資源簡介

26．1　反比例函數
26．1.1　反比例函數(第1課時)
教學目標
一、基本目標
【知識與技能】
1．理解并掌握反比例函數的定義，能判斷一個給定的函數是否為反比例函數．
2．能根據實際問題中的條件確定反比例函數的解析式，體會函數的模型思想．
【過程與方法】
1．用類比的思想方法，從實際問題中抽象出反比例函數的概念，發展學生的觀察能力、探究能力及交流總結能力．
2．經歷探索具體問題中數量關系和變化規律的過程，體會建立函數模型的思想．
【情感態度與價值觀】
通過探索具體問題中數量關系和變化規律的過程，體驗數學來源于生活，又應用于生活，提高學生應用數學的意識．
二、重難點目標
【教學重點】
1．理解并掌握反比例函數的定義．
2．能根據已知條件確定反比例函數的解析式．
【教學難點】
根據已知條件，求反比例函數的解析式．
教學過程
環節1　自學提綱，生成問題
【5 min閱讀】
閱讀教材P2～P3的內容，完成下面練習．
【3 min反饋】
1．如果兩個變量x、y滿足xy＝k(k為常數，k≠0)，那么x、y就成為反比例關系．例如，速度v、時間t與路程s之間滿足vt＝s，如果路程s一定，那么速度v與時間t就成反比例關系．
2．一般地，在某一變化過程有兩個變量x和y，如果對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，我們就稱y是x的函數.其中，x是自變量，y是因變量．
3．形如y＝(k是常數，k≠0)的函數稱為反比例函數，其中x是自變量，y是因變量.自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數．
4．y＝，y＝kx－1，xy＝k是反比例函數的三種表現形式．其中k是常數，k≠0.
5．下列函數中，反比例函數有哪些？每一個反比例函數相應的k值是多少？
①y＝2x＋1；②y＝；③y＝；④y＝－；⑤xy＝3；⑥2y＝x；⑦xy＝－1.
解：反比例函數有③④⑤⑦.③y＝中k＝；④y＝－中k＝－；⑤xy＝3中k＝3；⑦xy＝－1中k＝－1.
環節2　合作探究，解決問題
活動1　小組討論(師生互學)
【例1】已知y是x的反比例函數，當x＝2時，y＝6.
(1)寫出y與x的函數關系式；
(2)求當x＝4時y的值．
【互動探索】(引發學生思考)因為y是x的反比例函數，所以設y＝，再把x＝2時，y＝6代入上式就可求出常數k的值．
【解答】(1)設y＝，因為當x＝2時y＝6，
則有6＝，解得k＝12.
∴y＝.
(2)把x＝4代入y＝，得y＝＝3.
【互動總結】(學生總結，老師點評)用待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟：①設出含有待定系數的反比例函數解析式，形如y＝(k為常數，k≠0)；②將已知條件(自變量與函數的對應值)代入解析式，得到關于待定系數的方程；③解方程，求出待定系數；④寫出解析式．
【例2】已知函數y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函數，求m的值．
【互動探索】(引發學生思考)在反比例函數y＝kx－1中的隱含條件是x的次數為－1，k≠0.
【解答】∵y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函數，
∴
解得m＝－2.
【互動總結】(學生總結，老師點評)反比例函數也可以寫成y＝kx－1(k≠0)的形式，注意x的次數為－1，系數不等于0.
活動2　鞏固練習(學生獨學)
1．反比例函數y＝(m＋1)x－1中m的取值范圍是(　B　)
A．m≠1 B．m≠－1
C．m≠±1 D．全體實數
2．當m＝6時，y＝3xm－7是反比例函數．
3．某蓄水池的排水管每小時排水8 m3,6 h可將滿池水全部排空．
(1)蓄水池的容積為48 m3;
(2)若每小時排水用Q(m3)表示，則排水時間t(h)與Q(m3)的函數解析式為t＝.
4．已知y與3x成反比例，且當x＝1時，y＝.
(1)寫出y與x的函數解析式；
(2)當x＝時，求y的值；
(3)當y＝時，求x的值．
解：(1)y＝.　(2)y＝2.　(3) x＝.
活動3　拓展延伸(學生對學)
【例3】已知y＝y1＋y2，y1與(x－1)成正比例，y2與(x＋1)成反比例，當x＝0時，y＝－3；當x＝1時，y＝－1.求：
(1)y關于x的關系式；
(2)當x＝－時，y的值．
【互動探索】根據正比例函數和反比例函數的定義設出y1、y2的關系式，進而得到y的關系式，把所給兩組數據代入即可求出相應的比例系數，也就求得了所要求的關系式．
【解答】 (1)∵y1與(x－1)成正比例，y2與(x＋1)成反比例，
∴設y1＝k1(x－1)(k1≠0)，y2＝(k2≠0)．
∵y＝y1＋y2，∴y＝k1(x－1)＋.
∵當x＝0時，y＝－3；當x＝1時，y＝－1，
∴解得k1＝1，k2＝－2，
∴y＝x－1－.
(2)把x＝－代入(1)中函數關系式，得y＝－.
【互動總結】(學生總結，老師點評)根據題意設出y1、y2的函數關系式并用待定系數法求得函數關系式是解答此題的關鍵．注意不同的函數關系要用不同的待定系數，如本題y1的待定系數用k1, y2的待定系數用k2.
環節3　課堂小結，當堂達標
(學生總結，老師點評)
反比例函數
練習設計
請完成本課時對應練習！
26．1.2　反比例函數的圖象和性質
第2課時　反比例函數的圖象和性質
教學目標
一、基本目標
【知識與技能】
1．用描點法畫出反比例函數y＝的圖象．
2．根據圖象理解和掌握反比例函數y＝的性質．
【過程與方法】
1．經歷探索和發現反比例函數的圖象的特點和性質的過程，獲得研究函數性質的經驗．
2．通過函數圖象探究函數性質，進一步體會運用數形結合思想研究函數的性質的方法．
3．經歷知識的形成過程，了解從特殊到一般的認識過程，培養學生觀察、探究、歸納及動手能力．
【情感態度與價值觀】
1．經歷畫圖、觀察、猜想、思考、交流等活動，獲得研究問題和合作交流的方法與經驗，體驗數學活動中的探索性和創造性．
2．在學習過程中，感受數學美，發現學習數學的樂趣．
二、重難點目標
【教學重點】
用描點法畫反比例函數的圖象，探索反比例函數的圖象特點和性質．
【教學難點】
運用反比例函數的圖象和性質解決問題．
教學過程
環節1　自學提綱，生成問題
【5 min閱讀】
閱讀教材P4～P6的內容，完成下面練習．
【3 min反饋】
1．用“描點法”畫函數圖象的一般步驟：列表、描點、連線.
2．反比例函數y＝(k為常數，k≠0)中，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數．
3．反比例函數圖象是雙曲線.
4．在反比例函數y＝(k≠0，k為常數)中，(1)當k>0時，雙曲線位于第一、三象限，在每一個象限內y隨x的增大而減小；(2)當k<0時，雙曲線位于第二、四象限，在每一個象限內y隨x的增大而增大.
5．反比例函數y＝－的圖象大致是(　D　)

