資源簡介

幾何畫板 4.07
特色與實用技巧
浙江溫嶺松門鎮中學(初中) 李衛星
Email:liwx101@
QQ:80307840
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《幾何畫板》簡介
如何制作課件是每一位想運用現代技術輔助教學的教師所關心的問題。對于課件制作，首
先是制作平臺的選擇。現在可用于課件制作的軟件平臺很多，我們認為《幾何畫板》應該是數
學教師的首選。
《幾何畫板》軟件是由美國 Key Curriculum Press 公司制作并出版的幾何軟件。它的全
名是《幾何畫板——21 世紀的動態幾何》。1996 年我國教育部全國中小學計算機教育研究中
心開始大力推廣“幾何畫板”軟件，幾年來，幾何畫板軟件越來越多的在教學中得到應用。它
簡單易學，功能強大。幾何畫板動態探究數學問題的功能，使學生原本感到枯燥的數學變得形
象生動，可以極大地調動學生學習的積極性。
《幾何畫板》是一個適用于幾何（平面幾何、解析幾何、射影幾何等）教學的軟件平臺。
它為老師和學生提供了一個探索幾何圖形內在關系的環境。它以點、線、圓為基本元素，通過
對這些基本元素的變換、構造、測算、計算、動畫、跟蹤軌跡等，它能顯示或構造出其它較為
復雜的圖形。它的特色首先能把較為抽象的幾何圖形形象化，但是它最大的特色是“動態性”，
即：可以用鼠標拖動圖形上的任一元素（點、線、圓），而事先給定的所有幾何關系（即圖形
的基本性質）都保持不變，這樣更有利于在圖形的變化中把握不變，深入幾何的精髓，突破了
傳統教學的難點。
《幾何畫板》操作簡單，只要用鼠標點取工具欄和菜單就可以開發課件。它無需編制任何
程序，一切都要借助于幾何關系來表現，因此它只適用于能夠用數學模型來描述的內容--例如
部分物理、天文問題等。因此，它非常適合于幾何老師使用，因為用它進行開發最關鍵的是“把
握幾何關系”——這正是老師所擅長的。用《幾何畫板》進行開發速度非常快。一般來說，如
果有設計思路的話，操作較為熟練的老師開發一個難度適中的軟件只需 5—10 分鐘。正因為如
此，老師們才能真正把精力用于課程的設計而不是程序的編制上，才能使技術真正地促進和幫
助教學工作，并進一步推動教育改革的發展。
學習數學需要數學邏輯經驗的支撐，而數學經驗是從操作活動中獲得。離開人的活動是沒
有數學、也學不懂數學的。在老師的引導下，《幾何畫板》可以給學生創造一個實際“操作”
幾何圖形的環境。學生可以任意拖動圖形、觀察圖形、猜測并驗證，在觀察、探索、發現的過
程中增加對各種圖形的感性認識，形成豐厚的幾何經驗背景，從而更有助于學生理解和證明。
因此，《幾何畫板》還能為學生創造一個進行幾何“實驗”的環境，有助于發揮學生的主體性 、
積極性和創造性，充分體現了現代教學的思想。從這個意義上說《幾何畫板》不僅應成為教師
教學的工具，更應該成為學生的有力的認知工具。在當前大力開展素質教育和減負工作的情形
下，把《幾何畫板》交給學生無異于交給學生一把金鑰匙，是一件特別有意義的事。
由此可見，《幾何畫板》是一個“個性化”的面向學科的工具平臺。這樣的平臺能幫助所
有愿意使用技術的老師在教學中使用技術，也能幫助學生在實際操作中把握學科的內在實質，
培養他們的觀察能力、問題解決能力，并發展思維能力。可以認為，類似《幾何畫板》這樣的
平臺代表著教育類工具軟件的一個發展方向。
本教材對 4.07 版本的幾何畫板的功能和基本操作進行了比較詳細的介紹（當然也適合于
4.0 以上的版本），幾何畫板的功能不再單獨的列出，在每個例子中已對功能進行詳解，初學
者只要循序漸進的進行學習，相信你一定會很快的入門，前面的很多例題是為后面例題的提升
服務的，因而，需要的是從上到下，由易到難的學習。只要您用心領會，多動手操作，相信您
能很快在幾何畫板的使用上得心應手的。
鐵騎星星于臺州
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第一章.幾何畫板4.07 簡介
1.1 幾何畫板的安裝
安裝步驟：
（1）在網上下載幾何畫板 4.07 演示版，或用光盤進行安裝。
（2）雙擊 （有時圖標為 ）進行安裝，出現
對話框，點擊下一步。
（3）如圖 1.1，出現安裝路徑選擇，一般不必改動，單擊下一步，繼續安裝。
（4）單擊安裝即可完成幾何畫板的安裝。
1.2 幾何畫板的啟動及窗口
1.2.1 幾何畫板的啟動：單擊桌面左下角的【開始】按鈕，選擇【程序】-【幾何畫板 4.07
（或 GSP4.07）】應用程序后，啟動幾何畫板。
或者雙擊屏幕快捷方式圖標 ，開啟幾何畫板窗口，并顯示版權信息。用鼠標單擊畫
板任一處，隱去版權信息，出現如圖所示的畫面。
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狀態欄
啟動幾何畫板后，進入幾何畫板的使用界面。下面是窗口各部分名稱，如圖 1.2-1所示。
標題欄
菜單欄
工具欄
繪圖區
狀態欄
圖 1.2-1 “幾何畫板”使用界面
1.2.2 幾何畫板的窗口
（1）控制菜單圖標
單擊最左上角控制菜單框圖標 ，出現對幾何畫板控制的選擇（見圖 1.2-2）；單擊“未命
名 1”窗口的控制菜單圖標 ，出現對文件“未命名 1”控制的選擇（見圖 1.2-3）。雙擊控制
菜單圖標將關閉幾何畫板軟件或者關閉當前文件（可能出現詢問是否保存的對話框）。
圖 1.2-2 圖 1.2-3
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（2）標題欄
顯示打開軟件與打開文件的文件名。
（3）最小化按鈕
單擊窗口的最小化按鈕，可將該窗口縮小為一個圖標，單擊打開的幾何畫板文件“未命名
1”最小化按鈕使該窗口最小化——縮小為一個圖標位于屏幕的底部（如果打開幾個文件窗口，
則其他文件窗口不會最小化），單擊該圖標又可使窗口最大化。單擊右上角的最小化按鈕可使
幾何畫板軟件窗口縮小為一個位于屏幕底部的圖標。
（4）最大化按鈕
單擊窗口的最大化按鈕，可將該窗口擴展為最大窗口。
（5）關閉按鈕
單擊窗口右上方的關閉按鈕可以關閉相應的窗口。若
打開后未編輯過而關閉該文件，系統不作提示；若曾經編
輯過而未曾存盤，將出現是否存盤的提示（見圖 1.2-4），
要求作出相應的回答。
圖 1.2-4
（6）狀態欄
提示操作狀態。提示選擇了【工具箱】中的哪個工具，將進行什么操作（見圖 1.2-5 中 ，
選擇了【畫圓】工具，處于“構造一圓”狀態）或者當前操作將產生什么結果（見圖 1.2-6 中 ，
“在圓上構造一點”提示此刻若畫點則一定畫在圓上，圓高亮顯示）。操作時應該經常注意狀
態欄所提示的內容。
圖 1.2-5 圖 1.2-6
（7）工具箱在 1.5 節介紹，菜單欄的介紹參見 1.6 節。
1.3 幾何畫板操作的幾點說明
為便于讀者熟悉幾何畫板的操作風格，這里簡單介紹它的一些操作說明，以便于很快熟悉
這個軟件。
（1）鼠標操作
移動：移動鼠標，使屏幕上的鼠標指針跟著移動。移動鼠標不需要按住鼠標的任何鍵。
單擊：將鼠標移動到某一個位置或對象上，用手指按一下鼠標左鍵（如左手握鼠標，則應按
右鍵）松開。本書以使用右手握鼠標為例。如果要使用左手握鼠標則需要預先對鼠標屬性進行設
置。
右鍵單擊：用手指按一下鼠標右鍵，簡稱右擊。
雙擊：將鼠標移動到某一個位置或對象上，用手指快速地擊鼠標左鍵兩下。
拖動：將鼠標移動到某一個位置或對象上，用手指按下鼠標左鍵不松手，移動指針到另一
個位置，再松開鼠標左鍵。
注意：“移動”與“拖動”的區別，拖動常指選中了某個對象而拖動該對象。
（2）窗口操作
當窗口并未最大化時，用鼠標拖動標題欄可以改變窗口在桌面或窗口的位置。調整幾個窗
口位置關系時常需要這樣做。
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置鼠標于窗口的下方邊緣（見圖 1.3-1），當鼠標成為一個上下的箭頭時按下鼠標，上下
拖動，可以改變窗口高度。類似地，置鼠標于窗口的右邊，當鼠標成為一個指向左右的箭頭時
按下鼠標，左右拖動，可以改變窗口寬度。置鼠標于窗口的右下角，當鼠標成為一個指向右下
與左上的箭頭時按下鼠標，拖動，可以同時改變窗口的高度與寬度。
圖 1.3-1
（3）菜單操作
單擊某菜單（如單擊【文件】菜單，出現圖 1.3-2所示的情形），移動鼠標到要選擇的某
個選項處或者移動到該菜單的級聯菜單中的某個選項處，再單擊鼠標，將執行該菜單功能。如
圖 1.3-3 所示，單擊【文件】菜單下的【打開】選項，進入如圖 1.3-4 所示的打開某個文件
的操作。在幾何畫板環境下，只能打開.gsp 與.gs4（由 4.0 版生成）兩類文件。若某選項中帶
有“…”，則會打開一個對話框。
圖 1.3-2 圖 1.3-3 圖 1.3-4
幾何畫板的菜單欄中有【幫助】菜單，可以通過它來獲得簡單的操作指導。在幾何畫板的
許多對話框中還有 按鈕，可以隨時得到相應的幫助。
另外，在操作的過程中，按 F1 鍵也可隨時得到相應的幫助信息。
（4）快捷鍵操作
通過快捷鍵實現程序的某個功能是 Windows 下許多程序的特點，幾何畫板也一樣。
在單擊菜單中的某個選項時，應該注意該菜單右邊所指出的快捷鍵。如圖 1.2-5 所
示，要進入打開文件的對話框，可以直接按 Ctrl+O 鍵（先按住 Ctrl 鍵，后再按下字母 O 鍵 ，
下同）而不必單擊此菜單，以節省時間。要退出幾何畫板可以按 Ctrl+Q 鍵，等等。
（5）右鍵操作
許多應用軟件都支持右鍵操作，幾何畫板也如此。在畫板的繪圖區按下鼠標右鍵顯示菜單
的簡潔形式，稱為“快捷菜單”。右擊的對象不同，快捷菜單的菜單項也會不同。選中畫出的
圓 A（鼠標成為指向左邊的黑色箭頭），單擊右鍵，如圖 1.3-6所示為彈出的快捷菜單。由此
可見利用快捷菜單可以進行許多操作，尤其值得注意的是可以在此了解對象的屬性。
6
圖 1.3-5 圖 1.3-6
（6）對話框中的文本框
應用程序的有些對話框帶有需要用戶編輯的“文本框”。如圖 1.3-7 所示，打開【文件】
菜單中的【存盤】（快捷鍵 Ctrl+S）或者【另存為】選項，要求用戶輸入文件名。若用戶使用
系統默認的文件“未命名.gsp”，單擊【保存】按鈕即可，若用戶輸入其他文件名，則處于抹
黑狀態的“未命名”自動消失，輸入文件名后系統會自動加上擴展名 gsp，用戶不必輸入。幾
何畫板默認把文件保存在 My Documents 文件夾中，也可以改變文件夾而保存到其他文件夾中。
圖 1.3-7
（7）撤銷和重復
不管是幾何畫板的新手還是老手，在繪圖時都可能出現失誤。在幾何畫板中，有下列幾種
糾正失誤的方法。
使用“撤銷”功能：單擊【編輯】菜單中的【撤銷】取消剛剛畫出的內容，復原到前次工
作狀態。如果已經進行了許多操作，則可以一步一步復原到初始狀態（空白畫板，或者本次所
打開文檔的狀態）。這個功能的快捷鍵是 Ctrl+Z。如果這時又不想撤銷了，可以使用重復功能 ，
快捷鍵是 Ctrl+R。
如果在單擊【撤銷】命令之前，按下了 Shift 鍵，則【撤銷】命令就變成了【撤銷所有動
