)學(xué)問題的解（解三角形）→實際問題的解
解應(yīng)用題的一般步驟是：
小結(jié)
光學(xué)經(jīng)緯儀
鋼卷尺
測量工具介紹：覘標（只有角度測量功能）
1975年珠穆朗瑪峰高度測量
覘標的使用
1975年珠穆朗瑪峰高度測量
測量方案
1975年珠穆朗瑪峰高度測量
1975年珠穆朗瑪峰高度測量
測量方案：
山高
=
總高度
-
覘標高度
六點聯(lián)測、
取平均值、
最小二乘估計、
誤差控制
測量工具：覘標
1975年珠穆朗瑪峰高度測量
背后的故事1：
國家主權(quán)，堅決捍衛(wèi)！
我們自己的山，要自己登上去。
要測出準確的高度，中國的高度。
背后的故事2：
測量數(shù)據(jù)龐大；
氣象、測量都不發(fā)達；
艱辛、犧牲。
背后的故事3：
國際對8848.13米有質(zhì)疑。
雪層厚度、冰層厚度是否準確？
1975年珠穆朗瑪峰高度測量
2005年，時隔30年，國家測繪局再次組織珠穆朗瑪峰高程測量，囯測一大隊再次領(lǐng)命承擔此次重任，并采用當時世界最先進的測量技術(shù)，利用GPS測量、重力場的理論和方法、高空氣象探候、峰頂冰雪層雷達探測等現(xiàn)代測量技術(shù)手段，結(jié)合水準測量、三角高程測量、電磁波測距、高程導(dǎo)線測量等經(jīng)典測量方法，精確測定珠峰高度。再次將重力測量推進到海拔7790米的高度，并精確地測定了這一高度重力點的坐標和高程，刷新了歷史！
2005年珠穆朗瑪峰高度測量
國測一大隊對珠峰的測量分兩個階段
第一階段：
海拔5600米之前———水準測量法
第二階段：
海拔5600米以后———6點聯(lián)測確保精度
覘標添加了專門的棱鏡，增加了測距功能
辯證的看問題：即使衛(wèi)星測高，還是有誤差的，衛(wèi)星模擬的地球是橢球形，但實際地球不是嚴格意義上的球體，有高山，有盆地。另外空氣、云層等氣象對測量都有影響。所以我們還需輔以人工精確測量。然后電腦進行復(fù)雜運算。
一般人想象不到，目前世界上精度最高的測量方法還是每30米、每30米地依靠人工來測量。
珠峰8300米處的一塊堅固巖石上豎立一根永久性的覘標。
2005年珠穆朗瑪峰高度測量
2005年5月22日中華人民共和國重測珠峰高度，測量登山隊成功登上珠穆朗瑪峰峰頂，再次精確測量珠峰高度，珠峰新高度為8844.43米，而峰頂位于中國。同時停用1975年8848.13米的數(shù)據(jù)。
珠穆朗瑪峰有兩種高度：登山者登上的是總體高度，尼泊爾等國采用的雪蓋高（總高）是8848米（29029英尺），2005年中國國家測繪局測量的巖面高（裸高即地質(zhì)高度）為8844.43米（29017英尺），2010年起承認兩種高度的測量數(shù)據(jù)。
陜西的驕傲，陜西人的驕傲。
珠峰兩次測量均由陜西測繪局國測一大隊測量完成。
2005年珠穆朗瑪峰高度測量
寄
語
時代在發(fā)展，我們致敬《攀登者》里的登山隊員和測量工作人員、氣象工作人員，我們?yōu)橥苿由鐣M步的創(chuàng)新者們點贊。
作為新時代的年輕人，我們要有國家擔當，社會責任，不怕困難，敢于創(chuàng)新，永攀高峰，給出屬于我們自己的人生高度。
作業(yè)
必做：P62，A.4
選做：P59，練習(xí)1
課后拓展學(xué)習(xí)或研究性學(xué)習(xí)建議：
1.有關(guān)測量的數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)。
2.有關(guān)測量的工具學(xué)習(xí)，思考測量工具與學(xué)科知識的融合。
3.有關(guān)水準測量、三角高程測量、電磁波測距、高程導(dǎo)線測量的學(xué)習(xí)。
謝
謝
大
家
北
師
大
版
高
中
數(shù)
學(xué)
必
修
5中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
概況
教材版本及章節(jié)：北師大版必修5第二章第3節(jié)
課型：實驗探究課
內(nèi)容：《解三角形的實際應(yīng)用舉例——高度的測量》
年級：高二
授課人：
學(xué)校：
審核人：
學(xué)校：
教材分析
本節(jié)課是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計算之后的一節(jié)實際應(yīng)用課，是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計的，因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有理論聯(lián)系實際的重要作用。在本節(jié)課的教學(xué)中，用方程的思想作支撐，以具體問題具體分析作指導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生認識問題、分析問題并最終解決問題。
