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探究外力做功與物體動能變化的關(guān)系
[例題1] 一個物體從斜面上高h(yuǎn)處由靜止滑下并緊接著在水平面上滑行一段距離后停止，量得停止處對開始運(yùn)動處的水平距離為S，如圖8－27，不考慮物體滑至斜面底端的碰撞作用，并設(shè)斜面與水平面對物體的摩擦因數(shù)相同．求摩擦因數(shù)μ．
[思路點(diǎn)撥] 以物體為研究對象，它從靜止開始運(yùn)動，最后又靜止在平面上，考查全過程中物體的動能沒有變化，即ΔEK=0，因此可以根據(jù)全過程中各力的合功與物體動能的變化上找出聯(lián)系．
[解題過程]設(shè)該面傾角為α，斜坡長為l，則物體沿斜面下滑時(shí)，
物體在平面上滑行時(shí)僅有摩擦力做功，設(shè)平面上滑行距離為S2，則
對物體在全過程中應(yīng)用動能定理：ΣW=ΔEk．
mgl·sinα－μmgl·cosα－μmgS2=0
得 h－μS1－μS2=0．
式中S1為斜面底端與物體初位置間的水平距離．故
[小結(jié)]本題中物體的滑行明顯地可分為斜面與平面兩個階段，而且運(yùn)動性質(zhì)也顯然分別為勻加速運(yùn)動和勻減速運(yùn)動．依據(jù)各階段中動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)關(guān)系也可求解本題．比較上述兩種研究問題的方法，不難顯現(xiàn)動能定理解題的優(yōu)越性．用動能定理解題，只需抓住始、末兩狀態(tài)動能變化，不必追究從始至末的過程中運(yùn)動的細(xì)節(jié)，因此不僅適用于中間過程為勻變速的，同樣適用于中間過程是變加速的．不僅適用于恒力作用下的問題，同樣適用于變力作用的問題．
[例題2] 質(zhì)量為500t的機(jī)車以恒定的功率由靜止出發(fā)，經(jīng)5min行駛2.25km，速度達(dá)到最大值54km/h，設(shè)阻力恒定且取g=10m/s2．求：(1)機(jī)車的功率P=？(2)機(jī)車的速度為36km/h時(shí)機(jī)車的加速度a=？
[思路點(diǎn)撥] 因?yàn)闄C(jī)車的功率恒定，由公式P=Fv可知隨著速度的增加，機(jī)車的牽引力必定逐漸減小，機(jī)車做變加速運(yùn)動，雖然牽引力是變力，但由W=P·t可求出牽引力做功，由動能定理結(jié)合P=f·vm，可
求出36km/h時(shí)的牽引力，再根據(jù)牛頓第二定律求出機(jī)車的加速度a．
[解題過程] (1)以機(jī)車為研究對象，機(jī)車從靜止出發(fā)至達(dá)速度最大值過程，根據(jù)ΣW=ΔEk，有
當(dāng)機(jī)車達(dá)到最大速度時(shí)，F(xiàn)=f．所以
當(dāng)機(jī)車速度v=36km/h時(shí)機(jī)車的牽引力
根據(jù)ΣF=ma可得機(jī)車v=36km/h時(shí)的加速度
[小結(jié)] 機(jī)車以恒定功率起動，直到最大速度，屬于變力做功的問
由于速度增大導(dǎo)致加速度減小，汽車做加速度逐漸減小而速度逐漸變大的變加速運(yùn)動．此類問題應(yīng)用牛頓第二定律求解，在中學(xué)物理范圍內(nèi)是無法求解的．但應(yīng)用動能定理求解變力做功，進(jìn)而求解相關(guān)物理量是一種簡捷優(yōu)化的解題思路與方法．
[例題3] 一輛車通過一根跨過定滑輪的繩PQ提升井中質(zhì)量為m的物體，如圖8－28所示：繩的P端拴在車后的掛鉤上，Q端拴在物體上，設(shè)繩的總長不變；繩的質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計(jì)．開始時(shí)，車在A點(diǎn)，左右兩側(cè)繩都已繃緊并且是豎直的，左側(cè)繩繩長為H．提升時(shí)，車加速向左運(yùn)動，沿水平方向從A經(jīng)過B駛向C．設(shè)A到B的距離也為H，車經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為vB．求車由A移到B的過程中，繩Q端的拉力對物體做的功？
[思路點(diǎn)撥] 汽車從A到B把物體提升的過程中，物體只受到拉力和重力的作用，根據(jù)物體速度的變化和上升的高度，特別是汽車運(yùn)動速度vB與物體上升過程中的瞬時(shí)速度關(guān)系，應(yīng)用動能定理即可求解．
[解題過程] 以物體為研究對象，開始動能Ek1=0，隨著車的加速拖動，重物上升，同時(shí)速度在不斷增加．當(dāng)車運(yùn)動至B點(diǎn)時(shí)，左邊的繩與水平面所成角θ=45°，設(shè)物體已從井底上升高度h，此時(shí)物體速度為vQ，即為收繩的速度，它等于車速沿繩子方向的一個分量，如圖8－29