作】，快捷鍵是 Shift+Ctrl+Z。這樣可以獲得一個空白畫板。
使用“刪除”功能：按鍵盤上的 Del（刪除）鍵或者單擊【編輯】菜單的【清除】選項可
以清除所選中的對象。但是，在幾何畫板中刪除對象必須十分小心，這是因為，如果刪除一個
對象，那么這個對象的子對象就同時被刪除。
如果有一個對象要“刪除”但又不希望影響其他對象，那么可以采用隱藏該對象的方法。
隱藏對象的方法是先用【選擇】工具選中要隱藏的對象，然后單擊【顯示】菜單中的【隱藏】
選項，或者按快捷鍵 Ctrl+H。
（8）文字處理
幾何畫板中出現的所有文字，不管是對象的符號、標簽中的文字、度量值等，都可以像其
他 Windows 應用程序一樣改變文字的顏色、字體、字型和字號等。
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1.4 幾何畫板的參數設置
幾何畫板允許用戶對系統參數進行設置，參數在設置以后直到下次改變以前，系統一直保
持用戶的設置。
（1）一般參數選項
單擊【編輯】菜單下的【參數選項】命令，如圖 1.4-1，進入參數選項對話框。
這里分成三大部分：單位，顏色，文本。進入單位先項，單擊右邊的按鍵 ，顯示距離單
位的三種選擇（如圖 1.4-2），無論是角度還是距離，都可以設置其精確度，其精確度有 5種選
擇。
狀態欄
圖 1.4-1 圖 1.4-2
顏色、文本的設置類似，可以通過設置觀察不同的效果。
（2）高級參數選項
按住 Shift，單擊【編輯】菜單下的【高級參數選項】命令，如圖 1.4-3，我們可以看到
比原先多了三個選項，分別是導出、采樣、系統。
圖 1.4-4
圖 1.4-3
在系統這一欄中，單擊【編輯顏色菜單】，出現一個對話框（如圖 1.4-4），上下拖動右
邊的滑動 ，可改變顏色。在參數設置以后，系統會提示，必須關閉幾何畫板，重新啟動幾何
畫板才能使設置有效。
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1.5 幾何畫板工具箱
如圖 1.5-1，畫板窗口的左側是畫板工具箱，把光標移動到工具的上面，過一會兒就會顯
示工具的名稱，它們分別是【選擇箭頭工具】、【點工具】、【圓規工具】、【直尺工具】、
【文本工具】、【自定義畫圖工具】，單擊【顯示】菜單中的【隱藏工具箱】可以隱藏這個畫
板工具箱。這是個“開關”選項，要顯示畫板工具箱，可以單擊【顯示】菜單中的【顯示工具
箱】。
圖 1.5-1
。
幾何畫板工具箱按鈕名稱與功能如表所示。
幾何畫板工具箱按鈕名稱與功能表
按 鈕 名 稱 功 能
【選擇】工具。按住不放會出現一 都可以用來選擇目標、對象。使用
排按鈕。后兩者依次是【旋轉】工具、 【縮放】工具或【旋轉】工具都必須先
【縮放】工具。不要松開鼠標，拖動到 定義“縮放中心”或“旋轉中心”。（ 按
需要的工具按鈕處松開鼠標，該工具被 住 Shift 鍵可以選中兩個或者兩個以上
選擇 的 對象）
【畫點】工具 用來畫點
【畫圓】工具 用來畫圓
【畫線】工具。按住不放會出現一
排按鈕，依次是【畫線段】工具、【畫
射線】工具、【畫直線】工具。不要松 用來畫線（線段、射線或直線）
開鼠標，拖動到需要的工具按鈕處松開
鼠標，該工具被選擇
給點、線、圓、軌跡、圖像等對象
【文本】工具
標注符號或在屏幕上加一段文字注解
記錄構造過程，產生作圖工具，顯
【自定義】工具
示記錄內容，進入文檔及工具管理等
（1）【選擇】工具 的詳解
選中對象的目的是為了對這個對象進行操作。這是因為在 Windows 中，所有的操作都只能
作用于被選中的對象上，也就是說，必須先選中該對象，然后才能進行對該對象的有關操作。
在幾何畫板中，對選中的對象可以進行的操作有刪除、拖動、構造、度量、變換、顯示/隱藏
標簽等。
在進行所有選擇（或不選擇）之前，應該先單擊畫板【工具箱】中的【選擇】工具使鼠標
處于（向左上的）箭頭狀態，你應該習慣于這樣做。
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①用【選擇】工具指向對象，當鼠標成為向左的黑色箭頭（ ）時單擊，該對象被選中 。
對象被選中的標志是有虛框框住，其顏色可以設置。圖1.5-2 中的點 C、線段 DE 和圓這 3個對
象被選中。點 D、E、A、B都沒有被選中。
圖 1.5-2
②在畫板中作出的圖形、圖像、文字，粘貼的圖片，插入的各種圖標，產生的控制按鈕等 ，
都稱為“對象”。
③要選中兩個或兩個以上的對象可以有多種方法。比如在選中第一個對象以后再分別選中
其他對象；也可以把要選中的對象用【選擇】工具畫一個矩形框框住，如圖 1-5-3 所示，即用
【選擇】工具在矩形的一個頂點處按下，拖動鼠標到另一個成對角線的頂點處松開，三角形 ABC
的 3條邊與 3個頂點這 6個對象將都被選中。如果要選中屏幕上的所有對象，則可以單擊【編
輯】菜單中的【選擇所有】或者按快捷鍵Ctrl+A。如果要選中屏幕上的絕大多數對象，僅少數
不選，則可以先按 Ctrl+A 鍵，然后再用【選擇】工具單擊不要選擇的那些對象。用【選擇】
工具選擇對象是一個開關操作，用【選擇】工具單擊某對象時，該對象被選中，再單擊該對象
時，該對象又被釋放。
④如果屏幕上的對象較多，比如有幾個圓、幾個點還有幾條線，現需要選中點而不選中其
他對象，可先使工具箱中的【畫點】工具處于選中狀態，然后按 Ctrl+A 鍵，則所有的點被選
中，而其他對象沒有被選中。類似地可以僅選中圓或者僅選中線。假定已經選中了所有的點，
還要再選中所有的圓（不要用鼠標單擊繪圖區，否則會釋放已經選中的所有點），只要使【畫
圓】工具處于被選中狀態，再按 Ctrl+A 鍵，則所有的圓又被選中，前面選中的所有點未釋放，
即已經選中了所有的點和所有的圓。
⑤都不選中。在畫板的空白處單擊一下，所有選中的標記都消失，此刻沒有對象被選中。
⑥修改幾何對象的標簽也可以用【選擇】工具。如圖 1.5-4 所示，當用【選擇】工具指向
點 D的標簽字母 D時，【選擇】工具呈手狀 （中間有一個字母 A）時，雙擊鼠標將彈出標簽
修改的對話框，可以修改該點的標簽。
圖 1.5-3 圖 1.5-4
⑦用【選擇】工具還可以直接作出一些幾何（由【構造】菜單畫出的線、圓等）對象間的
交點，只要單擊這兩個對象的相交處即可。但是，不能直接作出軌跡（或圖像）之間或者它們
與線、圓之間的交點。
（2）點、線段、圓的畫法
畫點：單擊【點工具】，然后將鼠標移動到畫板窗口中單擊一下，就會出現一個點。
畫線：單擊【直尺工具】，然后拖動鼠標，將光標移動到畫板窗口中單擊一下，再拖動鼠
標到另一位置松開鼠標，就會出現一條線段。
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畫圓：單擊【圓規工具】，然后拖動鼠標，將光標移動到畫板窗口中單擊一下（確定圓心），
并按住鼠標拖動到另一位置（起點和終點間的距離就是半徑）松開鼠標，就回出現一個圓。（如
圖 1.5-5）
圖 1.5-5
畫交點：單擊【選擇箭頭工具】，然后拖動鼠標將光
標移動到線段和圓相交處（光標由 變成橫向 ，
狀態欄顯示的是“點擊構造交點”）單擊一下，就會出現
交點。如圖 1.5-6所示。
交點只能由線段（包括直線、射線）間、圓間、線段 圖 1.5-6
（（包括直線、射線））與圓之間點擊構造。
（3）旋轉、縮放、移動
【選擇箭頭工具】 的右下角都有一個小三角，用鼠標按住它約一
秒，看看會發生什么？（如圖 1.5-7）
【選擇箭頭工具】展開，有三個工具，分別是：“移動”，“旋轉”，
“縮放”，其用途在下幾節講解。
（4）射線、直線的畫法
圖 1.5-7
【直尺工具】 的右下角都有一個小三角，用鼠標按住它約一秒，
（如圖 1.5-8），【直尺工具】展開，也有三個工具，分別是：“線段”“射
線”“和直線”。線段的畫法，我們知道了，如何用它來畫射線直線呢？
畫射線：移動光標到【直尺工具】上，按住鼠標不放，待【直尺工具】
展開后，不要松開鼠標，繼續移動光標到射線工具上 ，
松開鼠標，直尺工具變為 。然后在畫板繪圖區單擊鼠標并按住鼠標拖 圖 1.5-8
動，到適當位置松開，就畫出一條射線，如下圖
（在幾何畫板里是看不見射線上的箭頭，它向一端是無限延伸的）
畫直線：依樣畫葫蘆，你能否畫一條直線？
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（在幾何畫板里同樣也是看不見直線上的箭頭，它向兩端是無限延伸的）
你還會發現，用幾何畫板畫出的線段、直線、射線和畫圓，分別多了兩點。一方面構造它
們只要兩點就夠了，另一方面，它們可以被改變。如，單擊【選擇箭頭工具】，移動光標到線
段的端點處（注意光標會變水平）拖動鼠標，線段的長短和方向就會改變；正因為多出了“點”，
才使它們有被改變的可能。
移動光標到線段的端點之間任何地方（光標成水平狀）拖動鼠標，就可以移動線段。分別
拖動一下直線、射線的點和線，嘗試改變它們一下。
試一試 畫一個圓，看能否改變圓的大小和位置。
（提示：圓是由兩個點來決定的，鼠標按下去的點即為圓心，松開鼠標的點
即為圓上的一點。改變這兩個點中的任意一點都可以改變圓。分別拖動圓心和圓
周上的點，可改變圓的大小，拖動圓周，可移動圓。）
所以說，幾何畫板所畫圖形是動態的圖形，幾何畫板繪制的圖形也非常容易
加上標簽。
（5）改變對象標簽
單擊文本工具，光標由前頭變為手形 然后分別移動鼠標，當光標移到對象處，變為
單擊鼠標，對象就有了標簽。
試一試 看能否將上圖 1.5-5 所有對象添上標簽。（如圖
1.5-9）去掉標簽也容易，只需對上圖的每一個對象，單擊，
標簽就沒有了。在幾何畫板中的每個幾何對象都對應一個“標
簽”。當您在畫板中構造幾何對象時，系統會自動給您畫的對 圖 1.5-9
象配標簽。文本工具就是一個標簽的開關，可以讓幾何畫板中
每個幾何對象的標簽顯示和隱藏。
1.6 幾何畫板菜單功能列表
系統中提供的菜單有文件菜單、編輯菜單、顯示菜單、構造菜單、變換菜單、度量菜單、
圖表菜單、窗口菜單、幫助菜單；詳細列表如下：（說明：【1.7】指在 1.7 節會應用到這個功能）
1.【文件】菜單
【文件】菜單的功能與快捷鍵如表 1-6-1所示。
表 1-6-1 【文件】菜單的功能與快捷鍵
菜 單 項 快 捷 鍵 功 能 描 述
新建畫板 Ctrl+N 新建一個畫板窗口
打開 Ctrl+O 打開一個已經存在的畫板文件（.gsp、.gs4）
保存 Ctrl+S 保存當前畫板窗口的文件
另存為 將當前畫板文件以另一個名字（或格式）保存（.emf、.wmf、.htm）
另存為網頁 按住 Shift 鍵，另存為成為此菜單
關閉 Ctrl+W 關閉當前文件窗口，并給出適當提示
文檔管理。管理頁面與自定義工具。如給本文檔增加一個新的頁面，或刪除
文檔選項 本文檔已有的頁面，或者復制另一個文件中的頁面；復制其他文檔中的自定
義工具，或刪除本文檔中的自定義工具【1.7】
頁面設置 設置打印的頁面
打印預覽 預覽當前窗口中對象的打印情況
打印 打印當前窗口
退出 Ctrl+Q 關閉所有打開的文件，退出幾何畫板系統