教學(xué)目標
1.了解解三角形在測量、工程等實際問題中的應(yīng)用；能選擇正弦定理、余弦定理解決與三角形有關(guān)的實際問題。2.在解三角形的實際應(yīng)用問題中，進一步體會數(shù)學(xué)建模的思想，掌握數(shù)學(xué)建模的方法。3.體會數(shù)學(xué)知識來源于實際生活，體會正弦定理、余弦定理在實際生活中的廣泛應(yīng)用。4.滲透提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。
學(xué)習(xí)目標
1.能選擇正弦定理、余弦定理解決與三角形有關(guān)的實際問題。2.進一步體會數(shù)學(xué)建模的思想，掌握數(shù)學(xué)建模的方法。
教學(xué)重點
構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實際問題。
教學(xué)難點
數(shù)學(xué)建模的過程及解三角形的運算。
教學(xué)環(huán)節(jié)
內(nèi)容摘要
方法策略
設(shè)計意圖
用時
備注
一、情境引入
2019年9月30日，上映了一部影片《攀登者》，這是一部飽含愛國主義情懷的電影，講的是1975年珠穆朗瑪峰高度測量的故事。背后的故事1：我們?yōu)槭裁吹侵榉濉y高度?國家主權(quán)，堅決捍衛(wèi)！我們自己的山，要自己登上去。要測出準確的高度,中國的高度.問題：那么，怎樣測量山的高度呢？下面，我們一起走進今天的測量之旅——高度的測量。
由愛國主義影片引入
高度的測量來源于生活，為數(shù)學(xué)建模、為愛國主義教育埋下伏筆。
1分鐘
二、探究：高度測量類型（一）底部可到達
（一）學(xué)校旗桿高度的測量1.投影展示學(xué)生的方案并互評。學(xué)生的測量方法主體是初中的測量方法，也有利用角度和長度解三角形的。2.播放微課《學(xué)校旗桿高度的測量》初中課本測量方法匯總方法1：利用陽光下的影子數(shù)學(xué)史介紹：古埃及金字塔高度的測量方法2：利用標桿方法3：利用鏡子的反射其它測量方法匯總：利用手機拍照、利用兩位學(xué)生的高度差、利用三角尺、利用書本，結(jié)合相似三角形的知識，完成了測量。還可以通過解直角三角形來完成旗桿高度的測量。測量出圖中BC的長度和角C的大小，根據(jù)AB=BC?tanC計算出旗桿實際高度。（二）小結(jié)：高度測量類型一：底部可到達方法一：皮尺、標桿。
利用相似來求解。方法二：皮尺、標桿、測角儀。
解直角三角形。
小組交流分享：課前4人組合作交流匯總測量方案；課堂投影，學(xué)生展示各組方案；然后學(xué)生互評，師生互評。
學(xué)生已具備一定的測量知識，可以課前分組自主完成旗桿高度測量的方案制定。教師微課是對初中所學(xué)的復(fù)習(xí)，又有學(xué)生創(chuàng)新測量的匯總與展示，同時介紹相關(guān)數(shù)學(xué)史知識。
10分鐘
三、探究：高度測量類型（二）底部不可到達
思考：生活中還有一些物體，底部不可到達，我們又該怎樣測量它的高度呢？（一）例如：A為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量方案，求出A相對于地面的高度.學(xué)習(xí)方案一：不看書，利用所學(xué)，自己設(shè)計測量方案。學(xué)習(xí)方案二：(書中58頁例2)
請同學(xué)們看書自學(xué)并思考：1.解決問題的思路是什么;2.此方案需要測量哪些數(shù)據(jù);3.你能抽象出數(shù)學(xué)簡圖嗎;4.你能順利計算嗎;5.此方法用到了哪些知識點;6.你有新的方案嗎？書中例2：如圖，要測底部不能到達的煙囪的高AB，從與煙囪底部在同一水平直線上的C，D兩處，測得煙囪的仰角分別是和，
C、D間的距離是12m.已知測角儀器高1.5m.求煙囪的高。分析：因為AB=AA1+A1B,，又AA1=1.5m
所以只要求出A1B即可解：在△BC1D1中，，由正弦定理得：從而：
因此：答：煙囪的高約為（二）例題．如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30
m，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于(　　)A．5
m
B．15
mC．5
m
