資源簡介

怎樣畫帶電粒子在磁場中的運動軌跡
不考慮帶電粒子的重力，在有界磁場中，帶電粒子垂直磁場方向進入磁場。若不能做完整的圓周運動，不管題中所求的是什么物理量，都必須畫軌跡、定圓心、尋半徑、找圓心角、求運動時間幾個環節。然而最關鍵的一步是畫軌跡，畫不出帶電粒子的運動軌跡，一切都是徒勞。如何畫軌跡？
一、根據曲線運動的特點畫軌跡
先確定帶電粒子所受的洛侖茲力f洛方向，根據曲線運動是朝受力方向彎曲的特點畫出軌跡。
二、根據帶電粒子在有界磁場中運動規律畫軌跡
(
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O
B
圖
2
υ
υ
)規律1：帶電粒子以與邊界成θ角射入磁場，從同一邊界出射時，速度方向與邊界仍成θ角。如圖1所示。
(
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θ
θ
υ
υ
B
圖
1
)




(
U
－
+
O
θ
電子束
M
圖
3
甲
)規律2：帶電粒子沿半徑方向射入圓形區域的磁場，從磁場中出射時仍沿半徑方向。如圖2所示。
例1：電視機的顯像管中，電子束的偏轉是
用磁偏轉技術實現的。電子束經過電壓為U的
加速電場后，進入一圓形勻強磁場區，如圖3甲
所示，磁場方向垂直于圓面，磁場區的中心為O，
半徑為r，當不加磁場時，電子束將通過O點而
打到屏幕的中心M點，為了讓電子束射到屏幕邊緣P，需要加磁場，使電子束偏轉一已知角度θ，此時磁場的磁感應強度B應為多少？
解析：由規律2，畫出電子在磁場中運動軌跡，如圖3乙，圓心為C，半徑為R。以表示電子進入磁場時的速度，m、e分別表示電子的質量和電量，則
(
θ
O
C
圖
3
乙
)

又有
由以上各式解得
規律3：帶電粒子速度的偏轉角等于其圓弧所對的圓心角。
(
x
y
O
b
3
0
°
圖
4
甲
)例2：一質量為m，帶電量為q的粒子以速度從O
點沿y軸正方向射入磁感應強度為B的一圓形勻強磁場區
域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區后，從b處穿
過x軸，速度方向與x軸正向夾角為30°，如圖4甲所示
（粒子重力忽略不計），試求圓形磁場區的最小面積。
(
x
y
O
b
3
0
°
圖
4
乙
30
°
6
0
°
R
r
O

′
C
a
)解析：將x軸b點處的方向反向延長，交y軸于C點，速度偏轉角為∠bcy，由速度方向與圓弧相切和規律3，畫出軌跡，如圖4乙。
帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動
由圖可知，，磁場區域最小半徑

最小磁場面積
三、根據帶電粒子在有界磁場中運動的臨界條件畫軌跡。
⑴ 帶電粒子剛好從某邊界穿出磁場的臨界條件，其運動軌跡與該邊界相切。
⑵ 帶電粒子不從某邊界穿出磁場的臨界條件，其運動軌跡與該邊界相切。
例3：一足夠長的矩形區域abcd內充滿磁感應強度
(
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30
°
a
b
c
d
O
圖
5
甲
)為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場，矩形區域的左邊界
ad長為L，現從ad中點O垂直于磁場射入一速度方向與
ad邊夾角為30°，大小為的帶正電粒子，如圖5甲所示，
已知粒子電荷量為q，質量為m（重力不計），若要求粒子
能從ab邊射出磁場，應滿足什么條件？
(
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30
°
a
b
c
d
O
圖
5
乙
6
0
°
O
′
Q
R
1
)解析：要使粒子從ab邊射出，就不能從dc邊射出，所以軌跡圓與cd邊相切，此時是粒子能從ab邊射出磁場區域時軌跡圓半徑最大的情況，設此半徑為R1，如圖5乙所示分析可知，則有
，得
要使粒子從ab邊射出，則軌跡圓與ab邊相切，
此時是粒子能從ab邊射出磁場區域時軌跡圓半徑最
小的情況，設此半徑為R2，如圖5丙所示分析可知，則有
(
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120
°
a
b
c
d
O
圖
5
丙
O
′
Q
R
2
P
30
°
)
故粒子從ab邊射出的條件為
根據，得。
四、根據帶電粒子在磁場中運動的時間畫軌跡
帶電粒子在磁場中運動時間，通過計算，得出帶電粒子運動軌跡圓弧所對的圓心角，從而確定軌跡。
(
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x
y
O
a
圖
6
乙
) (
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x
y
O
a
圖
6
甲
)例4：如圖6甲，在的區域有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B。在的區域有垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為2B。在O點處有一帶正電粒子沿x軸射入磁場，最后會從x軸上某點射出磁場（不計重力的影響），已知該粒子在的區域中運動的時間與在的區域中運動的時間之比為2:3。在磁場中運動的總時間為5T/12。其中T是該粒子在磁感應強度為B的勻強磁場中作圓周運動的周期。試求該粒子從x軸上射出時的位置坐標。










解析：帶電粒子在磁場中運動軌跡存在著多種可能性，如圖6乙所示中的幾個軌跡圓弧。因此先要通過題中給出的時間關系，求出圓弧所對的圓心角，才能畫出軌跡圓弧。
設粒子在的區域中運動的時間為t1，軌跡圓弧所對的圓心角為，粒子在的區域中運動時間為t2，軌跡圓弧所對圓心角為，則

以上各式聯解得，由此可得粒子運動軌跡是圖6乙中的實線。不難求出粒子從x軸上射出時的位置坐標為。
五 根據帶電粒子在磁場中運動的軌跡半徑畫軌跡
根據題中給出的條件,運用 得 R=mv/Bq 計算出軌跡半徑,畫出帶電粒子在勻強磁場中的運動軌跡.
(
D
)例5：如圖7所示，質量為2g的小球，
(
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) (
O
′
) (
O
) (
C
) (
圖
7
) (
B
)帶電量為－1×10－3C。置于水平絕緣的桌面
MN上的P點，P距右端點N的距離為0.5m，
(
M
) (
P
) (
N
)小球與水平桌面之間的動摩擦因數為0.1。
桌面MN距水平面OO′高度為2.95m，過N
(
E
)點的豎直線CD右側存在互相正交的勻強電
場和勻強磁場，電場方向豎直向下，場強
E=20N/C，磁場方向水平向里，磁感應強度B=5T，
現突然在桌面正上方，CD線的左邊區域內加一場強也為E，方向水平向左的勻強電場。使小球MN運動，最終落在水平面OO′上，g取10m/s2，求小球從P點到剛落到水平面OO′所需的時間。
解析：根據題意，小球從P到N點做勻加速直線運動
則，解得m/s2
m/s，s
小球從N點進入CD線右邊的復合場，因，電場力等于重力. 所以小球在洛侖茲力的作用下做勻圓周運動，最終落在水平面OO′上。其運動軌跡存在著多種可能性。如圖8所示中的幾個軌跡圓弧，只有準確地畫出軌跡，才能求解。因此先要通過題中條件，算出軌跡圓弧的半徑，才能確定軌跡圓弧是哪條。
(
P
) (
B
) (
O
′
) (
O
) (
C
) (
D
) (
N
) (
M
) (
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×
) (
圖
8
)由，得m
顯然軌跡是圖8中的實線，小球在復合場
中運動時間為
小球CD線出射后作平拋運動，于是有
，得
∴小球從P點到剛落到水平面OO′所用時間



2

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