資源簡介

(共26張PPT)
6.1 平行四邊形的性質
第六章 平行四邊形
第1課時 平行四邊形邊和角的性質
學習目標
1.理解平行四邊形的定義及有關概念.
2.能根據定義探索并掌握平行四邊形的對邊相等、對角相等的性質.（重難點）
導入新課
觀察下圖，平行四邊形在生活中無處不在.
情景引入
你還能舉出其他的例子嗎？
活動1：如果將一個三角形的兩邊分別平移,會得到什么圖形？
思考：請觀察顏色相同的兩組對邊，它們有怎樣的位置關系呢？
講授新課
合作探究
兩組對邊都不平行
一組對邊平行，
一組對邊不平行
兩組對邊分別平行
平行四邊形
活動2：觀察圖形，說出下列圖形邊的位置有什么特征？
1.兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．
幾何語言：
∵AB∥CD，AD∥BC ，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
3.平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫它的對角線.如圖AC.
4.平行四邊形中，相對的邊稱為對邊，
相對的角稱為對角.
概念學習
你能從以下圖形中找出平行四邊形嗎？
2
3
1
4
5
說一說
如圖，把兩張完全相同的平行四邊形紙片疊合在一起,在它們的中心O 釘一個圖釘，將一個平行四邊形繞O 旋轉180°，你發現了什么?
平行四邊形中心對稱性
一
二
合作探究
再看一遍
你有什么猜想？
根據剛才的旋轉，你知道平行四邊形是什么圖形？
猜一猜
□ABCD繞它的中心O旋轉180°后與自身重合，這時我們說□ABCD是 中心對稱圖形，兩條對角線的交點O是它的對稱中心.
平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心.
活動3：將兩個全等的三角形紙片相等的邊重合在一起，你能拼出平行四邊形嗎？你能拼出幾個？與同學交流你的拼法，并把它展示出來.
說一說：通過拼圖你可以得到什么啟示？
平行四邊形對邊相等，對角相等.
一
這個結論正確嗎？
方法1：度量法
這個方法準確嗎？
平行四邊形的一條對角線把平行四邊形分成兩個全等的三角形；
A
B
C
D
四邊形問題
轉化
三角形問題
方法2：推理證明
證明：如圖，連接AC
∵AD∥BC，AB ∥ CD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
又AC是△ABC和△CDA的公共邊
∴ △ABC≌ △CDA（ASA）
∴AB=CD，AD=CD
∠B=∠D
又∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3
即∠BAD=∠DCB.
證明結論
思考：不添加輔助線，你能否直接 運用平行四邊形
的定義，證明其對角相等？
A
B
C
D
證明：∵AB∥DC
∠ABC+∠BCD=180°
AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC=180°
∴∠BCD=∠BAD
同理 ∠ABC=∠ADC
幾 何 語 言
邊
角
文字敘述
對邊平行
對邊相等
對角相等
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，
平行四邊形的性質
知識要點
性質定理1
性質定理2




例1.已知： ABCD,E，F是對角線AC上的兩點，并且AE=CF，求證： BE=DF.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAE=∠DCF.
∴ △ABE≌ △CDF（SAS）.
∴ AB=CD，AB ∥ CD
又∵AE=CF，
∴BE=DF.
典例精析
例2 有一塊形狀如圖 所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，現在只測得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根據測得的數據計算出DE的長度和∠D的度數嗎？
解∵AE//BC，AB//CF
∴四邊形ABCD是平行四邊形
∴∠D=∠B=60°，
AD=BC=60cm.
∴ED=AD-AE=80-60=20cm.
答：DE的長度是20cm, ∠D的度數是60°.
A1
A3
A2
練一練：學校買了四棵樹，準備栽在花園里，已經栽了三棵（如圖），現在學校希望這四棵樹能組成一個平行四邊形，你覺得第四棵樹應該栽在哪里？
1 .如圖，在□ABCD中
(1)若∠A=130°，則∠B=______ ，∠C=______ ， ∠D=______.
(2)若∠A+ ∠C= 200°，則∠A=______ ，∠B=______.
(3)若∠A:∠B= 5:4，則∠C=______ ，∠D=______.
（4）若AB=3,BC=5,則它的周長= ______.
50°
130°
50°
100°
80°
100°
80°
16
當堂練習
2.在□ABCD中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,
則S □ABCD= .
提示：過點A作AE⊥BC于E，然后利用勾股定理求出AE的值.
40cm2
解：在 ABCD中，AB=DC,AD=BC
(平行四邊形的對邊相等)
∵ AB=8，DC=8
又∵AB+BC+DC+AD=24,
∴AD=BC= (24-2AB)=4
3.如圖，在 ABCD中，AB=8，周長等于24，求其余三條邊的長.
B
C
D
A
4．已知點A（3，0）、B（-1，0）、C（0，2），以A、B、C為頂點畫平行四邊形，你能求出第四個頂點D嗎？
（4，2）
（2，-2）
（-4，2）
平行四邊形
中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心
課堂小結
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
對稱性
定義
性質
對邊平行,
對邊相等，
對角相等
(共23張PPT)
6.1 平行四邊形的性質
第六章 平行四邊形
第2課時 平行四邊形對角線的性質
1.探索并掌握平行四邊形對角線性質；(重點)
2.靈活運用平行四邊形的性質進行推理和計算.
導入新課
分享蛋糕的故事
視頻中的小朋友所說的那塊蛋糕是最大的嗎？為什么?
講授新課
我們知道平行四邊形的邊角這兩個基本要素的性質，那么平行四邊形的對角線又具有怎樣的性質呢?
