資源簡介

一、單個物體的機械能守恒
判斷一個物體的機械能是否守恒有兩種方法：（1）物體在運動過程中只有重力做功，物體的機械能守恒。
物體在運動過程中不受媒質阻力和摩擦阻力，物體的機械能守恒。

所涉及到的題型有四類：（1）阻力不計的拋體類。（2）固定的光滑斜面類。（3）固定的光滑圓弧類。（4）懸點固定的擺動類。

（1）阻力不計的拋體類
包括豎直上拋；豎直下拋；斜上拋；斜下拋；平拋，只要物體在運動過程中所受的空氣阻力不計。那么物體在運動過程中就只受重力作用，也只有重力做功，通過重力做功，實現重力勢能與機械能之間的等量轉換，因此物體的機械能守恒。
例：在高為h的空中以初速度v0拋也一物體，不計空氣阻力，求物體落地時的速度大小？
分析：物體在運動過程中只受重力，也只有重力做功，因此物體的機械能守恒，選水平地面為零勢面，則物體拋出時和著地時的機械能相等
得：
（2）固定的光滑斜面類
在固定光滑斜面上運動的物體，同時受到重力和支持力的作用，由于支持力和物體運動的方向始終垂直，對運動物體不做功，因此，只有重力做功，物體的機械能守恒。
例，以初速度v0 沖上傾角為光滑斜面，求物體在斜面上運動的距離是多少？
分析：物體在運動過程中受到重力和支持力的作用，但只有重力做功，因此物體的機械能守恒，選水平地面為零勢面，則物體開始上滑時和到達最高時的機械能相等
得：
（3）固定的光滑圓弧類
在固定的光滑圓弧上運動的物體，只受到重力和支持力的作用，由于支持力始終沿圓弧的法線方向而和物體運動的速度方向垂直，對運動物體不做功，故只有重力做功，物體的機械能守恒。
例：固定的光滑圓弧豎直放置，半徑為R，一體積不計的金屬球在圓弧的最低點至少具有多大的速度才能作一個完整的圓周運動？
分析：物體在運動過程中受到重力和圓弧的壓力，但只有重力做功，因此物體的機械能守恒，選物體運動的最低點為重力勢能的零勢面，則物體在最低和最高點時的機械能相等

要想使物體做一個完整的圓周運動，物體到達最高點時必須具有的最小速度為：
所以
（4）懸點固定的擺動類
和固定的光滑圓弧類一樣，小球在繞固定的懸點擺動時，受到重力和拉力的作用。由于懸線的拉力自始至終都沿法線方向，和物體運動的速度方向垂直而對運動物體不做功。因此只有重力做功，物體的機械能守恒。
例：如圖，小球的質量為m，懸線的長為L，把小球拉開使懸線和豎直方向的夾角為，然后從靜止釋放，求小球運動到最低點小球對懸線的拉力
分析：物體在運動過程中受到重力和懸線拉力的作用，懸線的拉力對物體不做功，所以只有重力做功，因此物體的機械能守恒，選物體運動的最低點為重力勢能的零勢面，則物體開始運動時和到達最低點時的機械能相等
得：由向心力的公式知：可知
作題方法：
一般選取物體運動的最低點作為重力勢能的零勢參考點，把物體運動開始時的機械能和物體運動結束時的機械能分別寫出來，并使之相等。
注意點：在固定的光滑圓弧類和懸點定的擺動類兩種題目中，常和向心力的公式結合使用。這在計算中是要特別注意的。
習題：
1、三個質量相同的小球懸掛在三根長度不等的細線上，分別把懸線拉至水平位置后輕輕釋放小球，已知線長LaLbLc，則懸線擺至豎直位置時，細線中張力大小的關系是（ ）
A TcTbTa B TaTbTc C TbTcTa D Ta=Tb=Tc
2、一根長為l的輕質桿，下端固定一質量為m的小球，欲使它以上端o為轉軸剛好能在豎直平面內作圓周運動（如圖），球在最低點A的速度至少多大？如將桿換成長為L的細線，則又如何？
3、如圖，一質量為m的木塊以初速V0從A點滑上半徑為R的光滑圓弧軌道，它通過最高點B時對軌道的壓力FN為多少？
4、一質量m = 2千克的小球從光滑斜面上高h = 3.5米高處由靜止滑下斜面底端緊接著一個半徑R = 1米的光滑圓環（如圖）求：
（1）小球滑至圓環頂點時對環的壓力；
（2）小球至少要從多高處靜止滑下才能越過圓環最高點；
（3）小球從h0 = 2米處靜止滑下時將在何處脫離圓環（g =9.8米/秒2）。
二、系統的機械能守恒
由兩個或兩個以上的物體所構成的系統，其機械能是否守恒，要看兩個方面
系統以外的力是否對系統對做功，系統以外的力對系統做正功，系統的機械能就增加，做負功，系統的機械能就減少。不做功，系統的機械能就不變。
（2）系統間的相互作用力做功，不能使其它形式的能參與和機械能的轉換。
系統內物體的重力所做的功不會改變系統的機械能


