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第六章 萬有引力與航天




知識回顧
1：萬有引力定律的內容是什么
自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小跟物體質量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比。
2：萬有引力定律的適用條件是什么
公式適用于兩質點之間

“r”是指兩質點中心之間的距離；
當質點是兩均質球體時，r是指兩球體球心之間的距離。
一、“稱量地球的質量”
已知：地球的半徑r、地球表面重力加速度g以及卡文迪許自己已測出的引力常量G.
那么卡文迪許該如何“稱量地球的質量”呢？
不考慮地球自轉的影響（物體在地球的表面）
R--------為地球的半徑
g---------地球表面的重力加速度
黃金代換：GM=gR2
二、計算天體的質量
解：
萬有引力充當向心力 F引=Fn
已知：某行星繞轉太陽的公轉周期為T、軌道半徑為r，能不能由此求出太陽的質量M？
F引=Fn
若已知月球繞地球的公轉周期T和軌道半徑r，也可求出中心天體地球的質量－－5.98×1024kg
計算中心天體的密度：
若是近地衛星：r=Re
三、發現未知天體
背景：1781年由英國物理學家威廉．赫歇爾發現了天王星，但人們觀測到的天王星的運行軌跡與萬有引力定律推測的結果有一些誤差……
2：1930年3月14日人們發現了從被稱為太陽系第9個行星— 冥王星
3.1978年人們又發現了冥王星的衛星——卡戎
1：1845年英國人亞當斯和法國天文學家勒維耶各自獨立用萬有引力定律計算發現了“海王星”（第8個行星）。
四、衛星的公轉速度
半徑越大，環繞速度越小
問題： 質量為 m 的人造衛星，繞質量為 M 的地球作半徑為 r 的勻速圓周運動，衛星的線速度有 V 多大？你能得出什么結論？
解:F引=Fn
小
大
小
小
小
題2
2、假如一做圓周運動的人造地球衛星的軌道半徑r增大到原來的2倍，仍做圓周運動，則
A．根據公式F＝mV2/r，可知衛星所需的向心力將減小到原來的1/2
B．根據公式F＝mω2r，可知衛星所需的向心力將增大到原來的2倍
C．根據公式F＝GMm/r2，可知地球提供的向心力將減小到原來的1/4
D．以上說法都不正確
半徑r變——導致——V變、ω變
2、兩顆人造地球衛星質量之比m1∶m2=1∶2,軌道半徑之比r1∶r2=1∶2，下列有關數據之比正確的是( )
A、周期之比T1∶T2=3∶1 B、線速度之比v1∶v2=2∶1
C、向心力之比F1∶F2=1∶1 D、向心加速度之比a1∶a2=4∶1
例題分析
1、人造地球衛星的軌道半徑越大，則( )
A、速度越小，周期越小 B、速度越小，加速度越小
C、加速度越小,周期越大 D、角速度越小,加速度越大
BC
D
根據觀察，在土星外層有一個環，為了判斷環是土星的連續物還是小衛星群。可測出環中各層的線速度V與該層到土星中心的距離R之間的關系。下列判斷正確的是：
A、若V與R成正比，則環為連續物；
B、若V2與R成正比，則環為小衛星群；
C、若V與R成反比，則環為連續物；
D、若V2與R成反比，則環為小衛星群。
例題分析
AD
例2、用宇宙飛船把宇航員送到月球上，如果他已知月球的半徑，那么他用一個彈簧秤和一個已知質量的砝碼，能否測出月球的質量？應該怎樣測定？(已知引力常量為G）
在月球上，砝碼的重力近似等于月球對它的萬有引力
解得:
例: 在天體運動中，把兩顆相距很近的恒星稱為雙星，這兩顆星必須各自以一定的速率繞某一中心轉動才不至于由于萬有引力而吸在一起。已知兩恒星的質量分別為M1和M2兩恒星距離為L。求：(1)兩恒星轉動中心的位置；(2)轉動的角速度。
分析：如圖所示，兩顆恒星分別以轉動中心O作勻速圓周運動，角速度ω相同，設M1的轉動半徑為r1，M2的轉動半徑為r2=L-r1；它們之間的萬有引力是各自的向心力。
（1）對M1，有
對M2，有
故M1ω2r1=M2ω2(L-r1)
（2）將r1值代入式①
（1）對M1，有
對M2，有
2006年廣東卷17、
9.(16分)宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統,通常可忽略其它星體對它們的引力作用。已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設每個星體的質量均為m。
（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期。
（2）假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？
17解:
（1）對于第一種運動情況，以某個星體為研究對象，根據牛頓定律和萬有引力定律有：
運動星體的線速度：
周期為T，則有：
題目
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（2）設第二種情況星體之間的距離為r，則三個星體作圓周運動的半徑為
由于星體作圓周運動所需要的向心力靠其它兩個星體的萬有引力的合力提供，由力的合成和牛頓運動定律得：
由④⑤⑥⑦式得：
題目
上頁