如圖，在□ABCD中，連接AC,BD,并設它們相交于點O.
OA與OC,OB與OD有什么關系?
猜一猜
OA=OC,OB=OD
這個結論正確嗎？
量一量
拿出手中的平行四邊形紙片，測量出四條線段的長度，驗證你的猜想是否正確?
這個方法準確嗎？
驗一驗
幾何畫板驗證（點擊）
證一證
已知：如圖： □ABCD的對角線AC、BD相交于點O.
求證：OA=OC，OB=OD.
證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ △AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
平行四邊形的對角線互相平分.
要點歸納
平行四邊形的性質
應用格式：
1. △ABO≌ △CDO，
△AOD ≌ △COB，
△ ABD ≌ △CDB，
△ ABC ≌ △CDA ；
2. △ABO、 △AOD、 △DOC、 △COB的面積相等，且都等于平行四邊形面積的四分之一.
重要結論
O
●
其實四塊蛋糕是一樣大的．
典例精析
例1：在□ABCD中，AC與BD交于點O,OA=12cm,
OB=19cm,則AC= cm,
BD= cm.
24
38
59
8
變式3 在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 則m的取值范圍是( )
A. 24C.7C
例2 如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的長.
解：
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴BC=AD=5
∵AB⊥AC
∴△ABC是直角三角形
AO= AC=2
∴BD=2BO=
例3 如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，過點O作直線與AD，BC分別相交于
點E、F，求證：OE=OF.
證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ DO=BO，AD∥BC.
∴ ∠ODE=∠OBF.
∴ △DOE≌△BOF（ASA）.
∴ OE=OF.
∵ ∠DOE=∠BOF，
E
F
(2)
議一議：在上述問題中，若直線EF與邊DA、BC的延長線交于點E、F，（如圖2），上述結論是否仍然成立？試說明理由．
●
●
●
●
議一議：在上述問題中，若將直線EF繞點O旋轉至下
圖（3）的位置時，上述結論是否仍然成立？
F
E
F
E
(1)
E
F
(3)
(3)
(4)
●
●
●
●
過平行四邊形的對角線交點作直線與平行四邊形的一組對邊或對邊的延長線相交，得到的線段總相等，且這條直線二等分平行四邊形的面積．
歸納總結
如圖， □ ABCD 的兩條對角線AC、BD相交于點O，過點0的直線與AD、BC分別相交于點E、F，已知□ ABCD 的面積是12cm2,則圖中陰影部分的面積是 .。
試一試
6 cm2
當堂練習
1.如圖， □ABCD的對角線AC、BD相交于點O,且AC+BD=16,CD=6,則△ABO的周長是（ ）
A. 10 B. 14
C. 20 D. 22
B
2.下列性質中，平行四邊形不一定具備的是（ ）
A.對邊相等 B. 對角相等
C. 對角線互相平分 D. 是軸對稱圖形
D
3.如圖，在 ABCD中，BF平分∠ABC,交AD于點F,CE平分∠BCD，交AD于點E,AB=6,EF=2,則BC的長為 .
10
□
4.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的長.
8
10
解：
∴△ABC是直角三角形.
又∵AC⊥BC
∴BC=AD=8，CD=AB=10
又∵OA=OC
∴
∴
？
？
？
∵四邊形ABCD是平行四邊形.
5. 如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,E,F分別是OA,OC的中點，連接BE,DF.
求證:BE=DF.
證明： ∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點O,
∴OB=OD,OA=OC.
∵E,F分別是OA,OC的中點,
平行四邊形
對角線互相平分
課堂小結
對角線的性質
(共27張PPT)
6.2 平行四邊形的判定
第六章 平行四邊形
第1課時 利用四邊形邊的關系判定
平行四邊形
情境引入
學習目標
1.平行四邊形判定方法的探究.（重點）
2.平行四邊形判定方法的理解和靈活應用.（難點）
平行四邊形的性質
邊
平行四邊形的對邊平行
平行四邊形的對邊相等
角
平行四邊形的對角相等
平行四邊形的鄰角互補
平行四邊形的對角線互相平分
對稱性
平行四邊形是中心對稱圖形
對角線
導入新課
知識回顧
導入新課
學習了平行四邊形之后，小明回家用細木棒釘制了一個平行四邊形.第二天，小明拿著自己動手做的平行四邊形向同學們展示.
小輝卻問：你憑什么確定這四邊形就是平行四邊形呢?
大家都困惑了……
活動1：用兩根長30cm的木條和兩根長20cm的木條作為四邊形的四條邊，能否拼成一個平行四邊形？與同伴進行交流.
20cm
30cm
猜測：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
講授新課
合作探究
已知： 四邊形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
求證： 四邊形ABCD是平行四邊形.
連接BD，
在△ABD和△CDB中,
AB=CD
BD=DB
AD=CB
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴ ∠1=∠2 , ∠ 3=∠4.
∴AB∥ CD , AD∥ CB
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
證明：
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
∵AB=CD，
AD=BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
幾何語言：
平行四邊形判定定理1
B
D
C
A
總結歸納
例1 如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC和AD上的兩點，且AF＝CE.
求證：四邊形AECF為平行四邊形
證明：可求得△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE=CF
又∵AF=CE
∴四邊形ABCD是平行四邊形
（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）

典例精析
活動2：將兩根同樣長的木條AD，BC平行放置,再用木條AB，DC加固,得到的四邊形ABCD是平行四邊形.
A
B
C
D
猜想：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
連接AC.
∵AB//CD, ∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（SAS）.
∴BC=DA.
