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萬有引力定律的應用 學案
1.關于萬有引力和重力的關系
地面上物體所受萬有引力F可以分解為物體所受的重力mg和隨地球自轉而做圓周運動的向心力F’。其中
當物體在赤道上時，F、mg、F’三力同向，此時滿足F’＋mg＝F
當物體在兩極點時，F’＝0 ,F=mg=
當物體在地球的其他位置時，三力方向不同。
例1 地球赤道上的物體由于地球自轉產生的向心加速度a＝3.37×10－2 m/s2,赤道上重力加速度g取10m/s2試問：（1）質量為m kg的物體在赤道上所受的引力為多少？（2）要使在赤道上的物體由于地球的自轉而完全失重，地球自轉的角速度應加快到實際角速度的多少倍？
解析：（1）物體所受地球的萬有引力產生了兩個效果：一是使物體豎直向下運動的重力，一是提供物體隨地球自轉所需的向心力，并且在赤道上這三個力的方向都相同，有F引＝mg+F向＝m(g+a)=m(9.77+3.37×10-2)=9.804m(N)
（2）設地球自轉角速度為ω，半徑為R，則有a＝ωR，欲使物體完全失重，即萬有力完全提供了物體隨地球自轉所需的向心力，即mω’R＝F引＝9.804m，解以上兩式得ω’＝17.1ω.
2.關于天體質量或密度的計算問題
解法一：利用天體表面的重力加速度g，由得M＝gR2／G，只需知道g和天體半徑R即可；密度
解法二：利用“衛星”的周期T和半徑r，由，
密度(R為天體的半徑)，當衛星沿天體表面附近繞天體運動時，r＝R，則。
例2 已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2,重力加速度g＝9.8m/s2,地球半徑R＝6.4×104m，可求得地球的質量為多少？（結果保留一位有效數字）
解析：在地球表面質量為m的物體所受的重力等于地球對物體的引力，有
,得
例3 一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，認為行星是密度均勻的球體，要確定該行星的密度，只需要測量 A．飛船的軌道半徑???????????? B．飛船的運行速度 C．飛船的運行周期?????????? D．行星的質量
解析：“飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行”，可以認為飛船的軌道半徑與行星的半徑相等，飛船做圓周運動的向心力由行星對它的萬有引力提供，由萬有引力定律和牛頓第二定律：，
由上式可知： ，即行星的密度；
上式表明：只要測得衛星公轉的周期，即可得到行星的密度，選項C正確。
3.關于人造衛星和宇宙速度問題
（1）衛星繞地球做圓周運動的向心力由萬有引力提供，由此推出：衛星的繞行速度、角速度、周期與半徑r的關系。
①由得，r越大，v越小。
②由得，r越大，ω越小。
③由得，r越大，T越大。
式中r是衛星運行軌道到地球球心的距離。
（2）要將人造衛星發射到預定的軌道上，就需要給衛星一個發射速度。發射速度隨著發射高度的增加而增大。最小的發射速度為，即第一宇宙速度，它是人造衛星在地面附近環繞地球做勻速圓周運動所必須具有的速度，也是衛星的最大繞行速度。
（3）兩類運動——穩定運行和變軌運行。衛星繞天體穩定運行時，萬有引力提供了衛星做圓周運動的向心力，由，得，由此可知，軌道半徑r越大，衛星的速度越小，當衛星由于某種原因，其速度v突然變化時，F引和不再相等，因此就不能再根據來確定r的大小。當F引>時，衛星做近心運動；當F引<時，衛星做離心運動。
例４ 2003年10月15日，我國成功發射航天飛船“神舟”號，繞地球飛行14圈安全返回地面，這一科技成就預示我國航天技術取得最新突破。據報道飛船質量約為10t，繞地球一周的時間約為90min。已知地球的質量M＝6×1024kg，萬有引力常量G＝6.67×10－11N·m2·kg-2。設飛船繞地球做勻速圓周運動，由以上提供的信息，解答下列問題：
（1）“神舟”號離地面的高度為多少km?
