資源簡介

2010★大慶英杰工作室★高中同步講義
第五節 宇宙航行
知識點 1 衛星的繞行角速度、周期與高度的關系
⑴、由，得，∴當h↑，v↓
⑵、由，得，∴當h↑，ω↓
⑶、由，得
∴當h↑，T↑
知識點 2 三種宇宙速度
⑴、第一宇宙速度（環繞速度）：v1=7.9km/s，人造地球衛星的最小發射速度。也是人造衛星繞地球做勻速圓周運動的最大速度。
⑵、第二宇宙速度（脫離速度）：v2=11.2km/s，使衛星掙脫地球引力束縛的最小發射速度。
⑶、第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7km/s，使衛星掙脫太陽引力束縛的最小發射速度。
知識點 3 第一宇宙速度的計算
方法一：地球對衛星的萬有引力就是衛星做圓周運動的向心力．
，。當h↑，v↓，所以在地球表面附近衛星的速度是它運行的最大速度。其大小為r>>h（地面附近）時，
方法二：在地面附近物體的重力近似地等于地球對物體的萬有引力，重力就是衛星做圓周運動的向心力．
．當r>>h時．gh≈g
所以v1＝=7．9×103m/s
第一宇宙速度是在地面附近h<知識點 4 兩種最常見的衛星
⑴、近地衛星
近地衛星的軌道半徑r可以近似地認為等于地球半徑R，由式①可得其線速度大小為v1=7.9×103m/s；由式③可得其周期為T=5.06×103s=84min。由①、③式可知，它們分別是繞地球做勻速圓周運動的人造衛星的最大線速度和最小周期。
神舟號飛船的運行軌道離地面的高度為340km，線速度約7.6km/s，周期約90min。
⑵同步衛星。
“同步”的含義就是和地球保持相對靜止，所以其周期等于地球自轉周期，即T=24h。由式可得，同步衛星離地面高度為
即其軌道半徑是唯一確定的離地面的高度h=3.6×104km，而且該軌道必須在地球赤道的正上方，運轉方向必須跟地球自轉方向一致即由西向東。如果僅與地球自轉周期相同而不定點于赤道上空，該衛星就不能與地面保持相對靜止。因為衛星軌道所在平面必然和地球繞日公轉軌道平面重合，同步衛星的線速度 v=　
通訊衛星可以實現全球的電視轉播，從圖可知，如果能發射三顆相對地面靜止的衛星（即同步衛星）并相互聯網，即可覆蓋全球的每個角落。由于通訊衛星都必須位于赤道上空3.6×107m處，各衛星之間又不能相距太近，所以，通訊衛星的總數是有限的。設想在赤道所在平面內，以地球中心為圓心隔50放置一顆通訊衛星，全球通訊衛星的總數應為72個。
知識點 5 了解不同高度的衛星飛行速度及周期的數據
衛星飛行速度及周期僅由距地高度決定與質量無關。
設衛星距地面高度為h，地球半徑為R，地球質量為M，衛星飛行速度為v，則由萬有引力充當向心力可得v=[GM/（R+h）]?。知道了衛星距離地面的高度，就可確定衛星飛行時的速度大小。
不同高度處人造地球衛星的環繞速度及周期見下表：
高度(km)
環繞速度(km/s)
周期（分）
0
7.91
84.4
300
7 .73
90 .5
500
7. 62
94.5
1000
7.36
105
3000
6.53
150
5000
5.29
210
35900（同步軌道）
2.77
23小時56分
38000（月球軌道）
0.97
28天
知識點 6 衛星的超重和失重
⑴、衛星進入軌道前加速過程，衛星上物體超重．
⑵、衛星進入軌道后正常運轉時，衛星上物體完全失重．
知識點 7 人造天體在運動過程中的能量關系
當人造天體具有較大的動能時，它將上升到較高的軌道運動，而在較高軌道上運動的人造天體卻具有較小的動能。反之，如果人造天體在運動中動能減小，它的軌道半徑將減小，在這一過程中，因引力對其做正功，故導致其動能將增大。
同樣質量的衛星在不同高度軌道上的機械能不同。其中衛星的動能為，由于重力加速度g隨高度增大而減小，所以重力勢能不能再用計算，而要用到公式（以無窮遠處引力勢能為零，M為地球質量，m為衛星質量，r為衛星軌道半徑。由于從無窮遠向地球移動過程中萬有引力做正功，所以系統勢能減小，為負。）因此機械能為。同樣質量的衛星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛星具有的機械能越大，發射越困難。
知識點 8 相關材料
⑴、人造衛星做圓軌道和橢圓軌道運行的討論
當火箭與衛星分離時，設衛星的速度為v（此即為發射速度），衛星距離地心為r,并設此時速度與萬有引力垂直（通過地面控制可以實現）如圖所示，則
，若衛星以v繞地球做圓周運動，則所需要的向心力為：F向＝
①當F萬=F向時，衛星將做圓周運動．若此時剛好是離地面最近的軌道，則可求出此時的發射速度v＝7.9 km/s.