∴四邊形ABCD的兩組對邊分別相等，它是平行四邊形.
已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD.
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明：
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
∵AB=CD，
AB∥CD
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
幾何語言：
平行四邊形判定定理2
B
D
C
A
總結歸納
例2 如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AE、CF分別是∠DAB、∠BCD的角平分線，試證明四邊形AFCE是平行四邊形．
證明：∵在平行四邊形ABCD中，
AE、CF分別是∠DAB、 ∠BCD的角平分線
∴∠B=∠D,AB=CD, AD∥BC
∠BAE=∠DCF= ∠DAB= ∠BCD
∴△ABE≌△CDF(ASA)
∴BE=DF∴AF=CE ∵AF∥CE
∴四邊形AFCE是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
盧師傅要做一個平行四邊形木框.他要從圖中幾根木條中選出四根來制作，可是他不知道該怎樣選，請同學們幫他選一選，哪四根木條可以制作成平行四邊形木框，為什么？
7cm
4cm
3cm
3cm
5cm
4cm
閱讀思考
4cm
4cm
4cm
4cm
3cm
3cm
3cm
3cm
發現：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形.
思考：我們可以從角出發來判定一個四邊形是否為平行四邊形嗎？
你能根據平行四邊形的定義證明它們嗎？
已知：四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
又∵∠A=∠C，∠B=∠D
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°
∴2∠A+2∠B=360°
即∠A+∠B=180°
∴ AD∥BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
同理得 AB∥ CD
證明：
定義判定：
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
歸納小結
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
平行四邊形判定定理
∵AB=CD,AD=BC,
∴四邊形ABCD是
ABCD
∵ AB= CD,
AB∥CD,
∴四邊形ABCD是
ABCD
∵ ∠ A= ∠ C,
∠ B= ∠ D,
∴四邊形ABCD是
ABCD
1.能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件：∠A:∠B:∠C:∠D的值為（　　）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
D
2. 如圖所示，△ABC是等邊三角形，P是其內任意一點，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周長為24，則PD+PE+PF= .
8
3.已知AD//BC ，要使這個四邊形ABCD為平行四邊形，需要增加條件 .
AD=BC或AB//CD
當堂練習
4.已知：如圖，E,F分別是 平行四邊形ABCD 的邊AD,BC的中點.
求證：BE=DF.
D
證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC
AD=BC
∵E,F分別是AD,BC的中點，
∴四邊形EBFD是平行四邊形（一組對邊平行并且相等的四邊形是平行四邊形）.
∴BE=DF(平行四邊形的對邊分別相等).
解：是，理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD,AB//CD.
∴∠ABE=∠CDF.
∴∠AEB=∠CFD=900.
∴△ABE≌△CDF（AAS）.
∴AE=CF.
∵ ∠AEF=∠CFE=900,
∴AE//CF.
∴四邊形AECF是平行四邊形.
1.現有一塊等腰直角三角形鐵板，要求切割一次,焊接成一個含有45°角的平行四邊形 (不能有余料), 請你設計一種方案，并說明該方案正確的理由.
A
B
C
能力提升
C
A
B
F
D
C
A
B
E
A
B
C
F
2.電視劇《人民的名義》中有一位退休好干部叫陳巖石，他有一塊平行四邊形菜園地，夏季到來了，院子里瓜果飄香.有一天突然下起了暴雨，將菜園地的一部分沖垮，陳老的菜園地與鄰居家的菜園地之間的界限看不清了，巧的是，剛好保留了頂點A和C.
（1）如圖，若你只有一把直尺和一個圓規，你能將圖形補全嗎？若能，請補全圖形（不寫作法，只保留作圖痕跡），并證明四邊形ABCD是平行四邊形.
（2）若E是BC邊上的一點，只用一把無刻度的直尺在AD邊上作點F，使得DF=BE,
①作出滿足題意的點F，簡要說明作圖過程.
②依據你的作圖，證明：DF=BE.
★
E
A
B
C
D
O
F
課堂小結
平行四邊形的判定
定義法
判定理理1
判定定理2
①已知一組對邊平行，可以證另一組對邊平行；也可證這組對邊相等.
②已知一組對邊相等，可以證另一組對邊相等；也可證這組對邊平行.
③已知一組對角相等，再證另一組對角相等.
(共17張PPT)
6.2 平行四邊形的判定
第六章 平行四邊形
第2課時 利用四邊形對角線的性質判定
平行四邊形
1.利用對角線互相平分判定平行四邊形;（重點）
2.平行四邊形對角線相等的相關運用.（難點）
學習目標
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
平行四邊形判定定理
∵AB=CD,AD=BC,
∴四邊形ABCD是
ABCD
∵ AB= CD,
AB∥C D,
∴四邊形ABCD是
ABCD
∵ ∠ A= ∠ C,
∠ B= ∠ D,
∴四邊形ABCD是
ABCD
復習引入
導入新課
將兩根木條AC，BD的中點重疊，并用釘子固定，再用一根橡皮筋繞端點A，B，C，D圍成一個四邊形ABCD ．想一想，△AOB≌△COD嗎？四邊形ABCD的對邊之間有什么關系？你得到什么結論？
A
C
B
O
D
講授新課
合作探究
猜想：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
已知：四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求證：四邊 形ABCD是平行四邊形.
證明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)
OB=OD (已知)
∠AOB=∠COD (對頂角相等)
∴△AOB≌△COD(SAS)
∴ ∠BAO=∠OCD ,
∠ ABO=∠CDO.