（2）“神舟”號繞地球飛行的速度是多大？
（3）載人艙在將要著陸之前，由于空氣阻力作用有一段勻速下落過程，若空氣阻力與速度平方成正比，比例系數為k，載人艙的質量為m，則此勻速下落過程中載人艙的速度多大？
解析：（1）由牛頓第二定律知：
得離地高度
（2）繞行速度
（3）由平衡條件知：kv2=mg，則速度
［基礎訓練］
１.同步衛星離地心距離為r，運行速率為v1，加速度為a1，地球赤道上物體隨地球自轉的向心加速度為a2,第一宇宙速度為v2,地球半徑為R，則（）
A. a1/a2=r/R B. a1/a2=R2/r2
C. v1/v2=R2/r2 D. v1/v2
２.若航天飛機在一段時間內保持繞地球地心做勻速圓周運動則（ ）
A.它的速度大小不變
B.它不斷地克服地球對它的萬有引力做功
C.它的動能不變，重力勢能也不變
D.它的速度大小不變，加速度等于零
３．“探路者”號宇宙飛船在宇宙深處飛行過程中，發現A、B兩顆天體各有一顆靠近表面飛行的衛星，并測得兩顆衛星的周期相等，以下判斷錯誤的是（）
A．天體A、B表面的重力加速度與它們的半徑成正比
B．兩顆衛星的線速度一定相等
C．天體A、B的質量可能相等
D．天體A、B的密度一定相等
４．將衛星發射至近地圓軌道1（如圖所示），然后再次點火，將衛星送入同步軌道3。軌道1、2相切于Q點，2、3相切于P點，則當衛星分別在1、2、3軌道上正常運行時，以下說法正確的是：
A．衛星在軌道3上的速率大于軌道1上的速率。
B．衛星在軌道3上的角速度大于在軌道1上的角速度。
C．衛星在軌道1上經過Q點時的加速度大于它在軌道2上經過Q點時的加速度。
D．衛星在軌道2上經過P點的加速度等于它在軌道3上經過P點時的加速度。
５．太陽光從太陽射到地球需8分20秒，地球公轉軌道可近似看作圓形，地球半徑約6.4×106m，估算太陽質量M與地球質量m之比為__________。
６．兩顆人造衛星A、B的質量之比mA∶mB=1∶2，軌道半徑之比rA∶rB=1∶3，某一時刻它們的連線通過地心，則此時它們的線速度之比vA∶vB= ，向心加速度之比aA∶aB= ，向心力之比FA∶FB= 。
７．偵察衛星在通過地球兩極上空的圓軌道上運行，它的運行軌道距地面高度為h，要使衛星在一天的時間內將地面上赤道各處的日照條件下的情況全部拍攝下來，衛星在通過赤道上空時，衛星上的攝像機至少能拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設地球半徑為R，地面重力加速度為g，地球自轉周期為T。
８．一衛星繞某行星做勻速圓周運動，已知行星表面的重力加速度為g0，行星的質量M與衛星的質量m之比M/m=81，行星的半徑R0與衛星的半徑R之比R0/R＝3.6，行星與衛星之間的距離r與行星的半徑R0之比r/R0＝60。設衛星表面的重力加速度為g，則在衛星表面有 ……
經過計算得出：衛星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600。上述結果是否正確？若正確，列式證明；若有錯誤，求出正確結果。
參考答案
題號
1
2
3
4
5
答案
AD
Ｃ
Ｂ
ＢＤ
題號
6
７
答案
； 9：1； 9：2
詳解：
２．分析：航天飛機繞地心做勻速圓周運動，速度大小不變，動能不變，離地心距離不變，重力勢能不變，引力不做功。
４．解：由得，
而，
軌道3的半徑比1的大，故A錯B對，“相切”隱含著切點彎曲程度相同，即衛星在切點時兩軌道瞬時運行半徑相同，又，故C錯D對。
５．分析：太陽到地球距離：
r=ct=3×108×500m=1.5×1011m
設地球繞太陽做圓周運動，則由牛頓定律：
所以
地球上物體隨地球運動時：
所以，
所以：
７．解析：設偵察衛星繞地球做勻速圓周運動的周期為T1,
有, ①
地面處重力加速度為g，則有。 ②
由①②得。
地球自轉周期為T，在衛星繞行一周時，地球自轉轉過的角度為.
攝像機能拍攝赤道圓周的弧長為
８．解析：題中所列關于g的表達式并不是衛星表面的重力加速度，而是衛星繞行星做勻速圓周運動的向心加速度。正確的解法是
衛星表面＝g 行星表面=g0 即=
即g =0.16g0。

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