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知識講解 動力學方法及應用

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知識講解 動力學方法及應用

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高考沖刺:動力學方法及應用
【高考展望】
本專題主要討論利用動力學方法分析解決物理問題的方法。動力學問題是高中物理的主干和重點知識,動力學方法是高中物理中處理物理問題的常用方法和重要方法,也是歷年高考熱點。歷年高考試卷中的綜合問題往往與動力學知識有關,并且往往把動力學知識與非勻變速直線運動、圓周運動、平拋運動、電場、磁場、電磁感應等知識點綜合起來,這類問題過程多樣復雜,信息容量大,綜合程度高,難度大。
  牛頓運動定律、運動學知識是本專題知識的重點。在對本專題知識的復習中,應在物理過程和物理情景分析的基礎上,分析清楚物體的受力情況、運動情況,恰當地選取研究對象和研究過程,準確地選用適用的物理規律。
【知識升華】
“動力學方法”簡介:從“力與運動的關系”角度來研究運動狀態和運動過程的學習研究方法。物體所受的合外力決定物體運動的性質。物體所受的合外力是否為零,決定物體的運動是勻速運動(或靜止)還是變速運動;物體所受的合外力是否恒定,決定物體的運動是勻變速運動還是非勻變速運動;物體所受合外力的方向與物體運動方向的關系決定物體的運動軌跡是直線還是曲線。
  解決動力學問題,要對物體進行受力分析,進行力的分解和合成;要對物體運動過程進行分析,然后根據牛頓第二定律,把物體受的力和運動聯系起來,列方程求解。
【方法點撥】
常用的解題方法:整體法和隔離法;正交分解法;合成法。
考點一、整體法和隔離法
整體法和隔離法通常用于處理連接體問題。
要點詮釋:作為連接體的整體,一般都是運動整體的加速度相同,可以由整體求解出加速度,然后應用于隔離后的每一部分;或者由隔離后的部分求解出加速度然后應用于整體。處理連接體問題的關鍵是整體法與隔離法的配合使用。隔離法和整體法是互相依存、互相補充的,兩種方法互相配合交替使用,常能更有效地解決有關連接體問題。
考點二、正交分解法
當物體受到兩個以上的力作用而產生加速度時,常用正交分解法解題。
要點詮釋:多數情況下是把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上,(沿加速度方向)(垂直于加速度方向),特別要注意在垂直于加速度方向根據合力為零的特點正確求出支持力。特殊情況下也可以分解加速度。
考點三、合成法(也叫平行四邊形定則、三角形定則)
要點詮釋:若物體只受兩個力作用而產生加速度時,這時二力不平衡,根據牛頓第二定律可知,利用平行四邊形法則求出的兩個力的合外力方向就是加速度方向。特別是兩個力相互垂直或相等時,應用力的合成法比較簡單(勻速圓周運動都屬于這類問題)。

【典型例題】
類型一、勻變速直線運動
用動力學方法解決勻變速直線運動問題時,主要根據牛頓運動定律,往往結合運動學知識和動能定理(動能定理是根據牛頓第二定律推導出來的,導出的公式、定理等很多時候用起來要簡單得多)
例1、風洞實驗室中可產生水平方向的、大小可調節的風力。現將一套有小球的細直桿放入風洞實驗室,小球孔徑略大于細桿直徑,如圖所示:
 ?。?)當桿在水平方向上固定時,調節風力的大小,使小球在桿上做勻速運動,這時小球所受的風力為小球所受重力的0.5倍。求小球與桿間的滑動摩擦因數。

(2)保持小球所受風力不變,使桿與水平方向間夾角為37°并固定,則小球從靜止出發在細桿上滑下距離s所需時間為多少 ? (sin37°=0.6,cos37°=0.8)
【思路點撥】(1)根據平衡條件求出動摩擦因數;(2)做受力圖、正交分解,根據牛頓第二定律求解。
【答案】(1)0.5 (2)
【解析】(1)當桿在水平方向上固定時,運動分析:小球在桿上做勻速運動,直線運動;
受力分析:重力,方向豎直向下、支持力,方向豎直向上、摩擦力,,方向向右、風力, 大小:,
由平衡條件,水平方向: 豎直方向:
列出方程 解得
(2)受力分析:重力,方向豎直向下,支持力,方向垂直桿斜向左上方,
摩擦力,,沿桿方向向上,
保持小球所受風力不變,,作出受力圖,進行正交分解,把重力、風力沿桿方向、垂直于桿方向分解。