②當F萬＜F向時，衛星將做離心運動，做橢圓運動，遠離地球時引力做負功，衛星動能轉化為引力勢能．（神州五號即屬于此種情況）

③當F萬＞F向時，衛星在引力作用下，向地心做橢圓運動，若此時發生在最近軌道，則v＜7.9 km/s，衛星將墜人大氣層燒毀。
因此：星箭分離時的速度是決定衛星運行軌道的主要條件．
2.人造衛星如何變軌
衛星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛星技術的一個重要方面，衛星定軌和返回都要用到這個技術．

以衛星從橢圓遠點變到圓軌道為例加以分析：如圖所示，在軌道A點，萬有引力FA＞，要使衛星改做圓周運動，必須滿足FA＝和FA⊥v，在遠點已滿足了FA⊥v的條件，所以只需增大速度，讓速度增大到＝FA，這個任務由衛星自帶的推進器完成．
這說明人造衛星要從橢圓軌道變到大圓軌道，只要在橢圓軌道的遠點由推進器加速，當速度達到沿圓軌道所需的速度，人造衛星就不再沿橢圓軌道運動而轉到大圓軌道．“神州五號”就是通過這種技術變軌的，地球同步衛星也是通過這種技術定點于同步軌道上的．
方法技巧 1 處理人造天體問題的基本思路
由于運行中的人造天體，萬有引力全部提供人造地球衛星繞地球做圓周運動的向心力，因此所有的人造地球衛星的軌道圓心都在地心．解關于人造衛星問題的基本思路：①視為勻速圓周運動處理；②萬有引力充當向心力；③根據已知條件選擇向心加速度的表達式便于計算；④利用代換式gR2=GM推導化簡運算過程。
注意：①人造衛星的軌道半徑與它的高度不同．②離地面不同高度，重力加速度不同，
【例l】設人造地球衛星繞地球做勻速圓周運動，衛星離地面越高，則衛星的（ ）
A、速度越大 B、角速度越大
C、向心加速度越大 D、周期越長
解析：（1）v與 r的關系： G= m；即（r越大v越小）．所以答案A錯誤．（2）ω與r的關系：G=mω2r ，，即（r越大，ω越小）．所以答案B錯誤．（3）a與r的關系：G=ma，a=GM/r2，即a∝1/r2。衛星繞軌道半徑 r運轉時的向心加速度與該處的重力加速度g/相等，所以 g/＝a， g/∝1/r2，（r越大．加速度越小）．所以答案C錯誤．（4）T與r的關系：G=mr ，T=2π即T∝（ r越大，T越大）．所以答案D正確．
因 GM＝g0R02，所以 T＝2π，當 r=Ro時，T＝Tmin＝2π
答案：D
說明：可以看出，繞地球做勻速圓周運動的人造衛星的軌道半徑r、線速度大小v和周期T是一一對應的，其中一個量確定后，另外兩個量也就唯一確定了。離地面越高的人造衛星，線速度越小而周期越大。
【例2】設地球的半徑為R0，質量為m的衛星在距地面R0高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g0，則以下說法錯誤的是（ ）
A、衛星的線速度為
B、衛星的角速度為
C、衛星的加速度為 D、衛星的周期
解析：在地面：;在高空：
；
g=?g0；此重力加速度即為衛星的向心加速度故C選項錯誤．
衛星的線速度故A選項正確．
周期故D選項正確
角速度故B選項正確
答案：C
方法技巧 1 人造天體的發射與變軌
【例3】一組太空人乘坐大空穿梭機，去修理位于離地球表面 6．0×105m的圓形軌道上的哈勃太空望遠鏡H．機組人員使穿梭機S進入與H相同的軌道并關閉推動火箭，而望遠鏡則在穿梭機前方數公里處，如圖所示，設G為引力常數，而ME為地球質量．（已知：地球半徑為 6．4×106m）
⑴、在穿梭機內，一質量為70kg的太空人的視重是多少？
⑵、①計算軌道上的重力加速度的值．
②計算穿梭機在軌道上的速率和周期．
⑶、①證明穿梭機的總機械能跟成正比，r為它的軌道半徑．
〖注：若力 F與位移r之間有如下的關系：F=K／r2（其中K為常數），則當r由∞處變為0，F做功的大小可用以下規律進行計算： W＝ K／r（設∞處的勢能為0）〗．
②穿梭機須首先螺旋進入半徑較小的軌道，才有較大的角速度以超前望遠鏡．用上題的結果判所穿梭機要進入較低軌道時應增加還是減少其原有速率，解釋你的答案．
