資源簡介

(共20張PPT)
4.1 因式分解
第四章 因式分解
1.解掌握因式分解的意義，會判斷一個變形是否為因式分解.（重點）
2.理解因式分解與整式乘法之間的聯系與區別.（難點）
導入新課
復習引入
問題1：21能被哪些數整除？
1，3，7，21.
問題2：你是怎樣想到的？
因為21=1×21=3×7.
思考：既然有些數能分解因數，那么類似地，有些多項式可以分解成幾個整式的積嗎？
可以.
講授新課
問題：993-99能被100整除這個嗎？
所以，993-99能被100整除.
想一想: 993-99還能被哪些整數整除?
探究引入
問題探究
如圖，一塊菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示這塊草坪的面積嗎？
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法
?
完成下列題目：
x(x-2)=_______
(x+y)(x-y)=_______
(x+1)2=________
x2-2x
x2-y2
x2+2x+1
根據左空，解決下列問題：
x2-2x=( )( )
x2-y2=( )( )
x2+2x+1=( )2
x
x-2
x+y
x-y
x+1
做一做
聯系：左右兩式是同一多項式的不同表現形式.
區別：左邊一欄是多項式的乘法，右邊一欄是把多項式化成了幾個整式的積，他們的運算是相反的.
問題2：右邊一欄表示的正是多項式的因式分解，你能根據我們的分析說出什么是因式分解嗎？
問題1：觀察同一行中，左右兩邊的等式有什么區別和聯系？
總結歸納
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也可稱為分解因式.
其中，每個整式都叫做這個多項式的因式.
判斷下列各式從左到右的變形中，是否為因式分解：
辯一辯
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
D. ax+by+c=x(a+b)+c
E. 2a3b=a2?2ab
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
√
×
×
×
×
×
提示：判定一個變形是因式分解的條件：(1)左邊是多項式．(2)右邊是積的形式. (3)右邊的因式全是整式.
做一做
根據左面算式填空:
(1) 3x2-3x=_________
(2)ma+mb+mc=___________
(3) m2-16=__________
(4) x2-6x+9=________
(5) a3-a=___________
計算下列各式:
(1) 3x(x-1)= __,
(2) m(a+b+c) = ______ ,
(3)(m+4)(m-4)= _____,
(4)(x-3)2= ,
(5)a(a+1)(a-1)= __,
3x2 - 3x
ma+mb+mc
m2 -16
x2-6x+9
a3-a
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(x-3)2
a(a+1)(a-1)
想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的變形是什么運算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的變形與它有什么不同?
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的變形是整式乘法,
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的變形與上面的變形互為逆過程.
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左邊是多項式，右邊是幾個整式的乘積
想一想：整式乘法與因式分解有什么關系？
是互為相反的變形，即
例 若多項式x2+ax+b分解因式的結果為
a（x﹣2）（x+3），求a，b的值.
解：∵x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3）
=ax2+ax-6a.
∴a=1，b=﹣6a=﹣6.
典例精析
方法歸納：對于此類問題，掌握因式分解與整式乘法為互逆運算是解題關鍵，應先把分解因式后的結果乘開，再與多項式的各項系數對應比較即可.
下列多項式中，分解因式的結果為-(x+y)(x-y)的是（　　）
A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2
C．x2+y2 D．﹣x2﹣y2
B
練一練
當堂練習
2. 下列從左到右的變形中，是因式分解的有______ .　
①24x2y=4x?6xy ②（x+5）（x﹣5）=x2﹣25 ③x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）
④9x2﹣6x+1=3x（x﹣2）+1 ⑤x2+1=x（x+ ）
⑥3xn+2+27xn=3xn（ x2+9）
1. 下列各式中從左到右的變形屬于分解因式的是
（　　）
A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2
C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ )
C
③⑥
3. 把多項式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，則m+n的值為 　 ．
　
解析：由題意可得
x2+4mx+5=(x+5)(x+n)
=x2+(n+5)x+5n，
5n=5，4m=n+5．
解得n=1，m= ，
m+n=1+ = .