6．已知反比例函數y＝.
(1)若函數的圖象位于第一、三象限，則k＜4；
(2)若在每一象限內，y隨x增大而增大，則k＞4.
環節2　合作探究，解決問題
活動1　小組討論(師生互學)
【例1】畫出反比例函數y＝和y＝的圖象．
【互動探索】(引發學生思考)描點法：列表→描點→連線
【解答】列表表示幾組x與y的對應值：
x … －6 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 6 …
y＝ … －1 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1 …
y＝ … －2 －3 －4 －6 －12 12 6 4 3 2 …
描點連線：以表中各對應值為坐標，描出各點，并用平滑的曲線順次連結這些點，就得到函數y＝和y＝的圖象．
　
【互動總結】(學生總結，老師點評)作反比例函數圖象時要注意：(1)列表時：自變量的值可以選取一些互為相反數的值，這樣既可簡化計算，又便于對稱描點；(2)列表描點時：要盡量多取一些數值，多描一些點，這樣既可以方便連線，又可以準確地表達函數變化趨勢；(3)連線時：一定要養成按自變量從小到大的順序，依次用平滑的曲線連結，從中體會函數的增減性．
【例2】若點(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函數y＝－圖象上的點，并且x1＜0＜x2＜x3，判斷y1、y2、y3的大小關系．
【互動探索】(引發學生思考)要根據函數值的大小判斷自變量的大小，需考慮函數的增減性．先畫出函數圖象，再描出已知點位置，最后判斷y1、y2、y3的大小關系．
【解答】∵反比例函數y＝－中k＝－1＜0，
∴此函數的圖象在第二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大，如圖．
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴點(x1，y1)在第四象限，(x2，y2)、(x3，y3)兩點均在第二象限，
∴y2＜y3＜y1.