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2．【編輯】菜單
【編輯】菜單的功能與快捷鍵如表 1-6-2 所示。
表 1-6-2 【編輯】菜單的功能與快捷鍵
菜 單 項 快 捷 鍵 功 能 描 述
撤銷 Ctrl+Z 撤銷最近一次所進行的操作。撤銷全部操作可按 Ctrl+Shift+Z 鍵
恢復剛撤銷的最近一次的操作。恢復剛撤銷的全部操作可按Ctrl+Shift+R
重復 Ctrl+R
鍵
剪切 Ctrl+X 把選中的對象剪切到剪貼板上（不保留所選中的對象）
復制 Ctrl+C 把選中的對象復制到剪貼板上（保留所選中的對象）
粘貼 Ctrl+V 把剪貼板上的對象（幾何、文本等對象）粘貼到畫板中來
把復制到剪貼板上的圖片（如來自 Word 的文本以及各種圖片等）粘貼到
粘貼圖片 Ctrl+V
畫板中來
清除 Ctrl+Del 清除被選中的對象以及依賴該對象的其他對象
進入【隱藏/顯示】、【動畫】、【移動】、【系列】、【鏈接】、【滾
操作類按鈕
動】按鈕設置，產生相應的按鈕【3.2】【3.3】【3.4】【3.5】
選中屏幕上（繪圖區）的所有對象，或者選擇工具箱中被選中的工具（點 、
選擇所有 Ctrl+A
線、圓）指示的對象
選擇父對象 Ctrl+U 選中當前對象的父對象
選擇子對象 Ctrl+D 選中當前對象的子對象
對象間的合并與拆分，如使某點位于某圓上，文本與點合并，文本與數
分離/合并
值合并，幾段文本合并等（或者進行拆分）【2.21】【3.6】
編輯已經有的定義，如編輯已經有的計算式、函數表達式、方程、參數、
編輯定義 Ctrl+E
繪制的點的坐標等
了解或修改對象的屬性，如修改對象的標簽，是否需要隱藏對象，對象
屬性 Alt+
是否允許被選擇工具選中，了解對象的子對象、父對象等屬性【2.3】
參數選項 設置系統參數，如精確度、各種對象的顏色、文本（標簽）的格式等【1.4】
高級參數 按 住 Shift
設置系統的高級參數，如打印精度、動畫速度、坐標系單位長等
選項 鍵，再選擇
3．【顯示】菜單
【顯示】菜單的功能與快捷鍵如表 1-6-3 所示。
表 1-6-3 【顯示】菜單的功能與快捷鍵
菜 單 項 快 捷 鍵 功 能 描 述
設置當前選中對象的（直線或曲線）線型為虛線、細線或粗線（在設
線型 置被改變前一直有效）。若按住 Shift 鍵設置，則僅對當前選中的對
象有效【2.18】
設置當前選中對象的顏色。還可進入參數設置（顏色與數字關聯）或
顏色 進行顏色編輯。在設置被改變前一直有效。若按住 Shift 進行設置，
則僅對當前選中的對象有效【2.18】
設置當前選中對象的標簽、注解、度量值等文字的字體（在設置被改變
文本
前一直有效）。若按住Shift鍵進行設置，則僅對當前選中的對象有效
隱藏對象 Ctrl+H 隱藏當前選中的對象
顯示所有
顯示畫板中所有被隱藏的對象（顯示后處于選中狀態）
隱藏對象
顯示（或隱藏）所選中對象（包括軌跡、圖像等）的標簽。是一個開
顯示標簽 Ctrl+K
關選項
顯示所選中一個對象的屬性對話框。可以修改它的標簽；可以給一組
標簽 Alt+/
對象依次加注標簽
設置所選中的點、線、圓、軌跡、圖像等對象為跟蹤狀態，在移動該
追蹤（對象） Ctrl+T 對象時顯示其蹤跡。如果已經設置為跟蹤（Trace）狀態，再次設置則
為消除對前次的設置【2.19】
13
續表
菜 單 項 快 捷 鍵 功 能 描 述
從屏幕上清除所有由追蹤對象所產生的對象的蹤跡，也可以按 Esc 鍵
擦除追蹤蹤跡 Ctrl+B
來清除
生成（對象） 使所有被選中的幾何對象（點、線、圓、軌跡、圖像等）運動起來，
Alt+`
動畫 同時顯示運動控制臺【3.7】
加速 Alt+] 增大對象的運動速度
減速 Alt+[ 減小對象的運動速度
停止動畫。停止后對象處于選中狀態。也可以按 Esc 鍵兩次來終止
停止動畫
動畫
Ctrl+Shift+
隱藏文本工具欄 隱藏（或者顯示）文本編輯工具欄。開關選項
T
顯示運動控制臺 顯示（或者隱藏）運動控制臺。開關選項
隱藏工具箱 隱藏（或者顯示）畫板工具箱。開關選項
4．【構造】菜單
【構造】菜單的功能與快捷鍵如表 1-6-4 所示。
表 1-6-4 【構造】菜單的功能與快捷鍵
菜 單 項 快 捷 鍵 功 能 描 述
選中一個或幾個路徑，在上面隨機畫出一點。路徑可以是線段、射線、
對象上的點 直線、圓、圓弧、填充多邊形的邊界（弓形或扇形）、坐標軸、點的
軌跡（Locus）、或者函數圖像
中點 Ctrl+M 選中一條或幾條線段，分別作出這些線段的中點【2.1】
交點 Ctrl+I 選中兩個幾何對象（線段、射線、圓、圓弧等），作出兩者的交點【2.1】
選中兩個點，用線段連接這兩點；選中 3 個以上點，按順序用線段連
線段 Ctrl+L
接這些點，最后連接終點和起點【2.1】
先后選中兩個點，按順序連接這兩點的射線；選中 3 個以上點，按順
射線
序用射線連接這些點，最后連接終點和起點【2.1】
選中兩個點，用直線連接這兩點；選中 3 個以上點，按順序用直線連
直線
接這些點，最后連接終點和起點【2.1】
選中一條直線和一個點：作過這一點與這條直線平行的平行線；
選中一條直線和兩個以上點：分別作過這些點且平行于這條直線的平
平行線 行線；
選中兩條以上直線和一個點：作過這一點分別平行于各條直線的平行
線【2.7】
選中一條直線和一個點：過這一點作這條直線的垂直線
垂線 選中一條直線和兩個以上點：過這些點作垂直于這條直線的垂直線
選中兩條以上直線和一個點：過這一點作垂直于各直線的垂直線【2.5】
選中不在一直線上的 3 個點，以第二個點作為角的頂點，第一和第三
角平分線
個點是角的兩邊上的點，作出角的平分線（射線）【2.6】
以圓心和圓周上
根據兩個點畫圓。第一個點是圓心，第二個點是圓要經過的點【2.6】
的點繪圓
以圓心和半徑 根據一點和一條線段（或者一個長度值）畫圓。點是圓心，線段（或
繪圓 者一個長度值）決定圓的半徑大小【2.2】
選中一個圓和圓上兩點：從第一個點開始，沿著圓，按逆時針方向作
到第二個點的弧；也可以選中 3 個點：先選中圓心再依逆時針方向選
圓上的弧
擇圓上的兩個點，或者選中線段中垂線上的一點以及線段的兩個端點
（逆時針）【2.2】【2.18】
選中 3個點，從第一點開始，作過第二點，到第三點的圓弧（逆時針）
過三點的弧
【2.2】
14
續表
菜 單 項 快 捷 鍵 功 能 描 述
不同的選擇會使菜單項發生相應變化：
選中 3 個以上點，以這些點按順序作為“多邊形”的頂點，填充“多
邊形內”（Ctrl+P）
內部
Ctrl+P 選中一個圓（或同時選中幾個圓），可填充圓內（Ctrl+P）
選中一段弧（或同時選中幾段弧），可填充扇形內（Ctrl+P）
選中一段弧（或同時選中幾段弧），可填充弓形內（使用菜單，無快
捷鍵）【2.9】
同時選中一個主動點和一個被動對象（點、線、圓），主動點在它的
運動路徑（線、圓、軌跡、圖像）上。也可以選中一個主動點、一個
軌跡
主動點的運動路徑、一個被動對象。可保留被動幾何對象的軌跡
（Locus）【3.7】【3.8】【3.9】
5．【變換】菜單
【變換】菜單的功能與快捷鍵如表 1-6-5 所示。
表 1-6-5 【變換】菜單的功能與快捷鍵
菜 單 項 快 捷 鍵 功 能 描 述
把一點標記（定義）為旋轉中心或縮放中心。旋轉或縮放某對象時的必
標記中心 Ctrl+Shift+F
要設置
把一條線標記（定義）為反射鏡面（對稱軸）。反射某些對象時的必要
標記鏡面
設置
選中 3點，標記一個角（中間一點為角的頂點）或者選中一個角度值。
標記角（度）
可用于控制被旋轉的對象【2.11】
AC
標記比 先后選中在一條線上的 3 個點 A、B、C 形成的比 AB 。可用于控制
被縮放的對象【2.14】
先后選中兩條線段，定義這兩條線段（先比后）的比。可用于控制被縮
標記線段比
放的對象
標記比值 選中一個沒有單位的數值。可用于控制被縮放的對象
先后選中兩點，標記從第一點到第二點的向量。可用于控制對象的
標記向量
平移【2.12】【2.13】
選中一個或者兩個帶長度單位的度量值或計算值，標記（定義）距離。
標記距離
可用于控制被平移的對象
平移 進入平移方式（主要有 3種）的有關設置，平移被選中的對象【2.12】
先標記一點為中心，選中被旋轉的對象，單擊此菜單進入旋轉方式的設
旋轉
置。繞中心旋轉被選中的對象【2.10】
先標記一點為中心，選中被縮放的對象，單擊此菜單進入縮放比的設置 。
縮放
依中心縮放被選中的對象
先標記一條線為反射鏡面（對稱軸），把選中的對象依標記的鏡面反射
反射
【2.15】
選中一個點或幾個點或參數，然后形成由它們迭代而成的對象或數值
迭代
（迭代深度默認為 3）
按住 Shift 鍵【迭代】成為此菜單。選中一個點或幾個點或參數，最后
帶參數的迭代 選中的必須是控制迭代深度的數值，然后形成由它們迭代而成的對象或
數值【3.12】
終點 以點為對象迭代之后顯示的菜單，給出迭代結果的終點
15
6．【度量】菜單
【度量】菜單的功能與快捷鍵如表 1-6-6 所示。
表 1-6-6 【度量】菜單的功能與快捷鍵
菜 單 項 快 捷 鍵 功 能 描 述
長度 選中一條或者幾條線段，度量出線段的長度
給出兩點，度量兩點之間的距離
距離
給出一點和一線，度量點到線的垂直距離【2.17】
周長 選中被填充的多邊形、扇形或弓形內，度量出圖形的周長【2.17】
圓周長 選中一個圓或幾個圓或填充的圓的內部，度量出圓的周長
選中 3 個點，第二個點是頂點，第一和第三個點在角的兩邊上，度量
角度
出的角度（最大 180°）
選中一個圓或幾個圓或者被填充的多邊形、圓、扇形或弧弦內，度量
面積
出圖形的面積【2.18】
選中一段或幾段弧，或者一個圓以及圓上的兩個點，或者一個圓以及
弧度角 圓上的 3個點，或者一個（幾個）扇形，或者一個（幾個）弓形，度
量所對應的圓心角的度數
選中一段或幾段弧，或者一個圓以及圓上的兩個點，或者一個圓以及
弧長 圓上的 3個點，或者一個（幾個）扇形，或者一個（幾個）弓形，度
量所對應的弧的長度【2.18】
選中一個或者幾個圓（或者填充的圓、圓弧、扇形、弓形），度量出
半徑
對應的圓半徑
選中兩條線段或者一線上的 3 點 A、B、C，度量第一條線段的長度比
比 AC
上第二條線段的長度或者 AB （可為負數）
計算 Alt+= 顯示畫板提供的計算器，進入代數運算或函數運算【2.16】【2.18】
選中一個或幾個點，度量出點的坐標值（和坐標系類型有關：直角坐
坐標
標或極坐標）
橫坐標 選中一個或幾個點，度量出點的橫坐標值（直角坐標）
縱坐標 選中一個或幾個點，度量出點的縱坐標值（直角坐標）【2.20】
選中兩個點，度量這兩點在標記的直角坐標系中的距離（無單位）值
坐標距離
（依附坐標系，與單位長有關，是這兩點間距離與單位長的比值）
斜率 選中一條線段、射線或直線，度量出所在直線的斜率
選中幾條直線（不是射線或線段）或幾個圓，度量出直線方程或圓的
方程
方程
7．【圖表】菜單
【圖表】菜單的功能與快捷鍵如表 1-6-7 所示。
