資源簡介

課 題： 萬有引力定律與航天 類型：復習課
萬有引力定律及其應用
知識簡析 一.開普勒運動定律
(1)開普勒第一定律：所有的行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上．
(2)開普勒第二定律：對于每一個行星而言，太陽和行星的連線在相等的時間內掃過的面積相等．
(3)開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等．
二.萬有引力定律
(1)內容：宇宙間的一切物體都是互相吸引的，兩個物體間的引力大小，跟它們的質量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比．
(2)公式：F＝G,其中，稱為為有引力恒量。
(3)適用條件：嚴格地說公式只適用于質點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，公式也可近似使用，但此時r應為兩物體重心間的距離．對于均勻的球體,r是兩球心間的距離．
注意：萬有引力定律把地面上的運動與天體運動統一起來，是自然界中最普遍的規律之一，式中引力恒量G的物理意義是：G在數值上等于質量均為1千克的兩個質點相距1米時相互作用的萬有引力．
三、萬有引力和重力
重力是萬有引力產生的，由于地球的自轉，因而地球表面的物體隨地球自轉時需要向心力．重力實際上是萬有引力的一個分力．另一個分力就是物體隨地球自轉時需要的向心力，如圖所示，由于緯度的變化，物體做圓周運動的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極逐漸增大．通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，而認為兩者相等，即m2g＝G, g=GM/r2常用來計算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即gh=GM/（r+h）2，比較得gh=（）2·g
在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和m2g剛好在一條直線上，則有
F＝F向＋m2g，
所以m2g=F一F向＝G－m2Rω自2
因地球目轉角速度很小G? m2Rω自2,所以m2g= G
假設地球自轉加快，即ω自變大，由m2g＝G－m2Rω自2知物體的重力將變小，當G=m2Rω自2時，m2g=0，此時地球上物體無重力，但是它要求地球自轉的角速度ω自＝，比現在地球自轉角速度要大得多.
四.天體表面重力加速度問題
設天體表面重力加速度為g,天體半徑為R，由mg=得g=,由此推得兩個不同天體表面重力加速度的關系為
五．天體質量和密度的計算
原理：天體對它的衛星（或行星）的引力就是衛星繞天體做勻速圓周運動的向心力．
G=mr，由此可得：M=；ρ===（R為行星的半徑）
由上式可知，只要用實驗方法測出衛星做圓周運動的半徑r及運行周期T，就可以算出天體的質量M．若知道行星的半徑則可得行星的密度
規律方法 1、萬有引力定律的基本應用
【例1】如圖所示，在一個半徑為R、質量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為R/2的球形空穴后，對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質點m的引力是多大？
分析 　把整個球體對質點的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對質點的引力之和，即可得解．
解 　完整的均質球體對球外質點m的引力
這個引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分對質點的引力F1與半徑為R/2的小球對質點的引力F2之和，即F=F1+F2．因半徑為R/2的小球質量M/為，
則
所以挖去球穴后的剩余部分對球外質點m的引力
說明　 （1）有部分同學認為，如果先設法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的質量集中于這個重心上，應用萬有引力公式求解．這是不正確的．萬有引力存在于宇宙間任何兩個物體之間，但計算萬有引力的簡單公式卻只能適用于兩個質點或均勻球體，挖去球穴后的剩余部分已不再是均勻球了，不能直接使用這個公式計算引力．
（2）如果題中的球穴挖在大球的正中央，根據同樣道理可得剩余部分對球外質點m的引力
上式表明，一個均質球殼對球外質點的引力跟把球殼的質量（7M/8）集中于球心時對質點的引力一樣．
【例2】某物體在地面上受到的重力為160 N，將它放置在衛星中，在衛星以加速度a＝?g隨火箭加速上升的過程中，當物體與衛星中的支持物的相互壓力為90 N時，求此時衛星距地球表面有多遠？（地球半徑R＝6.4×103km,g取10m/s2）
解析：設此時火箭上升到離地球表面的高度為h，火箭上物體受到的支持力為N,物體受到的重力為mg/，據牛頓第二定律．N－mg/=ma……①
在h高處mg/＝……② 在地球表面處mg=……③
把②③代入①得 ∴=1.92×104 km.