∴AB∥ CD , AD∥ BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
∵AO=CO，
BO=DO
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
幾何語言：
平行四邊形判定定理3
總結歸納
1.請你識別下列四邊形哪些是平行四邊形?
⑷
70。
練一練
2.已知：E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上的兩點，并且OE=OF.
求證：四邊形BFDE是平行四邊形
D
O
A
B
C
E
F
證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ BO = DO.
∵ EO = FO，
∴ 四邊形BFDE是平行四邊形.
例1 已知：E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上的兩點，并且AE=CF.
求證：四邊形BFDE是平行四邊形.
O
證明：連接BD
在ABCD中，AO=CO，BO=DO
∵AE=CF
∴AO-AE=CO-CF
∴EO=FO
又 ∵BO=DO
∴ 四邊形BFDE是平行四邊形.
(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）
例2 填空：如圖在四邊形ABCD中
（1）若AB//CD，補充條件 ，使四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）若AB=CD，補充條件 ，使四邊形ABCD為平行四邊形；
（3）若對角線AC、BD交于點O，OA=OC=3，OB=5，
補充條件 ，使四邊形ABCD為平行四邊形.
AD//BC
AD=BC
OD=5
（4）如圖， □ABCD 的對角線AC,BD相交于點O,E,F是AC上的兩點，補充條件： ,使得四邊形BFDE是平行四邊形.
證明：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF ，
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又 BO=DO.
∴四邊形BFDE是平行四邊形.
AE=CF
想想還有
其他證法嗎？
想一想：判定一個四邊形是平行邊形可以從哪些角度思考?具體有哪些方法?
從邊考慮
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義法)
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(判定定理1)
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（判定定理2）
從角考慮
從對角線考慮
平行四邊形的判定方法
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（定義拓展）
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（判定定理3）
小明用手中六個全等的正三角形做拼圖游戲時，拼成一個六邊形．你能在圖中找出所有的平行四邊形嗎？并說說你的理由．
試一試
解：有6個平行四邊形，分別是：
　 ABOF， ABCO，
BCDO， CDEO，
DEFO， EFAO．
當堂練習
1. 根據下列條件，不能判定一個四邊形為平行四邊形的是（ ）
A. 兩組對邊分別相等
B . 兩條對角線互相平分
C . 兩條對角線相等
D . 兩組對邊分別平行
C
C
3.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點，直線AE交DC的延長線于點F．試判斷四邊形ABFC的形狀，并證明你的結論．


∴△ABE≌△FCE（AAS）；
∴AE=EF，又∵BE=CE
∴四邊形ABFC是平行四邊形．
解：四邊形ABFC是平行四邊形；理由如下：
∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE，
∵E是BC的中點，
∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，
從邊考慮
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義法)
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形(判定定理1)
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（判定定理2）
從角考慮
從對角線考慮
平行四邊形的判定方法
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（定義拓展）
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（判定定理3）
課堂小結
(共23張PPT)
6.2 平行四邊形的判定
第六章 平行四邊形
第3課時 平行線間的距離及平行四邊形判定與性質的綜合
學習目標
1.掌握平行線間的距離的概念及性質；
2.運用平行四邊形的性質計算和證明；（重點）
3.能夠綜合運用平行四邊形的判定定理和性質.（難點）
導入新課
情境引入
在筆直的鐵軌上，夾在兩根鐵軌之間的平行枕木是否一樣長？你能說明理由嗎？與同伴交流.
如圖，在方格紙上畫兩條互相平行的直線，在其中一條直線上任取若干點，過這些點作另一條直線的垂線，用刻度尺度量出平行線之間的垂線段的長度．
經過度量，我們發現這些垂線段的長度都相等(從圖中也可以看到這一點)．
合作探究
講授新課
猜想：平行線間距離處處相等.
如圖，直線a//b，A,B是直線a上任意兩點，AC⊥b，BD⊥b，垂足分別為C,D.求證：AC=BD.
證明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
理論證明
a
b
A
B
C
D
∴∠1=∠2=90°.
∴AC∥BD.
∴AB∥CD，
∴四邊形ACDB是平行四邊形.
∴AC=BD.
1
2
如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離都相等(如圖：AC=BD),這個距離稱為平行線之間的距離.
歸納總結
(簡記為：兩條平行線間的距離處處相等）.
A
B
思考：兩條平行線之間的距離與點和點之間的距離、點到線之間的距離有何區別與聯系？
a
b
A
B
點到直線的距離只有一條，即過直線外點作直線的垂線段的長度；而平行線的距離有無數條即一直線任一點都可以得到一條兩平行直線的距離.
例1 如圖，直線AE//BD，點C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面積為16，則△ACE的面積為 .
分析：根據平行線之間的距離處處相等.
解析：設高為h,則S△ABD= ·BD·h=16,h=4,
所以S △ACE= ·AE·h= ×5 ×4=10.
10
典例精析
思考：若垂線段改為夾在兩條線段間的平行線段呢？它們是否相等呢？
由“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”易知其圍成的封閉圖形為平行四邊形，再由平行四邊形性質易知夾在兩條平行線間的平行線段相等.
例2 已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，BN=DM，BE=DF．求證：四邊形MENF是平行四邊形
證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠MDF=∠NBE．
∵DM=BN，DF=BE，
∴△MDF≌△NBE(SAS).
∴MF=NE，∠MFD=∠NEB．
∴四邊形MENF是平行四邊形.
∴∠MFE=∠NEF ∴FM∥EN．
證明：∵四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，
∴AD EF，EF BC.
∴AD BC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
問題 四邊形AEFD和EBCF都是平行四邊形，求證四邊形ABCD 是平行四邊形.
