資源簡(jiǎn)介

(共24張PPT)
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的證明
第1課時(shí) 三角形的全等和等腰三角形的性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.回顧全等三角形的判定和性質(zhì);
2.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)及其推論，能運(yùn)用
其解決基本的幾何問題.(重點(diǎn))
導(dǎo)入新課
情境引入
問題1：圖中有些你熟悉的圖形嗎?它們有什么共同特點(diǎn)?
斜拉橋梁
埃及金字塔
體育觀看臺(tái)架
問題2：建筑工人在蓋房子時(shí)，用一塊等腰三角板放在梁上，從頂點(diǎn)系一重物，如果系重物的繩子正好經(jīng)過三角板底邊中點(diǎn)，就說房梁是水平的，你知道其中反映了什么數(shù)學(xué)原理?
七下“軸對(duì)稱”中學(xué)過的等腰三角形的“三線合一”.
思考：你能證明等腰三角形的“三線合一”嗎？
問題3 在八上的“平行線的證明”這一章中，我們學(xué)了哪8條基本事實(shí)？
1.兩點(diǎn)確定一條直線；
2.兩點(diǎn)之間線段最短；
3.同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線
垂直；
4.同位角相等，兩直線平行；
5.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；
6.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等；
7.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；
8.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.
定理　兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）.
問題：你能運(yùn)用基本事實(shí)及已經(jīng)學(xué)過的定理證明上面的推論嗎？
弄清楚證明一個(gè)命題的一般步驟是解題的關(guān)鍵
證明一個(gè)命題的一般步驟:
(1)弄清題設(shè)和結(jié)論；
(2)根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形；
(3)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論寫出已知和求證；
(4)分析證明思路,寫出證明過程.
講授新課
已知：如圖,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求證：△ABC≌△DEF.
證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
∴∠C=∠F（等量代換）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
總結(jié)歸納
定理　兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）.
根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到：
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.
問題1：你還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎?
推論:等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線 底邊上的高互相重合(三線合一).
問題2：你能利用已有的公理和定理證明這些結(jié)論嗎?
定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.
問題引入
等腰三角形的兩個(gè)底角相等.
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求證：∠B=?C.
思考：如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形？
定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）.
如何證明兩個(gè)角相等呢？
可以運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)“對(duì)應(yīng)角相等”來證
議一議：在七下學(xué)習(xí)軸對(duì)稱時(shí)，我們利用折疊的方法說明了等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，且兩個(gè)底角相等，如下圖，實(shí)際上，折痕將等腰三角形分成了兩個(gè)全等的三角形.由此，你得到了什么解題的啟發(fā)？
已知： 如圖，在△ABC中，AB=AC.
求證： ∠B= ∠C.
D
證明：
作底邊的中線AD，
則BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共邊)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底邊上的中線
還有其他的證法嗎？
已知： 如圖，在△ABC中，AB=AC.
求證： ∠B= ∠C.
D
證明：
作頂角的平分線AD，
則∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共邊),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).
方法二：作頂角的平分線
在△BAD和△CAD中
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線 .
D
定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等角).
如圖,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).
證明后的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.
總結(jié)歸納
推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.
綜上可得：如圖,在△ABC中,
例1 如圖，在△ABC中 ，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).
典例精析
分析：（1）找出圖中所有相等的角；
（2）指出圖中有幾個(gè)等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
（3）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關(guān)系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）設(shè)∠A=x°,請(qǐng)把△ ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °,
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
設(shè)∠A=x,則∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
從而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 °，在△ABC中，
∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
例2 如圖①，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求證：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，如圖②，求證：
AF⊥BC.
解析：(1)過A作AG⊥BC于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BG＝CG，DG＝EG即可證明；(2)先證BF＝CF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明．
圖①
圖②
A
B
D
G
E
C
A
B
D
E
C
F
證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
圖①
圖②
A
B
D
G
E
C
A
B
D
E
C
F
當(dāng)堂練習(xí)
1.如圖，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌ △AED，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是____________________________．
∠C＝∠D（答案不唯一）
2.(1)等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為___________；
(2)等腰三角形一個(gè)角為36°,它的另外兩個(gè)角為 ____________________；
(3)等腰三角形一個(gè)角為120°,它的另外兩個(gè)角為__________.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°,30°
結(jié)論:在等腰三角形中,注意對(duì)角的分類討論.
① 頂角+2×底角=180°
② 頂角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－頂角）÷2
④0°＜頂角＜180°
⑤0°＜底角＜90°
課堂小結(jié)
等腰三角形的性質(zhì)
等邊對(duì)等角
三線合一
注意是指同一個(gè)三角形中
注意是指頂角的平分線,底邊上的高和中線才有這一性質(zhì).而腰上高和中線與底角的平分線不具有這一性質(zhì).
定理　兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）.
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.
(共18張PPT)
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的證明
第2課時(shí) 等邊三角形的性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.進(jìn)一步學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，了解等腰三角
形兩底角的角平分線（兩腰上的高，中線）的性質(zhì);
2.學(xué)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用其解決問
題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))
在七下我們已經(jīng)知道了“三邊相等的三角形是等邊三角形”，生活中有很多等邊三角形，如交通圖標(biāo)、臺(tái)球室的三角架等，它們都是等邊三角形.
思考：在上一節(jié)課我們證明等腰三角形的兩底角相等，那等邊三角形的各角之間有什么關(guān)系呢？
導(dǎo)入新課
情境引入
講授新課
上節(jié)課我們證明了等腰三角形的“三線合一”，試猜想等腰三角形的兩底角的角平分線、兩腰上的高、兩腰上的中線有什么關(guān)系呢？
猜想：底角的兩條平分線相等；
兩條腰上的中線相等；
兩條腰上的高線相等.
你能證明你的猜想嗎？
例1 證明:等腰三角形兩底角的平分線相等．
A
C
B
E
已知:
求證:
BD=CE.
如圖, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分線．
1
2
猜想證明
∠2= ∠ACB(已知),
∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等邊對(duì)等角).
證明：
又∵∠1= ∠ABC，
∴∠1=∠2(等式性質(zhì))．
在△BDC與△CEB中，
∠DCB=∠ EBC（已知），
BC=CB（公共邊），
　∠1=∠2（已證），
∴
△BDC≌△CEB（ASA）．
∴
BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．
A
C
B
E
1
2
又∵CM= ，BN=　 ，
例2 證明: 等腰三角形兩腰上的中線相等．
BM=CN．
求證:
已知：如圖,在△ABC中,AB=AC,BM,CN
是△ABC兩腰上的中線．
證明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
∴CM=BN．
在△BMC與△CNB中，
∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，
∴△BMC≌△CNB（SAS）．
∴BM=CN.
例3 證明: 等腰三角形兩腰上的高相等．
BP=CQ．
求證:
已知：如圖,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是
△ABC兩腰上的高．
證明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
在△BMC與△CNB中，
∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB，
∴△BQC≌△CPB（SAS）．
∴BP=CQ.
還有其他的結(jié)論嗎?
1.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC.
（1）如果∠ABD= ∠ABC ，
∠ACE= ∠ACB，
那么BD=CE嗎? 為什么？
（2）如果∠ABD= ∠ABC ，
∠ACE= ∠ACB 呢?
由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論?
議一議：
過底邊的端點(diǎn)且與底邊夾角相等的兩線段相等.
BD=CE
BD=CE
BD=CE
2.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC.
(1)如果AD= AC,AE= AB,
那么BD=CE嗎? 為什么？
BD=CE
(2)如果AD= AC,AE= AB,
那么BD=CE嗎? 為什么？
BD=CE
由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論?
(3)如果AD= AC,AE= AB,
那么BD=CE嗎? 為什么？
BD=CE
兩腰上距頂點(diǎn)等距的兩點(diǎn)與底邊頂點(diǎn)的連線段相等.
這里是一個(gè)由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論的一種數(shù)學(xué)思想方法.
想一想：等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內(nèi)角有什么特征呢？
定理： 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.
可以利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明.
怎樣證明這一定理了？
定理證明
已知：如圖,在△ABC中， AB=AC=BC．
求證：∠A=∠B=∠C=60°．
證明：在△ABC中，
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的內(nèi)角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
定理： 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.
例4：如圖，等邊三角形ABC中,BD是AC邊上的中線,BD=BE,求∠EDA的度數(shù).
解：
∵ △ABC是等邊三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC邊上的中線，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 =
(180°－30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°.
當(dāng)堂練習(xí)