運動分析:小球沿桿從靜止下滑,沿桿方向的合力恒定,
小球做勻加速直線運動。
根據牛頓第二定律列方程
沿桿方向: ①
垂直于桿方向: ②

聯立① ② ③ 解得加速度
又由 下滑距離s所需時間為
【總結升華】正確進行運動分析、受力分析、正交分解,根據牛頓第二定律沿桿方向、垂直于桿方向列出方程,求出加速度是解題的關鍵。
舉一反三
【變式1】民用航空客機的機艙,除了有正常的艙門和舷梯連接供旅客上下飛機外一般還設有緊急出口,發生意外情況的飛機著陸后,打開緊急出口的艙門,會自動生成一個由氣囊構成的斜面,機艙中的人可沿著該斜面滑行到地面上來。設機艙出口離氣囊底端的豎直高度h=3.0m,氣囊構成的斜面長x=5.0m,CD段為與斜面平滑連接的水平地面,一個質量m=60kg的人從氣囊上由靜止開始滑下,人與氣囊、地面間的動摩擦因數均為μ=0.5。不計空氣阻力,g取。
求:(1)人從斜面上滑下時的加速度大小
(2)人滑到斜坡底端時的速度大小
(3)人離開C點后在水平地面上滑行的距離

【答案】(1)(2)(3)2.0 m
【解析】(1)人受力如圖所示
由牛頓運動定律

解得
(2)由,求得.
(3)由牛頓運動定律?
由?解得。
【變式2】有一質量m=1kg的小球串在長的輕桿頂端,輕桿與水平方向成,靜止釋放小球,經過小球到達輕桿底端( sin37°=0.6,cos37°=0.8),試求:
(1)小球與輕桿之間的動摩擦因素;
(2)在豎直平面內給小球施加一個垂直于輕桿方向的恒力,使小球釋放后加速度為,此恒力大小為多少?

【答案】(1)
(2)若此恒力垂直桿向下,F=8N;若此恒力垂直桿向上,F=24N。
【解析】(1)由 求得加速度
沿桿方向、垂直于桿方向正交分解, 應用牛頓第二定律

代入數據聯立解得
(2)若此恒力垂直桿向下,沿桿方向、垂直于桿方向正交分解,支持力垂直于
斜面向上,小球受力圖如圖1所示。

根據牛頓第二定律
代入數據聯立解得
若此恒力垂直桿向上,沿桿方向、垂直于桿方向正交分解,此時支持力垂直于斜面向下(因為),小球受力圖如圖2所示。

代入數據聯立解得
類型二、非勻變速運動
例2、如圖所示,一根輕彈簧下端固定,豎立在水平面上.其正上方A位置有一只小球。小球從靜止開始下落,在B位置接觸彈簧的上端,在C位置小球所受彈力大小等于重力,在D位置小球速度減小到零,在小球下降階段中,下列說法正確的是 ( )
A.從A→D位置小球先做勻加速運動后做勻減速運動
B.從A→C位置小球重力勢能的減少量等于彈簧彈性勢能的增加量
C.在B位置小球動能最大
D.在C位置小球動能最大


【思路點撥】把小球的運動根據受力分為三個階段:
重力大于彈簧彈力,重力等于彈簧彈力,重力小于彈簧彈力,分析加速度的大小和方向。
【答案】D
【解析】小球到達B點前做自由落體運動,(1)重力大于彈力:過B點后,C點前,壓縮彈簧,設壓縮量為,彈力,合外力為,應用牛頓第二定律,,不斷增大,彈力增大,合外力減小,加速度減小,加速度方向與速度方向相同,速度增大,做加速度減小的加速運動。
(2)重力等于彈力:在C位置, ,合力為零,加速度為零,速度達到最大。
(3)重力小于彈力:C點后,到D點前, , , 合力方向向上,加速度向上,速度方向還是向下,做減速運動,合力不斷增大,加速度增大,到D點后,速度為零,加速度最大,向上反彈。向上反彈到最高點的運動分析,可參照上面的分析。
根據以上分析,小球加速度始終在變化,不是勻加速也不是勻減速。在C位置小球動能最大。從A→C位置小球重力勢能減少,動能增大,彈性勢能增大。所以C正確。
【總結升華】受力情況不同,運動情況就不同,必須按不同的受力情況將運動過程分開,具體一步一步分析計算。整個過程合力不斷變化,加速度不斷變化(大小、方向都在變),不要隨便就說是勻加速、勻減速。
【變式】右圖為蹦極運動的示意圖。彈性繩的一端固定在點,另一端和運動員相連。運動員從點自由下落,至點彈性繩自然伸直,經過合力為零的點到達最低點,然后彈起。整個過程中忽略空氣阻力。分析這一過程,下列表述正確的是
①經過點時,運動員的速率最大
②經過點時,運動員的速率最大
③從點到點,運動員的加速度增大
④從點到點,運動員的加速度不變
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

