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機械能守恒定律 學案
1．實例及其分析．
問題1? 投影片和實驗演示．如圖1所示．一根長L的細繩，固定在O點，繩另一端系一條質量為m的小球．起初將小球拉至水平于A點．求小球從A點由靜止釋放后到達最低點C時的速度．
分析及解答：小球從A點到C點過程中，不計空氣阻力，只受重力和繩的拉力．由于繩的拉力始終與運動方向垂直，對小球不做功．可見只有重力對小球做功，因此滿足機械能守恒定律的條件．選取小球在最低點C時重力勢能為零．根據機械能守恒定律，可列出方程：
教師展出投影片后，適當講述，然后提出問題．
問題2? 在上例中，將小球自水平稍向下移，使細繩與水平方向成θ角，如圖2所示。求小球從A點由靜止釋放后到達最低點C的速度．
分析及解答：仍照問題1，可得結果
問題3 現將問題1中的小球自水平稍向上移，使細繩與水平方向成θ角．如圖3所示．求小球從A點由靜止釋放后到達最低點C的速度．
分析及解答：仿照問題1和問題2的分析．
小球由A點沿圓弧AC運動到C點的過程中，只有重力做功，
滿足機械能守恒．取小球在最低點C時的重力勢能為零．
根據機械能守恒定律，可列出方程：
2．提出問題．
比較問題1問題2與問題3的分析過程和結果．可能會出現什么問題．引導學生對問題3的物理過程作細節性分析．起初，小球在A點，繩未拉緊，只受重力作用做自由落體運動，到達B點，繩被拉緊，改做
進一步分析：小球做自由落體運動和做圓周運動這兩個過程，都只有重
力做功，機械能守恒，而不是整個運動過程機械能都守恒，因此原分析解答
不合理．
進一步分析：小球的運動過程可分為三個階段．
(1)小球從A點的自由下落至剛到B點的過程；
(2)在到達B點時繩被拉緊，這是一個瞬時的改變運動形式的過程；
(3)在B點狀態變化后，開始做圓周運動到達C點．
通過進一步討論，前后兩個過程機械能分別是守恒的，而中間的瞬時變化過程中由于繩被拉緊，vB在沿繩方向的分速度改變為零，即繩的拉力對小球做負功，有機械能轉化為內能，機械能并不守恒．因此，對小球運動的全過程不能運用機械能守恒定律．
正確解答過程如下：
小球的運動有三個過程(見圖4)：
(1)從A到B，小球只受重力作用，做自由落體運動，機械能守恒．到達B點時，懸線轉過2θ°角，小球下落高度為2Lsinθ，取B點重力勢能為零．根據機械能守恒定律
(2)小球到達B點，繩突然被拉緊，在這瞬間由于繩的拉力作用，小球沿繩方向的分速度vB∥減為零，垂直繩的分速度vB⊥不變，即
(3)小球由B到C受繩的拉力和重力作用，做初速度為vB⊥的圓周運動，只有重力做功，機械能守恒，有：
聯立①、②、③式可解得vC．
問題4?
如圖5所示，在一根長為L的輕桿上的B點和末端C各固定一個質
量為m的小球，桿可以在豎直面上繞定點A轉動，現將桿拉到水平位置
與摩擦均不計)．
解法(一)：取在C點的小球為研究對象．在桿轉動過程中，只有重力對它做功，故機械能守恒．有：
解法(二)：取在B點的小球為研究對象，在桿轉動過程中，只有重力對它做功，故機械能守恒：
由于固定在桿上B、C點的小球做圓周運動具有相同的角速度，則vB∶vC=rB∶rC=2∶3，
現比較解法(一)與解法(二)可知，兩法的結果并不相同．
提出問題：
兩個結果不同，問題出現在何處呢？
教師歸納總結，運用機械能守恒定律，應注意研究對象(系統)的選取和定律守恒的的條件．在本例題中出現的問題是，整個系統機械能守恒，但是，系統的某一部分(或研究對象)的機械能并不守恒．因而出現了錯誤的結果．
師生共同歸納，總結解決問題的具體辦法．
由于兩小球、輕桿和地球組成的系統在運動過程中，勢能和動能相互轉化，且只有系統內兩小球的重力做功，故系統機械能守恒．選桿在水平位置時為零勢能點．則有 E1=0．
而E1=E2，
對機械能守恒定律的理解還可有以下表述：
①物體系在任意態的總機械能等于其初態的總機械能．
②物體系勢能的減小(或增加)等于其動能的增加(或減小)．
③物體系中一部分物體機械能的減小等于另一部分物體機械能的增加．
已知，小物體自光滑球面頂點從靜止開始下滑．求小物體開始脫離球面時α=？如圖6所示．
先仔細研究過程．從運動學方面，物體先做圓周運動，脫離球面后做拋體運動．在動力學方面，物體在球面上時受重力mg和支承力N，根據牛頓第二定律
物體下滑過程中其速度v和α均隨之增加，故N逐步減小直到開始脫離球面時N減到零．兩個物體即將離開而尚未完全離開的條件是N=0．
解：視小物體與地球組成一系統．過程自小物體離開頂點至即將脫離球面為止．球面彈性支承力N為外力，與物體運動方向垂直不做功；內力僅有重力并做功，故系統機械能守恒．以下可按兩種方式考慮．
（1）以球面頂點為勢能零點，系統初機械能為零，末機械能為
機械能守恒要求
兩種考慮得同樣結果．
〔注〕(1)本題是易于用機械能守恒定律求解的典型題，又涉及兩物體從緊密接觸到彼此脫離的動力學條件，故作詳細分析．
(2)解題前將過程分析清楚很重要，如本題指出，物體沿球面運動時，N減小變為零而脫離球面．若過程分析不清將會導致錯誤．
為加深對機械能守恒定律的理解，再舉例
一根細繩不可伸長，通過定滑輪，兩端系有質量為M和m的小球，且M＞m，開始時用手握住M，使系統處于圖7所示狀態．求：當M由靜止釋放下落h高時的速度．(h遠小于半繩長，繩與滑輪質量及各種摩擦均不計)
解：兩小球和地球等組成的系統在運動過程中只有重力做功，機械能守恒．有：
提問：如果M下降h剛好觸地，那么m上升的總高度是多少？組織學生限用機械能守恒定律解答．
解法一：M觸地，m做豎直上拋運動，機械能守恒．有：
解法二：M觸地，系統機械能守恒，則M機械能的減小等于m機械能的增加．即有：
教師針對兩例小結：對一個問題，從不同的角度運用機械能守恒定律．體現了思維的多向性．我們在解題時，應該像解本題這樣先進行發散思維，尋求問題的多種解法，再進行集中思維，篩選出最佳解題方案．
3．歸納總結．
引導學生，結合前述實例分析、歸納總結出運用機械能守恒定律解決問題的基本思路與方法．
(1)確定研究對象(由哪些物體組成的物體系)；
(2)對研究對象進行受力分析和運動過程分析．
(3)分析各個階段諸力做功情況，滿足機械能守恒定律的成立條件，才能依據機械能守恒定律列出方程；
(4)幾個物體組成的物體系機械能守恒時，其中每個物體的機械能不一定守恒，因為它們之間有相互作用，在運用機械能守恒定律解題時，一定要從整體考慮．
(5)要重視對物體運動過程的分析，明確運動過程中有無機械能和其他形式能量的轉換，對有能量形式轉換的部分不能應用機械能守恒定律．

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