1.如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形，已△ABC的周長為18cm,EC =2cm,則△ADE的周長是 cm.
12
2.如圖所示，△ACM和△BCN都為等邊三角形，連接AN、BM，求證：AN=BM.
證明：
∵△ACM和△BCN都為等邊三角形，
∴∠1＝∠3＝60°，
∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2，
即∠ACN＝∠MCB.
∵CA＝CM，CB＝CN，
∴△CAN≌△CMB(SAS)，
∴AN＝BM.
3.如圖，A、O、D三點(diǎn)共線，△OAB和△OCD是兩個(gè)全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.
解：
∵△OAB和△OCD是兩個(gè)全等的等邊三角形.
∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
∵ A、O、D三點(diǎn)共線，
∴ ∠DOB=∠COA=120°，
∴ △COA ≌△DOB(SAS).
∴ ∠DBO=∠CAO.
設(shè)OB與EA相交于點(diǎn)F,
∵ ∠EFB=∠AFO，
∴ ∠AEB=∠AOB=60°.
F
變式:如圖，若把“兩個(gè)全等的等邊三角形”換成“不全等的兩個(gè)等邊三角形”，其余條件不變，你還能求出∠AEB的大小嗎？
方法與前面相同，∠AEB=60°.
課堂小結(jié)
等腰三角形兩底角上的平分線、兩腰上的高、兩腰上的中線的相關(guān)性質(zhì)：
底角的兩條平分線相等；
兩條腰上的中線相等；
兩條腰上的高線相等.
定理： 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.
(共21張PPT)
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的證明
第3課時(shí) 等腰三角形的判定與反證法
1.掌握等腰三角形的判定定理及其運(yùn)用；（重點(diǎn)、難點(diǎn)）
2.理解并掌握反證法的思想，能夠運(yùn)用反證法進(jìn)行證明；（重點(diǎn)）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
復(fù)習(xí)引入
導(dǎo)入新課
問題1：等腰三角形有哪些性質(zhì)定理及推論？
等腰三角形的兩底角相等(簡(jiǎn)寫成 ‘‘等邊對(duì)等角”)．
等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)寫成 ‘‘三線合一”)
問題2：等腰三角形的“等邊對(duì)等角”的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？
題設(shè)：一個(gè)三角形是等腰三角形
結(jié)論：相等的兩邊所對(duì)應(yīng)的角相等
思考：如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關(guān)系嗎？
我測(cè)量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.
3cm
3cm
講授新課
A
B
C
如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測(cè)得∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，能不能同時(shí)趕到出事地點(diǎn)（不考慮風(fēng)浪因素）？
互動(dòng)探究
已知：如圖，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它們所對(duì)的邊AB和AC有什么數(shù)量關(guān)系?
建立數(shù)學(xué)模型：
做一做：畫一個(gè)△ABC，其中∠B=∠C=30°，請(qǐng)你量一量AB與AC的長度，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？
AB=AC
你能驗(yàn)證你的結(jié)論嗎？
在△ABD與△ACD中，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
過A作AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D.
證明：
結(jié)論驗(yàn)證：
有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.
(簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”).
等腰三角形的判定定理：
應(yīng)用格式：
∴AB=AC(等角對(duì)等邊).
A
C
B
總結(jié)歸納
（等角對(duì)等邊）.
（等角對(duì)等邊）.
錯(cuò)，因?yàn)槎疾皇窃谕粋€(gè)三角形中.
辨一辨：如圖,下列推理正確嗎?
例1 已知：如圖，AB=DC,BD=CA,BD與CA相交于點(diǎn)E.
求證：△AED是等腰三角形.
證明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）,
∴AE=DE(等角對(duì)等邊）,
∴ △AED是等腰三角形.
典例精析
例2 已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別是 AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC.
求證：△ADE為等腰三角形.
證明 ∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴ ∠ADE=∠AED.
∴△ADE為等腰三角形.
想一想：小明說，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等．你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?
在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.
如圖,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此時(shí), AB與AC要么相等,要么不相等.
假設(shè)AB=AC, 那么根據(jù)“等角對(duì)等邊”定理可得∠B=∠C,
但已知條件是 ∠B≠∠C.
“∠B=∠C”與“∠B≠∠C”相矛盾，
因此AB≠AC.
小明是這樣想的:
你能理解他的推理過程嗎?
在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立．這種證明方法稱為反證法．
總結(jié)歸納
用反證法證題的一般步驟
1. 假設(shè): 先假設(shè)命題的結(jié)論不成立;
2. 歸謬: 從這個(gè)假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推論方法,得出與
定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果;
3. 結(jié)論: 由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確,從而肯定命題
的結(jié)論正確.
例3 用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.已知：△ABC．
求證：∠A,∠B,∠C中不能有兩個(gè)角是直角．
【分析】按反證法證明命題的步驟，首先要假定結(jié)論“∠A,∠B,∠C中不能有兩個(gè)角是直角”不成立，即它的反面“∠A,∠B,∠C中有兩個(gè)角是直角”成立，然后，從這個(gè)假定出發(fā)推下去，找出矛盾．
典例精析
證明：假設(shè)∠A,∠B,∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A=∠B=90°，則
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．
所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角．
當(dāng)堂練習(xí)
72°
36°
③如果AD=4cm，則
1.已知:如圖,∠A=36°，
∠DBC=36°，∠C=72°,
①∠1= , ∠2= ；
②圖中有 個(gè)等腰三角形；
BC= cm；
72°
36°
3
4
5
2. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O.
求證：△OBC為等腰三角形.
∴ ∠DBC =∠ECB，
∴ △OBC是等腰三角形.
又∵ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠ABC =∠ACB，
3.求證：在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交,那么和另一條也相交.
已知:
直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1∥l2,l3與l1相交于點(diǎn)P.
求證:
l3與l2相交.
l1
l2
l3
P
經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線
與已知直線平行
假設(shè)不成立
l3與l2 不相交
l3∥l2
l1∥l2
課堂小結(jié)
等腰三角形的判定
等角對(duì)等邊
有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形
反證法
先假設(shè)結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)與已知定理相矛盾的結(jié)果，從而證明原命題成立.
(共21張PPT)
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的證明
第4課時(shí) 等邊三角形的判定及含30°角的
直角三角形的性質(zhì)
1.能用所學(xué)的知識(shí)證明等邊三角形的判定定理.(重點(diǎn))
2.掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)并解決有關(guān)問題.(難點(diǎn))
導(dǎo)入新課
觀察與思考
觀察下面圖片，說說它們都是由什么圖形組成的？
思考：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的判定定理，那等邊三角形的判定定理是什么呢？
一個(gè)三角形滿足什么條件就是等邊三角形?
由等腰三角形的判定定理，可得等邊三角形的兩個(gè)判定定理：
1.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；
2.有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.
講授新課
已知：如圖，∠A= ∠ B=∠C.
求證： AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠ B,
∴ AC=BC.
∵ ∠ B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
證明：
定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
A
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
求證： AB=AC=BC.
證明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
證明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等邊對(duì)等角)，
∴∠A=60°(三角形內(nèi)角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等邊三角形(三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形).
已知:如圖,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求證:△ABC是等邊三角形．
第二種情況：有一個(gè)底角是60°.
【驗(yàn)證】
等邊對(duì)等角
等角對(duì)等邊
“三線合一”,即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高線互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形
等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，且每個(gè)角都是60°
三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
歸納總結(jié)
等腰三角形(含等邊三角形) 性質(zhì) 判定的條件