系統間的相互作用力分為三類：
剛體產生的彈力：比如輕繩的彈力，斜面的彈力，輕桿產生的彈力等
彈簧產生的彈力：系統中包括有彈簧，彈簧的彈力在整個過程中做功，彈性勢能參與機械能的轉換。
其它力做功：比如炸藥爆炸產生的沖擊力，摩擦力對系統對功等。
在前兩種情況中，輕繩的拉力，斜面的彈力，輕桿產生的彈力做功，使機械能在相互作用的兩物體間進行等量的轉移，系統的機械能還是守恒的。雖然彈簧的彈力也做功，但包括彈性勢能在內的機械能也守恒。但在第三種情況下，由于其它形式的能參與了機械能的轉換，系統的機械能就不再守恒了。
歸納起來，系統的機械能守恒問題有以下四個題型：
輕繩連體類（2）輕桿連體類
（3）在水平面上可以自由移動的光滑圓弧類。（4）懸點在水平面上可以自由移動的擺動類。
（1）輕繩連體類
這一類題目，系統除重力以外的其它力對系統不做功，系統內部的相互作用力是輕繩的拉力，而拉力只是使系統內部的機械能在相互作用的兩個物體之間進行等量的轉換，并沒有其它形式的能參與機械能的轉換，所以系統的機械能守恒。
例：如圖，傾角為的光滑斜面上有一質量為M的物體，通過一根跨過定滑輪的細繩與質量為m的物體相連，開始時兩物體均處于靜止狀態，且m離地面的高度為h，求它們開始運動后m著地時的速度？
分析：對M、m和細繩所構成的系統，受到外界四個力的作用。它們分別是：M所受的重力Mg，m所受的重力mg，斜面對M的支持力N，滑輪對細繩的作用力F。
M、m的重力做功不會改變系統的機械能，支持力N垂直于M的運動方向對系統不做功，滑輪對細繩的作用力由于作用點沒有位移也對系統不做功，所以滿足系統機械能守恒的外部條件，系統內部的相互作用力是細繩的拉力，拉力做功只能使機械能在系統內部進行等量的轉換也不會改變系統的機械能，故滿足系統機械能守恒的外部條件。
在能量轉化中，m的重力勢能減小，動能增加，M的重力勢能和動能都增加，用機械能的減少量等于增加量是解決為一類題的關鍵
可得
需要提醒的是，這一類的題目往往需要利用繩連物體的速度關系來確定兩個物體的速度關系
例：如圖，光滑斜面的傾角為，豎直的光滑細桿到定滑輪的距離為a，斜面上的物體M和穿過細桿的m通過跨過定滑輪的輕繩相連，開始保持兩物體靜止，連接m的輕繩處于水平狀態，放手后兩物體從靜止開始運動，求m下降b時兩物體的速度大小？
（2）輕桿連體類
這一類題目，系統除重力以外的其它力對系統不做功，物體的重力做功不會改變系統的機械能，系統內部的相互作用力是輕桿的彈力，而彈力只是使系統內部的機械能在相互作用的兩個物體之間進行等量的轉換，并沒有其它形式的能參與機械能的轉換，所以系統的機械能守恒。
例：如圖，質量均為m的兩個小球固定在輕桿的端，輕桿可繞水平轉軸在豎直平面內自由轉動，兩小球到軸的距離分別為L、2L，開始桿處于水平靜止狀態，放手后兩球開始運動，求桿轉動到豎直狀態時，兩球的速度大小
分析：由輕桿和兩個小球所構成的系統受到外界三個力的作用，即A球受到的重力、B球受到的重力、軸對桿的作用力。
兩球受到的重力做功不會改變系統的機械能，軸對桿的作用力由于作用點沒有位移而對系統不做功，所以滿足系統機械能守恒的外部條件，系統內部的相互作用力是輕桿的彈力，彈力對A球做負功，對B球做正功，但這種做功只是使機械能在系統內部進行等量的轉換也不會改變系統的機械能，故滿足系統機械能守恒的外部條件。
在整個機械能當中，只有A的重力勢能減小，A球的動能以及B球的動能和重力勢能都增加，我們讓減少的機械能等于增加的機械能。有：