提示:要由其中的一個或多個平行四邊形，得出四邊形中邊角的條件，判定其他四邊形也是平行四邊形
例3.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F是對角線AC上的兩點，給出下列四個條件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四邊形DEBF是平行四邊形的有（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
B
【解析】由平行四邊形的判定方法可知：若是四邊形的對角線互相平分，可證明這個四邊形是平行四邊形，②不能證明對角線互相平分，只有①③④可以，故選B．
例4 如圖，在 ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，連接AF，CE．
求證：AF=CE．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
∠ABE＝∠CDF，
∠AEB＝∠CFD，
AB＝CD ，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF=CE．
1.(1)在□ABCD中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,則S □ABCD= .
提示：過點A作AE⊥BC于E，然后利用勾股定理求出AE的值.
40cm2
(2)若點P是□ABCD上AD上任意一點，那么△PBC的面積是 .
20cm2
提示：△PBC與□ABCD是同底等高.
當堂練習
2.如圖，?ABCD 中． EF∥GH∥BC，MN∥AB，則圖中平行四邊形的個數是（　　）
A．13 B．14 C．15 D．18
【解析】根據平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，
如圖，則圖中的四邊形AEOM、AGPM、ABNM、EGPO、EBNO、GBNP、MOFD、MPHD、MNCD、OPHF、ONCF、PNCH、AEFD、AGHD、ABCD、EGHF、EBCF和GBCH都是平行四邊形，共18個．
故選D．
D
3.在?ABCD中，E、F分別在BC、AD上，若想要使四邊形AFCE為平行四邊形，需添加一個條件，這個條件不可以是（　　）
A．AF=CE B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE
B
4.如圖，?ABCD中，E，F分別為BC，AD邊上的點，要使四邊形BEDF為平行四邊形，需添加一個條件:
_________________________________.
【解析】∵四邊形EBFD要為平行四邊形．
∴∠BAE=∠DCF，AB=CD
在△AEB與△CFD中，
AB＝CD ∠BAE＝∠DCF AE＝CF ，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴AE=FC
∴DE=BF；
AE=FC或∠ABE=∠CDF或BE=DF（答案不唯一）
∴四邊形EBFD為平行四邊形．
∴可添加的條件是AE=FC，同理還可添加∠ABE=∠CDF．
故答案為：AE=FC或∠ABE=∠CDF或BE=DF（答案不唯一）
5.如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AD、BC的中點，對角線AC分別交BE，DF于點G、H．
求證：AG=CH．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，
∵E、F分別為AD、BC邊的中點，
∴AE=DE= AD，CF=BF= BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴BE∥DF，
∴∠AEG=∠ADF，
∴∠AEG=∠CFH，
在△AEG和△CFH中，
∠EAG＝∠FCH
AE＝CF
∠AEG＝∠CFH ，
∴△AEG≌△CFH（ASA），
∴AG=CH．
平行四邊形
五種判定方法
課堂小結
對邊平行,對邊相等，對角相等
判定
性質
夾在兩條平行線間的平行線段處處相等
(共30張PPT)
6.3 中位線
第六章 平行四邊形
1.理解中位線的概念和性質；（重點）
2.能夠利用中位線解決相關問題. (重點、難點)
學習目標
如圖，有一塊三角形的蛋糕，準備平均分給兩個小朋友，要求兩人所分的大小相同，請設計合理的解決方案；若平均分給四個小朋友，要求他們所分的大小都相同，請設計合理的解決方案；
導入新課
情境引入
如圖，有一塊三角形的蛋糕，準備平均分給四個小朋友，要求四人所分的形狀和大小都相同，請設計合理的解決方案.
講授新課
問題1：你能將任意一個三角形分成四個全等的三角形嗎?
合作探究
問題2：連接每兩邊的中點,看看得到了什么樣的圖形?
四個全等的三角形
連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
D
E
兩層含義:
② 如果DE為△ABC的中位線，那么 D、E分別為AB、AC的 .
① 如果D、E分別為AB、AC的中點,那么DE為△ABC的 ；
中位線
中點
2.畫出三角形的所有中線并說出中位線和中線的區別.
D
E
F
問題3：你能通過剪拼的方式，將一個三角形拼成一個與其面積相等的平行四邊形嗎？

小明的做法：將△ADE繞點E按順時針方向旋轉180°到△CFE的位置（如圖），這樣就得到了一個與△ABC面積相等的平行四邊形DBCF.
動畫演示
猜一猜:三角形兩邊中點的連線與第三邊有怎樣的關系？能證明你的猜想嗎？
DE和邊BC的關系
數量關系：
位置關系：
平行
DE是BC的一半
能說出理由嗎?
請同學們測量
⑴∠ADE, ∠ABC度數;
⑵ DE,BC 長度.
已知：如圖，在△ABC中，DE是△ABC的中位線.
求證：
DE∥BC,
DE= BC.
證明:如圖,延長DE至F,使EF=DE,連接CF.
∵ AE=CE, ∠AED=∠CEF,
∴△ADE≌△CFE(SAS),
∴AD=CF,∠A=∠ECF.
∴CF∥AB.
∵AD=BD,
∴四邊形DBCF是平行四邊形.
∴BD=CF.
∴DF∥BC,DF=BC.
∴DE∥BC,
三角形中位線定理：
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
用符號語言表示
∵DE是△ABC的中位線
∴DE∥BC,
【定理的理解】
(1)從條件看，以后我們看到中點，尤其是兩個或者兩個以上的中點時我們就要聯想到三角形的中位線定理.