例1 如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC, 求證：△ADE是等邊三角形.
證明：
∵ △ABC是等邊三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等邊三角形.
想一想：本題還有其他證法嗎？
典例精析
變式：上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE, △ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.
如圖,在等邊三角形ABC中，AD=AE,
求證：△ADE是等邊三角形.
證明：
∵ △ABC是等邊三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°.
∵ AD=AE,
∴ △ADE是等腰三角形
∴ △ADE是等邊三角形.
又∵ ∠A=60°.
操作:用兩個(gè)含有30°角的三角板，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？
你能說出所拼成的三角形的形狀嗎？
猜想：在直角三角形中, 30°角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？
合作探究
已知:如圖,在△ABC中,∠ACB=90°，
∠A=30°.
求證:BC= AB.
分析：突破如何證明“線段的倍、分”問題
“線段相等”問題
猜想驗(yàn)證
∵ ∠ACB=90°, (已知)
∴∠ACD=90°，(平角意義)
在△ABC與△ADC中，
BC=DC，（作圖）
　∠ACB=∠ACD，（已證）
AC=AC，（公共邊）
∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AD=AB；
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知)
∴∠B=60°，
∴△ABD是等邊三角形，(有一個(gè)角是60°的等腰三角
形是等邊三角形)
∴BC= BD= AB． (等式性質(zhì))
證明: 延長BC至D,使CD=BC,連接AD，
定理:在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．
幾何語言：
在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°．
∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)
推論：
歸納總結(jié)
例2 如圖，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB
=15°, CD是腰AB上的高，求CD的長.
解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知)
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°，
∵∠ADC=90°，∴CD= AC=a．
（在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）
例3 已知:如圖,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．
求證:BD=
證明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°
∴BC= ∠B=60°．
∴∠BCD=30°，
∴BD=
∴BD=
1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△ABC的周長為______cm.
9
當(dāng)堂練習(xí)
2.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．
則AC=_____;BC=_______．
A
B
C
3
30°
6
3. 已知：如圖，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE.
求證：△ABC是等邊三角形.
∴△ABC是等邊三角形.
又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.
∴ ∠FDC=∠ABC=60°，
∴ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠EDF=∠FDC=60°，
又∵DF∥BA，
證明：延長BC至D，使CD=BC，連接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC=　BD．
又∵BC= 　AB，
∴AB=BD．∴AB=AD=BD，
即△ABD是等邊三角形．
∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
4．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°, BC= AB．
求證：∠BAC=30°．
課堂小結(jié)
1.等邊三角形的判定:
有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．
2.特殊的直角三角形的性質(zhì):
在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．
在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．
3.數(shù)學(xué)方法：分類的思想．
(共25張PPT)
1.2 直角三角形
第一章 三角形的證明
第1課時(shí) 直角三角形的性質(zhì)與判定
1.復(fù)習(xí)直角三角形的相關(guān)知識(shí)，歸納并掌握直角三
角形的性質(zhì)和判定.
2.學(xué)習(xí)并掌握勾股定理及其逆定理，能夠運(yùn)用其解
決問題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
直角三角形的兩個(gè)銳角互余.
問題1 直角三角形的定義是什么？
問題2 三角形內(nèi)角和的性質(zhì)是什么？
有一個(gè)是直角的三角形叫直角三角形.
三角形內(nèi)角和等于180°.
這節(jié)課我們一起來證明直角三角形的判定與性質(zhì).
導(dǎo)入新課
復(fù)習(xí)引入
問題3 前面我們探究過直角三角形的哪些性質(zhì)？
在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.
講授新課
問題：直角三角形的兩銳角互余，為什么？
問題引入
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可得到“直角三角形的兩銳角互余”.
如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？
如圖，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？
在△ABC中，因?yàn)?∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
知識(shí)回顧
勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.即a2+b2=c2.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理.
證明欣賞
b
a
c
b
a
c
1．美國第二十任總統(tǒng)的證法：
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 = c2+ ，
a2+2ab+b2 = c2+2ab，
∴a2+b2=c2.
大正方形的面積可以表示為 ；
也可以表示為 ；
(a+b)2
c2+
2．利用正方形面積拼圖證明：
c
∵ c2= +(b-a)2，
c2 =2ab+b2-2ab+a2，
c2 =a2+b2，
∴ a2+b2=c2.
大正方形的面積可以表示為 ；
也可以表示為　　　　 ．
c2
+(b-a)2
3．趙爽弦圖
c
a

