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電磁感應動態問題的定量計算
導體棒或者導線框在磁場中切割磁感線運動時，感應電動勢與切割速度成正比，在受力不平衡時，速
度變化引起感應電動勢變化，進而引起電路中電流的變化，電流變化又引起安培力變化，導體棒或者導線
框的加速度也就隨之變化……
對于這種動態過程，從動力學角度進行定性分析（寫出加速度隨速度變化的方程，進而借助 v-t圖象
進行分析），已經對同學們提出了較高的能力要求，但是，很多題目卻并不僅僅要求定性的把握運動變化
情況，還進一步要求進行定量計算整個運動過程的導體的位移、末速度、流過導體的電荷量或導體中產生
的焦耳熱！
這樣的過程，往往無法直接用牛頓定律予以解決，很多同學即便已經定性把握了整個運動情況，仍然
感到無從下手。其實，這種問題有著幾乎固定的套路，那就是以感應電流為橋梁，將導體的位移、速度變
化與電路中的感應電量兩兩聯系起來，結合能量守恒、動量定理和微元累加法、平均值法等列方程計算。
下面，我們一起來看看這種思路的應用要點。
一、感應電流作為橋梁
1、聯系感應電量與導體的相對位移
（1）微元累加法
設導體中電流就是導體切割感應電動勢引起，某一瞬間導體切割磁感線速度為 v，則有 BLve ? ，電
路中電流為
總R
ei ? ，則一段極短時間 t? 內，有通過導體的電荷量為 tiq ??? ，聯立可得
t
R
BLvq ???
總
，
其中其中 xtv ???? ，則
總R
xBLq ??? ，然后全過程累加，有
總R
BLxq ? 。
（2）平均值法
設導體中電流就是導體切割感應電動勢引起，全過程導體切割磁感線平均速度為 v，則有 vBLE ? ，
電路中平均電流為
總R
EI ? ，則對全過程，通過導體的電荷量為 tIq ? ，聯立可得
t
R
vBLq
總
? ，
其中 xtv ?? ，則有
總R
BLxq ? 。
2、聯系感應電量和導體速度的變化
（1）微元累加法
設導體運動過程中只受安培力作用，某時刻通過導體的電流為 i，則在一段極短時間 t? 內，由動量定
理，有
vmtiLB ???? ，
其中 tiq ??? ，聯立得 vmqLB ??? ，然后全過程累加，有 0mvmvqLB ?? 。
（2）平均值法
設導體在整個運動過程中只受安培力作用，且全過程通過導體的平均電流為 I ，由動量定理，有
0mvmvtLBI ??? ，
其中 tIq ? ，聯立得 0mvmvqLB ?? 。
3、聯系相對位移和導體速度的變化
（1）微元累加法
設導體中電流就是導體切割感應電動勢引起，某一瞬間導體切割磁感線速度為 v，則有 BLve ? ，電
路中電流為
總R
ei ? ，則一段極短時間 t? 內，由動量定理，有 vmtiLB ???? ，聯立可得
vmt
R
vLB
????
總
22
，
其中 xtv ???? ，則 vmx
R
LB
????
總
22
，然后全過程累加，有 0
22
mvmvx
R
LB
???
總
。
（2）平均值法
設導體中電流就是導體切割感應電動勢引起，全過程導體切割磁感線平均速度為 v，則有 vBLE ? ，
電路中平均電流為
總R
EI ? ，則對全過程，由動量定理，有 0mvmvtLBI ??? ，聯立可得
0
22
mvmvt
R
vLB
???
總
，
其中 xtv ?? ，則有 0
22
mvmvx
R
LB
???
總
。
二、幾種典型應用實例
1、阻尼式
【例 1】(2018·泰安模擬)如圖所示，間距為 L，電阻不計的足夠長平行光滑金屬導軌水平放置，導
軌左端用一阻值為 R的電阻連接，導軌上橫跨一根質量為 m，電阻也為 R的金屬棒，金屬棒與導軌接觸良
好。整個裝置處于豎直向上、磁感應強度為 B的勻強磁場中。現使金屬棒以初速度 v0沿導軌向右運動，若
金屬棒在整個運動過程中通過的電荷量為 q。下列說法正確的是( )
A．金屬棒在導軌上做勻減速運動
B．整個過程中電阻 R上產生的焦耳熱為mv0
2
2
C．整個過程中金屬棒在導軌上發生的位移為qR
BL
D．整個過程中金屬棒克服安培力做功為mv0
2
2
[解析]設某時刻金屬棒的速度為 v，則此時的電動勢 E＝BLv，感應電路為
R
EI
2
? ，則安培力向左，
大小 F 安＝ILB，由牛頓第二定律有 F 安＝ma，聯立得 ma
R
vLB
?