表 1-6-7 【圖表】菜單的功能與快捷鍵
菜 單 項 快 捷 鍵 功 能 描 述
建立坐標系。一個點，或者一個圓，或者一個長度值，或者一個點和
定義
一個長度值，或者兩個長度值，或者一個點和兩個長度值，或者其他
坐標系
（如一個點、一個長度值和一條線段）【2.19】
在有幾個坐標系的情況下標記某個坐標系為當前坐標系。選中該坐標
標記坐標系 系的一條坐標軸（極軸），或者原點（極點），單位點（1，0），或
者單位圓，或者網格
網格 直角坐標系、極坐標系或矩形坐標系（顯示點（0，1））形式
顯示（隱藏）
顯示（隱藏）當前所標記的坐標系的網格線
網格
隱藏（顯示） 在坐標系與網格都處于顯示的狀態下，按住 Shift 鍵【隱藏網格】成
坐標系 為此菜單。隱藏（顯示）當前（標記的）坐標系
使所畫點為“整點”（直角坐標系）或極徑為整數、極角為 15°的整
自動吸附網格
數倍的點（極坐標系），拖動時總被吸附在整點上
16
續表
菜 單 項 快 捷 鍵 功 能 描 述
繪出給出坐標值（極坐標或者直角坐標）的固定點。但可以通過修改
繪制點
屬性修改坐標
當給出一個數對時【繪制點】成為此菜單。可根據給出的數對或者數
繪制（x，y）
量（不計單位）繪制點
當選中一個表格時【繪制點】成為此菜單（4.02 以上版本）。根
據表格數據繪制點，選擇表格中的某一列中的數值作為橫坐標（或極
繪制表中記錄
徑），某一列中的數值作為縱坐標（或極角），可以是同一列，不計單
位
新建參數 Ctrl+Shift+P 給出一個新的數或者數量（長度值或角度值）作為參數【3.4】【3.10】
顯示函數式編輯器，編輯函數表達式：y＝f（x），或者 x＝f（y） ，
新建函數 Ctrl+F
或者ρ＝f（θ），或者θ＝f（ρ）
顯示函數式編輯器，編輯函數表達式：y＝f（x），或者 x＝f（y） ，
繪制新函數 Ctrl+G 或者ρ＝f（θ），或者θ＝f（ρ），確定后立即畫出它的圖形【2.19】
【2.20】
選中已經存在的一個或幾個函數表達式，【繪制新函數】成為此菜單，
繪制函數 Ctrl+G
單擊后立即畫出它們的圖像
選中已經存在的一個或幾個函數表達式，計算出它（或它們）的導函數
導數
表達式
制表 選中一個或一個以上的度量值或計算值，產生它們的列表【2.16】
選中表格，單擊此菜單，顯示對話框。給表格新增加一行，或者采用其
添加表中記錄
他方式（增加行的總數以及速度）
選中表格，單擊此菜單，顯示對話框。選擇刪除表格中的最后一行數據
刪除表中記錄
或全部數據
8.【窗口】菜單
設置窗口風格，可選擇層疊窗口和平鋪窗口。
9.【幫助】菜單
給出各種幫助（需要相應的幫助文件存在）。
1.7 頁面的增刪
接下來，我們開始制作習題部分。這就考慮到課件需要多幾個頁面，那么，下面我來介紹
一下增刪和移動頁面的制作方法。
（1）單擊【文件】菜單下的【文檔選項】命令，打開“文檔選項”工具欄，如圖 1.7-1。
圖 1.7-1 “文檔選項”菜單命令
（2）單擊“增加頁”下拉菜單，選擇“空白頁面”，按“確定”，如圖 1.7-2。（說明：
在“增加頁”下拉菜單中還有一個復制菜單，點其中的 1，就表示將第 1頁的內容全部復制到
新增加頁中。）
17
圖 1.7-2 “增加頁”的操作
（3）這樣，現在課件就增加了一頁，圖 1.7-3。（說明：在下方有 1和 2的頁碼，單擊頁
碼可以進行頁碼的切換）
增加了一頁
圖 1.7-3 課件增加頁
（3）如果需要在課件中增加、移動或刪除頁面，都可以用這個方法。刪除頁面只需先選
中要刪除的頁名稱，再單擊“移除頁”即可。移動頁面只需選中要移動的頁面，拖動鼠標到目
標位置即可，如圖 1.7-4。
單擊這，可刪除頁面
選中拖動，可移動頁面
圖 1.7-4 “移除頁”的操作
18
第二章 課件制作學習范例
這部分范例主要介紹幾何畫板最基本的常用的菜單功能。通過這部分范例的學習，要求熟
悉幾何畫板的操作特點，掌握【工具箱】中各工具的使用方法，掌握幾何畫板主要菜單功能的
實現方法。
2.1 點、線的作法
【學習目的】通過點、線的不同作法，學會基本圖形的畫法，熟悉“工具欄”的使用，為
進一步熟練操作幾何畫板打下基礎，在以后的范例中，相關的點、線作法就不再詳細講解。
【操作步驟】
1．點的作法：
（1）畫任意點
選取畫點工具，在繪圖區內任意單擊鼠標，單擊一次產生一個點。
（2）取交點
方法 1：假設有兩個對象交于一點，選取選擇箭頭工具，移至交點處，箭頭變成水平方向
時，單擊鼠標；
方法 2：選取兩個相交的對象，單擊【構造】菜單下的【交點】（快捷方式為 Ctrl+I）。
（3）作對象上的某個點
方法 1：先選取某個對象，單擊【構造】菜單下的【對象上的點】。
方法 2：選取工具欄中的【點工具】，鼠標移動到要作的對象（如線段或圓周）上，當該對
象顏色變化后，單擊鼠標即可。
（4）作中點
先選取某一條線段，單擊【構造】菜單下的【中點】（快捷方式為 Ctrl+M）。
2．線的作法：
（1）線段的作法
方法 1：用直尺工具中的線段工具，在繪圖區內單擊并拖動鼠標畫任意線段。
方法 2：選取對象上的兩個點，單擊【構造】菜單下的【線段】（快捷方式為 Ctrl+L）。
方法 3：截取直線或射線上的一段線段。在直線或射線上取任意兩點，再單擊【構造】菜
單下的【線段】。
方法 4：多個點兩兩相連時，依次選中各個欲連接的點，單擊【構造】菜單下的【線段】。
單擊的次序不同，畫的結果將不一樣。
（2）畫射線：
方法 1：用直尺工具中的射線工具畫任意射線。
方法 2：選取兩個點，單擊【構造】菜單下的【射線】；注意：先選中的點為射線的始點。
（3）畫直線：
方法 1：用直尺工具中的畫直線工具畫任意直線。
方法 2：選中任意兩點，單擊【構造】菜單下的【直線】。
（4）作平行線：
作平行線的基本要素是一條線段（或者射線、直線）與一個點，選取兩個對象后，單擊【構
造】菜單下的【平行線】。
（5）作垂線 ：
作垂線的要素是一條線段（或者射線、直線）與一個點，點可以在線上或線外，選取兩個
對象后，單擊【構造】菜單下的【垂線】。如果要作一條線段的垂直平分線，那么就應該先作
19
出它的中點，再選取線段與中點，單擊【構造】菜單下的【垂線】。
（6）作角平分線 ：
作角平分線前，須先選中要度量的角，例如在△ABC 中，選取∠A的方法是依次點選點 B、
點 A、點 C，然后單擊【構造】菜單下的【角平分線】。
2.2 圓和圓弧的作法
【學習目的】圓是幾何畫板常用的畫法之一，通過圓和圓上的弧的作法學習，進一步熟悉
“工具欄”的使用。
【操作步驟】
1．圓的作法
（1）畫任意圓
用工具箱內的圓規工具在繪圖區內任意拖動鼠標，用這種方法畫成的圓，圓周上有一個
點，拖動此點，可改變圓的大小。
（2）以圓心和圓周上的點繪圓
先選中一個點作為圓心，再選中一個點作為圓周上的點，系統會自動將兩點間的距離作為
半徑繪制一個圓。（先選中的點作為圓心）
（3）以圓心和半徑畫圓
先選中一個點作為圓心，再選中一個距離作為半徑，（這個半徑可以是一條線段，也可以
是一個帶長度單位的參數，還可以是度量的一個結果），然后單擊【構造】菜單下的【以圓心
和半徑繪圓】。用這種方法畫成的圓，可通過調整半徑的長短來調整圓的大小。
2．弧的作法
（1）作圓上的弧
先畫一個圓，再選取圓上任意兩點，用選擇工具將圓和圓上兩點選中，單擊【構造】菜單
下的【圓上的弧】即可。拖動兩點，可改變弧的長度。 畫弧時，要注意先后順序，畫的弧是
按先后點的逆時針方向畫弧，大家可以嘗試不同的順序選取兩點時畫的弧的效果。
（2）作過三點的弧
先選中三個點，單擊【構造】菜單下的【圓上的弧】。選取點的時候，順序不同，作出的
弧也不同。調整點的位置，可改變弧的形狀和長度。
2.3 文本工具的使用
【學習目的】文本工具的有兩大作用，一是在畫板中加入文本，二是編輯對象的標簽。當
鼠標為 形狀時，可輸入文本；當鼠標為手形時，可編輯標簽。掌握文本的運用在幾何畫板中
是不可或缺的功能。
【操作步驟】
1．在畫板中加入文本
（1）單擊文本工具 ，將鼠標移至繪畫區中，鼠標形狀變成 ，在編輯區中拖動鼠標，
將出現一個虛線框，同時文本工具箱變為可用狀態，可輸入文字。如下圖：
20
（2）單擊數學符號面板按鈕 ，出現
按鈕，可輸入數學公式或符號，并可以
進行編輯、修改。
（3）單擊 按鈕，出現更多的符號供選擇。如下圖：
2．給對象標上標簽
如果事先未設置系統自動給對象提供標簽，或者想更改某個對象的標簽，都要使用到文本
工具。
（1）增加標簽：如果在設置系統時未設置成自動加標簽，則應該手動加標簽。單擊文本
工具，當鼠標指向對象時，變成 狀態時，單擊鼠標即可。
（2）隱藏標簽：如果對象已有標簽，在選擇文本工具時，鼠標指向對象成為 形狀時單
擊，則原對象的標簽被隱藏。
（3）修改標簽名稱：
有時我們對系統提供的標簽不滿意，就要更改標簽。
方法 1：選中某個對象，右擊鼠標，彈出快捷菜單，單擊屬性，在標簽選項卡中，即可更
改對象的標簽。
方法 2：選中某個對象，單擊【編輯】菜單下的【屬性】，找到更改標簽的內容。
（4）移動標簽位置：
有時標簽所在的位置可能會影響畫板的某個對象，這時我們可以把標簽的位置稍微移動。
方法是：單擊文本工具，將鼠標指向對象的標簽，當鼠標形狀變成 時，可將標簽在小范圍內
拖動到另一個位置。
（5）改變標簽的字號和顏色：
選中所要改變的點，在文本欄里改變字號和顏色（如圖所示）。如僅是改變標簽的大小，
也可以選中標簽所附的對象后，按快捷鍵“Alt+>”或“Alt+<”。
21
說明：標簽不能直接被選取，只能選取他所附的對象（如選中要改變的點），當對象（如
點）隱藏時，標簽也隨著隱藏。
2.4 三角形的作法
【學習目的】通過制作三角形，學會線段的畫法，熟悉“直尺工具”的使用，同時掌握拖
動圖中的點改變其形狀。
【操作步驟】 觀察下圖，你能明白三角形就是用【直尺工具】畫三條首尾相接的線段所
組成的圖形。
（1）打開幾何畫板，建立新繪圖。
（2）單擊【直尺工具】按鈕 ，將光標移到在繪圖區，單擊并按住鼠標拖動，畫一條線段，
松開鼠標。
（3）在原處單擊鼠標并按住拖動，畫出另一條線段，松開鼠標。（注意光標移動的方向）
（4）在原處單擊鼠標并按住拖動，畫出第三條線段，光標移到起點處松開鼠標。（注意起點會
變色）
（5）將該文件保存為“三角形.gsp”。
【經驗點拔】
1．你也可以將光標移到在繪圖區，單擊并松開鼠標拖動，畫一條線段，單擊鼠標。在原處
再單擊鼠標并松開拖動，畫出另一條線段，單擊鼠標。在原處單擊鼠標并松開拖動，畫出第三
條線段，光標移到起點處單擊鼠標。
2．做出的效果圖如下所示，拖動三角形的頂點，可改變三角形的形狀、大小，這個三角
形是動態的三角形，它可以被拖成下列三角形之一。
3．進一步，我們還可以畫出圓的內接三角形．效果如下圖所示．
步驟如下：
（1）畫圓：單擊【圓規工具】，然后拖動鼠標，將光標移動到畫板窗口中單擊一下按住并拖動
22
鼠標到另一位置，松開鼠標，就會出現一個圓。
（2）畫三角形：單擊【直尺工具】，移動光標到圓周上（圓會變淡藍色）單擊并按住鼠標向右
移到圓周上松開鼠標；在原處單擊并按住鼠標向左上方移動到圓周上松開鼠標；在原處單擊并