c
a

c
b

a
a
b
b
b
如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形．
勾股定理反過來，怎么敘述呢？
這個(gè)命題是真命題嗎？為什么？
已知：如圖,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求證:△ABC是直角三角形．
分析：構(gòu)造一個(gè)直角三角形與△ABC全等，你能自己寫出證明過程嗎？
例1 證明此命題：
證明：作Rt△DEF,使∠E=90°,
DE=AC,FE=BC，
則DE2+EF2=DF2(勾股定理)．
∵AC2+BC2=AB2(已知), DE=AC,FE=BC(作圖),
∴AB2=DF2，
∴AB=DF，
∴△ABC≌△DFE（SSS）．
∴∠C=∠E=90°,
∴△ABC是直角三角形．
┏
歸納總結(jié)
定理:如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．
議一議
定理:如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形．
勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．
下面兩個(gè)定理的條件和結(jié)論有什么樣的關(guān)系？
一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件．
觀察上面三組命題,你發(fā)現(xiàn)了什么?
1.兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等；
3.如果小明患了肺炎,那么他一定會(huì)發(fā)燒；
4.如果小明發(fā)燒,那么他一定患了肺炎；
2.內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行；
5.一個(gè)三角形中相等的邊所對(duì)的角相等；
6.一個(gè)三角形中相等的角所對(duì)的邊相等；
說出下列命題的條件和結(jié)論：
在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.
如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它的逆命題.
上面每?jī)蓚€(gè)命題的條件和結(jié)論恰好互換了位置．
命題“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”的條件和結(jié)論為：
條件為：兩直線平行；
結(jié)論為：內(nèi)錯(cuò)角相等．
因此它的逆命題為：
內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.
歸納總結(jié)
例2 指出下列命題的條件和結(jié)論，并說出它們的逆命題.
(1)如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩個(gè)銳角互余.
條件：一個(gè)三角形是直角三角形.
結(jié)論：它的兩個(gè)銳角互余.
逆命題：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
(2)等邊三角形的每個(gè)角都等于60°.
條件：一個(gè)三角形是等邊三角形;
結(jié)論：它的每個(gè)角都等于60°.
逆命題：如果一個(gè)三角形的每個(gè)角都等于60°，那么這個(gè)三角形是等邊三角形.
（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.
條件：兩個(gè)三角形是全等三角形.
結(jié)論：它們的對(duì)應(yīng)角相等.
逆命題：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等.
每一個(gè)命題都有逆命題，只要將原命題的條件改成結(jié)論，并將結(jié)論改成條件，便可得到原命題的逆命題．但是原命題正確，它的逆命題未必正確．
例如真命題“對(duì)頂角相等”的逆命題為“相等的角是對(duì)頂角”，此命題就是假命題．
知識(shí)歸納
例3 舉例說明下列命題的逆命題是假命題.
（2）如果兩個(gè)角都是直角，那么這兩個(gè)角相等.
逆命題：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角.
例如10能被5整除，但它的個(gè)位數(shù)是0.
（1）如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是5 ，那么這個(gè)整數(shù)
能被5整除.
逆命題：如果一個(gè)整數(shù)能被5整除，那么這個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是5.
例如60°= 60°，但這兩個(gè)角不是直角.
如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理.
注意1：逆命題、互逆命題不一定是真命題，
但逆定理、互逆定理，一定是真命題.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
知識(shí)歸納
當(dāng)堂練習(xí)
1.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6 cm，BC＝8 cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A
重合，折痕為DE，則BE的長為（ ）
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.10 cm
【解析】Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=100，
∴AB=10cm.BE= AB=5cm.
B
2.在你學(xué)過的定理中，有哪些定理的逆命題是真命題？試舉出幾個(gè)例子說明.
(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.
逆命題：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).
真
(2)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.
逆命題：如果一個(gè)三角形是等腰三角形，那么它有兩個(gè)角相等.
真
直角三角形
角的性質(zhì)
課堂小結(jié)
邊的性質(zhì)
互逆命題與互逆定理
互逆命題
互逆定理
一個(gè)定理的逆命題也是定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理
第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論；
第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件.
(共29張PPT)
1.2 直角三角形
第一章 三角形的證明
第2課時(shí) 直角三角形全等的判定
情境引入
1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（難點(diǎn)）
2．會(huì)用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個(gè)直角三角形全等．（重點(diǎn)）
SSS
SAS
ASA
AAS
舊知回顧:我們學(xué)過的判定三角形全等的方法
導(dǎo)入新課
如圖，Rt△ABC中，∠C =90°，直角邊是_____、_____，斜邊是______.
AC
BC
AB
思考：
前面學(xué)過的四種判定三角形全等的方法,對(duì)直角三角形是否適用？
A
B
C
A′
B′
C′
1.兩個(gè)直角三角形中，斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？
2.兩個(gè)直角三角形中，有一條直角邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？
3.兩個(gè)直角三角形中，兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？
口答：
動(dòng)腦想一想
如圖，已知AC=DF，BC=EF，
∠B=∠E，△ABC≌△DEF嗎？

我們知道，證明三角形全等不存
在SSA定理.
問題：
如果這兩個(gè)三角形都是直角三
角形，即∠B=∠E=90°，
且AC=DF，BC=EF，現(xiàn)在能
判定△ABC≌△DEF嗎？
講授新課
任意畫出一個(gè)Rt△ABC,使∠C=90°.再畫一個(gè)
Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把畫好的Rt△A′B′ C′ 剪下來，放到Rt△ABC上，它們能重合嗎？
作圖探究
畫圖方法視頻（點(diǎn)擊文字播放）
畫圖思路
（1）先畫∠M C′ N=90°
畫圖思路
（2）在射線C′M上截取B′C′=BC
B′
畫圖思路
（3）以點(diǎn)B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于A′
B′
A′
畫圖思路
（4）連接A′B′
B′
A′
思考：通過上面的探究，你能得出什么結(jié)論？
“斜邊、直角邊”判定方法
文字語言：
斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
（簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.
幾何語言：

在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
判斷滿足下列條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，全等的注明理由：
（1）一個(gè)銳角和這個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；（ ）
（2）一個(gè)銳角和這個(gè)角的鄰邊對(duì)應(yīng)相等；（ ）
（3）一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等； （ ）
（4）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等； （ ）
（5）一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等． （ ）
HL
×
SAS
AAS
AAS
判一判
例1 如圖，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求證：BC﹦AD.
證明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C與∠D都是直角.
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD.