[小結(jié)] 此題需明確：速度分解跟力的分解相似，兩個分速度方向應(yīng)根據(jù)運(yùn)動的實(shí)際效果確定．車子向左運(yùn)動時(shí)，繩端(P)除了有沿繩子方向的分運(yùn)動外(每一瞬間繩均處于張緊的狀態(tài))，還參與了繞定滑輪O的轉(zhuǎn)動分運(yùn)動(繩與豎直方向的夾角不斷變化)，因此還應(yīng)該有一個繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動的分速度，這個分速度垂直于繩長的方向．所以車子運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)的速度分解如圖8－29所示，有vQ=vB1=vBcosθ=vBcos45°．
[例題4] 在光滑水平面上有一靜止的物體，現(xiàn)以水平恒力甲推這一物體，作用一段時(shí)間后，換成相反方向的水平恒力乙推這一物體．當(dāng)恒力乙作用時(shí)間與恒力甲作用時(shí)間相同時(shí)，物體恰好回到原處，此時(shí)物體的動能為32J，則在整個過程中，恒力甲做的功和恒力乙做的功各等于多少？
[思路點(diǎn)撥] 由題意：物體先做勻加速運(yùn)動，后做勻減速運(yùn)動回到原處．整個過程中的位移為零，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式，即可確定兩個力的大小關(guān)系，然后根據(jù)全過程中兩個力做功和動能的變化即可得解．
[解題過程] 物體從靜止受水平恒力F甲作用，做勻加速運(yùn)動，經(jīng)過一段時(shí)間t后的速度為
經(jīng)時(shí)間t后回到原處，前后兩段時(shí)間內(nèi)的位移大小相等，方向相反，所以
因此F乙=3F甲．
設(shè)在F甲作用下物體的位移為S，對全過程應(yīng)用動能定理F甲·S＋F乙·S=ΔEk，代入F乙=3F甲，F(xiàn)甲·S＋3F甲·S=ΔEk，所以恒力甲和乙做的功分別為
[小結(jié)] 本題屬多階段物理過程求功問題，運(yùn)動往復(fù)性的不同階段有不同的恒力作用，運(yùn)用功能定理從整體上考證功能轉(zhuǎn)換比從力和運(yùn)動關(guān)系去研究要簡便．當(dāng)然此題也可根據(jù)兩個力作用時(shí)間相同、兩個物理過程中的位移大小相等，由平均速度的大小相等找出兩者末速度的關(guān)系求解；也可以利用v－t圖線更直觀地得到啟發(fā)，根據(jù)圖線上下方與t軸間的面積相等求兩段加速度之比，進(jìn)而求解．
[例題5] 如圖8－30所示，長為L，質(zhì)量為m1的木板A置于光滑水平面上，在A板上表面左端有一質(zhì)量為m2的物塊B，B與A的摩擦因數(shù)為μ，A和B一起以相同的速度v向右運(yùn)動，在A與豎直墻壁碰撞過程中無機(jī)械能損失，要使B一直不從A上掉下來，v必須滿足什么條件(用m1、m2、L、μ表示)？倘若V0已知，木板B的長度L應(yīng)滿足什么條件(用m1、m2、V0、μ表示)？
[思路點(diǎn)撥] A和墻壁碰撞后，A以大小為v的速度向左運(yùn)動，B仍以原速向右運(yùn)動．以后的運(yùn)動過程有三種可能：(1)若m1＞m2，則m1和m2最后以某一共同速度向左運(yùn)動；(2)若m1=m2，則A、B最后都停在水平面上，但不可能與墻壁發(fā)生第二次碰撞；(3)若m1＜m2，則A將多次和墻壁碰撞、最后停在靠近墻壁處．
[解題過程] 若m1＞m2，碰撞后的總動量方向向左，以向左為正方向，系統(tǒng)Δp=0，
m1v－m2v=(m1＋m2)v′，
若相對靜止時(shí)B剛好在A板右端，則系統(tǒng)總機(jī)械能損失應(yīng)為μm2gL，則功能關(guān)系為
若V0已知，則板長L應(yīng)滿足
若m1=m2，碰撞后系統(tǒng)總動量為零，最后都靜止在水平面上，設(shè)靜止時(shí)B在A的右端，則
若m1＜m2，則A與墻壁將發(fā)生多次碰撞，每次碰撞后總動量方向都向右，而B相對于A始終向右運(yùn)動，設(shè)最后A靜止在靠近墻壁處，B靜止在A的右端，則有
[小結(jié)] 在有些用字母表示已知物理量的題目中，物理過程往往隨著已知量的不同取值范圍而改變．對于這類題目，通常是將物理量的取值分成幾個范圍來討論，分別在各個范圍內(nèi)求解．如本題中，由于m1和m2的大小關(guān)系沒有確定，在解題時(shí)必須對可能發(fā)生的物理過程進(jìn)行討論，分別得出結(jié)果．

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