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第4節　平衡條件的應用 學案
突破思路　　本節教學中應注意的問題：　　（1）物體處于平衡狀態，或者靜止或者是勻速直線運動，反過來物體處于靜止或勻速直線運動，物體就是處于平衡狀態，平衡狀態滿足的條件是合外力為零．即無論哪個方向上的合力都是零．　　（2）有關研究對象的選取：若問題中只有一個物體，一個過程，研究對象沒有選擇余地，也就是研究這個物體和這個過程．若問題中是一個連接體，又有多個過程，首先研究誰，再研究誰；是研究一個物體為好還是研究多個物體為好，這在審題中需要認真思考．總的原則：首先被研究的應該是受力最簡、已知量足夠多的，這樣通過研究后又可將研究結果作為一個已知條件，為下一次研究創造條件．　　（3）正交分解求解平衡體，建立坐標軸的原則讓盡可能多的力在坐標軸上；被分解的力盡可能是已知力，不宜分解待求力．因一個待求力分解變成兩個待求力，給求解帶來很多不便．　　（4）平衡分為靜態平衡和動態平衡．靜態平衡是指物體處于靜止狀態，動態平衡指物體勻速運動，也可指在某方向上處于平衡狀態．?規律總結
　　規律：共點力平衡條件．　　知識：共點力作用下平衡的應用．　　方法：用平衡條件解題的常用方法：　　（1）力的三角形法．物體受同一平面內三個互不平行的力作用平衡時，這三個力的矢量箭頭首尾相接，構成一個矢量三角形，反之，若三個力矢量箭頭首尾相接恰好構成三角形，則這三個力的合力必為零．　　（2）力的合成法．物體受三個力作用而平衡時，其中任意兩個力的合成必跟第三個力等大反向，可利用平行四邊形定則來求解．　　（3）正交分解法．建立合適的坐標軸，使更多的力在坐標軸上，將不在坐標軸上的力分解，根據物體處于平衡，列出x、y軸上的平衡方程來求解．?合作討論　　將兩腳左右分開，使兩足間的距離約為30cm左右．你能從雙腳站立不變姿勢地改為單足站立嗎?試一試，并說明可能或不可能的原因．仔細體驗一下，你是如何從雙足站立而變為單足站立的?　　我的思路：若保持雙腳站立的姿勢不變改為單足站立，是不可能的．因為兩腳左右分開，使兩足間的距離約為30cm左右，人體的重心和人體在同一個豎直面上，重心的作用線大致落在兩足中間．假設單足站立能夠平衡，重心的作用線就轉移到一只腳上，在保持姿勢不變的情況下，是無法做到的．從雙足站立而變為單足站立的，身體應逐漸傾斜，將重心轉移到一只腳上．?思維過程
　　平衡問題的整體法和隔離法
　　（1）“整體法”：把整個系統作為一個研究對象來分析（即當作一個質點來考慮）．
　　（2）“隔離法”：把系統中各個部分（或某一部分）隔離作為一個單獨的研究對象來分析．
　　用平衡條件解題的常用方法：
　　（1）力的三角形法．物體受同一平面內三個互不平行的力作用平衡時，這三個力的矢量箭頭首尾相接，構成一個矢量三角形，反之，若三個力矢量箭頭首尾相接恰好構成三角形，則這三個力的合力必為零．
　　（2）力的合成法．物體受三個力作用而平衡時，其中任意兩個力的合成必跟第三個力等大反向，可利用平行四邊形定則來求解．
　　（3）正交分解法．建立合適的坐標軸，使更多的力在坐標軸上，將不在坐標軸上的力分解，根據物體處于平衡，列出x、y軸上的平衡方程來求解．
　　【例1】如圖5—21甲所示，質量為m的物體，用水平細繩AB拉住，靜止在傾角為θ的固定斜面上，求斜面對物體支持力的大小．
　　
　　圖5—21
　　思路：本題主要考查，物體受力分析與平衡條件．物體在斜面上受力如圖5—21乙，以作用點為原點建立直角坐標系，據平衡條件∑F＝0，即∑Fx＝0，∑Fy＝0．找準邊角關系，列方程求解．
　　答案：以物體m為研究對象建立如圖乙所示坐標系，由平衡條件得：
　　Tcosθ－mgsinθ＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
　　N—Tsinθ－mgcosθ＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②
　　聯立式①②解得N＝mg／cosθ．
　　【例2】如圖5—22中（1）所示，擋板AB和豎直墻之間夾有小球，球的質量為m，問當擋板與豎直墻壁之間夾角θ緩慢增加時，AB板及墻對球壓力如何變化?