【解析】：（1）在穿梭機內，一質量為70kg的太空人的視重為0．
（2）①因為mg/＝G［MEm/（R＋h）2］，所以 g/=GME／（R＋h）2，其中R＝6．4×106m， h＝6．0×105m．g/=8．2m／s2
②地球對穿梭機的萬有引力提供向心力．
有：GMEm/（R＋h）2＝mv2/（R＋h）=m（2π/T）2（R十h），
所以v==7．6×103m／s
T＝＝5．8×103s．
（3）①因為萬有引力 F ＝GMEm/r2滿足F＝k（1／r2）（其中 k＝GMEm為常數），由“注”可知，當穿梭機與地球之間的距離由∞處變到r時，萬有引力對其所做的功w＝k/r=GMEm/r，又因為：萬有引力對穿梭機做多少功，其重力勢能就減小多少，若設∞處的勢能為零，則穿梭機在半徑為r的軌道上時。其重力勢能為E=一GMEm/r，則穿梭機此時的總機械能E總=EP十Ek=一GMEm/r十?mv2．代入（2）中的v值，得：
E總=一GMEm/r十?m（GME/r）＝一（GMEm/2）（1／r）
故穿梭機的總機械能跟一1／r成正比，得證．
因為E總跟一1／r成正比，故進入低軌道時總機械能要減小，故必須減速，使總機械能減小，當速度減小后，在引力場的作用下進行低軌道運行，因引力做正功，動能增加，低軌道環繞速度vr/大于原軌道環繞速度vr，又因為v＝ωr，vr/＞vr，r/＜r，則ωr/＞ωr，從而獲得較大的角速度，則可能趕上哈勃太空望遠鏡．
【例4】 如圖所示，某次發射同步衛星時，先進入一個近地的圓軌道，然后在P點點火加速，進入橢圓形轉移軌道（該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步軌道上的Q），到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道。設衛星在近地圓軌道上運行的速率為v1，在P點短時間加速后的速率為v2，沿轉移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在Q點短時間加速后進入同步軌道后的速率為v4。試比較v1、v2、v3、v4的大小，并用小于號將它們排列起來______。

解析：根據題意有v2>v1、v4>v3,而v1、v4是繞地球做勻速圓周運動的人造衛星的線速度，由式②知v1>v4,故結論為v2>v1>v4>v3。衛星沿橢圓軌道由P→Q運行時，由機械能守恒可知，其重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，因此有v2>v3。]
衛星的回收實際上是衛星發射過程的逆過程。
【例5】在空中飛行了十多年的“和平號”航天站已失去動力，由于受大氣阻力作用其繞地球轉動半徑將逐漸減小，最后在大氣層中墜毀，在此過程中下列說法正確的是（ ）
A、航天站的速度將加大
B、航天站繞地球旋轉的周期加大
C、航天站的向心加速度加大
D、航天站的角速度將增大
【解析】由GMm/r2=mv2/r=mrω2=mr（2π/T）2=ma
得v=， ω＝． T＝2π
可知r減小，v增大，ω增大，T減小，a增大．A、C、 D正確．
【例6】“神舟三號”順利發射升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了108圈。運行中需要進行多次“軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發動機的點火時間和推力的大小方向，使飛船能保持在預定軌道上穩定運行。如果不進行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、重力勢能和機械能變化情況將會是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A、動能、重力勢能和機械能都逐漸減小
B、重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變