根據同軸轉動，角速度相等可知
所以：
需要強調的是，這一類的題目要根據同軸轉動，角速度相等來確定兩球之間的速度關系
（3）在水平面上可以自由移動的光滑圓弧類。
光滑的圓弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物體在光滑的圓弧上滑動，這一類的題目，也符合系統機械能守恒的外部條件和內部條件，下面用具體的例子來說明
例：四分之一圓弧軌道的半徑為R，質量為M，放在光滑的水平地面上，一質量為m的球（不計體積）從光滑圓弧軌道的頂端從靜止滑下，求小球滑離軌道時兩者的速度？
分析：由圓弧和小球構成的系統受到三個力作用，分別是M、m受到的重力和地面的支持力。
m的重力做正功，但不改變系統的機械能，支持力的作用點在豎直方向上沒有位移，也對系統不做功，所以滿足系統機械能守恒的外部條件，系統內部的相互作用力是圓弧和球之間的彈力，彈力對m做負功，對M做正功，但這種做功只是使機械能在系統內部進行等量的轉換，不會改變系統的機械能，故滿足系統機械能守恒的外部條件。
在整個機械能當中，只有m的重力勢能減小，m的動能以及M球的動能都增加，我們讓減少的機械能等于增加的機械能。有：

根據動量守恒定律知 所以：
（4）懸點在水平面上可以自由移動的擺動類。
懸掛小球的細繩系在一個不受任何水平外力的物體上，當小球擺動時，物體能在水平面內自由移動，這一類的題目和在水平面內自由移動的光滑圓弧類形異而質同，同樣符合系統機械能守恒的外部條件和內部條件，下面用具體的例子來說明
例：質量為M的小車放在光滑的天軌上，長為L的輕繩一端系在小車上另一端拴一質量為m的金屬球，將小球拉開至輕繩處于水平狀態由靜止釋放。求（1）小球擺動到最低點時兩者的速度？（2）此時小球受細繩的拉力是多少？
分析：由小車和小球構成的系統受到三個力作用，分別是小車、小球所受到的重力和天軌的支持力。
小球的重力做正功，但重力做功不會改變系統的機械能，天軌的支持力，由于作用點在豎直方向上沒有位移，也對系統不做功，所以滿足系統機械能守恒的外部條件，系統內部的相互作用力是小車和小球之間輕繩的拉力，該拉力對小球做負功，使小球的機械能減少，對小車做正功，使小車的機械能增加，但這種做功只是使機械能在系統內部進行等量的轉換，不會改變系統的機械能，故滿足系統機械能守恒的外部條件。
在整個機械能當中，只有小球的重力勢能減小，小球的動能以及小車的動能都增加，我們讓減少的機械能等于增加的機械能。有：

