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質心守恒定律及其應用
湖北省黃岡中學 徐輝
物理競賽中經常涉及到反沖運動與碰撞類的問題，這類問題的常規分析方法是由動量守恒和能量守恒聯合分析。如果此類問題中涉及到物體距離的變化，而在運動的某一方向動量又守恒的話，那么直接利用質心守恒定律來求解是比較方便的，特別是在涉及到系統的初狀態動量為零時，利用質心守恒定律求解，能使問題得到簡化。
一、質心與質心運動
1、質心及質心位置：即質點系質量分布的平均位置，若質點系由N個質點組成，則質心C的位置矢量一般表示為
式中mi（i=1，2，3……N）為各質點的質量；（i=1，2，……N）為各質點的位置矢量；m為質點系總質量。
2、質心的動量：相對于選定的參照系，質心的位置隨時間的變化也有一定的速度，即質心速度（vc），因此質心的動量一般表示為
=
式中vi為各質點的速度，其他物理量的含義與上相同。
二、質心守恒定律
若系統所受的外力為零，即系統的動量守恒時，質心的動量不變，因而質心速度也保持不變，若初狀態系統動量為零，則質心的位置也保持不變，此即質心守恒定律。
三、質心守恒定律的應用
例1 如圖所示，等腰直角三角形的勻質板，已知斜邊長AB=12cm，使AB鉛垂靜立于光滑水平面上。若三角塊保持在鉛垂平面內滑倒，試求直角邊BC的中點M的運動軌跡。
分析和解：由于板在水平方向不受外力，故質心在水平方向的運動狀態不變，因水平方向初動量為零，所以質心0只會沿著原來所處位置直線上，我們建立圖示坐標軸，就可以確定任意位置的豎直線下降，注意到因為A、O、M同在一條直線上，我們建立圖示坐標軸，就可以確定任意位置M點坐標。
設三角板下滑到了圖中虛線所示位置，直線AOM與水平方向的夾角為，則M點的坐標可表示為：
x=OMcos，y=AMsin．
即＋．
由幾何知識可求得OM2=10，AM2=90．
因而可得．
這是一個橢圓方程，即M點在三角板下滑的過程中，將沿上式確定的橢圓軌跡運動．
例2 質量為1kg的箱子靜止在光滑水平面上，箱底長度為l=1m，質量為1kg的小物體從箱子中央以v0=5m/s的速度開始運動，如圖所示，物體與箱底的動摩擦因數為0.05，物體與箱壁發生完全彈性碰撞，問小物體可與箱壁發生多少次碰撞？當小物體在箱中剛達到相對靜止時，箱子在水平面上的位移是多少？
分析和解：以小物體和箱子所組成的系統為研究對象，系統所受的合外力為零，因而系統的動量守恒。由質心守恒定律，系統的質心速度將保持不變，求出質心速度vc，再根據作用時間t，就可求出質心運動的位移，注意到整個過程中，能量變化的關系，即物體從開始運動到與箱子相對靜止的過程中，系統損失的機械能全部轉化為系統的內能。
設兩者相對靜止時的共同速度為v，兩者的相對位移為s相。由動量守恒定律和功能原理可得
mv0=2mv．
μ·mg·s相=．
代入數據后解得 v=2.5m/s，s相=12.5m．
由題設條件可知，小物體與箱壁碰撞12次后將停在箱的左端．
設整個運動過程的時間為t，對小物體利用動量定理得
－μmgt=mv－mv0．
解得 t=5s．
設質心運動的速度為vc，由質心守恒定律有
2mvc=mv0．
解得 vc=2.5m/s．
所以質心運動的位移為xc=vct=12.5m．
因為開始時質心在箱底中央，末態時質心在箱底中央左端0.25m處，所以箱子的實際位移為
x=xc－0.25m=12.25m．
由以上兩例的分析可知，質心守恒定律在動量守恒中的應用是有其獨特的優勢的。同學們要掌握其分析方法與應用。

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