變式1： 如圖， ∠ACB =∠ADB=90，要證明△ABC≌ △BAD，還需一個(gè)什么條件？把這些條件都寫出來，并在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)填寫出判定它們?nèi)鹊睦碛?
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
如圖，AC、BD相交于點(diǎn)P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分
別為C、D,AD=BC.求證：AC=BD.
變式2
HL
AC=BD
Rt△ABD≌Rt△BAC
如圖：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判斷AD和BC的位置
關(guān)系.
變式3
HL
∠ADB=∠CBD
Rt△ABD≌Rt△CDB
AD∥BC
例2 如圖，已知AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求證：BC＝BE.
證明：∵AD，AF分別是兩個(gè)鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
方法總結(jié)：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件．
例3：如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個(gè)滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關(guān)系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF
(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等).
∵ ∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
1.判斷兩個(gè)直角三角形全等的方法不正確的有（ ）
A.兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等
B.斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等
C.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等
D.兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等
D
A
當(dāng)堂練習(xí)
2.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)
E ，AD、CE交于點(diǎn)H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
則 CH的長為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如圖，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求證：△EBC≌△DCB.
證明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
3.如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則△ADB與△ADC （填“全等”或“不全等”），根據(jù) （用簡(jiǎn)寫法）.
全等
HL
5.如圖，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.
求證：BF=DE.
證明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
如圖，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證：BD平分EF.
變式訓(xùn)練1
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
如圖，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF嗎?
變式訓(xùn)練2
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
6.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC上和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AQ上運(yùn)動(dòng)，問P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC上什么位置時(shí)△ABC才能和△APQ全等？
【分析】本題要分情況討論：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時(shí)AP＝BC＝5cm，可據(jù)此求出P點(diǎn)的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時(shí)AP＝AC，P、C重合．
解：(1)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AP＝BC時(shí)，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC與Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm；
能力拓展
(2)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP＝AC.
在Rt△ABC與Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm，
∴當(dāng)AP＝5cm或10cm時(shí)，△ABC才能和△APQ全等．
【方法總結(jié)】判定三角形全等的關(guān)鍵是找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，由于本題沒有說明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．
課堂小結(jié)
“斜邊、直角邊”
內(nèi)容
斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.
前提條件
在直角三角形中
使用方法
只須找除直角外的兩個(gè)條件即可（兩個(gè)條件中至少有一個(gè)條件是一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等）
(共27張PPT)
1.3 線段的垂直平分線
第一章 三角形的證明
第1課時(shí) 線段的垂直平分線
1.理解線段垂直平分線的概念；
2.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；（重點(diǎn)）
3.能運(yùn)用線段的垂直平分線的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明或計(jì)算.（難點(diǎn)）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
導(dǎo)入新課
問題引入
某區(qū)政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購物中心，試問該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等？
A
B
C
觀察： 已知點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線l 對(duì)稱，如果線段AA′沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直線l 既平分線段AA′，又垂直線段AA′.
●
●
l
A
A′
D
2
1
(A)
講授新課
我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.
由上可知：線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.
知識(shí)要點(diǎn)
如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l 上的點(diǎn)，請(qǐng)你量一量線段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3，… 到點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的距離之間的數(shù)量關(guān)系．
探究發(fā)現(xiàn)
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
作關(guān)于直線l 的軸反射（即沿直線l 對(duì)折），由于l 是線段AB的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合. 從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.
活動(dòng)探究
猜想：
點(diǎn)P1，P2，P3，… 到點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的距離分別相等．
命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
由此你能得到什么結(jié)論？
你能驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？
如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC =CB，點(diǎn)P 在l 上．
求證：PA =PB．
　證明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　　又 AC =CB，PC =PC，
　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　　∴ PA =PB．
驗(yàn)證結(jié)論
微課--證明線段垂直平分線的性質(zhì)
線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
線段垂直平分線的性質(zhì)定理：
總結(jié)歸納
例1 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為(　　)
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
典例精析
C
解析：∵△DBC的周長為BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).故選C.
方法歸納：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長．
練一練：1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長為（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如圖②所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E, △BCE的周長等于18cm,則AC的長是 .
B
10cm
圖①
定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
逆
命
題
到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.
它是真命題嗎？你能證明嗎？
想一想：如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？
記得要分點(diǎn)P在線段AB上及線段AB外兩種情況來討論
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，
∵PA=PB，
∴點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，
顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí)，如右圖所示.
∵PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形.
過頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，
∴底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直線PC是線段AB的垂直平分線，
此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.
微課--線段垂直平分線的逆命題
到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.
線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：
應(yīng)用格式：
∵　PA =PB，
∴　點(diǎn)P 在AB 的垂直平分線上．
作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.
總結(jié)歸納
例2：已知：如圖△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=OC.
求證：直線AO垂直平分線段BC.
證明：∵AB=AC，
∴A在線段BC的垂直平分線（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.
同理，點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線.
∴直線AO是線段BC的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.
利用三角形的全等證明
證明：延長AO交BC于點(diǎn)D，
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，
∴△ABO≌△ACO（SSS）.
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．
∵OB＝OC ，OD＝OD ，
∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.
∴BD＝CD.
∴直線AO垂直平分線段BC.
試一試：已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連接CD.
求證：OE是CD的垂直平分線.
證明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）.
∴ OE是CD的垂直平分線.
當(dāng)堂練習(xí)
1.如圖所示，AC=AD,BC=BD, 則下列說法正確的是
（　　?。?br/>A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB與CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．
A
2.已知線段AB，在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點(diǎn)的組合共有　　　　種.
無數(shù)
3.下列說法：
①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；
③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；
④若EA＝EB，則經(jīng)過點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．
其中正確的有 （填序號(hào)）.
① ② ③
4.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連接BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是 cm.
16
5.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且AC =BC， AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O.
求證：AO=BO.
證明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴ CD為線段AB的垂直平分線.
又 ∵AB與CD相交于點(diǎn)O，
課堂小結(jié)
線段的垂直平分的性質(zhì)和判定
性質(zhì)
到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上
內(nèi)容
判定
內(nèi)容
作用
線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
作用
見垂直平分線，得線段相等
判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上
(共21張PPT)
1.3 線段的垂直平分線
第一章 三角形的證明
第2課時(shí) 三角形三邊的垂直平分線及作圖
1.理解并掌握三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)，能
夠運(yùn)用其解決實(shí)際問題.(重點(diǎn))
2.能夠利用尺規(guī)作出三角形的垂直平分線.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
導(dǎo)入新課
復(fù)習(xí)引入
1.回顧一下線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理.