4. 20042+2004能被2005整除嗎?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
5. 若多項式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，
求mn的值.
解：∵x4+mx3+nx﹣16的最高次數是4，
∴可設x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，
則x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b
比較系數得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.
∴mn=﹣5×20=﹣100．
6. 甲、乙兩個同學分解因式x2+ax+b時，甲看錯了b，分解結果為(x+2)(x+4)；乙看錯了a，分解結果為(x+1）(x+9)，求a+b的值.
解：分解因式甲看錯了b，但a是正確的，
其分解結果為x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
∴a=6，
同理，乙看錯了a，但b是正確的，
分解結果為x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
∴b=9，
∴a+b=15．
課堂小結
因式分解
定義：把一個多項式化成幾個整式的_____的形式，叫做因式分解，也可稱為___________.
其中，每個整式叫做這個多項式的_______.
與多項式乘法運算的關系
的變形過程.
前者是把一個多項式化為幾個整式的_____，后者是把幾個整式的______化為一個_________.
積
分解因式
因式
相反
多項式
乘積
乘積
(共24張PPT)
4.2 提公因式法
第四章 因式分解
第1課時 提公因式為單項式的因式分解
1.能準確地找出各項的公因式，并注意各種變形的符號問題；（重點）
2.能簡單運用提公因式法進行因式分解.（難點）
導入新課
問題引入
問題1：多項式ma+mb+mc有哪幾項？
問題2：每一項的因式都分別有哪些？
問題3：這些項中有沒有公共的因式，若有，公共的因
式是什么？
ma, mb, mc
依次為m, a和m, b和m, c
有，為m
問題4：請說出多項式ab2-2a2b中各項的公共的因式.
a, b, ab
相同因式p
這個多項式有什么特點？
pa+pb+pc
我們把多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式.
講授新課
例1 找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
系數：最大公約數
3
字母：相同的字母
x
所以公因式是3x.
指數：相同字母的最低次冪
1
典例精析
正確找出多項式各項公因式的關鍵是：
1.定系數：公因式的系數是多項式各項系數的最大公
約數.
2.定字母：字母取多項式各項中都含有的相同的字母. 3.定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，即
字母最低次冪.
寫出下列多項式的公因式.
（1）x-x2；
（2）abc+2a；
（3）abc-b2+2ab；
（4）a2+ax2；
練一練
x
a
b
a
觀看視頻學習
提公因式法
一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
概念學習
8a3b2 + 12ab3c；
例2 分解因式：
分析：提公因式法步驟（分兩步）
第一步:找出公因式；第二步:提取公因式 ，即將多項式化為兩個因式的乘積.
解：8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab,另一個因式是否還有公式？
另一個因式將是2a2b+3b2c,
它還有公因式是b.
思考：以下是三名同學對多項式2x2+4x分解因式的結果：
（1）2x2+4x = 2(x2+2x)；
（2）2x2+4x = x(2x+4)；
（3） 2x2+4x = 2x(x+2).
第幾位同學的結果是正確的？
用提公因式法分解因式應注意哪些問題呢？
做乘法運算來檢驗易得第3位同學的結果是正確的.

注意：公因式要提盡.
正確解：原式=6xy(2x+3y).
問題1：小明的解法有誤嗎？
易錯分析
當多項式的某一項和公因式相同時，提公因式后剩余的項是1.
注意：某項提出莫漏1.
正確解：原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1)
問題2：小亮的解法有誤嗎？

提出負號時括號里的項沒變號
注意：首項有負常提負.
正確解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
問題3：小華的解法有誤嗎？
例3 分解下列因式：
解：(1)3x+ x3=x ·3+x·x2=x(3+x2)；
(2)7x3－ 21x2=7x2·x －7x2·3=7x2(x－3)；
(3)8a3b2 －12ab3c+ab=ab·8a2b－ ab·12b2c +ab·1= ab(8a2b－12b2c+1)；
(4)－24x3+ 12x2－28x
=－(24x3 －12x2+28x)
=－(4x·6x2 －4x·3x+4x·7)
=－4x(6x2 －3x+7).