C、重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變
D、重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小
[由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛星運行的每一圈仍可認為是勻速圓周運動。由于摩擦阻力做負功所以衛星的機械能減小；由于重力做正功所以重力勢能減小；由式②可知衛星動能將增大(這也說明重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的總功為正)。答案選D。]
【例7】飛船發射過程是一個加速過程，在加速過程中，宇航員處于__超重狀態____狀態。人們把這種狀態下的重力與靜止在地球表面時的重力的比值稱為耐受力值，用K表示，則K=__ K=1+a/g _____（設宇航員的質量為m，加速上升加速度為a），選擇宇般員時，要求他在此狀態的耐受值為4≤K≤12，說明飛船發射時的加速度值的變化范圍__3g≤a≤11g _______.
【例8】飛船在發射升空時，如果宇航員是站立的，則他的心血管系統受到何種影響？你認為宇航員采取什么資勢為好？
答：由于在發射升空過程中，人處于超衙狀態下，頭部血壓降低，足部血壓升高，使大量血液淤積在下肢靜脈中，嚴重影響靜脈血的回流，使心臟輸出血量不足，造成頭部供血不足，輕則引起視覺障礙，重則可能導致意識喪失，所以宇航員采用平躺姿勢為好。
【例9】航天飛船進入距地表3R地的軌道繞地球做圓周運動時，質量為64kg的宇航員處于_完全失重___狀態，他的視重為__0___N。實際所受力__40___N。
【例10】若飛船要與軌道空間站對接，飛船為了追上軌道空間站（ A ）
A可以從較低的軌道上加速 B可以從較高的軌道上加速
C可以從與空間站同一軌道上加速 D無論在什么軌道上，只要加速都行
【例11】 我國的國土遼闊，在東西方向上分布在東經70°到東經135°的廣大范圍內，所以我國發射的同步通信衛星一般定點在赤道上空3.6萬公里，東經100°附近。假設某顆通信衛星計劃定點在赤道上空東經104°的位置。經測量剛進入軌道時它位于赤道上空3.6萬公里，東經103°處。為了把它調整到104°處，可以短時間啟動星上的小型發動機，通過適當調整衛星的軌道高度，改變其周期，從而使其自動“漂移”到預定經度。然后再短時間啟動星上的小型發動機調整衛星的高度，實現最終定點。這兩次調整高度的方向應該依次是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ａ.向下、向上 Ｂ.向上、向下 Ｃ.向上、向上 Ｄ.向下、向下
[東經103°在東經104°西邊，為使衛星向東漂移，應使它的周期變小，為此應降低其高度，所以先向下；到達東經104°后，再向上。]
【例12】設想宇航員完成了對火星表面的科學考察任務，乘坐返回艙返回圍繞火星做圓周運動的軌道艙，如圖所示．為了安全，返回艙與軌道艙對接時，必須具有相同的速度．求該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得多少能量，才能返回軌道艙？
已知：返回過程中需克服火星引力做功W＝mgR（1一R/r），返回艙與人的總質量為m，火星表面重力加速度為g，火星半徑為R，軌道艙到火星中心的距離為r；不計火星表面大氣對返回艙的阻力和火星自轉的影響．

解析：物體m在火星M表面附近時，有＝mg解得GM＝gR2
設軌道艙的質量為m0，速度大小為v，則
返回艙與軌道艙對接時，應具有的動能為Ek=?mv2
聯立解得
依題意知返回艙返回過程需克服引力做功W＝mgR（1－R/r）
返回艙返回時至少需要能量為W總=Ek + W=
說明：這是一道關于天體運動的信息題．題中有多個對象，解題時要分清研究對象，選好規律．