按住鼠標向左下方移動到圓周上線段起點處松開鼠標。
注意：畫線段時，起點不要與圓周上的點（控制圓的大小的點）重合；光標移動到圓上時，
圓會變淡藍色，注意狀態欄的提示。
2.5 三角形的高線
【學習目的】通過制作三角形的高，學會過一點作一條線段（直線、射線）的垂線、作出
對象間的交點，了解工具箱的基本操作。
【操作步驟】
流程圖如圖所示：
（1）打開幾何畫板，建立新繪圖。
（2）畫出三角形 ABC。：
（3）作垂線：用 【選擇對象】選定點 A和線段 BC，單擊【構造】菜單下的【垂線（D）】 命
令，就畫出了過 A點且垂直 BC 的直線；單擊垂線和線段 BC的交點處，得垂足點 D。
（4）隱藏垂線：用 選定垂線后，點【顯示】菜單下的【隱藏線段】（或按快捷鍵 Ctrl+H），
在后面的學習中，隱藏都可以用快捷鍵 Ctrl+H。
（5）用 選擇點 A、D，選擇【構造】菜單下的【線段】（Ctrl+L），就可畫出線段 AD。
【經驗點拔】
1．在后面的學習中，我們經常會運用到快捷方式 ，快捷方式就在菜單后面，如線段為
Ctrl+L ，中點為 Ctrl+M，交點為 Ctrl+I 等。 大家可以在 1.6 節的菜單功能列表里找到，也
可以在幾何畫板實踐邊操作邊記憶。
2．同樣的方法，我們可以作出三角形的三邊上的高線，同時，也可以得出三條高線交于
一點，拉動三角形的頂點，改變三角形的形狀，我們還可以發現，三角形的三邊上的高線總是
交于一點，這就是幾何畫板的特點之一——動態性。
23
2.6 三角形的內切圓
【學習目的】進一步學習【工具箱】中工具的使用方法；學會角平分線作法；給出圓心和
圓上一點畫圓；加注提示，修改對象的標簽。
【操作步驟】
先作一個角的平分線，流程圖如圖所示：
具體作法：
（1）打開幾何畫板，建立新繪圖。
（2）用畫線工具畫出△ABC，并用標簽工具標上字母。
（3）畫出∠BAC 的平分線與線段 BC的交點 D：用 選定點 A、點 B、點 C（注意，角的頂點
一定要第二個選取），單擊菜單命令：【構造】→【角平分線】，在“選擇狀態”下用鼠標對準
角平分線與線段 BC的相交處單擊，并用標簽工具標上字母 D。
（4）隱藏角平分線：在選擇狀態下，先用鼠標在空白處單擊一下后，單擊角平分線，再按快
捷鍵“Ctrl＋H”（等效菜單命令：【顯示】→【隱藏】）
（5）連接 A點和 D點：選定 A點和 D點后，按快捷鍵“Ctrl+L”（等效菜單命令：【構造】→
【線段】），這樣，就畫出了∠A的角平分線 AD。
（6）重復第（3）到（5）步，畫出另外兩個角的平分線 BE，CF。
（7）在選擇狀態下，單擊線段 AD、BE 的交點處，作出交點 G。
（8）用選擇工具選中點 G和線段 BC，單擊菜單命令：【構造】→【垂線】，作出過 G且垂直于BC
的直線，選中這條直線與線段 BC的交點，標記為 H。
（9）用選擇工具先后選擇點 G、H，并選擇【構造】菜單下的【以圓心和圓周上的點畫圓】，這
樣就作出了三角形 ABC 的內切圓。
（10）隱藏一些不用的線段或點，使圖象簡潔、美觀。
【經驗點拔】
1．選中兩點畫圓時，先選中的點是作為圓心，后選中的點在圓周上，拖動這個點可以改變
圓的大小。
2．可以增加一段對用戶的提示文本：用工具箱中的文本工具，在繪圖區劃一個矩形框，矩
形框中會有光標閃動，等待鍵入文字，鍵入一段文字，如“拖動點 A”，對用戶的操作做出提示 。
3．點【顯示】菜單下的【顯示文本工具欄】后，用選擇工具選中剛才鍵入的文字，幾何畫
板的下方會出現 ，從左到右依次可
以改變文字的字體、大小、加粗、傾斜、加下劃線、改變文字顏色。
24
2.7 畫平行四邊形
【學習目的】熟練的掌握作圖工具中的作平行線功能，同時，學會運用隱藏功能使課件更
簡潔大方。
【操作步驟】
流程圖如圖所示：
（1）打開幾何畫板，建立新繪圖。
（2）用畫線工具畫出平行四邊形的鄰邊，并用標簽工具標上字母。
（3）僅選取點 A和線段 BC，單擊【構造】菜單下的【平行線（E）】，畫出過 A點且與線段
BC 平行的直線；
（4）同樣畫出另一條過點 C且與線段 AB 平行的直線；在兩條直線的相交處單擊一下（注
意：在選擇狀態下）得交點。
（5）隱藏直線：選取兩條直線，單擊【顯示】菜單下的【隱藏 平行線】（注意：可以使
用快捷鍵：Ctrl＋H）
（6）連接 AD和 CD（可以用畫線工具或菜單命令）
【經驗點拔】
1．拖動點 A，平行四邊形的形狀會發生變化，當∠B=90°時，平行四邊形就變成矩形了，
但隨著點 A的進一點拖動，矩形又變成了平行四邊形。那么怎么才能畫出不變的矩形呢？
2．矩形的作法：與上面作法類似，
（1）先畫出線段 AB，
（2）過 B作 AB 的垂線，方法是：選中點 B與線段 AB，單擊【構造】菜單下的【垂線】。
（3）在垂線上任取一點，標記為 C，過點 C作 AB 的平行線；過點 A作 BC的平行線，兩條
平行線交于點 D。
（4）隱藏直線：選取兩條直線，單擊【顯示】菜單下的【隱藏 平行線】
（5）連接 AD和 CD，即可畫出矩形 ABCD。
2.8 用快捷作圖
【學習目的】學習同時作出若干條線段的中點；一次作出若干條線段；使用“快捷菜單”
或“快捷鍵”作圖。
【操作步驟】
（1）打開幾何畫板，建立新繪圖。
（2）畫出四點并選定：按住 Shift 鍵，用點工具畫出四點（或，用點工具畫出四點后，在
選擇狀態下，用鼠標拉出一個矩形框，框住這四點）
（3）順次連接四點：按“Ctrl＋L”
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（4）中點四邊形：按“Ctrl＋M” 后，作出四邊中點，再按“Ctrl＋L”連接中點，得中
點四邊形。
2.9 圖形內部的構造
【學習目的】求陰影部分的面積題是一種很常見的數學題。有時，我們為了突出某個部分 ，
需要對圖形的內部增加陰影，本節課我們就來學習圖形內部的構造。
【操作步驟】
（1）多邊形內部的構造：選定三點或三點以上后，就可構造多邊形內部了，如三角形內部的
構造：選定三點后，單擊【構造】菜單下的【三角形的內部】，就可以繪出由這三點決定的三
角形的內部。（如圖所示）
（2）選定一個圓（或幾個圓）：選定一個圓（或幾個圓）后，單擊【構造】菜單下的【圓內部 】，
就可以繪出這個圓的內部。
（3）扇形（弓形）內部的構造：選定一段弧（弧的畫法見 2.2）后，單擊【構造】菜單下的【弧
內部】的【扇形內部】就可以繪出這段弧所對扇形的內部；單擊【構造】菜單下的【弧內部】
的【弓形內部】，就可以繪出這段弧所對弓形的內部。
26
【經驗點拔】
這是一個動態的菜單，如選定的是四點，則此菜單顯示的是“四邊形的內部”；如選定的
是五點，則此菜單顯示的是“五邊形的內部”；如果選定的是圓，則此菜單顯示的是“圓內部”；
如果選定的是弧，則此菜單顯示的是“弧內部”。
注意：“內部”的快捷鍵是“Ctrl+P”，但“弓形內部”沒有快捷鍵。
上面幾個實例介紹的是【構造】下的功能，下面我們總結一下前幾節課所講到的主要內容：
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2.10 正方形的畫法
【學習目的】利用變換菜單下的旋轉功能（按固定的角度來旋轉對象）來畫正方形，使畫
出的正方形中，拖動任一頂點改變邊長或改變位置，都能動態地保持圖形是一個正方形。
【操作步驟】
（1）打開幾何畫板，建立新繪圖，畫線段 AB。
（2）用選擇工具雙擊點 A，點 A被標記為中心。
（3）用選擇工具選取點 B和線段 AB，單擊【變換】菜單下的【旋轉】功能，在彈出的“旋
轉”對話框中作如圖 2.10-1 的設置。（90°時是逆時針方向）
圖 2.10-1
（4）完成上述操作后，再雙擊點 B，標記新的中心。
（5）用選擇工具選取點 A和線段 AB，單擊【變換】菜單下的【旋轉】功能，在彈出的“旋
轉”對話框中作如圖 2.10-2 的設置。（－90°是順時針方向）
圖 2.10-2
（6）連結上方兩個頂點得第四邊。
【經驗點拔】
1．本例的方法可以用來作任意的正多邊形，只要計算出正多邊形的內角，旋轉時按內角度
數進行即可，但這并不是最方便的方法，具體請參閱深度迭代畫正多邊形。
2．畫正方形的方法比較多，本例介紹的是較為簡便的一種，其余方法請自行嘗試。
2.11 旋轉對稱與中心對稱
【學習目的】本例將在前面學習的基礎上，學習“按標記的角”旋轉對象，同時能通過改
變角的大小來動態演示對象的旋轉過程。
基本思路：
1、為了方便觀察，連結對稱中心和各關鍵點間的虛線段，讓研究對象和虛線段繞對稱中心
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旋轉 180°，形成中心對稱，；
2、畫一個角并標記這個角；
3、再次選擇原來的對象及虛線段，按標記的角旋轉；
4、拖動標記的角為 0°，觀察到的圖形為中心對稱，拖動標記的角從 0°到 180°，可以
看到旋轉 180°后重合的過程。
【操作步驟】
（1）打開幾何畫板，建立新繪圖，畫出⊿ABC，再畫一個∠DEF。
（2）如圖 2.11-1 所示，在⊿ABC 外任取一點 O，連接線段 OA、OB、OC，點【顯示】菜單
下的【線型】下的【虛線】。效果圖如下。
圖 2.11-1
（3）用選擇工具雙擊點 O，標記為中心。
（4）同時選擇點 A、B、C，線段 AB、AC、BC、OA、OB、OC，繞點O旋轉 1800，（方法參考2.10
作法），效果如圖 2.11-2。
圖 2.11-1
圖 2.11-2
（5）下面介紹旋轉過程的作法：用選擇工具選中點 D、E、F（確保按順序這三點），并注
意不要多選其它對象，由單擊【變換】菜單下的【標記角】，如果標記成功，會看到一段小動
畫。
（6）同時選擇點 A、B、C，線段 AB、AC、BC、OA、OB、OC，單擊【變換】菜單下的【旋轉 】，
在彈出的對話框中作如圖 2.11-3 的設置。
29
圖 2.11-3
（7）為便于觀察，改按角度旋轉所得的所有對象為紅色，方法是：選擇旋轉后的對象，單
擊【顯示】菜單下的【顏色】下的【紅色】如圖 2.11-4。
圖 2.11-4
（8）拖動點 F，我們可以發現紅色的三角形隨之發生轉動，當線段EF 與 ED 重合，可以看
到紅色三角形與△ABC 重合，當段 EF與 ED 在一條直線上時，觀察效果。
【經驗點拔】
1．本例中標記的角度是圖形，這種情況要注意選取三個點的順序，按“邊上的點、頂點、
邊上的點”來選，如果選擇時按逆時針方向，標記的是正角；按順時針方向，標記的是負角，
這將影響對象的旋轉方向。
2．標記的角也可以是度量角所得的度數（這時只能是正角），還可以是由計算器計算出來
的度數（可正可負）。
2.12 平移的幾種作法
平移是指：對于兩個幾何圖形，如果在它們的所有點與點之間可以建立起一一對應關系，
并且以一個圖形上任一點為起點，另一個圖形上的對應點為終點作向量，所得的一切向量都彼
此相等，那么其中一個圖形到另一個圖形的變換叫做平移。平移是一個保距變換，又是一個保
角變換。
幾何畫板中，平移可以按三大類九種方法來進行，其中的有些方法事先要標記角、標記距
離或標記向量。
在極坐標系中最多可以組合出四種方法，如圖 2.12-1