【互動總結】(學生總結，老師點評)利用反比例函數的性質比較函數值或自變量的大小的方法：(1)看k的符號，明確函數的增減情況；(2)看兩點是否在同一個象限內；若不在同一個象限內，借助圖象即可判斷函數值或自變量的大小，若在同一個象限內，則比較兩個橫(縱)坐標的大小，根據函數的增減情況，得出函數值(自變量)的大小．
活動2　鞏固練習(學生獨學)
1．下列四個點中，在反比例函數y＝－的圖象上的是(　A　)
A．(3，－2) B．(3,2)
C．(2,3) D．(－2，－3)
2．設x為一切實數，在下列函數中，當x減小時，y的值總是增大的函數是(　C　)
A．y＝－5x－1 B．y＝
C．y＝－2x＋2 D．y＝4x
3．對于反比例函數y＝，下列說法正確的是(　D　)
A．圖象經過點(1，－3)
B．圖象在第二、四象限
C．x>0時，y隨x的增大而增大
D．x<0時，y隨x的增大而減小
4．若反比例函數y＝(k<0)的圖象過點P(2，m)，Q(1，n)，則m與n的大小關系是：m>n.
活動3　拓展延伸(學生對學)
【例3】若ab<0，則正比例函數y＝ax和反比例函數y＝在同一坐標系中的大致圖象可能是下圖中的(　　)