例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法總結：含a±b，ab的求值題，通常要將所求代數式進行因式分解，將其變形為能用a±b和ab表示的式子，然后將a±b，ab的值整體帶入即可.
1. 多項式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（　　）
A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1
解析：（1）公因式的系數是多項式各項系數的最大
公約數，為4；
（2）字母取各項都含有的相同字母，為xy；
（3）相同字母的指數取次數最低的，x為m次，
y為n-1次；
D
當堂練習
2. 把多項式﹣4a3+4a2﹣16a分解因式（　　）
A．﹣a（4a2﹣4a+16）
B．a（﹣4a2+4a﹣16）
C．﹣4（a3﹣a2+4a）
D．﹣4a（a2﹣a+4）
D
3. 若ab=﹣3，a﹣2b=5，則a2b﹣2ab2的值是（　　）
A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8
解析：因為ab=﹣3，a﹣2b=5，
所以a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）
=﹣3×5=﹣15．
A
4. 計算（﹣3）m+2×（﹣3）m﹣1，得（　　）
A．3m﹣1 B．（﹣3）m﹣1
C．﹣（﹣3）m﹣1 D．（﹣3）m
解析：（﹣3）m+2×（﹣3）m﹣1
=（﹣3）m﹣1（﹣3+2）
=﹣（﹣3）m﹣1．
C
5.把下列多項式分解因式：
(1)-3x2+6xy-3xz；





(2)3a3b+9a2b2-6a2b.
解：-3x2+6xy-3xz
=(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z
=-3x·(x-2y+z).
3a3b+9a2b2-6a2b
=3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·2
=3a2b(a+3b-2)

6.已知: 2x+y=4,xy=3,求代數式2x2y+xy2的值.
解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
課堂小結
因式
分解
提公因式法（單項式）
確定公因式的方法：三定，即定系數；定字母；定指數
分兩步：
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一種恒等變形；
2.公因式：要提盡；
3.不要漏項；
4.提負號，要注意變號
(共15張PPT)
4.2 提公因式法
第四章 因式分解
第2課時 提公因式為多項式的因式分解
學習目標
1.準確地找出各項的多項式公因式進行因式分解；（重點）
2.能運用整體思想進行因式分解.（難點）
導入新課
復習引入

1.多項式的第一項系數為負數時，先提取“-”號，注意多項式的各項變號；
2.公因式的系數是多項式各項__________________; 3.字母取多項式各項中都含有的____________; 4.相同字母的指數取各項中最小的一個,即 _________.
提公因式法因式分解的一般步驟：
系數的最大公約數
相同的字母
最低次冪
思考1：提公因式時，公因式可以是多項式嗎？找找上面各式的公因式.
思考2：公因式是多項式形式，怎樣運用提公因式法分解因式？
講授新課
例1 把下列各式分解因式
（1）a(x-3)+2b(x-3)
（2）
解:（1） a(x-3)+2b(x-3)
=(x-3)(a+2b)
=y(x+1)(1+xy+y)
(2)
典例精析
歸納總結
1.公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.
2.整體思想是數學中一種重要而且常用的思想方法.
練一練：
1. x(a+b)+y(a+b)
2. 3a(x－y)－(x－y)
3. 6(p+q)2－12(q+p)
=(a+b)(x+y)
=(x－y)(3a－1)
=6(p+q)(p+q-2)
例2 把下列各式因式分解：
兩個只有符號不同的多項式是否有關系,有如下判斷方法:
(1)當相同字母前的符號相同時,
則兩個多項式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)當相同字母前的符號均相反時,
則兩個多項式互為相反數.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -(a-b)
歸納總結
由此可知規律：
(1)a-b 與 -a+b 互為相反數.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶數）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇數）
(2) a+b與b+a 互為相同數,
(a+b)n = (b+a)n (n是整數）
a+b 與 -a-b 互為相反數.
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶數）
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇數）
在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“-”號，使等式成立：
(1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b-a)3;
(4) (a-b)4 =___(b-a)4;
(5) (a+b) =___(b+a);
(6) (a+b)2 =___(b+a)2.