(2)從結論看，它既可以得到線段的位置關系（平行），又可以得到線段的數量關系（倍份關系），大家以后在解決相關問題時要兩方面結合起來靈活應用.
1.如左圖，MN 為△ABC 的中位線，若∠ABC =61°，則∠AMN = ，若MN =12 ，則BC = .
61°
24
2.如右圖， △ABC 中， D ，E 分別為AB，AC 的中點，當BC =10㎝時，則DE = .
5㎝
1.圖中有幾個全等三角形，你是怎么知道的？你能證明嗎？
2.圖中有幾個平行四邊形？你能證明嗎？
3.(1)已知:三角形的各邊分別為6cm,8cm, 12cm，則連接各邊中點所成三角形的周長為 ____ cm.
13
（2）已知:三角形的周長為64cm，則連接各邊中點所成三角形的周長為 ____cm.
32
（3）△ABC的周長為a
D、E、F分別為△ABC各邊中點,△DEF的周長為 ；
G、H、I分別為△DEF各邊中點,△GHI的周長為 ；
C
A
B
D
F
E
像這樣下去,第3個三角形的周長為 ;
第n個三角形的周長為 .
你發現了什么？
你還有什么想法？
4.如圖,D、E、F分別是△ABC三邊的中點你能發現△DEF的面積與△ABC的面積有什么關系嗎？為什么？
A
B
C
D
E
F
解：S△DEF= S△ABC.
理由如下：由題意得DE,DF,EF是△ABC的中位線，
∴DE∥BC, DF∥AC,EF∥AB,
∴四邊ADFE,BDEF,DECF都是平行四邊形，
∴S△DEF= S△ADE= S△BDF= S△CEF,
∴S△DEF= S△ABC.

3.如圖，已知△ABC中，AB = 3㎝，BC=3.4㎝，AC=4㎝且D，E，F分別為 AB，BC，AC邊的中點，則△DEF的周長是 ㎝.
5.2
4.如下圖：在Rt △ ABC中，∠A=90°，D、E、F分別是各邊中點， AB=6cm，AC=8cm，則△DEF的周長=______cm ．
12
E
F
B
A
C
D
例1 已知:如圖,在四邊形ABCD中, E,F,G,H分別為各邊的中點.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.
分析:將四邊形ABCD分割為三角形,利用三角形的中位線可轉化兩組對邊分別平行或一組對邊平行且相等來證明.
證明:連接AC.
∵E,F,G,H分別為各邊的中點,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
1.如圖：EF是△ABC 的中位線，BC=20，則EF=________;
10
當堂練習
2.在△ABC中，中線CE、BF相交點O、M、N分別是OB、OC的中點，則EF和MN的關系是_______________.
平行且相等
3.A,B兩村相隔一座大山，你能想辦法測出A,B兩村的直線距離AB的大小嗎？若MN=360 m，則AB=_____.
A
B
C
測出MN的長，就可知A、B兩點的距離.
M
N
解析：在AB外選一點C，使C
能直接到達A和B，
連結AC和BC，并分別找出AC和
BC的中點M、N.
720 m
如果，M、N兩點之間還有阻隔，你有什么解決辦法？
兩次利用中位線，分別取CM和CN的中點.
4.如圖，在Rt△ABC 中，∠C=90°, D是斜邊AB的中點，E是BC的中點.
（2）若AB=10,DE=4, 求△ABC 的面積.
（1）DE⊥BC嗎？為什么？
∵DE∥BC，∠C=90°，∴DE⊥BC.
∵DE=4，∴AC=8.
∵AB=10，AC=8,∴BC=6.
你能看懂嗎？
趣味數學
趣味數學
課堂小結
三角形中位線
定 義
連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
性質
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
三角形的中位線微課
(共34張PPT)
6.4 多邊形的內角和與外角和
第六章 平行四邊形
情境引入
1.能通過不同方法探索多邊形的內角和與外角和公式；
（重點）
2.學會運用多邊形的內角和與外角和公式解決問題.
（難點）
法國的建筑事務所atelierd將協調堅固的蜂窩與人類天馬行空的想象力結合，創造了這個“abeilles bee pavilion”.
導入新課
情景引入
思考：你知道正六邊形的內角和是多少嗎？
問題2 你知道長方形和正方形的內角和是多少 度？


問題1 三角形內角和是多少度？
三角形內角和 是180°.
都是360°.
問題3 猜想任意四邊形的內角和是多少度？

講授新課
猜想：四邊形ABCD的內角和是360°.
問題4 你能用以前學過的知識說明一下你的結論嗎？
猜想與證明
方法1：如圖，連接AC,
四邊形被分為兩個三角形，
所以四邊形ABCD內角和為
180°×2=360°.
E
方法2：如圖，在BC邊上任取一點E，連接AE,DE，
所以該四邊形被分成三個三角形，
所以四邊形ABCD的內角和為
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
方法3：如圖，在四邊形ABCD內部取一點E，
連接AE,BE,CE,DE，
把四邊形分成四個三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四邊形ABCD內角和為：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
E
P
方法4：如圖，在四邊形外任取一點P,連接PA、PB、PC、PD將四邊形變成有一個公共頂點的四個三角形.
所以四邊形ABCD內角和為180° ×3－ 180° = 360°.
這四種方法都運用了轉化思想，把四邊形分割成三角形，轉化到已經學了的三角形內角和求解.
結論： 四邊形的內角和為360°.
例1：如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？試說明理由.
解：

如圖，四邊形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，
∵
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180° =180°.
∴
如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角互補.