【互動探索】∵ab<0，∴a、b異號，分兩種情況：(1)當a>0，b<0時，正比例函數y＝ax的圖象過原點、第一、三象限，反比例函數圖象在第二、四象限內，無此選項；(2)當a<0，b>0時，正比例函數的圖象過原點、第二、四象限，反比例函數圖象在第一、三象限內，選項C符合．
【答案】C
【互動總結】(學生總結，老師點評)這類題既可以用分析法，也可以用排除法．用分析法時，根據題干逐一分析，得出不同條件下的結果，再與選項對比得出答案．用排除法時，每個選項逐一分析，看是否滿足題干條件．
環節3　課堂小結，當堂達標
(學生總結，老師點評)
1．反比例函數的圖象：雙曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．
2．反比例函數的性質：
(1)當k＞0時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小；
(2)當k＜0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．
練習設計
請完成本課時對應練習！
第3課時　反比例函數圖象與性質的綜合應用
教學目標
一、基本目標
【知識與技能】
1．進一步理解和掌握反比例函數的圖象與性質，并能用待定系數法求反比例函數解析式．
2．理解并掌握反比例函數y＝(k≠0)中比例系數k的幾何意義．
3．運用反比例函數的圖象和性質解決與其他函數或幾何知識綜合的問題．
【過程與方法】
1．通過探究反比例函數性質的應用，感受反比例函數解析式與圖象之間的聯系，體會數形結合思想的魅力．
2．經歷觀察、思考、分析、交流等學習過程，提高學生數學學習能力及合作精神，逐步提高學生分析問題、解決問題的能力．
【情感態度與價值觀】
通過解決反比例函數與一次函數、二次函數有關的綜合題，增強學生的自信心，培養學生學習的興趣，提高學生綜合運用知識解決問題的能力．
二、重難點目標
【教學重點】
靈活運用反比例函數圖象與性質解決綜合問題．
【教學難點】
比例系數k的幾何意義．
教學過程
環節1　自學提綱，生成問題
【5 min閱讀】
閱讀教材P7～P8的內容，完成下面練習．
【3 min反饋】
1．填表分析正比例函數和反比例函數的區別.
函數 正比例函數 反比例函數
解析式 y＝kx(k≠0) y＝(k≠0)
圖象形狀 直線 雙曲線
k>0 位置 第一、三象限 第一、三象限
增減性 y隨x的增大而增大 每個象限內，y隨x的增大而減小
k<0 位置 第二、四象限 第二、四象限
增減性 y隨x的增大而減小 每個象限內，y隨x的增大而增大
2.反比例函數y＝的圖象經過點(2,5)，若點(1，n)在反比例函數圖象上，則n等于(　A　)
A．10 B．5
C．2 D．－6
3．下列各點在反比例函數y＝－的圖象上的是(　B　)
A. B．
C. D．
4．反比例函數y＝的圖象經過(2，－1)，則k的值為－2.
環節2　合作探究，解決問題
活動1　小組討論(師生互學)
【例1】已知反比例函數的圖象經過點A(2,6)．
(1)這個函數的圖象分布在哪些象限？y隨x的增大如何變化？
(2)點B(3,4)、C和D(2,5)是否在這個函數的圖象上？
【互動探索】(引發學生思考)(1)求出反比例函數的解析式，再判斷該函數的性質；(2)若點滿足所求函數的解析式，則點在這個函數的圖象上，否則不在這個函數的圖象上．
【解答】(1)解法1：見教材P7例3.
解法2：設這個反比例函數為y＝，
∵圖象過點A(2,6)，∴6＝，解得k＝12.
∴這個反比例函數的表達式為y＝.
∵k>0，∴這個函數的圖象在第一、三象限．在每個象限內，y隨x的增大而減小．
(2)把點B、C、D的坐標代入y＝，可知點B、C的坐標滿足函數關系式，點D的坐標不滿足函數關系式，故點B、C在函數y＝的圖象上，點D不在這個函數的圖象上．
【互動總結】(學生總結，老師點評)求反比例函數的解析式一般用待定系數法．
【例2】如圖是反比例函數y＝的圖象的一支，根據圖象回答下列問題：
(1)圖象的另一支在哪個象限？常數m的取值范圍是什么？
(2)在這個函數圖象的某一支上任取點A(x1，y1)和B(x2，y2)，如果x1>x2，那么y1和y2有怎樣的大小關系？

【互動探索】(引發學生思考)(1)反比例函數圖象的分布只有兩種可能，分布在第一、三象限，或者在第二、四象限．(2)根據反比例函數的性質解答．
【解答】(1)∵這個函數的圖象的一支在第一象限，
∴另一支必在第三象限．
∵函數的圖象在第一、三象限，
∴m－5＞0，解得m＞5.
(2)解法1(性質法)：詳細解答參考教材P7～P8例4.
解法2(圖象法或數形結合法)：
∵函數的圖象在第一、三象限，
如圖，在圖中描出符合條件的兩個點，
∴由圖象易知y1
【互動總結】(學生總結，老師點評)在解決問題(2)時，用數形結合法能更快速準確地求出結果．
活動2　鞏固練習(學生獨學)
1．正比例函數y＝6x的圖象與反比例函數y＝的圖象的交點位于(　D　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第一、三象限
2．若反比例函數y＝的圖象經過點A(－1，－2)，則當x>1時，函數值y的取值范圍是(　D　)
A．y>1 B．0C．y>2 D．03．如圖所示，在直角坐標系中，點A是x軸正半軸上的一個定點，點B是雙曲線y＝(x>0)上的一個動點，當點B的橫坐標逐漸增大時，△OAB的面積將會(　C　)

A．逐漸增大 B．不變
C．逐漸減小 D．先增大后減小
4．如圖所示，四邊形OABC是矩形，ADEF是正方形，點A、D在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，點F在AB上，點B、E在反比例函數y＝(x>0)的圖象上，OA＝1，OC＝6，則正方形ADEF的邊長為2.

