資源簡介

一、近似法
方法簡介
近似法是在觀察物理現象、進行物理實驗、建立物理模型、推導物理規律和求解物理問題時，為了分析認識所研究問題的本質屬性，往往突出實際問題的主要方面，忽略某些次要因素，進行近似處理.在求解物理問題時，采用近似處理的手段簡化求解過程的方法叫近似法.近似法是研究物理問題的基本思想方法之一，具有廣泛的應用.善于對實際問題進行合理的近似處理，是從事創造性研究的重要能力之一.縱觀近幾年的物理競賽試題和高考試題，越來越多地注重這種能力的考查.
賽題精講
例1：一只狐貍以不變的速度沿著直線AB逃跑，一只獵犬以不變的速率追擊，其運動方向始終對準狐貍.某時刻狐貍在F處，獵犬在D處，FD⊥AB，且FD=L，如圖14—1所示，求獵犬的加速度的大小.
解析：獵犬的運動方向始終對準狐貍且速度大小不變，故獵犬做勻速率曲線運動，根據向心加速度為獵犬所在處的曲率半徑，因為r不斷變化，故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化，題目要求獵犬在D處的加速度大小，由于大小不變，如果求出D點的曲率半徑，此時獵犬的加速度大小也就求得了.
獵犬做勻速率曲線運動，其加速度的大小和方向都在不斷改變.在所求時刻開始的一段很短的時間內，獵犬運動的軌跡可近似看做是一段圓弧，設其半徑為R，則加速度
其方向與速度方向垂直，如圖14—1—甲所示.在時間內，設狐貍與獵犬分別 到達，獵犬的速度方向轉過的角度為/R
而狐貍跑過的距離是：≈ 因而/R≈/L，R=L/
所以獵犬的加速度大小為=/L
例2 如圖14—2所示，岸高為，人用繩經滑輪拉船靠岸，若當繩與水平方向為時，收繩速率為，則該位置船的速率為多大？
解析 要求船在該位置的速率即為瞬時速率，需從該時刻起取一小段時間求它的平均速率，當這一小段時間趨于零時，該平均速率就為所求速率.
設船在角位置經時間向左行駛距離，滑輪右側的繩長縮短，如圖14—2—甲所示，當繩與水平方向的角度變化很小時，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有
=
兩邊同除以得：，即收繩速率
因此船的速率為
例3 如圖14—3所示，半徑為R，質量為m的圓形繩圈，以角速率繞中心軸O在光滑水平面上勻速轉動時，繩中的張力為多大？
解析 取繩上一小段來研究，當此段弧長對應的圓心角很小時，有近似關系式
若取繩圈上很短的一小段繩AB=為研究對象，設這段繩所對應的圓心角為，這段繩兩端所受的張力分別為和（方向見圖14—3—甲），因為繩圈勻速轉動，無切向加速度，所以和的大小相等，均等于T. 和在半徑方向上的合力提供這一段繩做勻速圓周運動的向心力，設這段繩子的質量為，根據牛頓第二定律有：；
因為段很短，它所對應的圓心角很小所以
將此近似關系和
代入上式得繩中的張力為
例4 在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細管軌道ABC，光滑小球從頂點A處沿斜邊軌道自靜止出發自由地滑到端點C處所需時間，恰好等于小球從頂點A處自靜止出發自由地經兩直角邊軌道滑到端點C處所需的時間.這里假設鉛垂軌道AB與水平軌道BC的交接處B有極小的圓弧，可確保小球無碰撞的拐彎，且拐彎時間可忽略不計.
在此直角三角形范圍內可構建一系列如圖14—4中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓弧（作用同上），軌道均從A點出發到C點終止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發自由地從A點滑行到C點所經時間的上限與下限之比值.
解析 直角三角形AB、BC、CA三邊的長分別記為、、，如圖14—4—甲所示，小球從A到B的時間記為，再從B到C的時間為，而從A直接沿斜邊到C所經歷的時間記為，由題意知，可得：：=3：4：5，
由此能得與的關系.