2.線段的垂直平分線的作法.
性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.
判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.
講授新課
合作探究
畫一畫：利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，完成之后你發(fā)現(xiàn)了什么？
發(fā)現(xiàn)：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．
點(diǎn)撥：要證明三條直線相交于一點(diǎn)，只要證明其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可.
思路可表示如下：
試試看，你會(huì)寫出證明過程嗎？
B
C
A
P
l
n
m
證明：連接PA，PB，PC.
∵點(diǎn)P在AB，AC的垂直平分線上， ∴PA=PB，PA=PC
（線段垂直平分線上 的點(diǎn)到線段兩端距離相等）.
∴PB=PC.
∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上
(到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）.
B
C
A
P
l
n
m
定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
歸納總結(jié)
應(yīng)用格式：
∵　點(diǎn)P 為△ABC 三邊垂直平分線的交點(diǎn)，
∴　PA =PB=PC．
分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點(diǎn)分別在什么位置.
銳角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)；
直角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在斜邊上；
鈍角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形外.
做一做
做一做：（1）已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個(gè)?所作出的三角形都全等嗎?
已知：三角形的一條邊a和這邊上的高h(yuǎn).
求作：△ABC，使BC=a，BC邊上的高為h.
A1
D
C
B
A
a
h
(D)
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
提示：能作出無數(shù)個(gè)這樣的三角形，它們并不全等.
（2）已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎?如果能，能作幾個(gè)?所作出的三角形都全等嗎?
　　這樣的等腰三角形有無數(shù)多個(gè).根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，只要作底邊的垂直平分線，取它上面除底邊的中點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，和底邊的兩個(gè)端點(diǎn)相連接，都可以得到一個(gè)等腰三角形．
如圖所示，這些三角形不都全等．
(3)已知等腰三角形的底及底邊上的高,你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？能作幾個(gè)？
　　這樣的等腰三角形只有兩個(gè)，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側(cè)．
例 已知：線段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
D
a
h
作法：
1．作BC=a；
2．作線段BC的垂直平分線MN交BC于D點(diǎn)；
3．以D為圓心，h長為半徑作弧交MN于A點(diǎn)；
4．連接AB，AC.
△ABC就是所求作的三角形.
典例精析
1.已知直線l和其上一點(diǎn)P，利用尺規(guī)作 l 的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P.
試一試
已知：直線 l 和 l 上一點(diǎn)P．
求作：PC⊥ l ．
作法：
1.以點(diǎn)P為圓心，以任意長為半徑作弧，與直線 l 相交于點(diǎn)A和B．
2．作線段AB的垂直平分線PC．
直線PC就是所求 l 的垂線．
l
作法：
2.已知直線 l 和線外一點(diǎn)P，利用尺規(guī)作 l 的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P.
(1)先以P為圓心，大于點(diǎn)P到直線 l 的垂直距離R為半徑作圓，交直線 l 于A，B.
(2)分別以A、B為圓心，大于R的長
為半徑作圓，相交于C、D兩點(diǎn).
(3)過兩交點(diǎn)作直線 l ',此直線為
l 過P的垂線.
P ●
當(dāng)堂練習(xí)
1.如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于（ ）
A．80° 　　B．70°
C．60° D．50°
C
2.下列說法錯(cuò)誤的是 ( )
A.三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn)
B.如果等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)到底邊兩端點(diǎn)的距離相等，那么過這點(diǎn)與頂點(diǎn)的直線必垂直于底邊
C.平面上只存在一點(diǎn)到已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等
D.三角形關(guān)于任一邊上的垂直平分線成軸對(duì)稱
D
【解析】選D.等邊三角形關(guān)于任一邊上的垂直平分線成軸對(duì)稱，等腰三角形關(guān)于底邊上的垂直平分線成軸對(duì)稱，一般三角形不是軸對(duì)稱圖形，D選項(xiàng)沒有說明三角形的形狀，所以D選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.
3.如圖所示，在△ABC中，∠B＝22.5°,AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，DF⊥AC于點(diǎn)F,并與BC邊上的高AE交于G.
求證：EG＝EC.
證明:連接AD.∵點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，
∴DA＝DB,∴∠DAB＝∠B＝22.5°,
∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.
∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°,
∴AE＝DE.又∵DF⊥AC,
∴∠DFC＝∠AEC＝90°,
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°,
∴∠CAE＝∠CDF,
∴△DEG≌△AEC(ASA),
∴EG＝EC.
F
A
B
C
E
G
D
4.已知：線段a.
求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.
作法：
（1）作直線l.
（2）在直線l上任取一條線段DE.
（3）作線段DE的垂直平分線MN交DE于C.
（4）在射線CE上截取CA=a,
在射線CM上截取CB=a.
（5）連接AB.
△ABC就是所求作的三角形.
課堂小結(jié)
1.定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
2.已知等腰三角形的底邊和底邊上的高作等腰三角形.
A
B
C
P
a
b
c
(共22張PPT)
1.4 角平分線
第一章 三角形的證明
第1課時(shí) 角平分線
1.會(huì)敘述角平分線的性質(zhì)及判定;（重點(diǎn)）
2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)定理，理解和掌握角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，能應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;（難點(diǎn)）
3.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力．
學(xué)習(xí)目標(biāo)
情境引入
如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？
（比例尺為1︰20000）
D
C
S
解：作夾角的角平分線OC，
截取OD=2.5cm ,D即為所求.
O
導(dǎo)入新課
1. 操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過點(diǎn)P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長.將
三次數(shù)據(jù)填入下表：
2. 觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)：__________
C
O
B
A
PD=PE
實(shí)驗(yàn)：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的
任意一點(diǎn)

猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
講授新課
PD PE
第一次
第二次
第三次
驗(yàn)證猜想
已知：如圖， ∠AOC= ∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.
求證：PD=PE.
證明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等
性質(zhì)定理： 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
應(yīng)用所具備的條件：
定理的作用：
證明線段相等.
應(yīng)用格式：
∵OP 是∠AOB的平分線，
∴PD = PE
（在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）.
推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).
PD⊥OA,PE⊥OB，
判一判：（1）∵ 如下左圖，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
BD CD
×
(2)∵ 如上右圖， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ,
( )
在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
BD CD
×
例1：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分別為E,F.
求證：EB=FC.
證明： ∵AD是∠BAC的角平分線， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
例2:如圖，AM是∠BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.
4
溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用
變式：如 圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4, AB=14.
（1）則點(diǎn)P到AB的距離為_______.
4
溫馨提示：存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用
變式：如圖，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面積.
（3）求?PDB的周長.
由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，
1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：
存在角平分線
涉及距離問題
2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：
面積
周長
條件
知識(shí)與方法
利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
思考：交換角的平分線性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個(gè)新結(jié)論正確嗎？
角平分線的性質(zhì)：
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
思考：這個(gè)結(jié)論正確嗎？
逆
命
題
已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.
求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.
證明：
作射線OP，
∴點(diǎn)P在∠AOB 角的平分線上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.
OP=OP（公共邊），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
證明猜想
判定定理：
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
應(yīng)用所具備的條件：
定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.
應(yīng)用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴點(diǎn)P 在∠AOB的平分線上.
知識(shí)總結(jié)
例3:如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，
求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．
證明：
過點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.
∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
┑
┑
┑
例4 如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.
解：如圖所示：
歸納總結(jié)
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分線的判定
角的平分線的性質(zhì)