D．15
m解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，解得BC＝15(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(m)．答案：D（三）方法小結(jié):主要有兩種方法，詳見兩道例題。核心是設(shè)立兩個觀測點（四）數(shù)學(xué)史介紹：劉徽——《海島算經(jīng)》——望海島圖劉徽（生于公元250年左右），是中國數(shù)學(xué)史上一個非常偉大的數(shù)學(xué)家，在世界數(shù)學(xué)史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是我國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。
《海島算經(jīng)》是古代漢族學(xué)者編撰的最早一部測量數(shù)學(xué)著作，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。《海島算經(jīng)》共九問。都是用表尺重復(fù)從不同位置測望，取測量所得的差數(shù)，進行計算從而求得山高或谷深，這就是劉徽的重差理論。
二望、三望、四望，處理誤差。
學(xué)生閱讀自學(xué)，小組交流討論，教師答疑解惑。學(xué)生自主運算，生生互查互評，教師點撥。
引導(dǎo)學(xué)生建模以學(xué)生的自學(xué)為主，分層設(shè)計學(xué)習(xí)方案。有能力的學(xué)生可以自主設(shè)計測量方案，有困難的學(xué)生可以自學(xué)課本內(nèi)容。從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，從實際模型抽象出數(shù)學(xué)圖形，是難點，尤其注意對高的抽象。計算是本節(jié)課的一個重點。通過本組題目落實學(xué)生的運算。此類底部不可到達物體高度的測量核心是設(shè)立兩個觀測點。滲透數(shù)學(xué)史的介紹。
18分鐘
四．數(shù)學(xué)建模步驟
解應(yīng)用題的一般步驟是：1、分析：理解題意，畫出示意圖2、建模：把已知量與求解量集中在一個三角形中3、求解：運用正弦定理和余弦定理，有順序地解這些三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解。4、檢驗：檢驗所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解。實際問題→數(shù)學(xué)問題（三角形）→數(shù)學(xué)問題的解（解三角形）→實際問題的解
師生共同提煉
再次深刻體會數(shù)學(xué)建模的過程
2分鐘
五、實際應(yīng)用
（一）1975年珠穆朗瑪峰高度測量測量工具介紹：鋼卷尺、光學(xué)經(jīng)緯儀、覘標（只有角度測量功能）由于地勢原因，有時視線不方便直達山的最高處，于是，測量工作者在山頂樹立一個參照物，也就是覘標，從山下我們可以清晰的看到覘標的上端。于是，我們可以根據(jù)剛才的所學(xué)，測出覘標上端相對于地面的高度。2.測量方案：山高
=
總高度
-
覘標高度3.數(shù)據(jù)處理：六點聯(lián)測、取平均值、最小二乘估計、誤差控制4.背后的故事2：測量數(shù)據(jù)龐大；氣象、測量都不發(fā)達；艱辛、犧牲。5.背后的故事3：國際對8848.13米有質(zhì)疑。雪層厚度、冰層厚度是否準確？（二）2005年珠穆朗瑪峰高度測量1.2005年，時隔30年，國家測繪局再次組織珠穆朗瑪峰高程測量，囯測一大隊再次領(lǐng)命承擔此次重任，并采用當時世界最先進的測量技術(shù)，利用GPS測量、重力場的理論和方法、高空氣象探候、峰頂冰雪層雷達探測等現(xiàn)代測量技術(shù)手段，結(jié)合水準測量、三角高程測量、電磁波測距、高程導(dǎo)線測量等經(jīng)典測量方法，精確測定珠峰高度。再次將重力測量推進到海拔7790米的高度，并精確地測定了這一高度重力點的坐標和高程，刷新了歷史！
2.覘標添加了專門的棱鏡，增加了測距功能3.國測一大隊對珠峰的測量分兩個階段
第一階段：
海拔5600米之前———水準測量法第二階段：
海拔5600米以后———6點聯(lián)測確保精度4.辯證的看問題：即使衛(wèi)星測高，還是有誤差的，衛(wèi)星模擬的地球是橢球形，但實際地球不是嚴格意義上的球體，有高山，有盆地。另外空氣、云層等氣象對測量都有影響。所以我們還需輔以人工精確測量。然后電腦進行復(fù)雜運算。5.