典例精析
【變式題】如圖，在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求證：△DCF為直角三角形．
證明：∵在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF為直角三角形．
運用了整體思想
問題5 你能仿照求四邊形內角和的方法，選一種方
法求五邊形和六邊形內角和嗎?
內角和為180° ×3 = 540°.
內角和為180° ×4 = 720°.
······
0
n -3
1
2
3
1
2
3
4
n -2
（ n -2 ）·180?
1×180?=180?
2×180?=360?
3×180?=540?
4×180?=720?
······
······
······
······
由特殊到一般
分割
多邊形
三角形
分割點與多邊形的位置關系
頂點
邊上
內部
外部
轉化思想
總結歸納
多邊形的內角和公式
n邊形內角和等于(n-2)×180 °.
例2 一個多邊形的內角和比四邊形的內角和多720°，并且這個多邊形的各內角都相等，這個多邊形的每個內角是多少度？
解：設這個多邊形邊數為n，則
（n-2）?180=360+720，
解得n=8，
∵這個多邊形的每個內角都相等，
（8-2）×180°=1080°，
∴它每一個內角的度數為1080°÷8=135°．
例3 如圖，在五邊形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度數．
解析：根據五邊形的內角和等于540°，由∠C,∠D,
∠E的度數可求∠EAB+∠ABC的度數，再根據角平
分線的定義可得∠PAB與∠PBA的角度和，進一步求
得∠P的度數．
可運用了整體思想
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ ∠EAB，
同理可得∠ABP＝ ∠ABC，
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA
=180°? (∠EAB+∠ABC)=180°? ×230°=65°．
小剛每跑完一圈，身體轉過的角度之和是多少？
多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角.
如圖，∠A的外角是∠1.
多邊形所有外角的和叫做這個多邊形的外角和.
概念學習
如圖，在五邊形的每個頂點處各取一個外角．
問題1：任意一個外角和它相鄰的內角有什么關系？

問題2：五個外角加上它們分別相鄰的五個內角和是多少？
互補
5×180°=900°
五邊形外角和
=360 °
=5個平角
－五邊形內角和
=5×180°
－(5－2) × 180°
結論：五邊形的外角和等于360°.
問題3：這五個平角和與五邊形的內角和、外角和有什么關系？
在n邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做n邊形的外角和．
n邊形外角和
n邊形的外角和等于360°.
－(n－2) × 180°
=360 °
=n個平角-n邊形內角和
= n×180 °
思考：n邊形的外角和又是多少呢？
與邊數無關
問題4：回想正多邊形的性質，你知道正多邊形的每個內角是多少度嗎？每個外角呢？為什么？
每個內角的度數是
每個外角的度數是
練一練：(1)若一個正多邊形的內角是120 °,那么這是正____邊形.
(2)已知多邊形的每個外角都是45°,則這個多邊形是
______邊形.
六
正八
60 °
90 °
120 °
完成下面的表格：
108 °
135 °
正多邊
形邊數 內角
3
4
5
6
8
n
例4 已知一個多邊形，它的內角和等于外角和的
2倍，求這個多邊形的邊數.
解： 設多邊形的邊數為n.
∵它的內角和等于 (n－2)?180°，
多邊形外角和等于360°，
∴ (n－2)?180°=2× 360?.
解得 n=6.
∴這個多邊形的邊數為6.
例5 已知一個多邊形的每個內角與外角的比都
是7:2，求這個多邊形的邊數.
解法一：設這個多邊形的內角為7x °,外角為2x°,
根據題意得
7x+2x=180，
解得 x=20.
即每個內角是140 °，每個外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：這個多邊形是九邊形.

還有其他解法嗎？
解法二：設這個多邊形的邊數為n ,根據題意得
解得n=9.
答：這個多邊形是九邊形.
【變式題】一個正多邊形的一個外角比一個內角大60°，求這個多邊形的每個內角的度數及邊數．
解：設該正多邊形的內角是x°，外角是y°，
則得到一個方程組 解得
而任何多邊形的外角和是360°，
則該正多邊形的邊數為360÷120=3，
故這個多邊形的每個內角的度數是60°，邊數是三條．
例6 如圖，在正五邊形ABCDE中，連接BE，求∠BED的度數．
解：由題意得
AB=AE,所以∠AEB= (180°-∠A)=36°，
所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.
當堂練習
1.判斷．
(1)當多邊形邊數增加時，它的內角和也隨著增加.( )
(2)當多邊形邊數增加時，它的外角和也隨著增加.( )
(3)三角形的外角和與八邊形的外角和相等． ( )
2.一個正多邊形的內角和為720°，則這個正多邊形的每一個內角等于______．
120°
3.如圖所示，小華從點A出發，沿直線前進10米后左轉24°，再沿直線前進10米，又向左轉24°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發地點A時，走的路程一共是________米．
150
4.一個多邊形的內角和不可能是（ ）
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °
D
5.一個多邊形從一個頂點可引對角線3條，這個多邊形
內角和等于（ ）
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °
C
6. 一個多邊形的內角和為1800°，截去一個角后，求得到的多邊形的內角和.
解：∵1800÷180＝10，
∴原多邊形邊數為10＋2＝12.
∵一個多邊形截去一個內角后，邊數可能減1，可能不變，也可能加1，
∴新多邊形的邊數可能是11，12，13，
∴新多邊形的內角和可能是1620°，1800°，1980°.
能力提升：如圖，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度數.
解：如圖，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五邊形的內角和＝540°.
8
9
課堂小結
多邊形的內角和
內角和計算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整數）
外角和
多邊形的外角和等于360°
特別注意：與邊數無關.