圖形

已知
條件
結(jié)論
當(dāng)堂練習(xí)
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是 .
3
E
1. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， ∠EDB= 60°，則 ∠EBF= 度，BE= .
60
BF
3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON,再分別過點(diǎn)M,N作OA,OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP,則OP平分∠AOB.為什么？
A
O
B
M
N
P
解：在RT△MOP和RT△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴RT△MOP≌RT△NOP（HL）.
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
課堂小結(jié)
角平分線
性質(zhì)定理
一個(gè)點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)；
二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；
兩相等：兩條垂線段相等
輔助線
添加
過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段
判定定理
在一個(gè)角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上
(共21張PPT)
1.4 角平分線
第一章 三角形的證明
第2課時(shí) 三角形三條內(nèi)角的平分線
1．會(huì)證明和運(yùn)用“三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等”.(重點(diǎn)）
2.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力．(難點(diǎn)）
學(xué)習(xí)目標(biāo)
在一個(gè)三角形居住區(qū)內(nèi)修有一個(gè)學(xué)校P，P到AB、BC、CA三邊的距離都相等,請(qǐng)?jiān)谌切尉幼^(qū)內(nèi)標(biāo)出學(xué)校P的位置,P在何處？
導(dǎo)入新課
情境引入
活動(dòng)1 分別畫出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？
發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).
講授新課
活動(dòng)2 分別過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？
發(fā)現(xiàn)：過交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等.
你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？
剪一個(gè)三角形紙片，通過折疊找出每個(gè)角的角平分線，觀察這三條角平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論？與同伴交流．
結(jié)論：三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).
試一試
點(diǎn)撥：要證明三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，只要證明其中兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上即可.思路可表示如下：
試試看，你會(huì)寫出證明過程嗎？
D
E
I
G
已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，
求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
證明結(jié)論
證明：過點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).
∵BM是△ABC的角平分線，
點(diǎn)P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
D
E
F
想一想：點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？
點(diǎn)P在∠A的平分線上.
結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.
D
E
F
例1.如圖,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E.
(1)如果CD=4cm,AC的長;
（1）解：∵AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,垂足為E，
∴DE=CD=4cm.
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.
在等腰直角三角形BDE中，
(2)求證:AB=AC+CD.
（2）證明：由（1）的求解過程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
E
O
例2：如圖，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和.
溫馨提示：不存在垂線段———構(gòu)造應(yīng)用
12
解：連接OC


(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.
例3 如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三邊的距離
相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三條角平分線
的交點(diǎn)，AO，BO，CO都是角平分線，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
當(dāng)堂練習(xí)
1.如圖，已知△ABC，求作一點(diǎn)P，使P到∠A的兩邊的距離相等，且PA＝PB．下列確定P點(diǎn)的方法正確的是（ ）
A.P為∠A，∠B兩角平分線的交點(diǎn)
B.P為∠A的平分線與AB的垂直平分線
的交點(diǎn)
C.P為AC，AB兩邊上的高的交點(diǎn)
D.P為AC，AB兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)
B
【解析】∵點(diǎn)P到∠A的兩邊的距離相等，
∴P在∠A的角平分線上，
∵PA＝PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.
∴P為∠A的平分線與AB的垂直平分線的交點(diǎn).
2.如圖, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠CBE=
∠ABE, 且AC=6cm, 那么線段BE是∠ABC的　 ，AE+DE= .
C
角平分線
6cm
3. 如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（ ）
A.△ABC 的三條中線的交點(diǎn)
B.△ABC 三邊的中垂線的交點(diǎn)
C.△ABC 三條角平分線的交點(diǎn)
D.△ABC 三條高所在直線的交點(diǎn)
C
　4.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上,BD=DF.
　求證：CF=EB.
證明：∵AD平分∠CAB,
　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴　CD＝DE (角平分線的性質(zhì)).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
　　 CD=ED（已證）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
∴ CF=EB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.
C
拓展思維
5.如圖, 直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路, 現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站, 要求它到三條公路的距離相等, 可選擇的地址有幾處? 畫出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)
性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等．
課堂小結(jié)
應(yīng)用：位置的選擇問題.
(共37張PPT)
小結(jié)與復(fù)習(xí)
第一章 三角形的證明
(4)___________、底邊上的中線和底邊上的高互相重合，簡(jiǎn)稱“三線合一”.
頂角平分線
(3)兩個(gè)_______相等，簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”;
底角
(2)軸對(duì)稱圖形,等腰三角形的頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸;
一、等腰三角形的性質(zhì)及判定
1.性質(zhì)
(1)兩腰相等;
要點(diǎn)梳理
2.判定
(1)有兩邊相等的三角形是等腰三角形;
(2)如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“____________”）.
等角對(duì)等邊
二、等邊三角形的性質(zhì)及判定
1.性質(zhì)
⑴等邊三角形的三邊都相等;
⑵等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每一個(gè)角都等于________;
⑶是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是三條高所在的直線;
⑷任意角平分線、角對(duì)邊上的中線、對(duì)邊上的高互相重合，簡(jiǎn)稱“三線合一”.
60°
2.判定
⑴三條邊都相等的三角形是等邊三角形.
⑵三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.
⑶有一個(gè)角是60°的___________是等邊三角形.
等腰三角形
(5)在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等
于斜邊的一半.
直角三角形的性質(zhì)定理1
直角三角形的兩個(gè)銳角______.
互余
直角三角形的判定定理1
有兩個(gè)角______的三角形是直角三角形.
互余
三、直角三角形
勾股定理表達(dá)式的常見變形：a2＝c2－b2, b2＝c2－a2，
.
勾股定理分類計(jì)算：如果已知直角三角形的兩邊是a,b(且a＞b)，那么，當(dāng)?shù)谌卌是斜邊時(shí)，c＝_________；當(dāng)a是斜邊時(shí)，第三邊c＝_________.
四、勾股定理
勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的　
　.
即：對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c ，那么一定有　 　.
平方
[注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，運(yùn)用時(shí)要分清直角邊和斜邊．
a2＋b2＝c2
五、勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系：a2＋b2＝ ，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
利用此定理判定直角三角形的一般步驟：
(1)確定最大邊；
(2)算出最大邊的平方與另兩邊的　　 ；
(3)比較最大邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明這個(gè)三角形是　 　三角形．
到目前為止判定直角三角形的方法有：
(1)說明三角形中有一個(gè)角是　 ；
(2)說明三角形中有兩邊互相　 ；
(3)用勾股定理的逆定理．
平方和
直角
直角
垂直
[注意] 運(yùn)用勾股定理的逆定理時(shí)，要防止出現(xiàn)一開始就寫出a2＋b2＝c2之類的錯(cuò)誤．
c2
1．互逆命題
在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的　 　，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的　 　，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．