因為
所以
因為：=3：4，所以
小球在圖14—4—乙中每一虛線所示的軌道中，經各垂直線段所需時間之和為，經各水平段所需時間之和記為，則從A到C所經時間總和為，最短的對應的下限，最長的對應的上限
小球在各水平段內的運動分別為勻速運動，同一水平段路程放在低處運動速度大，所需時間短，因此，所有水平段均處在最低位置（即與BC重合）時最短，其值即為，故=
的上限顯然對應各水平段處在各自可達到的最高位置，實現它的方案是垂直段每下降小量，便接一段水平小量，這兩個小量之間恒有，角即為∠ACB，水平段到達斜邊邊界后，再下降一小量并接一相應的水平量，如此繼續下去，構成如圖所示的微齒形軌道，由于、均為小量，小球在其中的運動可處理為勻速率運動，分別所經的時間小量與之間有如下關聯：
于是作為之和的上限與作為之和的之比也為故的上限必為，即得：
這樣=7:5
例5 在光滑的水平面上有兩個質量可忽略的相同彈簧，它們的一對端點共同連接著一個光滑的小物體，另外一對端點A、B固定在水平面上，并恰使兩彈簧均處于自由長度狀態且在同一直線上，如圖14—5所示.如果小物體在此平面上沿著垂直于A、B連線的方向稍稍偏離初始位置，試分析判斷它是否將做簡諧運動？
解析 因為一個物體是否做簡諧運動就是要看它所受的回復力是否是一個線性力，即回復力的大小與位移大小成正經，方向相反.因此分析判斷該題中的小物體是否做簡諧運動，關鍵是求出所受的回復力的表達式（即此題中所受合外力的表達式）.
以AB中點為原點，過中點且垂直于AB的直線為軸，如圖14—5—甲所示，取軸正方向為正方向，小物體所受回復力為： ①
其中為彈簧的勁度系數，為彈簧的自由長度，為彈簧伸長后的長度，為彈簧伸長后與AB直線的夾角.由幾何知識可得
②
③
將②、③代入①式得：
由此可見，小物體受的合外力是一個非線性回復力，因此小物體將不做簡諧運動.同時本題表明，平衡位置附近的小振動未必都是簡諧運動.
例6 三根長度均為，質量均勻的直桿，構成一正三角形框架ABC，C點懸掛在一光滑水平轉軸上，整個框架可繞轉軸轉動.桿AB是一導軌，一電動玩具松鼠可在導軌上運動，如圖14—6所示，現觀察到松鼠正在導軌上運動，而框架卻靜止不動，試論證松鼠的運動是一種什么樣的運動.
解析 松鼠在AB軌道運動，當框架不動時，松鼠受到軌道給它的水平力F′作用，框架也受到松鼠給它的水平力F作用，設在某一時刻，松鼠離桿AB的中點O的距離為，如圖14—6所示，松鼠在豎直方向對導軌的作用力等于松鼠受到的重力，m為松鼠的質量.以C點為軸，要使框架平衡，必須滿足條件，松鼠對AB桿的水平力為
，式中L為桿的長度.所以對松鼠而言，在其運動過程中，沿豎直方向受到的合力為零，在水平方向受到桿AB的作用力為F′，由牛頓第三定律可知F′=F，即
其中
即松鼠在水平方向受到的作用力F′作用下的運動應是以O點為平衡位置的簡諧運動，其振動的周期為
當松鼠運動到桿AB的兩端時，它應反向運動，按簡諧運動規律，速度必須為零，所以松鼠做簡諧運動的振幅小于或等于L/2=1m.
由以上論證可知，當框架保持靜止時，松鼠在導軌AB上的運動是以AB的中點O為平衡位置，振幅不大于1m、周期為2.64s的簡諧運動.
例7 在一個橫截面面積為S的密閉容器中，有一個質量為m的活塞把容器中的氣體分成兩部分.活塞可在容器中無摩擦地滑動，活塞兩邊氣體的溫度相同，壓強都是，體積分別是V1和V2，如圖14—7所示.現用某種方法使活塞稍微偏離平衡位置，然后放開，活塞將在兩邊氣體壓力的作用下來回運動.容器保持靜止，整個系統可看做是恒溫的.