5．如圖所示，已知反比例函數y＝的圖象與一次函數y＝ax＋b的圖象相交于點A(1,4)和點B(n，－2)．
(1)求反比例函數和一次函數的解析式；
(2)當一次函數的值小于反比例函數的值時，直接寫出x的取值范圍．

解：(1)把點A(1,4)代入y＝，得m＝1×4＝4，∴反比例函數解析式為y＝.把點B(n，－2)代入y＝，得－2n＝4，∴n＝－2，∴點B坐標為(－2，－2)．把(1,4)，(－2，－2)代入y＝ax＋b，得解得∴所求一次函數解析式為y＝2x＋2.　(2)x<－2或0活動3　拓展延伸(學生對學)
【例3】如圖所示，點A在反比例函數y＝的圖象上，AC垂直x軸于點C，且△AOC的面積為2，求該反比例函數的表達式．

【互動探索】反比例函數的比例系數與三角形的面積有什么關系？
【解答】∵點A在反比例函數y＝的圖象上，
∴xA·yA＝k，
∴S△AOC＝·k＝2，∴k＝4，
∴反比例函數的表達式為y＝.
【互動總結】(學生總結，老師點評)過雙曲線上任意一點與原點所連的線段與坐標軸和向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形的面積等于.
環節3　課堂小結，當堂達標
(學生總結，老師點評)
1．反比例函數中系數k的幾何意義；
2．反比例函數圖象上點的坐標特征；
3．反比例函數與一次函數的交點問題．
練習設計
請完成本課時對應練習！


26.1 反比例函數
第二十六章 反比例函數
26.1.1 反比例函數
1. 理解并掌握反比例函數的概念. (重點)
2. 從實際問題中抽象出反比例函數的概念，能根據已知
條件確定反比例函數的解析式. (重點、難點)
學習目標
欣賞視頻：
生活中我們常常通過控制電阻的變化來實現舞臺燈光的效果.在電壓 U 一定時，當 R 變大時，電流 I 變小，燈光就變暗，相反，當 R 變小時，電流 I 變大，燈光變亮.你能寫出這些量之間的關系式嗎?
當雜技演員表演滾釘板的節目時，觀眾們看到密密麻麻的釘子，都為他們捏一把汗，但有人卻說釘子越多，演員越安全，釘子越少反而越危險，你認同嗎？為什么？
反比例函數的概念
下列問題中，變量間具有函數關系嗎？如果有，請寫出它們的解析式.
(1) 京滬線鐵路全程為1463 km，某次列車的平均速
度v (單位：km/h) 隨此次列車的全程運行時間 t
(單位：h) 的變化而變化；
合作探究
(2) 某住宅小區要種植一塊面積為 1000 m2 的矩形草
坪，草坪的長 y (單位：m) 隨寬 x (單位：m)的
變化而變化；
(3) 已知北京市的總面積為1.68×104 km2 ，人均占
有面積 S (km2/人) 隨全市總人口 n (單位：人) 的
變化而變化.
觀察以上三個解析式，你覺得它們有什么共同特點？
問題：
都具有 的形式，其中 是常數．
分式
分子
(k為常數，k ≠ 0) 的函數，
叫做反比例函數，其中 x 是自變量，y 是函數.
一般地，形如
思考：
因為 x 作為分母，不能等于零，因此自變量 x 的取值范圍是所有非零實數.
但實際問題中，應根據具體情況來確定反比例函數自變量的取值范圍.
例如，在前面得到的第一個解析式
中，t 的取值范圍是 t＞0，且當 t 取每一個確定的
值時，v 都有唯一確定的值與其對應.
想一想：
反比例函數的三種表達方式：(注意 k ≠ 0)
下列函數是不是反比例函數？若是，請指出 k 的值.
是，k = 3
不是
不是
不是
解得 m =－2.