說明:在本問題中，牢記基本思路,一是萬有引力提供向心力，二是重力約等于萬有引力．
【例3】有人利用安裝在氣球載人艙內的單擺來確定氣球的高度。已知該單擺在海平面處的周期是T0。當氣球停在某一高度時，測得該單擺周期為T。求該氣球此時離海平面的高度h。把地球看作質量均勻分布的半徑為R的球體。
解析：根據單擺周期公式：其中l是單擺長度，g0和g分別是兩地點的重力加速度。根據萬有引力公式得其中G是引力常數，M是地球質量。
由以上各式解得
【例4】登月火箭關閉發動機在離月球表面112 km的空中沿圓形軌道運動，周期是120.5 min,月球的半徑是1740 km,根據這組數據計算月球的質量和平均密度．
解析：設月球半徑為R，月球質量為M，月球密度為ρ，登月火箭軌道離月球表面為h，運動周期為T，火箭質量為m，由GMm/r2=m4π2r/T2得M=4π2r3/（GT2），ρ=M/V，其中V=4π2R3/3，則F向=mω2r=m4π2（R+h）/T2，F引=GMm/（R+h）2，火箭沿軌道運行時有F引=F向，即GMm/（R+h）2= m4π2（R+h）/T2
故M=4π2（R+h）3/（GT2）2=7.2×1022kg,ρ=3M/4πR3=3.26×103kg/m3
【例5】已知火星上大氣壓是地球的1/200．火星直徑約為球直徑的一半，地球平均密度ρ地=5.5×103kg/m3，火星平均密度ρ火=4×103kg/m3．試求火星上大氣質量與地球大氣質量之比．
分析 　包圍天體的大氣被吸向天體的力．就是作用在整個天體表面（把它看成平面時）的大氣壓力．利用萬有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比，即可算出它們的大氣質量之比．
解　 設火星和地球上的大氣質量、重力加速度分別為m火、g火、m地、g地，火星和地球上的大氣壓分別為據萬有引力公式，火星和地球上的重力加速度分別為
綜合上述三式得
【例6】一個宇航員在半徑為R的星球上以初速度v0豎直上拋一物體，經ts后物體落回宇航員手中．為了使沿星球表面拋出的物體不再落回星球表面，拋出時的速度至少為多少？
解析：物體拋出后，受恒定的星球引力作用，做勻減速運動，遵循著在地面上豎直上拋時的同樣規律．設星球對物體產生的“重力加速度”為gx，則由豎直上拋運動的公式得為使物體拋出后不再落回星球表面，應使它所受到的星球引力正好等于物體所需的向心力，即成為衛星發射了出去。，這個速度即是這個星球上發射衛星的第一宇宙速度。
【例7】在“勇氣”號火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經過多次彈跳才停下來。
假設著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v0，求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計大氣阻力。已知火星的一個衛星的圓軌道半徑為r，周期為T。火星可視為半徑為r0的均勻球體。
分析：第一次落到火星表面彈起在豎直方向相當于豎直上拋，在最高點由于只有水平速度故將做平拋運動，第二次落到火星表面時速度應按平拋處理。無論是豎直上拋還是平拋的計算，均要知道火星表面的重力加速度g/。利用火星的一個衛星的相關數據可以求出g/。
解：設火星的一個衛星質量為m，任一物體的質量為m/，在火星表面的重力加速度為g/，火星的質量為M。
任一物體在火星表面有:……① 火星的衛星應滿足：……②
第一次落到火星表面彈起在豎直方向滿足：v12＝2g/h……③
第二次落到火星表面時速度應按平拋處理：……④
由以上4式可解得
2、討論天體運動規律的基本思路
基本方法：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供。
【例8】2000年1月26日我國發射了一顆同步衛星，其定點位置與東經980的經線在同一平面內．若把甘肅省嘉峪關處的經度和緯度近似為東經980和北緯α＝400，已知地球半徑R、地球自轉周期T,地球表面重力加速度g（視為常數）和光速c，試求該同步衛星發出的微波信號傳到嘉峪關處的接收站所需的時間（要求用題給的已知量的符號表示）．