根據動量守恒定律知
所以：
當小球運動到最低點時，受到豎直向上的拉力T和重力作用，根據向心力的公式
但要注意，公式中的v是m相對于懸點的速度，這一點是非常重要的
解得：
習題
圖5－3－15
如圖5－3－15所示，質量相等的甲、乙兩小球從一光滑直角斜面的頂端同時由靜止釋放，甲小球沿斜面下滑經過a點，乙小球豎直下落經過b點，a、b兩點在同一水平面上，不計空氣阻力，下列說法中正確的是(　　)
A．甲小球在a點的速率等于乙小球在b點的速率
B．甲小球到達a點的時間等于乙小球到達b點的時間
C．甲小球在a點的機械能等于乙小球在b點的機械能(相對同一個零勢能參考面)
D．甲小球在a點時重力的功率等于乙小球在b點時重力的功率
解析：由機械能守恒得兩小球到達a、b兩處的速度大小相等，A、C正確；設斜面的傾角為α，甲小球在斜面上運動的加速度為a＝gsin α，乙小球下落的加速度為a＝g，由t＝可知t甲＞t乙，B錯誤；甲小球在a點時重力的功率P甲＝mgvsin α，乙小球在b點時重力的功率P乙＝mgv，D錯誤． 答案：AC
2．

圖5－3－16
一根質量為M的鏈條一半放在光滑的水平桌面上，另一半掛在桌邊，如圖5－3－16(a)所示．將鏈條由靜止釋放，鏈條剛離開桌面時的速度為v1.若在鏈條兩端各系一個質量均為m的小球，把鏈條一半和一個小球放在光滑的水平桌面上，另一半和另一個小球掛在桌邊，如圖5－3－16(b)所示．再次將鏈條由靜止釋放，鏈條剛離開桌面時的速度為v2，下列判斷中正確的是(　　)　
A．若M＝2m，則v1＝v2 B．若M＞2m，則v1＜v2
C．若M＜2m，則v1＞v2 D．不論M和m大小關系如何，均有v1＞v2 答案：D
3.

圖5－3－17
在奧運比賽項目中，高臺跳水是我國運動員的強項．質量為m的跳水運動員進入水中后受到水的阻力而做減速運動，設水對他的阻力大小恒為F，那么在他減速下降高度為h的過程中，下列說法正確的是(g為當地的重力加速度)(　　)
A．他的動能減少了Fh B．他的重力勢能增加了mgh
C．他的機械能減少了(F－mg)h D．他的機械能減少了Fh
解析：由動能定理，ΔEk＝mgh－Fh，動能減少了Fh－mgh，A選項不正確；他的重力勢能減少了mgh，B選項錯誤；他的機械能減少了ΔE＝Fh，C選項錯誤，D選項正確． 答案：D
4．

圖5－3－18
如圖5－3－18所示，靜止放在水平桌面上的紙帶，其上有一質量為m＝0.1 kg的鐵塊，它與紙帶右端的距離為L＝0.5 m，鐵塊與紙帶間、紙帶與桌面間動摩擦因數均為μ＝0.1.現用力F水平向左將紙帶從鐵塊下抽出，當紙帶全部抽出時鐵塊恰好到達桌面邊緣，鐵塊拋出后落地點離拋出點的水平距離為s＝0.8 m．已知g＝10 m/s2，桌面高度為H＝0.8 m，不計紙帶質量，不計鐵塊大小，鐵塊不滾動．求：
(1)鐵塊拋出時速度大小；(2)紙帶從鐵塊下抽出所用時間t1；(3)紙帶抽出過程產生的內能E.
解析：(1)水平方向：s＝vt① 豎直方向：H＝gt2② 由①②聯立解得：v＝2 m/s.
(2)設鐵塊的加速度為a1，由牛頓第二定律，得μmg＝ma1③ 紙帶抽出時，鐵塊的速度v＝a1t1④
③④聯立解得t1＝2 s. (3)鐵塊的位移s1＝a1t⑤ 設紙帶的位移為s2；由題意知，s2－s1＝L⑥
由功能關系可得E＝μmgs2＋μmg(s2－s1)⑦ 由③④⑤⑥⑦聯立解得E＝0.3 J.
答案：(1)2 m/s　(2)2 s　(3)0.3 J
5.