+
-
-
+
+
+
(7) (a+b)3 =__(-b-a)3;
-
(8) (a+b)4 =__(-a-b)4.
+
當堂練習
1.請在下列各式等號右邊填入“+”或“-”號,使等式成立.
(1) 2-a= (a-2)
(2) y-x= (x-y)
(3) b+a= (a+b)
-
(6)-m-n= (m+n)
(5) –s2+t2= (s2-t2)
(4) (b-a)2= (a-b)2
(7) (b-a)3= (a-b)3
-
+
+
-
-
-
3.因式分解：(x-y)2+y(y-x).
解法1：(x-y)2+y(y-x)
=（x-y)2-y(x-y)
=(x-y)(x-y-y)
=(x-y)(x-2y).
解法2：(x-y)2+y(y-x)
=（y-x)2+y(y-x)
=(y-x)(y-x+y)
=(y-x)(2y-x).
2.因式分解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ).
解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=(a2+b2)(p-q).
課堂小結
因式
分解
公因式為多項式
確定公因式的方法：三定，即定系數；定字母；定指數
分兩步：（整體思想）
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一種恒等變形；
2.公因式：要提盡；
3.不要漏項；
4.提負號，要注意變號
(共22張PPT)
4.3 公式法
第四章 因式分解
第1課時 平方差公式
1.探索并運用平方差公式進行因式分解，體會轉化
思想．（重點）
2.能會綜合運用提公因式法和平方差公式對多項式進
行因式分解．（難點）
導入新課
情境引入
如圖，在邊長為a米的正方形上剪掉一個邊長為b米的小正方形，將剩余部分拼成一個長方形，根據此圖形變換，你能得到什么公式？
a2- b2=(a+b)(a-b)
講授新課
想一想：多項式a2-b2有什么特點？你能將它分解因式嗎？
是a,b兩數的平方差的形式
兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積.
平方差公式：
√
√
×
×
辨一辨：下列多項式能否用平方差公式來分解因式，為什么？
√
√
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
例1 分解因式：
a
a
b
b
a2 - b2 =
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
a
b
典例精析
方法總結：公式中的a、b無論表示數、單項式、還是多項式，只要被分解的多項式能轉化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
針對訓練
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
例2 分解因式：
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1)
＝ab(a+1)(a-1).
方法總結：分解因式前應先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止．
分解因式：
(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
針對訓練
＝(a＋2b)(a－2b－1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
解：(1)原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
聯立①②組成二元一次方程組，
方法總結：在與x2－y2，x±y有關的求代數式或未知數的值的問題中，通常需先因式分解，然后整體代入或聯立方程組求值.
例4 計算下列各題：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法總結：較為復雜的有理數運算，可以運用因式分解對其進行變形，使運算得以簡化.
例5 求證：當n為整數時，多項式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多項式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
證明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n?2=8n，
∵n為整數，
∴8n被8整除，
方法總結：解決整除的基本思路就是將代數式化為整式乘積的形式，然后分析能被哪些數或式子整除．
1.下列多項式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
當堂練習
D
2.分解因式(2x+3)2 -x2的結果是（　　）
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
D
3.若a+b=3，a-b=7，則b2-a2的值為（　　）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
A
4.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2=_________________;
(2) (a+b)2-(a-b)2=_________________;
(3) 9xy3-36x3y=_________________;
(4) -a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
5.若將(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，則n的值是_____________.
4
6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
當4m+n=40，2m-3n=5時，
7.如圖，在邊長為6.8 cm正方形鋼板上，挖去4個邊長為1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面積．
解：根據題意，得
6.82－4×1.62
＝6.82－ (2×1.6)2
＝6.82－3.22
＝(6.8＋3.2)(6.8 － 3.2)
＝10×3.6
＝36 (cm2)
答：剩余部分的面積為36 cm2.
8. (1)992-1能否被100整除嗎？
解：(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
∵n為整數
∴(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n為整數,（2n+1)2-25能否被4整除？
∴992-1能否被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
課堂小結
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步驟
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多項式的因式分解有沒有分解到不能再分解為止.