2
22
，則金屬棒作減速運動，它的加速度隨
速度減小而減小，即金屬棒做加速度減小的減速運動，選項 A錯誤；由能量守恒定律知，整個過程中，金
屬棒克服安培力做功等于電阻 R和金屬棒上產生的焦耳熱之和，即 W 安＝Q＝
1
2
mv02，選項 B錯誤，D正確；
設整個過程中金屬棒的平均速度為 v，通過金屬棒的平均電流為 I ，則有
R
vBLI
2
? ，則通過導體棒的電荷
量 t
R
vBLtIq
2
?? ，其中 xtv ?? ，得金屬棒在導軌上發生的位移 x＝2qR
BL
，選項 C錯誤。
本題選 D。
[拓展]本題中，“通過導體的電荷量 q”這個信息是多給了的信息。實際上 q可以直接用 v0計算出來。
設整個過程中金屬棒的平均速度為 v，通過金屬棒的平均電流為 I ，則由動量定理，有 00 mvtLBI ???? ，
即 00 mvqLB ??? ，解得 BL
mvq 0? 。再由
R
vBLI
2
? ， tIq ? ，得
R
BLxt
R
vBLq
22
?? ，得金屬棒在導軌上
發生的位移 22
02
LB
Rmvx ? 。
【例 2】如圖所示，間距為 L，電阻不計的足夠長平行光滑金屬導軌水平放置，導軌左端接有一個電
容為 C的理想電容器，導軌上橫跨一根質量為 m，電阻為 R的金屬棒，金屬棒與導軌接觸良好。整個裝置
處于豎直向上、磁感應強度為 B的勻強磁場中。現使金屬棒以初速度 v0沿導軌向右運動。試分析：
（1）金屬棒在導軌上的運動情況；
（2）金屬棒的最終速度和電容器最終電壓各為多少？
[解析]（1）設某時刻金屬棒速度為 v，電容器電壓為 u，則此時通過金屬棒
中的電流為
R
uBLvi ?? ，由此可以看出，隨著金屬棒速度的減小，電容器的充
電，通過金屬棒的電流逐漸減小，設金屬棒的加速度為 a，則有 maiLB ? ，可知金屬棒做加速度減小的減
速運動，最終，當 i=0時，金屬棒做勻速直線運動。
（2）由前述分析可知，設金屬棒的最終速度為 v，電容器的最終電壓為 U，則有
BLvU ? ，
設某時刻通過金屬棒的電流為 i，則在一段極短時間 t? 內，由動量定理，有
vmtiLB ???? ，
其中 tiq ??? ，聯立得 vmqLB ???? ，然后全過程累加，有 0mvmvqLB ??? 。
而 CUUCq ??? ，聯立解得 22
0
LCBm
mvv
?
? ， 22
0
LCBm
BLmvU
?
? 。
[拓展]若采用平均值法，則第二問的解析過程會簡潔一些：設全過程通過金屬棒的平均電流為 I ，則
由動量定理，有
0mvmvtLBI ???? ，
其中 CUUCqtI ???? ，聯立解得 22
0
LCBm
mvv
?
? ， 22
0
LCBm
BLmvU
?
? 。
2、電動式
【例 3】如圖所示，間距為 L，電阻不計的足夠長平行光滑金屬導軌水平放置，導軌左端接有一個電
動勢為 E、內阻為 r的電源，導軌上橫跨一根質量為 m，電阻為 R的金屬棒，金屬棒與導軌接觸良好。整
個裝置處于豎直向上、磁感應強度為 B的勻強磁場中。現將開關閉合。試分析：
（1）金屬棒在導軌上的運動情況；
（2）金屬棒的最終速度和通過金屬棒電荷量各為多少？
（3）整個過程中金屬棒上產生的焦耳熱。
[解析]（1）設某時刻金屬棒速度為 v，則此時通過金屬棒中的電流為
rR
BLvEi
?
?
