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4．求變力做功的幾種方法
（1）將變力做功轉化為恒力做功
我們知道變力做功不能直接用公式來計算，但在某些特殊情況下，將變力做功轉換成恒力做功，就可以用求功公式直接求解．
【例9】 如圖2—6所示，某人用大小不變的力F拉著放在光滑平面上的物體，開始時與物體相連的繩和水平面間的夾角是，當拉力F作用一段時間后，繩與水平面間的夾角為，已知圖中滑輪頂部的高度是h，求繩的拉力T對物體做的功，假定繩的質量，滑輪的質量與滑輪間的摩擦不計．
【解析】 設繩對物體的拉力為T，顯然人對繩的拉力F等于T，由于T在對物體做功的過程中，大小不變，但T的方向時刻在改變，因此上述問題是個變力做功問題．但在繩的質量、滑輪的質量及滑輪與繩的摩擦不計的情況下，人對繩的拉力F對繩做的功就等于繩的拉力T對物體做的功．而F的大小與方向都不變，因此，只要計算恒力F對繩做的功，就能解決問題．
設繩的拉力T對物體做的功為WT，人的拉力F對繩做的功為WF，由圖2—6可知，在繩與水平夾角由變到的過程中，拉力F的作用點的位移大小為：
由可知：
（2）用動能定理求解變力所做的功
如果我們所要研究的對象所受的一個或幾個力中，只有一個變力，而其余都是恒力，而且這些恒力的功比較容易計算，研究對象本身的動能增量也較容易計算時，用動能定理就可以求出這個變力所做的功．
【例10】 質量m=1kg的物體，從軌道的A點由靜止下滑，軌道AB是彎曲的，且A點高出B點h=0.8m，如圖2—7所示．如果物體在B點的速度為2m/s，求物體在軌道AB上克服摩擦力所做的功．
【解析】物體由A到B過程中，共受三個力作用：重力mg、支持力N、摩擦力f，由于軌道是彎曲的，軌道對物體的支持力是一個變力，摩擦力也是一個變力，但支持力N不做功．只有重力和摩擦力做功，由動能定理得：
故物體在軌道上滑下時克服摩擦阻力所做的功為5.84J．
（3）用機械能守恒定律求變力做的功
如果物體只受重力和彈力作用，或只有重力和彈力做功時，則W外是重力和彈力做功的總和，動能定理就轉化成機械能守恒定律．如果重力和彈力中有一個力是變力時，要求這個變力做的功，則可用機械能守恒定律求解．
【例11】 如圖2—8所示，質量為m=2kg的小球系在輕彈簧的一端，另一端固定在懸點O處，將彈簧拉至水平位置A，使彈簧無形變由靜止釋放，小球到達距O點下方h=0.5m處的B點的速度為2m/s．求小球從A到B的過程中彈簧彈力做的功．
【解析】 小球在運動過程中，只受重力和彈力作用，故系統機械能守恒．以B點為重力勢能零勢面，A點為彈性勢能零勢面，則在初態A有：
對末態B有：
由機械能守恒定律得：E1=E2
因彈性勢能增加，故彈力做負功．
因此，小球從A到B的過程中，彈簧彈力做的功為－6J．
（4）用功能原理求變力所做的功
功能原理的內容是：系統所受的外力和內力（除重力、彈力外）所做的功的代數和等于系統的機械能的增量．如果這些力中，只有一個變力做功，就可用功能原理求變力所做的功．
【例12】 一輛車通過一根跨過定滑輪的繩子PQ提升井中質量為m的物體，如圖2—9所示．繩的P端拴在車的掛鉤上，Q端拴在物體上，設繩的伸長、繩的質量、定滑輪的質量、滑輪上的摩擦忽略不計．開始時車在A點，左、右兩側繩都已繃緊，并且是豎直的，左側繩長為H，提升時，車加速向左運動，沿水平方向從A經過B駛向C．設A到B的距離也為H，車在B點時的速度為vB，求車由A到D的過程中，Q端繩子的拉力對物體所做的功．
【解析】 Q端繩子對物體的拉力等于汽車對P端繩子的拉力，這個力是變力，故本題是變力做功問題，可用功能原理求解．
設繩的P端到達B處時，左邊繩與水平地面所成的夾角為θ，物體從井底上升的高度為h，速度為v，所求的功為W，則由功能原理有：
因繩的總長不變，故有：
沿車速vB分解成垂直于繩的速度v1和沿繩的方向的速度v2，則有：
又 即
故有：
故Q端繩子對物體做的功為
（5）利用求變力所做的功
【例13】 一輛汽車的質量為105kg，該車從靜止開始以恒定功率行駛，經過40s，前進40m，速度達到最大值．如果車受的阻力始終是車重的0.05倍，問車的最大速度是多少？
【解析】 汽車在運動過程中，功率恒定，速度增加，所以牽引力不斷減小，當減小到與阻力相等時速度達到最大值．汽車所受阻力是恒力，牽引力是變力．牽引力做功不能直接用公式來求解，但可用公式W=P·t來求解．因為汽車達到最大速度時牽引力等于阻力，故有：
牽引力的功為：
設阻力f做的功為W1，由動能定理得：
即：
將：代入上式得：
故此汽車的最大速度為20m/s．

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