圖5－3－19
如圖5－3－19所示為某同學設計的節能運輸系統．斜面軌道的傾角為37°，木箱與軌道之間的動摩擦因數μ＝0.25.設計要求：木箱在軌道頂端時，自動裝貨裝置將質量m＝2 kg的貨物裝入木箱，木箱載著貨物沿軌道無初速滑下，當輕彈簧被壓縮至最短時，自動裝貨裝置立刻將貨物御下，然后木箱恰好被彈回到軌道頂端，接著再重復上述過程．若g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)離開彈簧后，木箱沿軌道上滑的過程中的加速度大小； (2)滿足設計要求的木箱質量．
解析：(1)設木箱質量為m′，對木箱的上滑過程，由牛頓第二定律有：m′gsin 37°＋μm′gcos 37°＝m′a
代入數據解得：a＝8 m/s2.
(2)設木箱沿軌道下滑的最大距離為L，彈簧被壓縮至最短時的彈性勢能為Ep，根據能量守恒定律：貨物和木箱下滑過程中有：(m′＋m)gsin 37°L＝μ(m′＋m)gcos 37°L＋Ep 木箱上滑過程中有Ep＝m′gsin 37°L＋μm′gcos 37°L 聯立代入數據解得：m′＝m＝2 kg. 答案：(1)8 m/s2　(2)2 kg

圖5－3－20
如圖5－3－20所示，一個質量為m的小鐵塊沿半徑為R的固定半圓軌道上邊緣由靜止滑下，到半圓底部時，軌道所受壓力為鐵塊重力的1.5倍，則此過程中鐵塊損失的機械能為(　　)
A.mgR B.mgR C.mgR D.mgR
解析：設鐵塊在圓軌道底部的速度為v，則1.5mg－mg＝m，由能量守恒有：mgR－ΔE＝mv2，所以ΔE＝mgR. 答案：D
2.

圖5－3－21
如圖5－3－21所示，斜面置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物體由靜止下滑，在物體下滑過程中，下列說法正確的是(　　)
物體的重力勢能減少，動能增加B．斜面的機械能不變
C．斜面對物體的作用力垂直于接觸面，不對物體做功D．物體和斜面組成的系統機械能守恒
解析：物體下滑過程中，由于物體與斜面相互間有垂直于斜面的作用力，使斜面加速運動，斜面的動能增加；物體沿斜面下滑時，既沿斜面向下運動，又隨斜面向右運動，其合速度方向與彈力方向不垂直，且夾角大于90°，所以物體克服相互作用力做功，物體的機械能減少，但動能增加，重力勢能減少，故A項正確，B、C項錯誤．對物體與斜面組成的系統內，只有動能和重力勢能之間的轉化，故系統機械能守恒，D項正確． 答案：AD
3.

圖5－3－22
如圖5－3－22所示，一根跨越光滑定滑輪的輕繩，兩端各有一雜技演員(可視為質點)，演員a站于地面，演員b從圖示的位置由靜止開始向下擺，運動過程中繩始終處于伸直狀態，當演員b擺至最低點時，演員a剛好對地面無壓力，則演員a與演員b質量之比為(　　)
A．1∶1 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶1
解析：由機械能守恒定律求出演員b下落至最低點時的速度大小為v. mv2＝mgl(1－cos 60°)，v2＝2gl(1－cos 60°)＝gl.此時繩的拉力為T＝mg＋m＝2mg，演員a剛好對地壓力為0.則mag＝T＝2mg.故ma∶m＝2∶1. 答案：B
4.

圖5－3－23
如圖5－3－23所示，一很長的、不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑定滑輪，繩兩端各系一小球a和b.a球質量為m，靜置于地面；b球質量為3m，用手托住，高度為h，此時輕繩剛好拉緊．從靜止開始釋放b后，a可能達到的最大高度為(　　)
A．h B．1.5h C．2h D．2.5h
解析：考查機械能守恒定律．在b球落地前，a、b球組成的系統機械能守恒，且a、b兩球速度大小相等，根據機械能守恒定律可知：3mgh－mgh＝(m＋3m)v2，v＝，b球落地時，a球高度為h，之后a球向上做豎直上拋運動，在這個過程中機械能守恒，mv2＝mgΔh，Δh＝＝，所以a球可能達到的最大高度為1.5h，B項正確． 答案：B
5.