【答案】B
【解析】運動員的下落過程:O→B自由落體運動,B→C重力大于
彈性繩的彈力,做加速度越來越小的加速運動,C點加速度為零,
速度最大,C→D彈力大于重力,加速度向上,運動員做加速度增大的減速運動,D點速度為零。可見B正確。
【高清課堂:369021動力學方法及其應用 例5】
例3、兩木塊質量分別為m、M,用勁度系數為k的輕彈簧連在一起,放在水平地面上,將木塊1壓下一段距離后釋放,它就上下做簡諧振動。在振動過程中木塊2剛好始終不離開地面。求:(1)木塊1的最大加速度,
(2)木塊2對地面的最大壓力。

【思路點撥】木塊m上下做簡諧振動。當1運動到最高點時,
彈簧伸長最長,彈力大小等于重力,簡諧運動具有對稱性,
1在最高點、最低點時加速度大小相等。
【答案】(1) 方向向下
(2) 方向向下
【解析】(1)1在最高點時,對2,由題意=
對1,由牛頓運動定律, (m受到的彈力方向向下)
方向向下
(2)最大壓力應發生在彈簧最短處。 1在最低點時,2對
地面壓力最大。
對1,由對稱性 方向向上,
=
對2 由平衡條件可知 木塊2地面的支持力

根據牛頓第三定律,木塊2地面的最大壓力大小等于 方向豎直向下。
【總結升華】根據簡諧運動對稱性的特點,確定木塊m加速度最大的位置,確定最大壓力應發生在彈簧最短處,即木塊m在最低點時,2對地面壓力最大。
【高清課堂:369021動力學方法及其應用 例4】
舉一反三
【變式】如圖所示,物體A、B的質量不同,與地面間動摩擦因數都為μ?,F用手向左推動B使彈簧處于壓縮狀態。突然松手,分析A、B分離的位置是在彈簧原長處,還是原長處的左側或右側?

【答案】彈簧原長處。
【解析】分離瞬間兩者速度、加速度相同,相互作用力為零,。
分離瞬間B僅受向左的摩擦力,,,
A的加速度也為,如果此時A還受彈簧的彈力,兩者加速度就不等了,所以此時彈力為零,即彈簧處于原長處。
例4、如圖,MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ角固定,軌距為d??臻g存在勻強磁場,磁場方向垂直軌道平面向上,磁感應強度為B。P、M間所接阻值為R的電阻。質量為m的金屬桿ab水平放置在軌道上,其有效電阻為r?,F從靜止釋放ab,當它沿軌道下滑距離s時,達到最大速度。若軌道足夠長且電阻不計,重力加速度為g。
求:金屬桿ab運動的最大速度;


【思路點撥】把導軌看成一個傾斜面,判斷感應電流的方向和安培力的方向,當安培力等于重力沿斜面方向的分力時,桿達到最大速度,此后做勻速運動,列出方程求解。
【答案】
【解析】把導軌看成一個傾斜面,金屬桿沿斜面下滑,根據右手定則,感應電流方向垂直于傾斜面向外,根據左手定則判斷出安培力方向沿斜面向上,金屬桿受力如圖。金屬桿下滑的速度越來越快,安培力越來越大,金屬桿沿斜面方向的合力越來越小,加速度越來越小,金屬桿做加速度減小的加速運動,當安培力等于重力沿斜面方向的分力時,桿達到最大速度,此后做勻速運動。

當桿達到最大速度時
安培力 感應電流
感應電動勢
聯立解得最大速度
【總結升華】應用動力學方法分析合外力的變化,加速度的變化。傾斜導軌一類問題都看著一個斜面,先判斷感應電流的方向,再判斷安培力的方向(與磁場方向垂直)。最后根據電磁感應規律正確列出方程,求解。
舉一反三
【變式1】上題中若與導軌間的滑動摩擦因數為,金屬桿ab運動的最大速度為( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在上題圖中加上摩擦力,方向寫斜面向上,桿達到最大速度后做勻速運動。根據牛頓第二定律,
安培力,解得
【變式2】如圖所示,兩根豎直放置的光滑平行導軌,其中一部分處于方向垂直導軌所在平面并且有上下水平邊界的勻強磁場中。一根金屬桿MN保持水平并沿導軌滑下(導軌電阻不計),當金屬桿MN進入磁場區后,其運動的速度隨時間變化的圖線不可能的是( )