一般人想象不到，目前世界上精度最高的測量方法還是每30米、每30米地依靠人工來測量。珠峰8300米處的一塊堅固巖石上豎立一根永久性的覘標。6.2005年5月22日中華人民共和國重測珠峰高度測量登山隊成功登上珠穆朗瑪峰峰頂，再次精確測量珠峰高度，珠峰新高度為8844.43米，而峰頂位于中國。同時停用1975年8848.13米的數(shù)據(jù)。7.珠穆朗瑪峰有兩種高度：登山者登上的是總體高度，尼泊爾等國采用的雪蓋高（總高）是8848米（29029英尺），2005年中國國家測繪局測量的巖面高（裸高即地質(zhì)高度）為8844.43米（29017英尺），2010年起承認兩種高度的測量數(shù)據(jù)。8.陜西的驕傲，陜西人的驕傲。珠峰兩次測量均由陜西測繪局國測一大隊測量完成。（三）寄語時代在發(fā)展，我們致敬《攀登者》里的登山隊員和測量工作人員、氣象工作人員，我們?yōu)橥苿由鐣M步的創(chuàng)新者們點贊。作為新時代的年輕人，我們要有國家擔當，社會責任，不怕困難，敢于創(chuàng)新，永攀高峰，給出屬于我們自己的人生高度。
回歸實際應(yīng)用引導(dǎo)學(xué)生給出計算方案
通過珠穆朗瑪峰高度的幾次測量，介紹實際中的測量需要一個重要的測量工具：覘標。同時介紹實際的測量方案。讓學(xué)生感受時代的變遷、祖國的發(fā)展、科技的進步。讓學(xué)生學(xué)會辯證的看問題。讓學(xué)生為中國、為陜西而感到驕傲。激勵學(xué)生要有社會責任與擔當。
10分鐘
六、小結(jié)
請同學(xué)們對本節(jié)課的內(nèi)容進行小結(jié)，談?wù)勀愕氖斋@。
學(xué)生自主發(fā)言，生生互評補充，教師總結(jié)
從知識與能力數(shù)學(xué)思想和方法情感、態(tài)度和價值觀等方面進行小結(jié)。
3分鐘
七、作業(yè)
必做：P62，A.4選做：P59，練習(xí)1課后拓展學(xué)習(xí)或研究性學(xué)習(xí)建議：1.有關(guān)測量的數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)。2.有關(guān)測量的工具學(xué)習(xí)，思考測量工具與學(xué)科知識的融合。3.有關(guān)水準測量、三角高程測量、電磁波測距、高程導(dǎo)線測量的學(xué)習(xí)。
分層布置作業(yè)。提供給學(xué)生課外拓展學(xué)習(xí)的方向。
1分鐘
八、板書設(shè)計
解三角形的實際應(yīng)用舉例----高度的測量類型
底部可到達
底部不可到達
例題圖形測量數(shù)據(jù)方法
3

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