正多
邊形
(共26張PPT)
小結與復習
第六章 平行四邊形
幾 何 語 言
文字敘述
對邊平行
對邊相等
對角相等
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，
一、平行四邊形的性質
要點梳理
對角線互
相平分
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ OA=OC，OB=OD.
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
平行四邊形是
中心對稱圖形.





幾 何 語 言
文字敘述
兩組對邊相等
一組對邊平行且相等
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∵ AD=BC ，AB=DC,
∴ 四邊形ABCD是平行四邊形.
∵ AB=DC，AB∥DC,
二、平行四邊形的判定
對角線互相平分
∴ 四邊形ABCD是平行四邊形.
∵ OA=OC，OB=OD,
兩組對邊分別平行（定義）
∵ 四邊形ABCD是平行四邊形.
∴ AD∥BC ，AB∥DC,
平行線之間的距離處處相等





1.三角形的中位線定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
2.三角形的中位線性質：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
三、三角形的中位線
用符號語言表示
∵DE是△ABC的中位線
∴DE∥BC,
四、多邊形的內角和與外角和
多邊形的內角和等于（n-2) ×180 °
多邊形的外角和等于 360 °
正多邊形每個內角的度數是
正多邊形每個外角的度數是
考點講練
例1 如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD
C．AB=CD D．AC=BC
【解析】A.∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故A正確；
B.∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD=∠BCD，故B正確；
C.∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，故C正確；
D
主要考查了平行四邊形的性質，關鍵是掌握平行四邊形對邊相等且平行，對角相等.
1.如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分別交BC、AD于E、F．求證：AF=EC．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
（平行四邊形的對角相等，對邊相等）
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB= ∠BAD，∠FCD= ∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD，
在△ABE和△CDF中
∠B＝∠D
AB＝CD
∠EAB＝∠FCD ∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．
∵AD=BC ∴AF=EC．
例2 如圖，在?ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，則AD的長為（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC= AC=5cm，OB=OD= BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴AD= =4cm．
A
主要考查了平行四邊形的性質，平行四邊形的對角線互相平分，解題時還要注意勾股定理的應用.
【解析】∵在?ABCD中，對角線AC和BD交于點O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，
∴AO=CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm，
∴△BOC的周長是：BO+CO+BC=12+19+28=51(cm)．
2.如圖，在?ABCD中，對角線AC和BD交于點O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，則△BOC的周長是（　　）
A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm
B
例3 如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（　　）
A．OA=OC，OB=OD
B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD=BC
D．AB=CD，AO=CO
D
平行四邊形的判定方法：
①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
3.如圖，點D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF，
（1）求證：AB=EF．
（1）證明：∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠EDF，
∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC，
即BC=DF，
又∵∠A=∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴AB=EF；
（2）連接AF，BE，猜想四邊形ABEF的形狀，并說明理由．
（2）猜想：四邊形ABEF為平行四邊形，
理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，
∴∠B=∠F，∴AB∥EF，
又∵AB=EF，
四邊形ABEF為平行四邊形.（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
例4 如圖，已知E、F分別是?ABCD的邊BC、AD上的點，且BE=DF．求證：四邊形AECF是平行四邊形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD=BC，（平行四邊形的對邊平行且相等）
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
本題考查了平行四邊形的性質和判定的應用，注意平行四邊形的對邊平行且相等，有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
4.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別是BO、OD的中點，且四邊形AECF是平行四邊形，試判斷四邊形ABCD是不是平行四邊形，并說明理由．
證明：∵平行四邊形AECF，
∴OA=OC，OE=OF，
（平行四邊形的對角線互相平分）
∵E、F分別是BO、OD的中點，
∴2OE=2OF，即OB=OC，
∵OA=OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)
例5 已知：AD是△ABC的中線，E是AD的中點，F是BE的延長線與AC的交點。求證： .
證明：過點D作DH∥BF,交AC于點H.
∵AD是△ABC的中線
∴D是BC的中點
∴CH＝HF＝ CF
∵E是AD的中點，EF∥DH
∴AF＝FH.
∴AF＝ FC
A
B
C
D
E
F
H
5.若三角形的三條中位線之比為 6 : 5 : 4 ,三角形的周長為 60 cm,那么該三角形中最長邊的邊長為＿＿＿;
解析:設三角形的三條中位線之長分別為6x,5x,4x，
則三角形的三條邊長之長分別為12x,10x,8x，
依題意有 12x＋10x＋8x＝60，
解得 x＝2.
所以，最長邊12x＝24（cm）.
24 cm
解： 設此多邊形的外角的度數為x,則內角的度數為4x,
則x+4x=180°,解得 x=36°.
∴邊數n=360°÷36°=10.
6.一個正多邊形的每一個內角都等于120 °，則其邊數是 .
6
【解析】 因為該多邊形的每一個內角都等于120度，所以它的每一個外角都等于60 °.所以邊數是6.
在多邊形的有關求邊數或內角、外角度數的問題中，要注意內角與外角之間的轉化，以及定理的運用.尤其在求邊數的問題中，常常利用定理列出方程，進而再求得邊數.
平 行 四 邊 形
性質
①對邊平行且相等
②對角相等，鄰角互補
③對角線互相平分
判別
①兩組對邊分別平行的
②兩組對邊分別相等的
③一組對邊平行且相等的
④對角線互相平分的
四 邊 形
課堂小結
三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
多邊形的內角和與外角和
內角和計算公式
（n-2) × 180 °(n ≥3的整數）
外角和
多邊形的外角和等于360°
特別注意：與邊數無關。
正多
邊形
課后作業
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