【例13】2003年10月15日上午9時，我國在酒泉衛星發射中心成功發射“神舟五號”載人航天飛船，這是我國首次實現載人航天飛行，也是全世界第三個具有發射載人航天器能力的國家．“神舟五號”飛船長8. 86 m ;質量為7990 kg.飛船在達到預定的橢圓軌道后運行的軌道傾角為42. 4 0，近地點高度200 km，遠地點高度約350 km.實行變軌后，進入離地約350 km的圓軌道上運行，飛船運動14圈后，于16日凌晨在內蒙古成功著陸．（地球半徑Ro=-6.4×106 m，地球表面重力加速度g=10 m/s2，··＝5.48，計算結果保留三位有效數字）求：
（1)飛船變軌后在軌道上正常運行時的速度．
（2)飛船在圓軌道上運行的周期．
解析：設飛船的質量為m，地球質量為M.飛船在圓軌道上運行時：
對于地面上質量為m0的物體有：
由上兩式得飛船的運行速度為：
飛船在圓軌道上運行時的周期為：
說明：天體運動的問題，要緊扣兩條主線：萬有引力提供向心力，重力等于萬有引力．
【補例】地球赤道上的N城市想實施一個“人造月亮”計劃，在地球同步衛星上用一面平面鏡將太陽光射到地球上，使這座城市在午夜時分有“日出”時的效果，若此時的N城市正值盛夏季節，地球的半徑為R，自轉周期為T，地球表面重力加速度為g，太陽在非常遙遠的地方．求
（1)地球同步衛星離地心的距離
(2)懸掛平面鏡的同步衛星所在經度平面的經度與N城的經度差α。
此時平面鏡與衛星所在經度平面的夾角θ

解析：（1)設地球及同步衛星的質量分別為M,m，則
又：g＝GM/R2，可得：
(2)過赤道平面的截面圖如圖所示，水平入射光線MA經反射后的反射光線AN與地球相切，故∠MAN＝900
衛星所在經線在平面內的投影為OA,N城市所在經線在平面內的投影為ON,
所以：α＝arccos ( R/r)
θ＝450＋arcsin（R/r）
說明：本題的關鍵是理解“午夜萬分有‘日出’時的效果”的含義，并要有一定的空間想象力，且能畫出截面圖，能力要求較高．
【配套習題】
1、據媒體報道，嫦娥一號衛星環月工作軌道為圓軌道,軌道高度200 km,運用周期127分鐘。若還知道引力常量和月球平均半徑,僅利用以上條件不能求出的是（ ）
A、月球表面的重力加速度
B、月球對衛星的吸引力
C、衛星繞月球運行的速度
D、衛星繞月運行的加速度
【解析】因為不知道衛星的質量，所以不能求出月球對衛星的吸引力。
答案：B
2、1990年4月25日，科學家將哈勃天文望遠鏡送上距地球表面約600 km的高空，使得人類對宇宙中星體的觀測與研究有了極大的進展。假設哈勃望遠鏡沿圓軌道繞地球運行。已知地球半徑為6.4×106m，利用地球同步衛星與地球表面的距離為3.6×107m這一事實可得到哈勃望遠鏡繞地球運行的周期。以下數據中最接近其運行周期的是（ ）
A、0.6小時 　　　 B、1.6小時 　　　　
C、4.0小時 　　D、24小時
【解析】：由開普勒行星運動定律可知，恒量，所以，r為地球的半徑，h1、t1、h2、t2分別表示望遠鏡到地表的距離，望遠鏡的周期、同步衛星距地表的距離、同步衛星的周期（24h），代入數據得：t1=1.6h．
答案：B
3、據報道．我國數據中繼衛星“天鏈一號01星”于2008 年4 月25日在西昌衛星發射中心發射升空，經過4次變軌控制后，于5月l日成功定點在東經77°赤道上空的同步軌道。關于成功定點后的“天鏈一號01衛星”，下列說法正確的是（ ）
A、運行速度大于7.9Kg/s
B、離地面高度一定，相對地面靜止
C、繞地球運行的角速度比月球繞地球運行的角速度大
D、向心加速度與靜止在赤道上物體的向心加速度大小相等
【解析】：由題目可以后出“天鏈一號衛星”是地球同步衛星，運行速度要小于7.9,而他的位置在赤道上空，高度一定，A錯B對。由可知，C對。由可知，D錯。
答案：BC
4、圖是“嫦娥一導奔月”示意圖，衛星發射后通過自帶的小型火箭多次變軌，進入地月轉移軌道，最終被月球引力捕獲，成為繞月衛星，并開展對月球的探測，下列說法正確的是（ ）
A、發射“嫦娥一號”的速度必須達到第三宇宙速度