方法總結：已知某個函數為反比例函數，只需要根據反比例函數的定義列出方程(組)求解即可，如本題中 x 的次數為－1，且系數不等于0.
例1
2. 已知函數 是反比例函數，則
k 必須滿足 .
1. 當m= 時， 是反比例函數.
k≠2 且 k≠－1
±1
確定反比例函數的解析式
已知 y 是 x 的反比例函數，并且當 x=2時，y=6.
(1) 寫出 y 關于 x 的函數解析式；
解得 k =12.
例2
(2) 當 x=4 時，求 y 的值.
方法總結：用待定系數法求反比例函數解析式的一般步驟：①設出含有待定系數的反比例函數解析式，
②將已知條件(自變量與函數的對應值)代入解析式，得到關于待定系數的方程；③解方程，求出待定系數； ④寫出反比例函數解析式.
已知 y 與 x+1 成反比例，并且當 x = 3 時，y = 4.
(1) 寫出 y 關于 x 的函數解析式；
(2) 當 x = 7 時，求 y 的值．
建立簡單的反比例函數模型
人的視覺機能受運動速度的影響很大，行駛中司機在駕駛室內觀察前方物體是動態的，車速增加，視野變窄. 當車速為 50km/h 時，視野為 80 度，如果視野 f (度) 是車速 v (km/h) 的反比例函數，求 f 關于 v 的函數解析式，并計算當車速為100km/h 時視野的度數.
當 v=100 時，f =40.
所以當車速為100km/h 時視野為40度.
解得 k =4000.
所以
例3
如圖所示，已知菱形 ABCD 的面積為180，設它的兩條對角線 AC，BD的長分別為x，y. 寫出變量 y與 x 之間的關系式，并指出它是什么函數.
解:因為菱形的面積等于兩條對角線長
乘積的一半，
例3
A. B.
C. D.
1. 下列函數中，y 是 x 的反比例函數的是 ( )
A
2. 生活中有許多反比例函數的例子，在下面的實例中，
x 和 y 成反比例函數關系的有 ( )
① x人共飲水10 kg，平均每人飲水 y kg；②底面半徑為 x m，高為 y m的圓柱形水桶的體積為10 m3；③用鐵絲做一個圓，鐵絲的長為 x cm，做成圓的半徑為 y cm；④在水龍頭前放滿一桶水，出水的速度為 x，放滿一桶水的時間 y

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
B
3. 填空
(1) 若 是反比例函數，則 m 的取值范圍
是 .
(2) 若 是反比例函數，則m的取值范
圍是 .
(3) 若 是反比例函數，則m的取值范圍
是 .
m ≠ 1
m ≠ 0 且 m ≠ －2
m = －1
4. 已知變量 y 與 x 成反比例，且當 x = 3時，y =－4.
(1) 寫出 y 關于 x 的函數解析式；
(2) 當 y=6 時，求 x 的值.
解得 k =－12.
所以有
解得 x =－2.
5. 小明家離學校 1000 m，每天他往返于兩地之間，有
時步行，有時騎車．假設小明每天上學時的平均速
度為 v ( m/min )，所用的時間為 t ( min )．
(1) 求變量 v 和 t 之間的函數關系式；

(2) 小明星期二步行上學用了 25 min，星期三騎自行
車上學用了 8 min，那么他星期三上學時的平均
速度比星期二快多少？
125－40＝85 ( m/min )．
答：他星期三上學時的平均速度比星期二快 85 m/min.
6. 已知 y = y1+y2，y1與 (x－1) 成正比例，y2 與 (x + 1) 成 反比例，當 x=0 時，y =－3；當 x =1 時，y = －1，求：
(1) y 關于 x 的關系式；
∵ x = 0 時，y =－3；x =1 時，y = －1，
－3=－k1+k2 ，
∴k1=1，k2=－2，
建立反比例函數模型
用待定系數法求反比例函數解析式
反比例函數：定義/三種表達方式

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