（1）求活塞運動的周期，將結果用、V1、V2、m和S表示；
（2）求氣體溫度℃時的周期與氣體溫度=30℃時的周期之比值.
解析 （1）活塞處于平衡時的位置O為坐標原點當活塞運動到右邊距O點處時，左邊氣體的體積由V1變為V1+，右邊氣體的體積由V2變為V2，設此時兩邊氣體的壓強分別為和，因系統的溫度恒定不變，根據玻意耳定律有：
而以上兩式解出： ①
按題意，活塞只稍許離開平衡位置，故上式可近似為： ，于是活塞受的合力為所以活塞的運動方程是
其中是加速度，由此說明活塞做簡諧運動，周期為
（2）設溫度為時，周期為，溫度為時，周期為.由于，得出
所以，將數值代入得
例8 如圖14—8所示，在邊長為的正三角形三個頂點A、B、C處分別固定電量為Q的正點電荷，在其中三條中線的交點O上放置一個質量為m，電量為的帶正電質點，O點顯然為帶電質點的平衡位置，設該質點沿某一中線稍稍偏離平衡位置，試證明它將做簡諧運動，并求其振動周期.
解析 要想證明帶電質點是否做簡諧運動，則需證明該帶電質點沿某一中線稍稍偏離平衡位置時，所受的回復力是否與它的位移大小成正比，方向相反.因此該題的關鍵是求出它所受回復力的表達式，在此題也就是合外力的表達式.
以O為坐標原點，以AOD中線為坐標軸，如圖14—8—甲所示，設帶電質點在該軸上偏移，A處Q對其作用力為，B、C處兩個Q對其作用的合力為，取軸方向為正方向. 有
因為
當很小時可忽略高次項所以
（略去項）
（略去項）
因此帶電質點所受合力為
由此可知，合外力與大小成正比，方向相反.
即該帶電質點將做簡諧運動，其振動周期為
例9 欲測電阻R的阻值，現有幾個標準電阻、一個電池和一個未經標定的電流計，連成如圖14—9所示的電路.第一次與電流計并聯的電阻為50.00Ω，電流計的示度為3.9格；第二次為100.00Ω，電流計的示度為5.2格；第三次為10.00Ω，同時將待測電阻R換成一個20.00kΩ的標準電阻，結果電流計的示度為7.8格.已知電流計的示度與所通過的電流成正比，求電阻R的阻值.
解析 在測試中，除待求量R外，電源電動勢E，電源內阻，電流計內阻以及電流計每偏轉一格的電流，均屬未知.本題數據不足，且電流計讀數只有兩位有效數字，故本題需要用近似方法求解.
設電源電動勢為E，電流計內阻為，電流計每偏轉一格的電流為，用歐姆定律對三次測量的結果列式如下：
從第三次測量數據可知，當用20kΩ電阻取代R，而且阻值減小時電流計偏轉格數明顯增大，可推知R的阻值明顯大于20kΩ，因此電源內阻完全可以忽略不計，與R相比，電流計內阻與的并聯值對干路電流的影響同樣也可以忽略不計，故以上三式可近似為：
①
②
③
待測電阻R=120k
解①、②、③三式，可得=50Ω
例10 如圖14—10所示，兩個帶正電的點電荷A、B帶電量均為Q，固定放在軸上的兩處，離原點都等于.若在原點O放另一正點電荷P，其帶電量為，質量為m，限制P在哪些方向上運動時，它在原點O才是穩定的？
解析 設軸與軸的夾角為，正電點電荷P在原點沿軸方向有微小的位移時，A、B兩處的點電荷對P的庫侖力分別為、，方向如圖14—10所示，P所受的庫侖力在軸上的分量為 ①
根據庫侖定律和余弦定理得　　　　　　②
③
④
⑤
將②、③、④、⑤式代入①得：

因為很小，忽略得：
又因為
所以利用近似計算得
忽略得
當（時具有恢復線性形式，所以在范圍內，P可圍繞原點做微小振動，所以P在原點處是穩定的.