(共27張PPT)
4.3 公式法
第四章 因式分解
第2課時 完全平方公式
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重點）
2.靈活應用各種方法分解因式，并能利用因式分解
進行計算．（難點）
導入新課
復習引入
1.因式分解：
把一個多項式轉化為幾個整式的積的形式.
2.我們已經學過哪些因式分解的方法？
1.提公因式法
2.平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
講授新課
你能把下面4個圖形拼成一個正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎？
同學們拼出圖形為：
這個大正方形的面積可以怎么求？
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
將上面的等式倒過來看，能得到：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我們把a?+2ab+b?和a?-2ab+b?這樣的式子叫作完全平方式.
觀察這兩個式子：
（1）每個多項式有幾項？
（3）中間項和第一項，第三項有什么關系？
（2）每個多項式的第一項和第三項有什么特征？
三項
這兩項都是數或式的平方，并且符號相同
是第一項和第三項底數的積的±2倍
完全平方式的特點：
1.必須是三項式（或可以看成三項的）；
2.有兩個同號的數或式的平方；
3.中間有兩底數之積的±2倍.
完全平方式:
簡記口訣：
首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.
凡具備這些特點的三項式，就是完全平方式，將它寫成完全平方形式，便實現了因式分解.
+b2
±
=(a ± b)?
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方.
3.a?+4ab+4b?=( )?+2· ( ) ·( )+( )?=( )?
2.m?-6m+9=( )? - 2· ( ) ·( )+( )? =( )?
1. x?+4x+4= ( )? +2·( )·( )+( )? =( )?
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
對照 a?±2ab+b?=(a±b)?，填空：
m
m - 3
3
x
2
m
3
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a?;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因為它只有兩項；
不是
（3）4b?與-1的符號不統一；
不是
分析：
不是
是
（4）因為ab不是a與b的積的2倍.
例1 如果x2-6x+N是一個完全平方式,那么N是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
B
解析：根據完全平方式的特征，中間項-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.
變式訓練 如果x2-mx+16是一個完全平方式,那么m的值為________.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
±8
典例精析
方法總結：本題要熟練掌握完全平方公式的結構特征， 根據參數所在位置，結合公式，找出參數與已知項之間的數量關系，從而求出參數的值.計算過程中，要注意積的2倍的符號，避免漏解．
例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3?,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x
+9是一個完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
+b2
a2
(2)中首項有負號，一般先利用添括號法則，將其變形為-(x2-4xy
+4y2),然后再利用公式分解因式.
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2；
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(2)-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2；
分析：(1)中有公因式3a,應先提出公因式，再進一步分解因式；
(2)中將a+b看成一個整體，設a+b=m,則原式化為m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.
概念學習
因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
針對訓練
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
例4 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99?；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)?
(2)原式＝(34＋16)2
=1.
＝2500.
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
方法總結：此類問題一般情況是通過配方將原式轉化為非負數的和的形式，然后利用非負數性質解答問題．
例6 已知a，b，c分別是△ABC三邊的長，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．
∴△ABC是等邊三角形．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
當堂練習
1.下列四個多項式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多項式4x2y－4xy2－x3分解因式的結果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，則m2－4mn＋4n2的值是________．
B
B
1
4.若關于x的多項式x2－8x＋m2是完全平方式，則m的值為___________ ．
±4
5.把下列多項式因式分解.
（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1－x2;
(2)原式=[2(2a+b)]? － 2·2(2a+b)·1+(1)?
=(4a+2b － 1)2;
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2;
(3)原式=(y+1)? －x?
=(y+1+x)(y+1－x).
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
小聰和小明的解答過程如下：
他們做對了嗎？若錯誤，請你幫忙糾正過來.
解:(1)原式＝(2x)2＋2?2x?1＋1＝(2x+1)2
×
×
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
當a－b＝3時，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
　當ab＝2，a＋b＝5時，
課堂小結
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特點
（1）要求多項式有三項.
（2）其中兩項同號，且都可以寫成某數或式的平方，另一項則是這兩數或式的乘積的2倍，符號可正可負.