30
圖 2.12-1
在直角坐標系中可以組合出四種方法，如圖 2.12-2
按標記的向量平移有一種方法，如圖 2.12-3
圖 2.12-2 圖 2.12-3
1．畫一個半徑為 2 cm 的圓
【基本思路】
根據勾股定理，讓一個點在直角坐標系中按水平方向、垂直方向都平移 1cm，得到的點與
原來的點總是相距 2 cm，然后以圓心和圓周上的點畫圓即可。
【操作步驟】
（1）新建一個幾何畫板，畫一個點 A。
（2）選取點 A，單擊【變換】菜單下的【平移】， 在彈出的對話框中作如圖 2.12-4 的設
置，平移后得如圖 2.12-5。
31
A'
A
圖 2.12-4 圖 2.12-5 圖 2.12-6
（3）選中這兩點，（先選的為圓心），由【構造】菜單下的【以圓心和圓周上的點繪圓】。
（4）最后得如圖 2.12-6，無論如何移動，圓的半徑固定為 2 cm。
2．畫一組全等三角形
【學習目的】本節學習根據標記的向量平移對象，控制點的距離來動態的實現平移的距離．
【操作步驟】
流程圖如圖 2.12-7 所示：
圖 2.12-7
拖動點 F在線段 DE 上移動，可演示兩個三角形重合和分開，可用來說明全等形。
（1）打開幾何畫板，建立新繪圖，畫⊿ABC。
（2）畫線段 DE，在 DE上畫一點 F；
（3）用選擇工具先選取點 D，后選取點 F，單擊【變換】菜單下的【標記向量】，標記從點
D 到 F的向量。
（4）選取⊿ABC 的三邊和三個頂點，單擊【變換】菜單下的【平移】，在彈出的對話框中
作如圖 2.12-8 的設置（如果標記好向量，會自動設置為按標記的向量平移）。
32
圖 2.12-8
（5）用文本工具標記新三角形的三個頂點，最后如圖 2.12-7 所示。
3．平行四邊形的平移畫法
前面在學習作圖菜單時，我們學習過根據平行四邊形的定義，用構造平行線的方法來畫一
個平行四邊形，本例介紹根據標記的向量平移的方法來畫平行四邊形。
【操作步驟】
（1）新建一個幾何畫板文件。
（2）用“畫線段”工具和“文本工具”先完成如圖 2.12-9。
圖 2.12-9
（3）用“選擇工具”按順序選取點 A、B，單擊【變換】菜單下的【標記向量】，標記一個從點
A 指向點 B的向量。
（4）確保只選中線段 AD 和點 D（在繪圖區空白處單擊一下，再選中線段 AD 和點 D 即可），
單擊【變換】菜單下的【平移】，設置線段 AD和點 D按向量 AB 平移，如圖 2.12-10。
圖 2.12-10
（5）作出第四條邊，改第四頂點標簽為 C，如圖 2.12-11。
圖 2.12-11
33
2.13 正方體的畫法
【學習目的】上節課學移的幾種作法，本節課內容主要講解變換菜單中的一些功能 ，
通過正方體的畫法來進一步學習標記角度、標記向量、平移、旋轉等功能。
【操作步驟】
（1）新建一個幾何畫板，畫出線 AB。
（2）用選擇工具雙擊點 A，標記為中心。將線段 AB和點 B旋轉 45°，點 B旋轉后的點為
B′。取線段 AB′的中點，改標簽為點 D。（根據正方形的平面直觀圖原理）
（3）隱藏線段 AB′和點 B′，作出線段 AD，同 2.12 的例 3的方法，作出平行四邊形 ABCD，
如圖 2.13-1。
（4）用選擇工具雙擊點 A，標記為中心。選擇線段 AB和點 B，旋轉 90°，將旋轉后所得
的點的標簽改為點 E。
（5）用“選擇工具”按順序選取點 A、E，單擊【變換】菜單下的【標記向量】，標記一
個從點 A指向點 E的向量。
（6）確保只選中線段 AB、BC、CD、AD 和點 B、C、D（，單擊【變換】菜單下的【平移】，
設置線段 AB、BC、 CD、AD 和點 B、C、D按 向量 AE 平移，如圖2.13-2 所示，將標簽B′、C′、
D′依次改為 F、G、H，并作出線段 BF、CG、DH，同時，將線段 AD、CD、DH 改成虛線，如圖2.13-3。
D' C' H G
E
B' E F
D
C D DC C
A
B A AB B
圖 2.13-1 圖 2.13-2 圖 2.13-3
【經驗點拔】
1.正方體的畫法還有很多種，需要大家在實踐中不斷的探索。
2.我們也可以根據具體需要，將點 E、F、G、H改成 A1、B1、C1、D1。方法如下：
（1）改變標簽文字和加下標：單擊文本工具，將鼠標指向對象的標簽，當鼠標形狀變成
時，雙擊點 E的標簽，就出現了點 E的屬性對話框。把“E”改為“A[1]”后按“確定”按
鈕。同樣改變點 F、G、H的標簽。如圖 2.13-4。
圖 2.13-4
34
D1 C D1 1 C1
A1 B1 A1 B1
D C D C
A B A B
（2）改變標簽的顏色：單擊點 A 屬性框的“樣式（T）” 按鈕，打開標簽樣式的對話框，
單擊“顏色”下拉框，選中紅色，后按“確定”按鈕，再按屬性對話框的“確定”按鈕，A點
的標簽就變為紅色。見圖 2.13-5：
圖 2.13-5
2.14 相似三角形的畫法
【學習目的】通過在同一直線上的三個點標記一個比，然后以其中一個頂點為中心，按標
記的比縮放，并構造相似三角形，使其拖動比值控制點，達到圖形在“A”形和“X”型中轉變
的功效。
【操作步驟】
通過拖動點 F，讓圖形動態發生變化，效果圖如圖所示。
（1）打開幾何畫板，建立新繪圖，畫出△ABC。
（2）畫一條直線，隱藏直線上的兩個控制點，如圖。
35
（3）在直線上畫三個點 D、E、F，用選擇工具依次選取點 D、E、F，單擊【變換】菜單下
的【標記比】，標記一個比。
（4）雙擊點 A，使點 A成為旋轉中心。
（5）選取三角形的三邊和三個頂點，單擊【變換】菜單下的【縮放】功能，彈出縮放對話
框后如圖進行設置。
（6）拖動點 F在直線上移動，可以看到相似三角形的變化，還可以通過度量相關的值來幫
助理解。（度量在下幾節內容講解）
【經驗點拔】
本例運用到幾何畫板里的縮放功能，縮放是指對象關于“標記的中心”按“標記的比”進
行位似變換。
其中標記比的方法有：
（1）選中兩條線段，由【變換】菜單下的【標記線段比例】來實現（此命令會根據選中的
對象而改變），標記以第一條線段長為分子，第二條線段長為分母的一個比，這種方法也可以
事先不標記，在彈出“縮放”對話框后依次單擊兩條線段來標記。
（2）選中度量得的比或選中一個參數（無單位），由【變換】菜單下的【標記比例系數】
來標記一個比。在彈出【縮放】對話框后單擊工作區中的相應數值也可以“現場”標記一個比 。
（3）選中同一直線上的三點，由【變換】菜單下的【標記比例】，可以標記以一、三點距
離為分子，一、二點距離為分母的一個比。這種方法控制比最為方便，根據方向的變化，比值
可以是正、零、負等。
36
2.15 軸對稱圖形
【學習目的】反射是指將選中的對象按標記的鏡面（即對稱軸，可以是直線、射線或線段 ）
構造軸對稱關系，學習反射功能可以快速的作出動態的軸對稱圖形。
【操作步驟】
從左到右演示了拖動三角形頂點改變其位置和形狀，可以觀察到動態保持的對稱關系和相
關性質，效果圖如圖所示。
（1）新建一個幾何畫板，畫出一條直線。
（2）選中這條直線，單擊【變換】菜單下的【標記鏡面】，標記這條直線為對稱軸（快捷
方式是雙擊這條直線）。
（3）在直線的一旁畫一個△ABC，結果如圖 18。
圖 18 圖 19
（4）選取△ABC 的全部，單擊【變換】菜單下的【反射】，并用文本工具標記反射所得的
三角形的頂點，得如圖 19。
（5）拖動點 A、B、C 中的任一點，觀察效果。
【經驗點拔】
運用反射這一功能，我們還可以快速的畫出一個動態的等腰三角形。
（1）先用工具完成到如圖所示。
（2）用“選擇工具”雙擊線段 AD，標記為鏡面。
（3）確保只選取了點 B和線段 AB，單擊【變換】菜單下的【反射】，得如圖。
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（4）選擇點 D和線段 AD，按 Ctrl+H，隱藏這兩個對象。
（5）畫出第三條邊，并改第三個頂點的標簽為 C，如圖。
（6）任意拖動三個頂點之一，可以看到，無論形狀如何改變，△ABC 始終是等腰形。
2.16 三角形三內角和等于180°
【學習目的】通過“三角形三內角和等于 180°”的制作，學習對象的度量、計算器的使
用、制作表格以及給表格加項等操作。
【操作步驟】
（1）打開一個新繪圖，畫出⊿ABC。
（2）用選擇工具先后選擇點 B、A、C，單擊【度量】菜單下的【角度】選項，屏幕上出現
∠BAC 的度數（如 m∠BAC=74.74°)。
（3）類似地，“度量”出∠ABC、∠ACB 的度數。
（4）單擊【度量】菜單下的【計算】選項（快捷方式：Alt+= )，屏幕上出現一個計算器 。
38
（5）用選擇工具單擊屏幕上的度量值∠BAC，這時計算器白色區域出現 m∠BAC。繼續依次
選擇“+”、“∠ABC”、“+”、“∠ACB”，計算器的白色區域出現 m∠BAC+m∠ABC+m∠ACB，
點擊“確定”按鈕后，屏幕上出現 m∠BAC+m∠ABC+m∠ACB=180°。
（6）先后選擇 m∠BAC、m∠ABC、m∠ACB、m∠BAC+m∠ABC+m∠ACB=180°，單擊【圖表】
菜單下的【制表】選項，屏幕上出現表格（如圖所示）。
（7）拖動點 A，使 A換一個位置，然后用選擇工具 雙擊表格中的數據部分（也可以選
擇【圖表】菜單下的【添加表中記錄】），表格將增加一行，效果如圖所示。
（8）用同樣的方法，可以不斷的拖動點 A，再雙擊表格，就會得到很多的數據，可以直觀
發現三角形內角和等于 180°這個規律。
【經驗點拔】
1．本范例主要涉及【度量】菜單下的【角度】的度量和【計算】功能，以及【圖表】菜
單下的【制表】、【添加表中記錄】功能的使用，要掌握對表格的各種操作方法，初步了解計
算器的操作特點。
2．在使用計算器計算的過程中，若有輸入錯誤，可以單擊計算器上的退格鍵 消除。
3．如圖，在打開計算器的情況下，單擊數值鍵的下拉單，會彈出顯示被選中對象以及π
和 e（約為 2.718）的菜單，供計算時使用方便。
39
2.17 多邊形的面積與周長
【學習目標】本節課我們將通過計算平行四邊形的面積、周長，并用軟件直接度量面積與
周長，最后比較結果。
【操作步驟】
（1）打開一個新繪圖，作平行四邊形 ABCD（方法見2.7節），并作 BC邊上的高 AE（方法見2.5
節），如圖。
A D
B E C
（2）用“選擇工具”依次選取點 A、B、C、D，單擊【構造】菜單下的【四邊形內部】（快捷方
式：Ctrl＋P），可以填充平行四邊形的內部，如圖。
（3）用“選擇工具”選取點 A、B，單擊【度量】菜單下的【距離】選項；同理度量 BC、AE。
（4）選取平行四邊形內部黃色填充，單擊【度量】菜單下的【周長】，可以量得平行四邊形的
周長。用類似的方法度量得平行四邊形的面積。如圖。
（5）單擊【度量】菜單下的【計算】調出計算器。通過單擊計算器的數字和符號按鈕、工作
區中的度量值，分別計算如下兩個式子的值：2*（AB+BC）， BC*AE。
（6）最后結果如圖4.1，完成本例的制作。
（7）拖動頂點改變平行四邊形的大小和位置，可以觀察到通過計算所得的面積、周長及通過
