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驗證機械能守恒典型例題
?【例1】?使用如圖（a）所示的裝置驗證機械能守恒定律，打出一條紙帶如圖（b）所示．圖（b）中O是打出的第一個點跡，A、B、C、D、E、F……是依次打出的點跡，量出OE間的距離為l，DF間的距離為s，已知打點計時器打點的周期是T．
??（1）上述物理量如果在實驗誤差允許的范圍內滿足關系式____________________，即驗證了重錘下落過程中機械能是守恒的．
??（2）如果發現圖（b）中OA距離大約是4 mm，則出現這種情況的原因可能是__________________________________________，如果出現這種情況，上述的各理量間滿足的關系式可能是________________________________________．
??【分析與解】（1）圖中O點是打出的第一個點，即為開始下落時的初始位置，選取OE段為我們的研究對象，設重錘的質量為m，則這段過程中重錘重力勢能的減少量為mgl．已知DF間距離為s，發生位移s所用時間為2T，由于作勻變速直線運動的物體在某段時間內的平均速度等于這段時間的中間時刻的瞬時速度，因此打E點時的速度vE=s/2T, 只要滿足 ，就可驗證機械能守恒，因此，本題的答案是 ．
??（2）根據我們前面的分析，只要按正常步驟操作，從開始釋放重錘到打第二個點（圖中A點），時間間隔最大值是T ( 即0.02s)，因此OA間距離只可能小于2mm而不可能大于2mm.現在題目說“OA距離大約是4 mm”，這說明一定是沒有按規范操作或某些地方出了問題，例如，先釋放紙帶而后接通打點計時器的電源開關．如果是這種情況，則開始打第1個點（O點）時速度已不是0，必然 ．當然，也其他問題，如打點計時器出了毛病，等等．
??（本題就沒有強調OA間距離要近似等于2mm，但同樣可以選取OE段為研究對象而驗證重錘下落過程中機械能守恒．但OA間距離只能小于2mm，而不能大于2mm，如果OA間距離大于2mm，則不能從第1點開始討論問題，而必須選取中間的某兩點，例如選取圖中的B點和E點，分別測出通過B點和E點時的速度vB和vE，量出B、E間距離s’，只要滿足 ，也就驗證了重錘下落過程中機械能是守恒的．）
?【例2】 在“驗證機械能守恒定律”的實驗中，已知打點計時器所用電源的頻率為50H z，查得當地的重力加速度，測得所用重物的質量為1.00kg。實驗中得到一條點跡清晰的紙帶，如圖4所示。把第一個點記作O，另選連續的4個點A、B、C、D作為測量點，經測量知道A、B、C、D各點到O點的距離分別為62.99cm、70.18cm、77.76cm、85.73cm。根據以上數據，可知重物由O點運動到C點時重力勢能的減少量等于 J，動能的增加量等于 J。（取三位有效數字）
圖4
解析：在驗證機械守恒定律的實驗中，當重物拖動紙帶自由下落時，由于空氣阻力及紙帶和打點計時器限位孔之間的摩擦，重力勢能的減少應大于動能的增加。根據勻變速直線運動規律，有
，
故重力勢能減少為，動能的增加應為。
?【例3】在“驗證機械能守恒定律”的實驗中：
(1)現有器材是：打點計時器；低壓電源；紙帶；帶夾子的重物；刻度尺；天平；導線；鐵架臺。其中該實驗不需要的器材是______。
(2)實驗中，要從幾條打上點的紙帶中挑選第一、二兩點間的距離接近 _____mm并且點跡清晰的紙帶進行測量。
(3)某學生在實驗中器材安裝正確，操作規范，所用交流電的頻率為50Hz，但驗證結果是重物增加的動能稍小于它減少的重力勢能，其主要原因是_______。
解：（1）天平
（2）2，(據m=0.002m=2mm)
（3）紙帶受到的摩擦阻力做負功
【例4】用落體法驗證機械能守恒定律的實驗中，如果任意選擇一條紙帶，且又不知打點的時間
間隔，能否用來驗證機械能守恒定律？如果能的話，說明其應用步驟和原理.
解析：只要打點時間間隔均勻，選用任意一條點子分布較為清晰的紙帶，都可以用來驗證機械
能守恒定律.其步驟和原理如下：
算出打點的時間間隔.根據勻變速直線運動的物體在任何連續相等的時間間隔內位移之差是
一個恒量的道理，量出紙帶上每兩點的間距，設為s1、s2、s3……如圖5－9－3所示，由公式
Δs=aT 2分別得
T1=；
T2=；
……
取其平均值作為打點時間間隔.
圖5－9－3
（2）算出經過各打點時刻的瞬時速度.根據做勻變速直線運動的物體在某一段時間內的平均速度
等于這段時間中點時刻的瞬時速度的道理，得各點的瞬時速度分別為
va=；vb=；……
（3）比較各打點痕跡間重力勢能的減少和相應兩位置間動能的增加，即比較
mgs2與（mvb2－mva2）
mgs3與（mvc2－mvb2）
……
如它們的數值相等，即表示機械能守恒.
【例5】某同學做“驗證機械能守恒定律”實驗時不慎將一條選擇好的紙帶的前面一部分破壞了，測
出剩下的一段紙帶上的各個點間的距離如圖5－9－4所示.已知打點計時器工作頻率為50 Hz，重力
加速度g=9.8 m/s2.
圖5－9－4
（1）利用這段紙帶說明重錘通過2、5兩點時機械能守恒.
解析：根據勻變速直線運動某一段時間上的平均速度等于這段時間中間時刻的即時速度，可分別求
得打2、5點時的速度如下：
v2=m/s=1.50 m/s
v5=m/s=2.08 m/s
2、5兩點間距離h25=(3.2+3.6+4.0)×10－2 m=1.08×10－1 m，
所以，－ΔEp=mgh25=m×9.8×1.08×10－1 J=m×1.06 J，
ΔEk=mv52－mv22=m(2.082－1.502) J=1.04×m J.
比較可得ΔEp和ΔEk近似相等，即重錘減少的勢能近似等于重錘增加的動能，可以認為機械能守恒
定律成立.
（2）分別說明為什么得到的結果是重力勢能減少量－ΔEp稍大于重錘動能的增加量ΔEk.
解析：由以上處理過程可以看出，即時速度v2和v5的計算是準確的，即ΔEk是準確的，而重錘下
落過程中不可避免地要克服阻力做功，從而減少一部分能量.重錘重力勢能減少量中一部分用來克
服阻力做功，另一部分用來增加重錘的動能，即有ΔEp=ΔEk+W，即總有ΔEp＞ΔEk.

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