(共19張PPT)
第四章 因式分解
小結與復習
一、因式分解
要點梳理
1.把一個多項式化成幾個整式的　____的形式，叫
做多項式的_________，也叫將多項式__________.
2.因式分解的過程和　 　的過程正好____．
3.前者是把一個多項式化為幾個整式的_____，后者
是把幾個整式的______化為一個_________.
因式分解
乘積
分解因式
整式乘法
相反
多項式
乘積
乘積
二、提公因式法
1. 一般地，多項式的各項都含有的因式，叫做這個
多項式各項的________，簡稱多項式的________.
2. 公因式的確定：
(1)系數：多項式各項整數系數的 ___；
(2)字母：多項式各項　 　的字母；
(3)各字母指數：取次數最　　__的．


公因式
公因式
最大公約數
相同
最低
3.定義：逆用乘法對加法的______律，可以把
_______寫在括號外邊，作為積的一個_____，這
種將多項式分解因式的方法，叫做提公因式法.
分配
公因式
因式
三、公式法 —— 平方差公式
1.因式分解中的平方差公式
a2－b2＝　 　；
2.多項式的特征：(1)可化為個____整式；
(2)兩項負號______；
(3)每一項都是整式的______.
3.注意事項：(1)有公因式時，先提出公因式;
(2)進行到每一個多項式都不能再
分解為止.
(a＋b)(a－b)
兩
相反
平方
四、公式法 —— 完全平方公式
1.完全平方公式：a2+2ab+b2=( )2
a2 -2ab+b2=( )2
2.多項式的特征：(1)三項式；
(2)有兩項符號_____,能寫成兩個
整式的_________的形式；
(3)另一項是這兩整式的______的
_____倍.
3.注意事項：有公因式時，應先提出_______.

a+b
a-b
相同
平方和
乘積
2
公因式
例1 判斷下列各式變形是不是分解因式，并說明理由：
(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;
(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;
(3)x2-6x+9=(x-3)2;
(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.
【解析】（1）多項式的因式分解的定義包含兩個方面的條件，第一，等式的左邊是一個多項式；其二，等式的右邊要化成幾個整式的乘積的形式，這里指等式的整個右邊化成積的形式；（2）判斷過程要從左到右保持恒等變形.
考點講練
不是
不是
是
不是
例2 因式分解：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
解：(1)原式 ＝ 4ab2(2a2＋3bc)；
(2)原式 ＝ (2a－3)(b＋c)；
(3)原式 ＝ (a＋b)(a－b－1)．
方法歸納：公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.
1. 把下列多項式分解因式.
針對訓練
例3 計算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91
＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260；
(2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14
＝ 20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
2. 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
解：因為a＋b＝7，ab＝4，
所以原式＝ab(a＋b)
＝4×7＝28.
針對訓練
方法歸納 原式提取公因式變形后，將a＋b與ab作為一個整體代入計算即可得出答案．
例4 分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2；
(2)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
3. 已知x2－y2＝－1，x＋y＝ ，求x－y的值．
解：∵ x2－y2
＝(x＋y)(x－y)＝－1，
x＋y＝ ，
∴x－y＝－2.
針對訓練
4. 如圖，100個正方形由小到大套在一起，從外向里相間畫上陰影，最里面一個小正方形沒有畫陰影，最外面一層畫陰影，最外面的正方形的邊長為100cm，向里依次為99cm，98cm，…，1cm，那么在這個圖形中，所有畫陰影部分的面積和是多少？
解：每一塊陰影的面積可以表示成相鄰正方形的面
積的差，
而正方形的面積是其邊長的平方，
則S陰影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050．
答：所有陰影部分的面積和是5050cm2.
例5 因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝(a＋2)2(a－2)2.
5. 已知a＋b＝5，ab＝10，求 a3b＋a2b2＋ ab3的值．
解： a3b＋a2b2＋ ab3＝ ab(a2＋2ab＋b2)
＝ ab(a＋b)2.
當a＋b＝5，ab＝10時，
原式＝ ×10×52＝125.
因式分解
定義
提公因式法
公式法
平方差公式
完全平方公式
課堂小結
課后作業
見章末練習

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