度量得的面積和周長是相同的。
40
2.18 扇形的面積公式
圓是幾何畫板中的一個基本對象，有專門的工具可以畫圓，對于圓，可以度量它的半徑、
周長、面積等。由圓可以派生出弧、扇形、弓形等，同樣可以度量這些對象的相關數值。下面
用一個例子 來說明與圓有關的度 量命令的應用。
【學習目標】鞏固前面學習過的畫圓、圓上的弧、填充扇形內部等操作的同時，學習度量
圓或扇形的面積、半徑、弧長、弧度角等，并通過對度量值的計算來驗證公式。
【操作步驟】
（1）打開一個新繪圖，畫一個圓 O，在圓周上任取兩點（異于控制圓大小的點），將標簽更改
為點 A、B，畫出兩條半徑 OA、OB，如圖2.18-1。
A A
B B
O O
圖2.18-1 圖2.18-2 圖2.18-3
（2）選取點 B、A、圓 O，單擊【構造】菜單下【圓上的弧】，得到弧AB，為了便于區分，選取
弧 AB 后，單擊【顯示】菜單下的【線型】里的【粗線】功能，改變線型，單擊【顯示】菜單
下的【顏色】，選紅色，改變弧的顏色。如圖2.18-2。
說明：選取圓上的弧時注意不要誤選整個圓，要選取有重疊的對象，可以用選擇工具不斷
在重疊部分單擊，這時選中狀態會在兩個重疊對象間切換。
（3）選取弧 AB，單擊【構造】菜單下的【弧內部】選項中的【扇形內部】，可以構造扇形內部 。
如圖2.18-3。
（4）選取線段 OA，度量它的長度，為符合常用習慣，可改標簽為 R；方法是：選中度量值，
單擊【編輯】菜單下的【屬性】（也可直接右鍵，彈出對話框選【屬性】）在標簽里標上R。如
圖2.18-4。
圖2.18-4
（5）選取弧 AB，單擊【度量】菜單下的【弧長】，可以量得弧AB的長，改標簽為 L；選取弧 AB，
單擊【度量】菜單下的【弧度角】，可以度出弧 AB所對的圓心角，改標簽為 n；
41
（6）選取扇形的內部，單擊【度量】菜單下的【面積】，可量得扇形的面積，改標簽為S，效
果如圖2.18-5。
A
R = 2.23 B
L = 2.78
n = 71.52° O
S = 3.10 2
圖2.18-5
nπR2 1
（7）如圖2.18-6，調出計算器，分別計算下面兩個式子的值： 和 lR的值。
360° 2
.
圖2.18-6
（8）拖動點 A或 B，可以改變扇形的大小，可以觀察到兩種方法計算的面積和度量得的面積是
一致的，如圖2.18-7所示。
A
R = 2.23 B
L = 2.78
n = 71.52° O
S = 3.10 2
n π R2
= 3.10 2 ( 1 ) L R = 3.10 2360° 2
圖2.18-7
42
2.19 畫出給定的函數圖像
函數是代數里重要的組成內容，作為一個有力的幾何作圖工具，自然要有坐標和坐標系，
而且也可以把各類函數的圖形在坐標中準確描畫出來。
【學習目標】以運用不同的方法畫二次函數的圖像為例，說明如何用幾何畫板畫函數的圖
像。
【操作步驟】
方法一：直接法。
（1）打開一個新繪圖，單擊【圖表】菜單下的【定義坐標系】。
（2）單擊【圖表】菜單下的【繪制新函數】，出現一個計算器，輸入二次函數，如圖 2.19-1
可以依次鍵入 x2-2x-1，點擊【確定】。就會出現二次函數的圖像 2.19-2。
圖2.19-1 圖2.19-2
（3）用同樣的方法可以畫出其他的函數圖像。
（4）如果想把這個函數改成其他函數圖像，可以雙擊函數名 ，再在出現的
計算器中，對函數進行修改。
說明：運用直接法作圖，簡單易用，方便操作，但只能畫出一個函數圖像，而無法直觀的
觀察圖像的增減性。在幾何畫板 3.05 版本里，運用一個點的坐標，再分離出橫坐標，對橫坐
標進行運算，與上述計算器的輸入一樣，得到一個數據，將原來的橫坐標與新得的數據一起，
單擊【構造】菜單下【軌跡】即可，這樣操作比較麻煩。幾何畫板 4.05 版本以后，對這個操
作進行修改，大大的方便了可操作性。
方法二：修改版
（5）在上述操作的基礎上，用點工具在函數圖像上任取一點，標簽改為Ａ，拖動點Ａ，就會
發現Ａ在函數圖像上運動，如圖 2.19-3 所示。
43
圖 2.19-3
（6）在拖動點Ａ的過程中，如何將點Ａ運動軌跡留下，使其更加直觀的體現。我們可以采取
追蹤的方法。具體操作如下：選擇點 A，單擊【顯示】菜單下的【追蹤點】，然后拖動點 A，我
們發現點 A運動后的軌跡就會清晰的留下。如圖 2.19-4 所示。
圖 2.19-4 圖 2.19-5
（7）有了直觀的運動后，有時需要數據加以說明，如函數的增減性，也就是 y隨 x 的增大而
增大還是減小？事實上，只要求出點 A的橫坐標與縱坐標，就可以進行觀察比較。下面，就來
學習點 A的橫坐標與縱坐標的度量。具體操作如下：選擇點 A，單擊【度量】菜單，出現一個
菜單欄，我們可以先后點坐標，橫坐標與縱坐標，如圖 2.19-5 所示。
（8）拖動點 A，我們可以觀察到點 A的坐標，橫坐標與縱坐標都發生變化，在對稱軸的左側，
y 隨 x的增大而減小。
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2.20 畫出二次函數y=ax2+bx+c 的圖像
【學習目標】以 y=ax2+bx+c 的圖像為例，學習帶參數的制作方法。
【操作步驟】
（1）打開一個新繪圖，單擊【圖表】菜單下的【定義坐標系】，建立直角坐標系。
（2）在 x軸負半軸上取一點 D（要改標簽），同時選取點 D和 x 軸。單擊【構造】菜單下的【垂
線】，作出過 D點作 x軸的垂線。
（3）在垂直線上取一點 A，連接 D、A；隱藏第（2）步中的垂線。
y
（4）選擇 A 點，單擊【度量】菜單下的的【縱坐標】命令，取得它的坐標值： A
= 3.07
。
yA = 3.07
（5）選中 ，右鍵后，出現一個菜單，選擇屬性，將標簽改為 a＝3.07。（詳見 2.18
節的第 4步操作)
（6）在 x 軸負半軸上再取兩點 E、F，按照上述（2）～（5）方法，分別在所作的垂線上取點B
與 C，度量出兩點的縱坐標，改為 b和 c，這樣就得到了 3個動態參數 a、b、c。
（7）隱藏上面所作的三條垂線，作出線段 AD、BE、CF，同時，也可以隱藏點 D、E、F的標簽，
為了直觀起見，可將 A、B、C 的標簽改為 a、b、c，拖動點 a、b、c，我們可以發現 a、b、c
的數值發生變化。如圖所示。
（8）單擊【圖表】下的【繪制新函數】，在彈出的對話欄里，依次單擊“a=3.07”、“*”、
“x^2”、“+”、“b=1.24”、“*”、“x”、“+”、“c=-1.06”，（除了 a、b、c 在繪圖
區里單擊外，其余都在對話欄里找）單擊【確定】，就會出二次函數的圖像，如圖所示。
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（9）上下拖動點 a，我們可以發現二次函數的開口大小發生變化，當a拖到第三象限時，開口
的方向發生了變化，從而形象的觀察到二次項系數 a為二次函數圖像的影響。
（10）同樣的方法，拖動點 b、c，改變 b、c的數值，我們可以觀察二次函數圖像的變化。
（11）保存為“二次函數 y=ax2+bx+c 的圖像.gsp”，下節課還要繼續對之美化操作。
【經驗點拔】
我們也可以運用這種方法來畫出形如 y＝a(x-h)2+k 的圖像。方法與上面類似。
（1）與第 1 步到第 6步相同，得到了 3個動態參數 a、h、k，如圖所示。
（2）單擊【圖表】下的【繪制新函數】，在彈出的對話欄里，依次進行如圖所示的操作。
（3）點擊【確定】，就會出現如圖所示的圖像。
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（4）拖動 a、h、c，改變 a、h、c的值，觀察圖像變化規律。
2.21 幾何畫板對象的編輯、合并與拆分
【學習目的】學習【編輯】菜單下的【拆分/合并】的使用方法，以及調用【顯示】菜單
下的【顯示文本工具箱】進行文本的編輯。
【操作步驟】
（1）打開“二次函數 y=ax2+bx+c 的圖像.gsp”文件。
（2）用文本工具編輯四個文本，分別為“y=”、“x2+（”、“）x+ (”、“) ”。（注：“”
里的內容為輸入內容），這里著重講解 x2的文本輸入方法。
操作如下：在文本輸入編輯狀態下，點最下面一欄中的最后一個按鈕 ，會出現一排命令
，單擊 xy 按鈕，在出
現的對話框 里分別輸入 x和 2，效果如圖 ，然后調整字體大小 。
如圖 2.21-1 所示。
圖 2.21-1
（3）用選擇工具依次選中 y=、a、x2+（、b、） x+ (、c、) ，單擊【編輯】菜單下的【合并文
本】，如圖 2.21-2 所示，立即出現 的表達式，原先屏幕上
的 a、b、c的值被合并掉，如圖 2.21-3。
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圖 2.21-2
圖 2.21-3
（4）選中表達式 ，單擊右鍵，如圖 2.21-4 所示，可以隱藏
它，可以拆分它恢復原狀，也可以改變它的顏色，但不能用文本工具編輯它。
圖 2.21-4
（5）拖動點 a、b、c，分別改變 a、b、c的值，我們會發現不但圖像隨之改變，而且表達式也
會相應改變。
（6）熟練的運用合并、拆分功能，可以達到意想不到的效果。
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2.22 使用自定義工具作圖
單擊工具箱中的 按鈕，即可進入系統提供的自定義作圖工具，其內部是常用的作圖，
供使用者隨時調用。如下圖：
菜單分為上下兩個部分，以陰影線相隔，下面說說幾個菜單命令的作用：
2.22.1 創建新工具
創建新工具的作用是讓使用者自定義一些常用的或繁瑣的作圖，將其保存在工具箱里，以
便日后調用。我們以求點 F的軌跡為例。
【操作步驟】
如下圖中，BD 是一段弧，AE是一條線段，E點可以在弧上來回運動，否是 AE上一點，問
當點 E 運動時，點 F的軌跡如何？
（1）畫出弧 BCD（方法見 2.18節）
（2）在弧 BCD 上任取一點 E，在弧外任取一點 A，連接 AE，作出 AE的中點 F。如圖所示。
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（3）依次選中點 E和點 F，單擊【構造】菜單下的【軌跡】命令，得到下圖。
（4）下面我們就運用【自定義工具】 中的【創建新工具】命令：作好上面的圖形后，
選中所有對象，然后依次單擊自定義工具按鈕――創建新工具。如下圖：
（5）系統顯示建工具對話框，可以更改工具的名稱，以及可選擇是否顯示腳本視圖（腳
本視圖即制作該圖時的先決條件和操作步驟）。單擊確定，如下圖：
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說明：經過定義的工具，在進行繪圖時，可減少操作步驟，通過簡單的單擊或郫動即可完
成一個較復雜的繪圖。
2.22.2 工具選項
該菜單命令的作用是將工具進行復制。
如:復制工具中選擇“給四邊形加陰影”,則在當前文檔中出現 “給四邊形加陰影”,如圖所
示.