第四節 萬有引力理論的成就
【鞏固教材—穩扎穩打】
1. 一艘宇宙飛船繞一個不知名的行星表面飛行，要測定該行星的密度，僅僅需要測定物理量 ( )
A.運行周期 B.環繞半徑 C.行星的體積 D.運動速度
2．科學家們推測，太陽系的第十顆行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠在太陽的背面，人類一直未能發現它，可以說是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”．由以上信息可以確定：
( )
A．這顆行星的公轉周期與地球相等
B．這顆行星的半徑等于地球的半徑
C．這顆行星的密度等于地球的密度
D．這顆行星上同樣存在著生命
3．下列說法正確的是 ( )
A．海王星和冥王星是人們依據萬有引力定律計算的軌道而發現的
B．天王星是人們依據萬有引力定律計算的軌道而發現的
C．天王星的運行軌道偏離根據萬有引力定律計算出來的軌道，其原因是由于天王星受到軌道外面其他行星的引力作用
D．以上均不正確
4．一顆小行星繞太陽做勻速圓周運動的半徑是地球公轉半徑的4倍，則這顆小行星運轉的周期是 ( )
A．4年 B．6年 C．8年 D．年
【重難突破—重拳出擊】
1．兩個行星的質量分別為和，繞太陽做圓周運動的半徑分別為和，若他們只受太陽的萬有引力作用，則有： ( )
A．兩個行星運動的周期之比為　 B．兩個行星的向心加速度之比為
C．兩個行星的角速度之比是　 D．兩個行星的線速度之比是
2. 地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，若高空中某處的重力加速度為，則該處距地球表面的高度為 ( )
A．（—1）R B．R C．R D．2R
3．地球赤道上物體重力加速度為g，物體在赤道上隨地球自轉的向心加速度為a，假如地球的自轉速度加快，使赤道上的物體完全漂浮起來，那么地球的轉速應為原來的 ( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
4．一艘宇宙飛船貼近一恒星表面飛行，測得它勻速圓周運動的周期為T，設萬有引力常數G，則此恒星的平均密度為 ( )
A． B．
C． D．
5．2001年10月22日，歐洲航天局由衛星觀測發現銀河系中心存在一個超大型黑洞，命名為MCG6－30－15，由于黑洞的強大引力，周圍物質大量掉入黑洞，假定銀河系中心僅此一個黑洞，已知太陽系繞銀河系中心勻速運轉，下列哪一組數據可估算該黑洞的質量
( )
A．地球繞太陽公轉的周期和速度
B．太陽的質量和運行速度
C．太陽質量和到MCG6－30－15的距離
D．太陽運行速度和到MCG6－30－15的距離
6. 設想人類開發月球，不斷把月球上的礦藏搬運到地球上，假定經過長時間開采后，地球仍可看作是均勻的球體，月球仍沿開采前的圓周軌道運動，則與開采前相比 ( )
Ａ. 地球與月球間的萬有引力將變大 Ｂ. 地球與月球間的萬有引力將變小
Ｃ. 月球繞地球運動的周期將變長 Ｄ. 月球繞地球運動的周期將變短
7．已知月球表面的自由落體加速度是地球表面的自由落體加速度的，在月球上和地球上以同樣水平速度從同樣的高度拋出質量相同的小球，比較兩個小球落地點到拋出點的水平距離，在月球上的距離和地球上的距離之比，是下列給出的數據中的哪個 ( )
A． B． C．6 D．36
8. 設土星繞太陽的運動為勻速圓周運動，若測得土星到太陽的距離為R，土星繞太陽運動的周期是T，萬有引力常量G已知，根據這些數據，能夠求出的物理量有 ( )
A. 土星線速度的大小 B．土星加速度的大小
C．土星的質量 D. 太陽的質量
【鞏固提高—登峰攬月】
1．繼神秘的火星之后，土星也成了全世界關注的焦點！經過近7年35.2億公里在太空中風塵仆仆的穿行后，美航空航天局和歐航空航天局合作研究的“卡西尼”號土星探測器于美國東部時間2004年6月30日（北京時間7月1日）抵達預定軌道，開始“拜訪”土星及其衛星家族。這是人類首次針對土星及其31顆已知衛星最詳盡的探測！若“卡西尼”號探測器進入繞土星飛行的軌道，在半徑為R的土星上空離土星表面高的圓形軌道上繞土星飛行，環繞周飛行時間為。試計算土星的質量和平均密度。








2. 兩顆靠得很近的天體稱為雙星，它們以兩者連線上某點為圓心作勻速圓周運動，這樣就 不至于由于萬有引力而吸引在一起，設兩雙星質量分別為m和M，M＝3m。兩星間距為L，在相互萬有引力的作用下，繞它們連線上某點O轉動，則它們運動的角速度為多少?



第四節 萬有引力理論的成就
【鞏固教材－穩扎穩打】1.A 2.BC 3.AC 4.C
【重難突破—重拳出擊】1.BD 2.A 3.D 4.B 5.D 6.BD 7.B 8.ABD
【鞏固提高—登峰攬月】1.解答：設“卡西尼”號的質量為m，土星的質量為M. “卡西尼”號圍繞土星的中心做勻速圓周運動，其向心力由萬有引力提供.
，其中，
所以：．
又，
2.

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