2．逆命題
每一個(gè)命題都有逆命題，只要將原命題的條件改
成　 　，并將結(jié)論改成　 　，便可以得到原命題的逆命題．
結(jié)論
條件
結(jié)論
條件
六、逆命題和互逆命題
3．逆定理
如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么，它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的 　定理．
[注意] 每個(gè)命題都有逆命題，但一個(gè)定理不一定有逆定理．如“對(duì)頂角相等”就沒有逆定理．
逆
1.線段垂直平分線的性質(zhì)定理：
線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.
2.逆定理：
到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.
七、線段的垂直平分線
3．常見的基本作圖
(1)過已知點(diǎn)作已知直線的　 ?。?br/>(2)作已知線段的垂直　 　線．
垂線
平分
4.三角形的三邊的垂直平分線的性質(zhì)：
三角形的三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，且到三個(gè)頂點(diǎn)
的距離相等.
1.性質(zhì)定理：
角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
2.判定定理：
在一個(gè)角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平
分線.
3.三角形的三條內(nèi)角平分線的性質(zhì)：
三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，且到三邊的
距離相等.
八、角平分線的性質(zhì)與判定
例1 如圖所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求證： ∠BAC = 2∠DBC.
【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可作頂角∠BAC的平分線，來獲取角的數(shù)量關(guān)系.
考點(diǎn)講練
證明：作∠BAC的平分線AE,交BC于點(diǎn)E,如圖所示，
則
∵AB=AC, ∴AE⊥BC.
∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °.
∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.
∴ ∠ 2= ∠DBC.
∴ ∠BAC= 2∠DBC.
等腰三角形的性質(zhì)與判定是本章的重點(diǎn)之一，它們是證明線段相等和角相等的重要依據(jù)，等腰三角形的特殊情形—等邊三角形的性質(zhì)與判定應(yīng)用也很廣泛，有一個(gè)角是30°的直角三角形的性質(zhì)是證明線段之間的倍份關(guān)系的重要手段.
1. 如圖，在△ABC中，AB=AC時(shí)，
(1)∵AD⊥BC，
∴∠ ____= ∠_____;____=____.
(2) ∵AD是中線，
∴____⊥____; ∠_____= ∠_____.
(3) ∵ AD是角平分線，
∴____ ⊥____;_____=____.
BAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BAD
CAD
AD
BC
BD
CD
例2 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的長．
解：∵∠B＝90°，∴b是斜邊，
則在Rt△ABC中，由勾股定理，得

又∵S△ABC＝ b?BD＝ ac，
在直角三角形中，已知兩邊的長求斜邊上的高時(shí)，先用勾股定理求出第三邊，然后用面積求斜邊上的高較為簡(jiǎn)便．在用勾股定理時(shí)，一定要清楚直角所對(duì)的邊才是斜邊，如在本例中不要受勾股數(shù)3，4，5的干擾．
2．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（　?。?br/>A.25 B.14 C.7 D.7或25
D
例3 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判斷△ABC是否為直角三角形．
解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，
c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，
從而a2＋b2＝c2，
故可以判定△ABC是直角三角形．
運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷哪條邊最大；
②分別用代數(shù)方法計(jì)算出a2＋b2和c2的值(c邊最大)；③判斷a2＋b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形．
3.已知下列圖形中的三角形的頂點(diǎn)都在正方形的格點(diǎn) 上，可以判定三角形是直角三角形的有________．
(2)(4)
例4 判斷下列命題的真假，寫出這些命題的逆命題并判斷它們的真假．
(1)如果a＝0，那么ab＝0；
(2)如果點(diǎn)P到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等，那么P在線段AB的垂直平分線上．
解：(1)原命題是真命題．
原命題的逆命題是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命題為假．
(2)原命題是真命題．
原命題的逆命題是：如果P在線段AB的垂直平分線上，那么點(diǎn)P到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等．其逆命題也是真命題．
4.寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：
（1）若x=1，則x2=1；（2）若|a|=|b|，則a=b.
解：
（1）逆命題：若x2=1，則x=1．是假命題.
（2）逆命題：若a=b，則|a|=|b|．是真命題.
解：∵ AD 是BC 的垂直平分線，
∴　AB =AC，BD=CD.
∵　點(diǎn)C 在AE 的垂直平分線上，
∴　AC =CE,∴AB=AC=CE,
∴ AB+BD=DE.
例5 如圖，AD是BC的垂直平分線，點(diǎn)C 在AE 的垂直平分線上，AB，AC，CE 的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE 有什么關(guān)系？
5.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AC=5厘米，△ABD的周長等于13厘米，則△ABC的周長是 .
A
B
D
E
C
18厘米
常常運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)換來求線段之間的關(guān)系及周長的和差等,有時(shí)候與等腰三角形的“三線合一”結(jié)合起來考查.
6.下列說法：
①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；
③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；
④若EA＝EB，則經(jīng)過點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．
其中正確的有 （填序號(hào)）.
① ② ③
例6 如圖，在△ABC中，AD是角平分線，且BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分別為E , F.
求證：EB=FC.
【分析】先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
證明： ∵AD是∠BAC的角平分線，
DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
8.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是 .
3
E
7. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， ∠EDB= 60°，則 ∠EBF= 度，BE= .
60
BF
9. 如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點(diǎn)E，PF∥AC交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距離與到PF的距離相等，
∴點(diǎn)D在∠EPF的平分線上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
P
例7 等腰三角形的周長為20cm,其中兩邊的差為8cm,求這個(gè)等腰三角形各邊的長.
【分析】要考慮腰比底邊長和腰比底邊短兩種情況.
分類討論思想
10.等腰三角形的兩邊長分別為4和6，求它的周長.
解：①若腰長為6，則底邊長為4，周長為6+6+4=16；
②若腰長為4，則底邊長為6，周長為4+4+6=14.
故這個(gè)三角形的周長為14或16.
例8 如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6 cm，BC＝8 cm，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕是DE，求CD的長．
【分析】 欲求的線段CD在Rt△ACD中，但此三角形只知一邊，可設(shè)法找出另兩邊的關(guān)系，然后用勾股定理求解．
方程思想
解：由折疊知：DA＝DB，△ACD為直角三角形．
在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①，
設(shè)CD＝x cm，則AD＝BD＝(8－x)cm，
代入①式，得62＋x2＝(8－x)2，
化簡(jiǎn)，得36＝64－16x，
所以x＝ ＝1.75，
即CD的長為1.75 cm.
勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系時(shí)，也可用勾股定理求出未知邊，這時(shí)往往要列出方程求解．
11.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12，
BC=5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折
疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)A′
處，則AE的長為 .
課堂小結(jié)
三角形的證明
等腰三角形
等腰三角形的性質(zhì)
等腰三角形的判定
勾股定理
等邊三角形的性質(zhì)
等邊三角形的判定
直角三角形
直角三角形的性質(zhì)
兩個(gè)直角三角形全等的判定（HL）
直角三角形的判定
等邊三角形
勾股定理的逆定理
垂直平分線的性質(zhì)
角平分線的性質(zhì)
課后作業(yè)
見章末練習(xí)

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