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2.22.3 顯示腳本視圖
該菜單命令的作用是提供學習，例如我們想學習工具箱中某個工具的作法時，即可在利用
該工具畫好圖后，單擊顯示腳本視圖按鈕。
2.22.4 工具文件夾
工具文件夾中都是系統提供的工具，可任意調用。選中某個工具后，在編輯區上單擊鼠標
或拖動鼠標即可。如：我們選擇畫直觀圖里的畫六棱柱，然后在繪圖區點擊，并拖動鼠標，就
可畫出如圖所示的六棱柱。
A''''' A''''
A'''' D A'
A''''''' A''''''''
A'''' A'''
A'''
A'''''''
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第三章 高級應用學習范例
這一部分主要在理解幾何畫板功能的基礎上，結合課件制作的需要，介紹如何靈活應用幾
何畫板功能的一些范例及技巧，屬于幾何畫板的“高級應用”。可以根據實際需要只學習其中
有用的范例，另一方面，供對幾何畫板有興趣的讀者學習研究。其中一些范例介紹的菜單功能
也是對前面菜單功能的補充。
3.1 動作按鈕的制作概述
我們在制作課件時總是希望自己能夠控制對象的運行，例如對象的顯示和隱藏，物體的移
動和動態效果的實現，頁面的跳轉和鏈接的控制等等。這些在幾何畫板都是通過對按鈕進行設
置來實現的。在幾何畫板 4.0x 版本中的【操作類按鈕】有【隱藏/顯 示 】、【 動 畫 】、、【 移 動 】、
【系列】、【鏈接】、【滾動】共六個能生成可操作按鈕的命令（如圖1）.通過這些命令制作出具
有相應功能的按鈕，再通過這些按鈕對相關對象進行操作。下面就讓我們通過一些實例來學習
這些按鈕的制作。
（圖 1）
3.2【隱藏/顯示】按鈕的制作
例 1：隱藏與顯示的切換
（1）在工作區中畫出一個三角形，選中三角形（包括邊和頂點），如圖 2。
（2）選擇【編輯】/【操作類按鈕】/【隱藏/顯示】命令，生成【隱藏對象】按鈕，如圖 3。
（3）單擊該按鈕，△ABC 在工作區中隱藏起來，按鈕變成【顯示對象】，如圖 4。單擊【顯示
對象】按鈕，隱藏的三角形又顯示出來，按鈕又變成【隱藏對象】.在這里通過一個【隱藏/顯
示】切換按鈕控制對象的顯示或隱藏。
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例 2：熟悉“隱藏/顯示”按鈕的屬性
如果我們想實現這樣一個效果，在隱藏一個三角形的同時，顯示一個正方形；而當隱藏顯
示的正方形時，隱藏的三角形又顯示出來。要制作出這樣的效果，就要熟悉【隱藏/顯示】按
鈕的屬性，同時還要用到系列按鈕的運用。
（1）選中繪畫區中 △ABC，按上面的操作再生成一個【隱藏對象】按鈕（連帶前面的按鈕，
一共有兩個【隱藏對象】按鈕）。
（2）右鍵單擊第一個【隱藏對象】按鈕，打開【隱藏對象的屬性】對話框，如圖5，動作選擇
【總是顯示對象】。
（3）右鍵單擊另一個【隱藏對象】按鈕，打開屬性對話框后，屬性選擇【總是隱藏對象】
這時三角形的顯示和隱藏通過兩個按鈕來控制，如圖 6，單擊【顯示對象】按鈕顯示△ABC，單
擊【隱藏對象】按鈕，隱藏△ABC。
（4）隱藏△ABC 后，在工作區中畫出正方形 ABCD，用上面的方法制作兩個按鈕，屬性分別設
置成【總是顯示對象】和【總是隱藏對象】，如圖 7。
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（5）依次單擊圖 6中的【隱藏對象】按鈕和圖 7中【顯示對象】按鈕，選則【編輯】/【操作
類按鈕】/【系列】命令，打開【系列對象屬性】對話框，如圖 8。
（6）單擊【標簽】在【標簽】欄中輸入“正方形”三個字，如圖 9。單擊【確定】按鈕，這時
生成【正方形】按鈕；
（7）依次選中圖 7中的【隱藏對象】按鈕和圖 6中的【顯示對象】按鈕，向上面一樣生成一
個系列按鈕，名稱改為三角形。
圖 9
（8）保留【正方形】和【三角形】兩個按鈕，選中其它按鈕后，按 Ctrl+H 鍵隱藏，最后效果
如圖 10。單擊【三角形】按鈕依次正方形顯示三角形，單擊【正方形】依次三角形，顯示正方
形。
3.3【移動】按鈕的制作
在上一節介紹了【隱藏/顯示】按鈕的制作，通過該按鈕可以控制對象的隱藏和顯示。本
節我們來學習如何通過【移動】按鈕來控制對象的移動。在【操作類按鈕】中有【移動】命令
(如圖 11)。當我們在繪畫區中依次選中點 A和點 B后，選擇【編輯】/【操作類按鈕】/【移動 】
打開【移動屬性】對話框，根據需要選擇適當的速度，單擊【確定】后在工作區中生成一個【移
動按鈕】（如圖 11）。單擊該按鈕時點 A 向點 B移動，當和點 B重合時停止。
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如果想實現文本的移動，可以把文本合并到點，然后按上面的步驟生成點的移動按鈕，再
隱藏點。便可以通過按鈕控制文本的移動了。在后面我們會談到文本合并到點，詳見 3.6.6 節 。
例 4：三角形的平移的制作.
（1）在工作區中畫出△ABC，并選中整個三角形，如(圖 12)。
（2）選擇【變換】/【平移】命令，打開平移對話框，如(圖 13)。在【固定距離】窗口輸入 5，
在【固定角度】窗口輸入 0。單擊【平移】按鈕，得到△A'B'C'，如(圖 14)。
這樣得到的△A’B’C’，會隨著△ABC 的形狀改變而改變，兩個圖形形狀總是全等。
（3） 在工作區
中畫出任意三角形 DEF， 依次選擇 D、B、F、C、E、 A。如(圖
15)。選擇【編輯】/【操作類按鈕】/【移動】命令 ， 打開屬性
對話框，速度設置為【高速】，得到【移動點】按鈕 (1)。
（4）依次選擇 D、B'、F、C'、E、A'，選擇【編輯 】 /【操作類
按鈕】/【移動】，在屬性對話框中速度設置為【中 速】得到
【移動點】按鈕(2)；
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（5）單擊文本工具后，依次單擊△DEF 的三個頂點，隱藏點的標簽。
（6）選中△DEF，制作兩個“顯示/隱藏”按鈕，屬性分別設置為【總是顯示對象】和【總是
隱藏對象】。
（7）依次選擇【移動點】(1)、【顯示對象】、【移動點】(2)、【隱藏對象】，打開【編輯】/【操
作類按鈕】/【系列】的對話框，屬性設置為【依序執行】，時間間隔設置為 0秒。確定后得到
【順序 4動作】按鈕。用文本工具雙擊該按鈕，改其名稱為【平移】。最后效果如（圖 17）。
單擊【平移】按鈕后，從△ABC 處有一個和它全等的三角形平移到△A’B’C’，和
△A’B’C’重合。托動三角形的頂點，任意改變三角形的形狀后，再次單擊【平移】按鈕，
移動的三角形仍然保持和工作區中的兩個三角形全等。
3.4【動畫按鈕】的制作
幾何畫板真正激動人心的是動畫效果的實現，利用動畫功能可以制作出很多賞心悅目的作
品。下面讓我們通過實例學習“動畫”按鈕的制作。
例 1：點在線段上的動畫
（1）在繪畫區中畫線段 AB 和 CD，且點 C在線段 AB上（如圖 18）。 選點 C（如圖 19）。
（2）打開【編輯】菜單下的【操作類按鈕】下的【動畫】命令，選擇【動畫】命令出現如（圖
20）的動畫框。單擊確定后在工作區中出現一個【運動點】按鈕，可通過該按鈕來控制點 C在
線段 AB 上的運動。
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例 2：點在圓上的動畫
（1）在工作區中畫圓 O 和線段 AB，如圖 21。
（2）單擊點 A和圓周，如圖 22。
（3）選擇【編輯】菜單下的【合并點到圓】命令，點 A移動合并到圓周上，如圖 23。
（4）再打開（圖 20）的對話框，制作一個動畫按鈕。
這樣可以通過按鈕來控制點在圓上的動畫。
O
A
B
(圖21）
例 3：同時控制幾個點的動畫
前面的例子是用一個按鈕控制一個點的動畫，還可以用一個按鈕同時控制幾個點的動畫。
（1）在工作區中畫出下面的圖形（如圖 24），點 C在 AB 上，點 F在圓周上。
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A C
B
F
D E
(圖 24）
（2）分別單擊選點 C和點 F（如圖 25）
（3）打開“操作類按鈕”的動畫屬性對話框，(如圖 26)，可以根據需要進行相關設置。
(4) 單擊【確定】后，生成一個按鈕，通過此按鈕可以同時控制點 C和點 F的運動。
例 4：參數的動畫
除了設置圖形對象的動畫外，還可以設置參數的動畫。幾何畫板中的參數是不同于度量值
和計算值的能夠獨立存在的一種數值，它的建立不依靠具體的對象。使用參數可以進行計算、
構造可控制的動態圖形、建立動態的函數解析式、控制圖形的變換、控制對象的顏色變化等等 。
參數具體的應用我們在后面有專題介紹，這里只說明如何通過按鈕控制參數的動畫。
（1）建立參數。
單擊【圖表】菜單，選擇【新建參數】命令后出現如圖 27 的對話框，參數默認無單位，
也可以建立帶單位的參數。單擊確定后，在畫板工作區便出現了參數，如圖28。（說明：還可
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以通過【度量】/【計算】命令新建參數。）
（圖 27） （圖 28）
（2）參數的動畫
選中參數后，選擇【編輯】菜單下的【操作類按鈕】下拉菜單中的【動畫】命令，打開參
數的動畫屬性對話框(如圖 29)，根據需要進行相關設置。單擊確定后，在工作區中出現一個運
動參數按鈕，單擊此按鈕參數按設置進行變化。單擊確定后，在工作區中生成一個控制參數動
畫的按鈕。
（圖 29）
3.5【鏈接】按鈕的制作
操作類按鈕中還有一個“鏈接”命令，使用此命令可以鏈接到因特網上的資源、進行本機
文件的超級鏈接，還可以實現幾何畫板文件中頁面的“跳轉”/“鏈接”的屬性對話框如圖 30。
此時可以在超級鏈接的信息欄中輸入網址鏈接到因特網上的資源。
60
（2）實現本地文件的超級鏈接
如果想在幾何畫板工作區中設置一個按鈕，單擊該按鈕來打開 E盤下 mp3 文件夾中一首歌
曲“月亮之上.mp3”，可以在圖 30 的信息欄中輸入“E:\mp3\月亮之上.mp3”,效果圖如下，
然后單擊確定完成。要注意文件名后必須要加擴展名，否則鏈接不成功。
（3）鏈接到幾何畫板文件中不同的頁面
在多頁面的幾何畫板文件中要實現頁面的跳轉可以通過“鏈接”按鈕來實現。在“鏈接”
的屬性對話框中點選頁面，如圖 31，單擊下拉箭頭，顯示本文件中所有的頁面如圖 32，單擊
所要跳轉的頁

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