解析：設m為衛星質量，M為地球質量，r為衛星到地球中心的距離，ω為衛星繞地心轉動的角速度．由萬有引力定律和牛頓定律有，式中G為萬有引力恒量，因同步衛星繞地心轉動的角速度ω與地球自轉的角速度相等，有ω=2π/T；因，得GM=gR2．
設嘉峪關到同步衛星的距離為L，如圖所示，由余弦定律得：
所求的時間為t＝L/c．
由以上各式得
【例9】在天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們在相互的萬有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運動。如果雙星間距為L，質量分別為M1和M2，試計算：（1）雙星的軌道半徑；（2）雙星的運行周期；（3）雙星的線速度。
解析：因為雙星受到同樣大小的萬有引力作用，且保持距離不變，繞同一圓心做勻速圓周運動，所以具有周期、頻率和角速度均相同；而軌道半徑、線速度不同的特點。
（1）根據萬有引力定律
可得：
（2）同理，還有
所以，周期為
（3）根據線速度公式，
【例10】興趣小組成員共同協作，完成了下面的兩個實驗：①當飛船停留在距X星球一定高度的P點時，正對著X星球發射一個激光脈沖，經時間t1后收到反射回來的信號，此時觀察X星球的視角為θ，如圖所示．②當飛船在X星球表面著陸后，把一個彈射器固定在星球表面上，豎直向上彈射一個小球，經測定小球從彈射到落回的時間為t2.
已知用上述彈射器在地球上做同樣實驗時，小球在空中運動的時間為t，又已知地球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，光速為c，地球和X星球的自轉以及它們對物體的大氣阻力均可不計，試根據以上信息，求：
（1）X星球的半徑R；（2）X星球的質量M；（3）X星球的第一宇宙速度v；
(4)在X星球發射的衛星的最小周期T.
解析：（1)由題設中圖示可知：
（R＋?ct1）sinθ＝R，∴R=
(2）在X星球上以v0豎直上拋t2＝，在地球上以v0豎直上拋：t＝，，又由，
（3）mg'＝
(4）當v達第一宇宙速度時，有最小周期T.
【例11】天體運動的演變猜想。在研究宇宙發展演變的理論中，有一種說法叫做“宇宙膨脹說”，認為引力常量在慢慢減小。根據這種理論，試分析現在太陽系中地球的公轉軌道平徑、周期、速率與很久很久以前相比變化的情況。
【解析】地球在半徑為R的圓形軌道上以速率v運動的過程中，引力常數G減小了一個微小量，萬有
引力公式。由于太陽質量M,地球質量m,r均未改變，萬有引力F引必然隨之減小，并小于公轉軌道上該點所需的向心力（速度不能突變）。由于慣性，地球將做離心運動，即向外偏離太陽，半徑r增大。地球在遠離太陽的過程中，在太陽引力的作用下引起速率v減小，運轉周期增大。由此可以判斷，在很久很久以前，太陽系中地球的公轉軌道半徑比現在小，周期比現在小，速率比現在大。
由引力常量G在慢慢減小的前提可以分析出太陽系中地球的公轉軌道半徑在慢慢變大，表明宇宙在不斷地膨脹。
試題展示
散 專題：人造天體的運動
知識簡析 一、衛星的繞行角速度、周期與高度的關系
（1）由，得，∴當h↑，v↓
（2）由G=mω2（r+h），得ω=，∴當h↑，ω↓
（3）由G，得T= ∴當h↑，T↑
二、三種宇宙速度：
第一宇宙速度（環繞速度）：v1=7.9km/s，人造地球衛星的最小發射速度。也是人造衛星繞地球做勻速圓周運動的最大速度。
第二宇宙速度（脫離速度）：v2=11.2km/s，使衛星掙脫地球引力束縛的最小發射速度。
第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7km/s，使衛星掙脫太陽引力束縛的最小發射速度。
三、第一宇宙速度的計算．
方法一：地球對衛星的萬有引力就是衛星做圓周運動的向心力．