例11 某水池的實際深度為，垂直于水面往下看，水池底的視深為多少？（設水的折射率為）
解析 如圖14—11所示，設S為水池底的點光源，在由S點發出的光線中選取一條垂直于面MN的光線，由O點垂直射出，由于觀察者在S正方，所以另一條光線與光線SO成極小的角度從點S射向水面點A，由點A遠離法線折射到空氣中，因入射角極小，故折射角也很小，進入人眼的兩條折射光線的反向延長線交于點S′，該點即為我們看到水池底光源S的像，像點S′到水面的距離，即為視深.
由幾何關系有所以，因為、均很小，則有，所以 又因
所以視深
針對訓練
1．活塞把密閉氣缸分成左、右兩個氣室，每室各與U形管壓強計的一臂相連，壓強計的兩臂截面處處相同.U形管內盛有密度為×102kg/m3的液體.開始時左、右兩氣室的體積都為V0=1.2×10－2m3，氣壓都為×103Pa，且液體的液面處在同一高度，如圖14—12所示.現緩緩向左推動活塞，直到液體在U形管中的高度差h=40cm.求此時左、右氣室的體積V1、V2.假定兩氣室的溫度保持不變.計算時可以不計U形管和連接管道中氣體的體積.取g=10m/s2.
2．一汽缸的初始體積為V0，其中盛有2mol的空氣和少量的水（水的體積可忽略），其平衡時氣體的總壓強是3.0大氣壓.經過等溫膨脹使其體積加倍，在膨脹過程結束時，其中的水剛好全部消失，此時的總壓強為2.0大氣壓.若讓其繼續作等溫膨脹，使其體積再次加倍，試計算此時：
（1）汽缸中氣體的溫度；
（2）汽缸中水蒸氣的摩爾數；
（3）汽缸中氣體的總壓強. （假定空氣和水蒸氣均可當做理想氣體處理）
3．1964年制成了世界上第一盞用海浪發電的航標燈，它的氣室示意圖如圖14—13所示.利用海浪上下起伏力量，空氣能被吸進來，壓縮后再推入工作室，推動渦輪機帶動發電機發電.當海水下降時，閥門S1關閉，S2打開，設每次吸入壓強為1.0×106Pa、溫度為7℃的空氣0.233m3（空氣可視為理想氣體），當海上升時，S2關閉，海水推動活塞絕熱壓縮空氣，空氣壓強達到×105Pa時，閥門S1才打開.S1打開后，活塞繼續推動空氣，直到氣體全部推入工作室為止，同時工作室的空氣推動渦輪機工作.設打開S1后，活塞附近的壓強近似保持不變，活塞的質量及活塞筒壁間的摩擦忽略不計.問海水每次上升時所做的功是多少？已知空氣從壓強為、體積為V1的狀態絕熱的改變到壓強為、體積為V2的狀態過程中，近似遵循關系式/=（V2/V1）5/3，1mol理想氣體溫度升高1K時，內能改變為3R/2.[R=8.31J/(mol·K)]
4．如圖14—14所示，在O軸的坐標原點O處，有一固定的電量為的點電荷，在處，有一固定的、電量為的點電荷，今有一正試探電荷放在軸上的位置，并設斥力為正，引力為負.
（1）當的位置限制在O軸上變化時，求的受力平衡的位置，并討論平衡的穩定性；
（2）試定性地畫出試探電荷所受的合力F與在O軸上的位置的關系圖線.
5．如圖14—15所示，一人站在水面平靜的湖岸邊，觀察到離岸邊有一段距離的水下的一條魚，此人看到魚的位置與魚在水下的真實位置相比較，應處于什么方位.
6．如圖14—16所示，天空中有一小鳥B，距水面高，其正下方距水面深處的水中有一條小魚A.已知水的折射率為4/3，則小鳥看水中的魚距離自己是多遠？小魚看到鳥距離自己又是多遠？
參考答案
1．V1=0.8×10－2m3 ，V2=1.6×10－2m3 2．（1）373K （2）2mol （3）1.0大氣壓
3．8.15×104J 4．（1）平衡是穩定的 （2）
5．應在魚的右上方
6．6m，8m

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