圖5－3－24
如圖5－3－24所示，在動摩擦因數為0.2的水平面上有一質量為3 kg的物體被一個勁度系數為120 N/m的壓縮輕質彈簧突然彈開，物體離開彈簧后在水平面上繼續滑行了1.3 m才停下來，下列說法正確的是(g取10 m/s2)(　　)
A．物體開始運動時彈簧的彈性勢能Ep＝7.8 J B．物體的最大動能為7.8 J
C．當彈簧恢復原長時物體的速度最大 D．當物體速度最大時彈簧的壓縮量為x＝0.05 m
解析：物體離開彈簧后的動能設為Ek，由功能關系可得：Ek＝μmgx1＝7.8 J，設彈簧開始的壓縮量為x0，則彈簧開始的彈性勢能Ep0＝μmg(x0＋x1)＝7.8 J＋μmgx0＞7.8 J，A錯誤；當彈簧的彈力kx2＝μmg時，物體的速度最大，得x2＝0.05 m，D正確，C錯誤；物體在x2＝0.05 m到彈簧的壓縮量x2＝0的過程做減速運動，故最大動能一定大于7.8 J，故B錯誤． 答案：D
6.

圖5－3－25
如圖5－3－25所示，電梯由質量為1×103 kg的轎廂、質量為8×102 kg的配重、定滑輪和鋼纜組成，轎廂和配重分別系在一根繞過定滑輪的鋼纜兩端，在與定滑輪同軸的電動機驅動下電梯正常工作，定滑輪與鋼纜的質量可忽略不計，重力加速度g＝10 m/s2.在轎廂由靜止開始以2 m/s2的加速度向上運行1 s的過程中，電動機對電梯共做功為(　　)
A．2.4×103 J B．5.6×103 J C．1.84×104 J D．2.16×104 J
解析：電動機做功：W＝(M－m)gh＋(M＋m)v2＝(1 000－800)×10×1＋(1 000＋800)×22＝5 600 J.
答案：B
7.

圖5－3－26
來自福建省體操隊的運動員黃珊汕是第一位在奧運會上獲得蹦床獎牌的中國選手．蹦床是一項好看又驚險的運動，如圖5－3－26所示為運動員在蹦床運動中完成某個動作的示意圖，圖中虛線PQ是彈性蹦床的原始位置，A為運動員抵達的最高點，B為運動員剛抵達蹦床時的位置，C為運動員抵達的最低點．不考慮空氣阻力和運動員與蹦床作用時的機械能損失，A、B、C三個位置運動員的速度分別是vA、vB、vC，機械能分別是EA、EB、EC，則它們的大小關系是(　　)
A．vAvC B．vA>vB，vBEC D．EA>EB，EB＝EC
A機械能守恒，EA＝EB，B→A機械能守恒，EA＝EB，B→C彈力對人做負功，機械能減小，EB>EC.
答案：AC
8.

圖5－3－27
如圖5－3－27所示，小球從A點以初速度v0沿粗糙斜面向上運動，到達最高點B后返回A，C為AB的中點．下列說法中正確的是(　　)
A．小球從A出發到返回A的過程中，位移為零，合外力做功為零
B．小球從A到C過程與從C到B過程，減少的動能相等
C．小球從A到B過程與從B到A過程，損失的機械能相等
D．小球從A到C過程與從C到B過程，速度的變化量相等
解析：小球從A出發到返回A的過程中，位移為零，重力做功為零，支持力不做功，摩擦力做負功，所以A選項錯誤；從A到B的過程與從B到A的過程中，位移大小相等，方向相反，損失的機械能等于克服摩擦力做的功，所以C選項正確；小球從A到C過程與從C到B過程，位移相等，合外力也相等，方向與運動方向相反，所以合外力做負功，大小相等，所以減少的動能相等，因此，B選項正確；小球從A到C過程與從C到B過程中，減少的動能相等，而動能的大小與質量成正比，與速度的平方成正比，所以D錯誤． 答案：BC
9.

圖5－3－28
在2008北京奧運會上，俄羅斯著名撐桿跳運動員伊辛巴耶娃以5.05 m的成績第24次打破世界記錄．圖5－3－28為她在比賽中的幾個畫面，下列說法中正確的是(　　)
A．運動員過最高點時的速度為零 B．撐桿恢復形變時，彈性勢能完全轉化為動能
C．運動員要成功躍過橫桿，其重心必須高于橫桿 D．運動員在上升過程中對桿先做正功后做負功
解析：撐桿跳運動員過最高點時豎直速度為零，水平速度不為零，選項A錯誤；當運動員到達最高點桿恢復形變時，彈性勢能轉化為運動員的重力勢能和動能，選項B錯誤；運動員可以背躍式躍過橫桿，其重心可能低于橫桿，選項C錯誤；運動員在上升過程中對桿先做正功轉化為桿的彈性勢能后做負功，桿的彈性勢能轉化為運動員的重力勢能和動能，選項D正確． 答案：D
10.