? ，由此可以看出，
隨著金屬棒速度的增加，通過金屬棒的電流逐漸減小，設金屬棒的加速度為 a，則有 maiLB ? ，可知金屬
棒做加速度減小的加速運動，最終，當 i=0時，金屬棒做勻速直線運動。
（2）由前述分析可知，設金屬棒的最終速度為 v，則有
BLvE ? ，
設全過程通過金屬棒的平均電流為 I ，則由動量定理，有
0??? mvtLBI ，
其中 qtI ? ，聯立解得
BL
Ev ? ， 22LB
mEq ? 。
（3）全過程電源釋放的總電能為 qEE ?總 ，設電路中的總焦耳熱為 Q 總，則由能量守恒，有
2
2
1 mvQE ?? 總總 ，
設任意時刻通過金屬棒的電流為 i，則在一段極短時間 t? 內，電源內阻產生的焦耳熱為 triQ ??? 2內 ，
金屬棒產生的焦耳熱為 tRiQ ??? 2棒 ，有 r
R
Q
Q
?
?
?
內
棒 ，則全過程也有
r
R
Q
Q
?
內
棒 ，而
內棒總 QQQ ?? ，聯立
解得
)(2 22
2
rRLB
mREQ
?
?棒 。
【例 4】（2017 年天津卷）電磁軌道炮利用電流和磁場的作用使炮彈獲得超高速度，其原理可用來研
制新武器和航天運載器。電磁軌道炮示意如圖，圖中直流電源電動勢為 E，電容器的電容為 C。兩根固定
于水平面內的光滑平行金屬導軌間距為 l，電阻不計。炮彈可視為一質量為 m、電阻為 R的金屬棒 MN，垂
直放在兩導軌間處于靜止狀態，并與導軌良好接觸。首先開關 S接 1，使電容器完全充電。然后將 S接至
2，導軌間存在垂直于導軌平面、磁感應強度大小為 B的勻強磁場（圖中未畫出），MN開始向右加速運動。
當MN上的感應電動勢與電容器兩極板間的電壓相等時，
回路中電流為零，MN達到最大速度，之后離開導軌。
問：
（1）磁場的方向；
（2）MN剛開始運動時加速度 a的大小；
（3）MN離開導軌后電容器上剩余的電荷量 Q是多少。
[解析]（1）電容器充電后上板帶正電，下板帶負電，放電時通過 MN的電流由 M到 N，欲使炮彈射
出，安培力應沿導軌向右，根據左手定則可知磁場的方向垂直于導軌平面向下。
（2）電容器完全充電后，兩極板間電壓為 E，當開關 S接 2時，電容器放電，設剛放電時流經 MN
的電流為 I，有
EI
R
? ，
MN受到的安培力為 F=IlB，由牛頓第二定律有 F=ma，聯立解得
mR
BEla ? ，
（3）當電容器充電完畢時，設電容器上電量為 Q0，有 Q0=CE，
開關 S接 2后，MN開始向右加速運動，速度達到最大值 vm時，設 MN上的感應電動勢為 E'，有
mBlvE ?? ，
依題意有
QE
C
? ? ，
設在此過程中 MN的平均電流為 I ，則由動量定理，有
m 0ILB t mv? ? ? ，
又 0I t Q Q? ? ? ，
聯立解得
2 2 2
2 2
B l C EQ
m B l C
?
?
3、發電式
【例 5】如圖所示，abcd是質量為 m的 U形金屬導軌，ab與 cd平行，放在光滑絕緣的水平面上，另
有一根質量為 m的金屬棒 PQ平行于 bc放在導軌上，PQ棒右邊靠著絕緣豎直光滑且固定在絕緣水平面上
的立柱 e、f，U形導軌處于勻強磁場中，磁場以過 e、f的 O1O2為界，右側磁場方向豎直向上，左側磁場
方向水平向左，磁感應強度大小都為 B，導軌的 bc段長度為 L，金屬棒 PQ的電阻為 R，其余電阻均可不
計，金屬棒 PQ與導軌間的動摩擦因數為μ。在導軌上作用一個方向向右、
大小 F=mg(g為重力加速度)的水平拉力，使 U形導軌由靜止開始運動，導
軌從開始運動至達到最大速度 vm的時間為 t。設導軌足夠長。
(1)求導軌在運動過程中的最大速度 vm。
(2)從導軌開始運動至達到最大速度 vm過程中，系統增加的內能為多少?
[解析] (1)當導軌的加速度為零時，導軌速度最大，設為 vm。導軌在水平方向上受到外力 F、水平向左
的安培力 F1和滑動摩擦力 F2，則 F-F1-F2=0
由 F1=BIL，I=