【答案】B
【解析】當金屬桿MN進入磁場區后,如果安培力恰好等于重力,則金屬桿做勻速直線運動,A可能;當金屬桿MN進入磁場區后,如果安培力小于重力,則金屬桿繼續加速,做加速度減小的加速運動,直到安培力等于重力,做勻速直線運動,則C可能;當金屬桿MN進入磁場區后,如果安培力大于重力,則金屬桿做加速度減小的減速運動,圖像如D,D是可能的。B圖反映的是勻加速直線運動,是不可能的。故選B。
類型三、勻速圓周運動
【高清課堂:369021動力學方法及其應用 例3】
例5、質量為m的木塊從半球形的碗口下滑到碗的最低點運動過程中,如果由于摩擦力的作用使得木塊速率不變,則( )
A.因為速率不變所以木塊的加速度為零
B.木塊下滑過程中所受的合外力越來越大
C.木塊下滑過程中,摩擦力大小不變
D.木塊下滑過程中,加速度大小不變,方向始終指向球心
【思路點撥】對木塊進行受力分析和運動分析,支持力和摩擦力大小、方向都發生變化,木塊下滑過程做速率不變的圓周運動。
【答案】D
【解析】由于摩擦力的作用使得木塊速率不變,這是典型的勻速圓周運動。做受力分析如圖,
速率沿切線方向,速率不變,切線方向合力為零,切向加速度為零,只有指向圓心的向心加速度,改變速度的方向,A不對。合外力指向圓心,

,速率不變,則向心力大小不變,B不對。
可以看出木塊下滑過程中,變小,變大,N變大,
在切線方向應用平衡條件,,木塊下滑過程中,變小,則摩擦力變小,C不對。所以D對。
另外:由 可以看出木塊下滑過程中,變小,變大,N變大。
又由知,變小,N變大,所以動摩擦因素減小。
【總結升華】對于這種勻速圓周運動,雖然不常見,但只要抓住受力分析,運動分析,應用動力學方法解題還是能夠做到得心應手的。
舉一反三
【變式】上題中從碗口到碗底,碗面的粗糙程度的變化情況是( )
A. 碗口光滑,碗底粗糙 B. 碗口粗糙,碗底光滑
C. 碗口到碗底一樣粗糙 D. 條件不足,無法判斷
【答案】B
類型四、判斷物體的運動
【高清課堂:369021動力學方法及其應用 例2】
例6、一航天探測器完成對月球的探測任務后,在離開月球的過程中,由靜止開始沿著與月球表面成一傾斜角的直線飛行,先勻加速運動,再勻速運動,探測器通過噴氣而獲得推動力。以下關于噴氣方向的描述中正確的是( )
A.探測器勻加速運動時,沿運動直線向后噴氣
B.探測器勻加速運動時,豎直向下噴氣
C.探測器勻速運動時,豎直向下噴氣
D.探測器勻速運動時,不需要噴氣
【思路點撥】對探測器進行受力分析,推動力與噴氣方向相反,勻速運動時合力為零,勻加速運動時,加速度方向與合力方向相同。
【答案】C
【解析】題目對運動狀態的描述:先勻加速運動,再勻速運動。A、B選項是對勻加速運動的描述,C、D選項是對勻速運動的描述。

先分析C、D:勻速階段,合力為零,豎直向下噴氣,獲得向上的作用力,斜線表示運動軌跡,要做勻速運動,必須有一個力與重力等大反向與之平衡,如圖1所示,只有豎直向下噴氣,才能做勻速運動,C正確。D錯誤。
再分析勻加速階段:恒定,與速度同直線。A選項,沿運動直線向后噴氣,如圖2所示,獲得沿運動方向的作用力,兩個力的合力不可能沿運動方向,只能沿斜線偏下一點方向,與速度不在一條直線上,將做曲線運動,A錯誤。B選項,豎直向下噴氣,獲得向上的作用力,如圖3所示,兩個力的合力只能是豎直方向,不可能沿斜線運動,顯然B錯誤。
到底向什么方向噴氣,才能做勻加速運動呢?應用合成法,可分析出圖4情景,根據平行四邊形定則,合力沿斜線方向,才能使探測器沿運動方向做勻加速運動。
【總結升華】要關注題目對運動狀態的描述,就是要讀懂題。一般都要做出受力分析圖,抓住勻加速運動、勻速運動的特點,明確原來的運動方向;向后噴氣獲得的是反方向的作用力(推力)。
舉一反三
【變式】某科研單位設計了一空間飛行器,飛行器從地面起飛時,發動機提供的動力方向與水平方向夾角,使飛行器恰沿與水平方向成θ=30°角的直線斜向右上方勻加速飛行。經時間后,將動力的方向沿逆時針旋轉60°同時適當調節其大小,使飛行器依然可以沿原方向勻減速飛行,飛行器所受空氣阻力不計。求:
(1)時刻飛行器的速率;
(2)整個過程中飛行器離地的最大高度。
【答案】(1) (2)
【解析】(1)沿運動方向和垂直運動方向建立坐標系,飛行器受力如圖1所示。

沿運動方向: ①
垂直運動方向: ②
解①②得
時刻飛行器的速度 得
(2)逆轉后,飛行器受力如圖2所示。

垂直運動方向: ③
沿運動方向: ④
求得
經過時間 速度減為零 求得
離地最大高度:
(本題也可用平行四邊形法則即合成法求解。)



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