　　
　　圖5—22
　　思路：本題考查當θ角連續變化時，小球平衡問題．此題可以用正交分解法．選定某特定狀態，然后，通過θ角的變化情況，分析壓力變化．
　　答案：由圖（2）知，G，N2（擋板對球作用力），N1墻壁對球作用力，構成一個封閉三角形，且θ↑，封閉三角形在變化，當增加到θ′時，由三角形邊角關系知N1減小，N2減小．
新題解答
　　【例1】如圖5—23中所示，用一個三角支架懸掛重物，已知AB桿所受的最大壓力為2000N，AC繩所受最大拉力為1000N，∠α＝30°，為不使支架斷裂，求懸掛物的重力應滿足的條件．
　　
　　圖5—23
　　解析：由圖5—23中（2）可知：F1＝F／tanα＝F／tan30°，
　　F2＝F／sinα＝F／sin30°，所以F1／F2＝sin30／tan30°＝．
　　因為AB、AC能承受的最大作用力之比為F1m／F2m＝2000／1000＝2＞．
　　當懸掛物重力增加時，對AC繩的拉力將先達到最大值，所以為不使三角架斷裂，計算中應以AC繩中拉力達最大值為依據，即取F2＝F2m＝1000N，于是得懸掛物的重力應滿足的條件為
　　Gm≤F2sin30°＝500N．
　　點評：在該類問題中，一定要清楚當物體的重力逐漸增大時，哪一個首先斷裂．然后依據最先斷裂的物體來求物體的最大重力．
　　【例2】如圖5—24所示，細繩CO與豎直方向成30°角，A、B兩物體用跨過滑輪的細繩相連，已知物體B所受到的重力為100N，地面對物體B的支持力為80N，試求：
　　
　　圖5—24
　　（1）物體A所受到的重力；
　　（2）物體B與地面間的摩擦力；
　　（3）細繩CO受到的拉力．
　　解析：如圖5—25所示，選取直角坐標系．據平衡條件得21世紀教育網
　　
　　圖5—25
　　f－T1sinα＝0，
　　N＋T1cosα－mBg＝0．
　　對于定滑輪的軸心O點有
　　T1sinα一T2sin30°＝0，
　　T2cos30°－T1cosα－mAg＝0．
　　因為T1＝mAg，得α＝60°，解方程組得
　　（1）T1＝40N，物體A所受到的重力為40N；
　　（2）物體B與地面間的摩擦力f＝T1sinα＝40sin60°≈34.6N；
　　（3）細繩CO受到的拉力
　　T2＝T1sinα／sin30°＝40sin60°／sin30°≈69.3N．
　　點評：注意繩子上的拉力每處都相同，然后對物體進行受力分析，根據正交分解可求待求的量．
變式練習
　　一、選擇題
　　1．粗糙的水平面上疊放著物體A和B，A和B間的接觸面也是粗糙的，A和B間最大靜摩擦力為3N，A與地面間的最大靜摩擦力為4N，同時有F＝1N的兩個力分別作用于物體A和B上，則B對A的摩擦力大小為（　　）
　　　　A．1N　　　　　B．3N　　　　　 C．6N　　　　　D．2N
　　
　　圖5—26
　　解析：由于外力小于A和B間最大靜摩擦力以及A與地面間的最大靜摩擦力，所以B對A的摩擦力是靜摩擦力，應該與外力等大反向．
　　答案：A
　　2．如圖5—27所示，3根質量和形狀都相同的光滑圓柱體，它們的重心位置不同，擱在兩墻上，重心的位置分別是1、2、3標出的位置，設、、分別為圓柱體對墻的壓力，則（　　）
　　　　A．＜＜　　　　　　　B．＞＞
　　　　C．＝＝　　　　　　　D．＝＜
　　
　　解析：如果以圓柱體為研究對象，所受彈力的方向不變，都是垂直于接觸面過球心的，根據對稱性，這兩個接觸面的彈力應該一樣大小．由于重心位置不同，所以重力的作用點不同，但物體都是在重力和兩個彈力的作用處于平衡，所以可得出不管重心位置在哪，彈力的大小都應該一樣．
　　答案：C
　　3．質量為2kg的物體，受到一個平行于斜面向上、大小為7N的拉力F而靜止在傾角為37°的斜面上，若斜面與物體間的動摩擦因數為0.4，則物體受到的摩擦力是（　　）
　　　　A．5N　　　　　B．6．4N　　　　C．8N　　　　　D．12N
　　解析：由于物體是靜止的，所以靜摩擦力的大小應該等于mgsin37°－F＝20×0.6－7＝5N．還可知靜摩擦力的方向應沿斜面向上．