B、在繞月圓軌道上，衛星周期與衛星質量有關
C、衛星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比
D、在繞月軌道上，衛星受地球的引力大于受月球的引力
【解析】由于發射過程中多次變軌，在開始發射時其發射速度必須比第一宇宙速度大，不需要達到第三宇宙速度，選項A錯誤。在繞月軌道上，根據可知衛星的周期與衛星的質量無關，選項B錯誤，選項C正確。由于繞月球運動，地球對衛星的引力較小，故選項D錯誤。
答案：C
5、我國繞月探測工程的預先研究和工程實施已取得重要進展。設地球、月球的質量分別為m1、m2，半徑分別為R1、R2，人造地球衛星的第一宇宙速度為v，對應的環繞周期為T，則環繞月球表面附近圓軌道飛行的探測器的速度和周期分別為（ ）
A、，
B、，
C、，
D、，
答案：A
6、現有兩顆繞地球勻速圓周運動的人造地球衛星A和B，它們的軌道半徑分別為rA和rB。如果rA＜rB，則
A、衛星A的運動周期比衛星B的運動周期大
B、衛星A的線速度比衛星B的線速度大
C、衛星A的角速度比衛星B的角速度大
D、衛星A的加速度比衛星B的加速度大
答案：A
7、我國發射的“嫦娥一號”探月衛星沿近似于圓形軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛星軌道平面緩慢變化。衛星將獲得的信息持續用微波信號發回地球。設地球和月球的質量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R1，月球繞地球的軌道半徑和衛星繞月球的軌道半徑分別為r和r1，月球繞地球轉動的周期為T。假定在衛星繞月運行的一個周期內衛星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內衛星發射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球繞地球轉動對遮擋時間的影響）。
【解析】：如下圖所示：
設O和分別表示地球和月球的中心．在衛星軌道平面上，A是地月連心線與地月球表面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛星軌道的交點．過A點在另一側作地月球面的公切線，交衛星軌道于E點．衛星在圓弧上運動時發出的信號被遮擋．
設探月衛星的質量為m0，萬有引力常量為G，根據萬有引力定律有：
①
②
②式中，T1表示探月衛星繞月球轉動的周期．
由以上兩式可得： ③
設衛星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛星繞月球做勻速圓周運動，
應有：　　　　　　　　　④
上式中，．
由幾何關系得：　　 ⑤ 　　　　　　　　　　⑥
由③④⑤⑥得：
　 ⑦
8、神舟載人飛船在繞地球飛行進行變軌，由原來的橢圓軌道變為距地面高度km的圓形軌道。已知地球半徑km，地面處的重力加速度。試導出飛船在上述圓軌道上運行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后計算周期T的數值（保留兩位有效數字）
【解析】設地球質量為M，飛船質量為m，速度為v，圓軌道的半徑為r，由萬有引力和牛頓第二定律，有
地面附近
由已知條件
解以上各式得
代入數值，得
9、在勇氣號火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經過多次彈跳才停下來。假設著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為υ0，求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計大氣阻力。已知火星的一個衛星的圓軌道的半徑為r，周期為T。火星可視為半徑為r0的均勻球體。

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