資源簡(jiǎn)介

21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
導(dǎo)入新課
講授新課
當(dāng)堂練習(xí)
課堂小結(jié)
21.2.2 公式法
九年級(jí)數(shù)學(xué)上（RJ）
教學(xué)課件
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.經(jīng)歷求根公式的推導(dǎo)過(guò)程.（難點(diǎn)）
2.會(huì)用公式法解簡(jiǎn)單系數(shù)的一元二次方程.(重點(diǎn)）
3.理解并會(huì)計(jì)算一元二次方程根的判別式.
4.會(huì)用判別式判斷一元二次方程的根的情況.
導(dǎo)入新課
復(fù)習(xí)引入
1.用配方法解一元二次方程的步驟有哪幾步？
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
導(dǎo)入新課
講授新課
任何一個(gè)一元二次方程都可以寫(xiě)成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
合作探究
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
方程兩邊都除以a
解:
移項(xiàng)，得
配方，得
即
問(wèn)題：接下來(lái)能用直接開(kāi)平方解嗎？
一元二次方程的求根公式
特別提醒
∵a ≠0,4a2>0，
當(dāng)b2-4ac ≥0時(shí)，
∵a ≠0,4a2>0，
當(dāng)b2-4ac ＜0時(shí)，
而x取任何實(shí)數(shù)都不能使上式成立.
因此，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系數(shù)a，b，c確定．因此，解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，當(dāng)b2-4ac ≥0 時(shí)，將a，b，c 代入式子
就得到方程的根，這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
視頻：求根公式的趣味記憶
例1 用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解：∵a=5,b=-4,c=-12，
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
典例精析
解：
這里的a、b、c的值是什么？
例3 解方程： （精確到0.001）.
解：
用計(jì)算器求得：
例4 解方程：4x2-3x+2=0
因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根.
解：
要點(diǎn)歸納
公式法解方程的步驟
1.變形: 化已知方程為一般形式;
2.確定系數(shù):用a,b,c寫(xiě)出各項(xiàng)系數(shù);
3.計(jì)算: b2-4ac的值;
4.判斷：若b2-4ac ≥0，則利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根
兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根
沒(méi)有實(shí)數(shù)根
兩個(gè)實(shí)數(shù)根
按要求完成下列表格：
練一練
0
4
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
沒(méi)有實(shí)數(shù)根
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

的值
根的
情況
3.判別根的情況，得出結(jié)論.
1.化為一般式，確定a,b,c的值.
要點(diǎn)歸納
根的判別式使用方法
例5:已知一元二次方程x2+x=1，下列判斷正確的是( )
A.該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
B.該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C.該方程無(wú)實(shí)數(shù)根
D.該方程根的情況不確定
解析：原方程變形為x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選B.
B
b2 - 4ac > 0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
b2 - 4ac = 0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.
b2 - 4ac < 0時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根.
例6:若關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是( )
A.k>-1 B.k>-1且k≠0
C.k<1 D.k<1且k≠0
解析：由根的判別式知，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則b2-4ac>0，同時(shí)要求二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故選B.
B
例7:不解方程，判斷下列方程的根的情況．
（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3,
∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）方程化為：4x2－12x+9=0,
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
例7:不解方程，判斷下列方程的根的情況．
(3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化為：5y2－7y+5=0,
∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
1.解方程：x2 +7x – 18 = 0.
解：這里 a=1, b= 7, c= -18.
∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,

即 x1 = -9, x2 = 2 .
當(dāng)堂練習(xí)
2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
解：去括號(hào) ，得 x –2 - 3x2 + 6x = 6,
化簡(jiǎn)為一般式 3x2 - 7x + 8 = 0,
這里 a = 3, b = -7 , c = 8.
∵b2 - 4ac=(-7 )2 – 4 × 3 × 8 = 49–96
= - 47 < 0,
∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
3. 解方程：2x2 - x + 3 = 0
解： 這里 a = 2 , b = - , c = 3 .
∵ b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ,
∴
即 x1= x2=
4.關(guān)于x的一元二次方程 有兩個(gè)實(shí)根，則m的取值范圍是 .
注意：一元二次方程有實(shí)根，說(shuō)明方程可能有兩個(gè)不等實(shí)根或兩個(gè)相等實(shí)根兩種情況.
解：
∴
5.不解方程，判斷下列方程的根的情況．
（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0.
解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）x2-x+ =0,a=1,b=-1,c= .
∴b2-4ac=(-1)2-4×1× =0.
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.
∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
(3) x2-x+1=0.
6.不解方程，判別關(guān)于x的方程
的根的情況.
解：
所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
能力提升：
在等腰△ABC 中，三邊分別為a,b,c，其中a=5，若關(guān)于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求△ABC 的周長(zhǎng).
解：關(guān)于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)
數(shù)根，
所以Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
所以b=-10或b=2.
將b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
將b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三邊長(zhǎng)為4，4，5，
其周長(zhǎng)為4+4+5=13.
課堂小結(jié)
公式法
求根公式
步驟
一化（一般形式）；
二定（系數(shù)值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情況）；
五代（求根公式計(jì)算）.
根的判別式b2-4ac
務(wù)必將方程化為一般形式

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