　　答案：A
　　4．如圖5—28所示，物體受到與水平方向成30°角的拉力F作用向左做勻速直線運動，則物體受到的拉力F與地面對物體的摩擦力的合力是（　　）
　　　　A．向上偏左　　　　　　　　　　B．向上偏右
　　　　C．豎直向上　　　　　　　　　　D．豎直向下
　　
　　圖5—28
　　解析：由于物體作向左的勻速運動，所以如果將力F分解到水平和豎直方向上，水平方向的分力F1與摩擦力等大反向，只剩下豎直向上的分力F2，所以拉力F與摩擦力的合力是豎直向上的．本題也可將物體所受的彈力與重力等效為一個豎直向下的力，這樣物體就受到三個力的作用，拉力F與摩擦力的合力應該與第三個力等大反向．
　　答案：C
　　5．如圖5—29所示，位于斜面上的物塊在沿斜面向上的力的作用下，處于靜止狀態，則斜面作用于物塊的靜摩擦力（　　）
　　　　A．方向可能沿斜面向上　　　　　B．方向可能沿斜面向下
　　　　C．大小可能等于零　　　　　　　D．大小可能等于F
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　　圖5—29
　　解析：由于不知道力F的大小，所以摩擦力的方向A、B都有可能，如果F＝mgsinα，摩擦力就為零；如果F＞mgsinα，摩擦力的方向應沿斜面向下；F＜mgsinα，摩擦力的方向應沿斜面向上；如果mgsinα＝2F，此時的摩擦力沿斜面向上等于力F的大小．
　　答案：ABCD
　　6．如圖5—30所示，人站在岸上通過定滑輪用繩牽引小船，若水的阻力恒定不變，則船在勻速靠岸的過程中，下列說法正確的是（　　）
　　
　　圖5—30
　　　　A．繩的拉力保持不變　　　　　　B．繩的拉力不斷變大
　　　　C．船受到的浮力保持不變　　　　D．船受到的浮力不斷減小
　　解析：由于船是勻速運動，對船進行受力分析，設繩子的拉力為了，繩子與水平方向的夾角為θ，F為船受的浮力，由于船是勻速運動，所以Tcosθ＝f，Tsinθ＋F＝G，由于θ在變大，阻力f不變，所以繩子的拉力不斷變大，浮力不斷減小．
　　答案：BD
　　二、非選擇題
　　7．如圖5—31所示，質量為m的光滑球放在水平面AB上，并與AC接觸，則球對AB面的壓力大小為_______，對AC面的壓力大小為________．
　　
　　圖5—31
　　解析：由于光滑的球處于平衡狀態，所以只受重力和AB面對其的彈力，而AC面沒有彈力，如果有彈力，球將不會是靜止的．所以AB面對其彈力大小為mg，即球對AB面的壓力為mg．
　　答案：mg　0
　　8．物體靜止于傾角為α的斜面上，當斜面傾角α變小時，物體受到的支持力變________（填“大”或“小”），靜摩擦力變_______（填“大”或“小”）．
　　解析：支持力的大小為N＝mgcosα，靜摩擦力的大小為f＝mgsinα，所以當α變小時，支持力變大，靜摩擦力變小．
　　答案：大小
　　9．三個力共同作用于同一物體，使物體做勻速直線運動，已知F1＝9N，F2＝10N，則F3的大小范圍是_________，F3和F1的合力為________N，方向為_________．
　　解析：F3的大小范圍應該是F1與F2的合力范圍，其中任何一個力與剩余的兩個力的合力等大反向．
　　答案：1N～19N　10　與F2方向相反
　　10．如圖5—32所示，一定質量的物體在恒力F作用下，沿天花板做勻速直線運動，F與水平方向成α角，物體與頂板間的動摩擦因數為μ，求物體對頂板的壓力和物體受到的摩擦力分別為多大?
　　
　　圖5—32
　　解析：由于物體做勻速運動，所以合外力為零，物體受到重力、天花板給物體的彈力（豎直向下）、推力F及水平向右的摩擦力，所以f＝Fcosα，根據摩擦力是滑動摩擦力，所以N＝f/μ＝Fcosα/μ，注意N不能寫成Fsinα—mg，因為題目中未給出物體的質量m．
　　答案：N＝Fcosα／μ，f＝Fcosα．
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