圖5－3－29
如圖5－3－29所示，半徑為R的豎直光滑圓軌道內側底部靜止著一個光滑小球，現給小球一個沖擊使其在瞬間得到一個水平初速度v0，若v0大小不同，則小球能夠上升到的最大高度(距離底部)也不同．下列說法中正確的是(　　)
A．如果v0＝，則小球能夠上升的最大高度為 B．如果v0＝，則小球能夠上升的最大高度為
C．如果v0＝，則小球能夠上升的最大高度為 D．如果v0＝，則小球能夠上升的最大高度為2R
解析：根據機械能守恒定律，當速度為v0＝，由mgh＝mv解出h＝，A項正確，B項錯誤；當v0＝，小球正好運動到最高點，D項正確；當v0＝時小球運動到最高點以下，若C項成立，說明小球此時向心力為0，這是不可能的． 答案：AD
11．

圖5－3－30
如圖5－3－30所示，AB為半徑R＝0.8 m的1/4光滑圓弧軌道，下端B恰與小車右端平滑對接．小車質量M＝3 kg，車長L＝2.06 m，車上表面距地面的高度h＝0.2 m．現有一質量m＝1 kg的滑塊，由軌道頂端無初速釋放，滑到B端后沖上小車．已知地面光滑，滑塊與小車上表面間的動摩擦因數μ＝0.3，當車運行了1.5 s時，車被地面裝置鎖定．(g＝10 m/s2)試求：
(1)滑塊到達B端時，軌道對它支持力的大小； (2)車被鎖定時，車右端距軌道B端的距離；
(3)從車開始運動到被鎖定的過程中，滑塊與車面間由于摩擦而產生的內能大小；
(4)滑塊落地點離車左端的水平距離．
解析：(1)設滑塊到達B端時速度為v，由動能定理，得mgR＝mv2 ，由牛頓第二定律，得FN－mg＝m
聯立兩式，代入數值得軌道對滑塊的支持力：FN＝3mg＝30 N.
(2)當滑塊滑上小車后，由牛頓第二定律，得:對滑塊有：－μmg＝ma1, 對小車有：μmg＝Ma2
設經時間t兩者達到共同速度，則有：v＋a1t＝a2t, 解得t＝1 s．由于1 s＜1.5 s，此時小車還未被鎖定，兩者的共同速度：v′＝a2t＝1 m/s
因此，車被鎖定時，車右端距軌道B端的距離：x＝a2t2＋v′t′＝1 m.
(3)從車開始運動到被鎖定的過程中，滑塊相對小車滑動的距離Δx＝t－a2t2＝2 m
所以產生的內能：E＝μmgΔx＝6 J.
(4)對滑塊由動能定理，得－μmg(L－Δx)＝mv″2－mv′2, 滑塊脫離小車后，在豎直方向有：h＝gt″2
所以，滑塊落地點離車左端的水平距離：x′＝v″t″＝0.16 m.
答案：(1)30 N　(2)1 m　(3)6 J　(4)0.16 m
2．如圖7－7－11所示，質量為2m和m可看做質點的小球A、B，用不計質量的不可伸長的細線相連，跨在固定的半徑為R的光滑圓柱兩側，開始時A球和B球與圓柱軸心等高，然后釋放A、B兩球，則B球到達最高點時的速率是多少??

圖7－7－11
2．解：此題用運動學很難解答，但選取A、B球及細線為研究系統，重力以外的力不做功，故用機械能守恒定律求解．
選取軸心所在水平線為勢能零點，則剛開始時系統機械能為零，即?
E1＝0．? 當B球到達最高點時，系統機械能為? E2＝mgR＋mv2－2mg （2m）v2
由于E1＝E2? 即0＝mgR＋mv2－2mg（2m）v2?解得 v＝

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