資源簡介

(共30張PPT)
17.1 勾股定理
第十七章 勾股定理
導入新課
講授新課
當堂練習
課堂小結
八年級數學下（RJ）
教學課件
第1課時 勾股定理
1.經歷勾股定理的探究過程，了解關于勾股定理的一
些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體
會數形結合的思想.（重點）
2.會用勾股定理進行簡單的計算 .（難點）
其他星球上是否存在著“人”呢？為了探尋這一點，世界上許多科學家向宇宙發出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等.
導入新課
情景引入
據說我國著名的數學家華羅庚曾建議“發射”一種勾股定理的圖形(如圖).
很多學者認為如果宇宙“人”也擁有文明的話，那么他們一定會認識這種語言，因為幾乎所有具有古代文化的民族和國家都對勾股定理有所了解.
勾股定理有著悠久的歷史：古巴比倫人和古代中國人看出了這個關系，古希臘的畢達哥拉斯學派首先證明了這關系，下面讓我們一起來通過視頻來了解吧：
講授新課
我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面（如圖）：
問題1 試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數量關系？
一直角邊2
另一直角邊2
斜邊2
+
=
問題2 圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關系？
問題3　在網格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C 是否也有類似的面積關系？觀察下邊兩幅圖(每個小正方形的面積為單位1)：
這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？
方法1：補形法(把以斜邊為邊長的正方形補成各邊都在網格線上的正方形）：
左圖：
右圖：
方法2：分割法(把以斜邊為邊長的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：
左圖：
右圖：
你還有其他辦法求C的面積嗎？
根據前面求出的C的面積直接填出下表：
4
13
25
9
16
9
思考 正方形A、B、C 所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關系？
A的面積 B的面積 C的面積
左圖
右圖
命題1 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
由上面的幾個例子，我們猜想：
下面動圖形象的說明命題1的正確性，讓我們跟著以前的數學家們用拼圖法來證明這一猜想.
a
b
b
c
a
b
c
a
證法1 讓我們跟著我國漢代數學家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
趙爽弦圖
b-a
證明：
“趙爽弦圖”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲.因為，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數學大會的會徽.
證法2 畢達哥拉斯證法，請先用手中的四個全等的直角三角形按圖示進行拼圖，然后分析其面積關系后證明吧.
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
證明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
證法3 美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”.
如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2 + b2 = c2.
在我國又稱商高定理，在外國則叫畢達哥拉斯定理，或百牛定理.
a、b、c為正數
如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.
公式變形：
勾股定理
a
b
c
歸納總結
在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.
勾2+股2=弦2
小貼士
例1 如圖，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
(2)據勾股定理得
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
【變式題1】在Rt△ABC中， ∠C=90°.
x2+(2x)2=52，
(2)
因此設a=x,c=2x,根據勾股定理建立方程得
(2x)2-x2=152，
解得
已知直角三角形兩邊關系和第三邊的長求未知兩邊時，要運用方程思想設未知數，根據勾股定理列方程求解.
【變式題2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長.
解：本題斜邊不確定，需分類討論：
當AB為斜邊時，如圖?，
當BC為斜邊時，如圖?，
圖?
圖?
當直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進行分類討論，否則容易丟解.
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長.
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根據三角形面積公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯合使用．
練一練
求下列圖中未知數x、y的值：
解：由勾股定理可得
81+ 144=x2，
解得x=15.
解：由勾股定理可得
y2+ 144=169，
解得 y=5
當堂練習
1.下列說法中,正確的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2
B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為 .
36 cm?
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，則c= .
（2）若c=13，b=12，則a= .
4.若直角三角形中，有兩邊長是5和7，則第三邊長
的平方為_________.
17
5
74或24
5.求斜邊長17 cm、一條直角邊長15 cm的直角三角形的面積.
解：設另一條直角邊長是x cm.
由勾股定理得152+ x2 =172，
即x2=172-152=289–225=64，
∴ x=±8（負值舍去），
∴另一直角邊長為8 cm，
直角三角形的面積是
(cm2).
6.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周長．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴BD=AD=1，∴AB= ．
在Rt△ADC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AD=2，
∴CD= ，∴BC=BD+CD=1+ ，
∴△ABC的周長=AB+AC+BC= ．
解：∵AE＝BE，
∴S△ABE＝ AE·BE＝ AE2.
又∵AE2＋BE2＝AB2，
∴2AE2＝AB2，
∴S△ABE＝ AB2＝ ；
同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2.
又∵AC2＋BC2＝AB2，
∴陰影部分的面積為 AB2＝ .
7.如圖，以Rt△ABC的三邊長為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，求△ABE及陰影部分的面積.
能力提升：
課堂小結
勾股定理
內容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪個角是直角
已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論

展開更多......

收起↑