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關于斜向發射炮彈水平方向動量是否守恒的探討
題目：(2019-2020學年天一大聯考高中畢業班階段性測試(三)第13題)
一禮炮車(不包含禮炮彈)的質量為M=2000kg，禮炮彈的質量為m=5kg，發射時炮口和水平地面成60°角。在某次試射禮炮彈成功后，禮炮車在水平地面上后退了0.1m，若禮炮車受到的地面阻力是車重的一半，不考慮炮彈發射時間，重力加速度g取10m/s2,求禮炮彈離開炮口時的速度大小.
答案解析：
設炮彈離開炮口時速度大小為v0，炮車后退速度為v，炮車后退過程由動能定理可得
解得v=1m/s。
其中k =0.5 s=0.1m
取炮車后退方向為正，炮彈離開炮口瞬間，炮彈和炮車在水平方向符合動量守恒，則在水平方向由動量守恒得
Mv-mv0cos60°=0
解得v0=800m/s.
1：參考解答存在問題。
炮彈離開炮口時，炮車具有速度v，炮彈在炮筒里，炮彈相對于炮車的速度方向與地面夾角為60°，炮彈的速度方向與地面夾角不是60°。速度關系如圖：

圖 1 速度關系示意圖
設炮車的水平分速度和豎直分速度分別為vx和vy。
由炮車和炮彈水平方向動量守恒，得
Mv-mvx=0 解得 vx=400m/s
速度關系：

解得
炮彈速度為

2 ：水平方向動量嗎.
豎直方向炮車和炮彈組成得系統動量不守恒，水平方向動量守恒嗎？動量守恒得條件是若在某個方向系統所受合外力為零，則該方向系統動量守恒。對于炮車和炮彈組成的系統，水平方向上炮車受到地面的阻力，嚴格地說水平方向動量是不守恒的。但是如果地面阻力遠小于炮車和炮彈之間的內力(即火藥爆炸產生的作用力)，還是可以近似利用動量守恒求解的。這是利用動量守恒的一個普遍情況。
參考解答認為地面阻力相對于內力可以忽略，故水平方向動量守恒。然而，究竟地面阻力是否遠小于內力，需要通過計算判斷，而不能不經分析就斷然作出結論。
下面建立物理模型，計算地面阻力與炮車和炮彈間的作用力，比較二者大小。
通過上述計算，炮車后退速度為1m/s，相對于炮彈速度較小。故可以認為炮彈離開炮筒時速度大小v0=800m/s，速度方向和地面夾角α=60°。火藥爆炸時對炮車和炮彈的作用力較復雜，取平均作用力F計算，即認為炮車和炮彈之間的作用力是恒定的，炮彈在炮筒中作勻加速直線運動，從0加速到v0=800m/s，設炮筒長為l =2.5m.(取此數值是符合實際情況的)

圖 2
炮彈和炮車受力如圖：

圖 3 受力示意圖(左圖為炮彈受力，右圖為炮車受力)
F為炮車和炮彈之間的內力，N為炮筒對炮彈的彈力，FN為地面對炮車的彈力，f為地面對炮車的阻力.
對炮彈，由動能定理得，
①
解得
②
對炮車，由豎直方向受力平衡得
FN=Mg+Fsinα+Ncosα=Mg++mgcos2α
=(M+m)g+ ③
阻力為
④
阻力占內力百分比為
⑤
由⑤式可知，地面對系統阻力占內力的44.8%，故阻力的沖量不能忽略，對于炮車和炮彈組成的系統水平方向動量不守恒。
由⑤式可以看出，阻力是否遠小于內力，與炮筒傾角α、炮彈速度、炮車質量 M、
以及炮車和地面的摩擦系數k有關。對于該類題目，在命題時需要選擇合適且不違背客觀實際的數據才能避免錯誤。這一點需要命題人注意.
3：如何修改才能滿足水平方向動量守恒？
記炮車和炮彈質量比值為β=M/m，動摩擦因數用μ表示，摩擦力與炮車與炮彈間作用力比值為
⑥
方案1 修改動摩擦因數
由⑥式，若炮車與地面間光滑或動摩擦因數很小，則水平方向動量守恒。對于該題，可將動摩擦因數由0.5改為0.1，則 f /F= 8.96%，可近似認為動量守恒。
方案2修改炮筒仰角α.
炮筒仰角α對f / F比值也有影響，f/F的比值與仰角關系如圖4所示，圖中縱軸表示百分比。當仰角為60°，為44.8%。可以看出，降低仰角，也可以減少摩擦力與內力的比值。

圖 4 f/F 的比值與仰角α關系
若取f / F=10%，可求出α=0.17=30.6°。對于該題目，可將炮筒仰角改為30°，也可近似認為炮車和炮彈組成的系統水平方向動量守恒。

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