G=m，v=。當h↑，v↓，所以在地球表面附近衛星的速度是它運行的最大速度。其大小為r＞＞h（地面附近）時，=7．9×103m/s
方法二：在地面附近物體的重力近似地等于地球對物體的萬有引力，重力就是衛星做圓周運動的向心力．
．當r＞＞h時．gh≈g 所以v1＝=7．9×103m/s
第一宇宙速度是在地面附近h＜＜r，衛星繞地球做勻速圓周運動的最大速度．
四、兩種最常見的衛星
⑴近地衛星。
近地衛星的軌道半徑r可以近似地認為等于地球半徑R，由式②可得其線速度大小為v1=7.9×103m/s；由式③可得其周期為T=5.06×103s=84min。由②、③式可知，它們分別是繞地球做勻速圓周運動的人造衛星的最大線速度和最小周期。
神舟號飛船的運行軌道離地面的高度為340km，線速度約7.6km/s，周期約90min。
⑵同步衛星。
“同步”的含義就是和地球保持相對靜止，所以其周期等于地球自轉周期，即T=24h。由式G=m= m（r+h）可得，同步衛星離地面高度為 h＝－r＝3·58×107 m即其軌道半徑是唯一確定的離地面的高度h=3.6×104km，而且該軌道必須在地球赤道的正上方，運轉方向必須跟地球自轉方向一致即由西向東。如果僅與地球自轉周期相同而不定點于赤道上空，該衛星就不能與地面保持相對靜止。因為衛星軌道所在平面必然和地球繞日公轉軌道平面重合，同步衛星的線速度 v==3.07×103m/s　　
通訊衛星可以實現全球的電視轉播，從圖可知，如果能發射三顆相對地面靜止的衛星（即同步衛星）并相互聯網，即可覆蓋全球的每個角落。由于通訊衛星都必須位于赤道上空3.6×107m處，各衛星之間又不能相距太近，所以，通訊衛星的總數是有限的。設想在赤道所在平面內，以地球中心為圓心隔50放置一顆通訊衛星，全球通訊衛星的總數應為72個。
五.了解不同高度的衛星飛行速度及周期的數據
衛星飛行速度及周期僅由距地高度決定與質量無關。
設衛星距地面高度為h，地球半徑為R，地球質量為M，衛星飛行速度為v，則由萬有引力充當向心力可得v=[GM/（R+h）]?。知道了衛星距離地面的高度，就可確定衛星飛行時的速度大小。
不同高度處人造地球衛星的環繞速度及周期見下表：
高度(km)
0
300
500
1000
3000
5000
35900（同步軌道）
38000（月球軌道）
環繞速度(km/s)
7.91
7 .73
7. 62
7.36
6.53
5.29
2.77
0.97
周期（分）
84.4
90 .5
94.5
105
150
210
23小時56分
28天
六、衛星的超重和失重
（1）衛星進入軌道前加速過程，衛星上物體超重．
(2)衛星進入軌道后正常運轉時，衛星上物體完全失重．
七、人造天體在運動過程中的能量關系
當人造天體具有較大的動能時，它將上升到較高的軌道運動，而在較高軌道上運動的人造天體卻具有較小的動能。反之，如果人造天體在運動中動能減小，它的軌道半徑將減小，在這一過程中，因引力對其做正功，故導致其動能將增大。
同樣質量的衛星在不同高度軌道上的機械能不同。其中衛星的動能為，由于重力加速度g隨高度增大而減小，所以重力勢能不能再用Ek=mgh計算，而要用到公式（以無窮遠處引力勢能為零，M為地球質量，m為衛星質量，r為衛星軌道半徑。由于從無窮遠向地球移動過程中萬有引力做正功，所以系統勢能減小，為負。）因此機械能為。同樣質量的衛星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛星具有的機械能越大，發射越困難。
八、相關材料
I．人造衛星做圓軌道和橢圓軌道運行的討論
當火箭與衛星分離時，設衛星的速度為v（此即為發射速度），衛星距離地心為r,并設此時速度與萬有引力垂直（通過地面控制可以實現）如圖所示，則，若衛星以v繞地球做圓周運動，則所需要的向心力為：F向＝
①當F萬=F向時，衛星將做圓周運動．若此時剛好是離地面最近的軌道，則可求出此時的發射速度v＝7.9 km/s.
②當F萬＜F向時，衛星將做離心運動，做橢圓運動，遠離地球時引力做負功，衛星動能轉化為引力勢能．（神州五號即屬于此種情況）
③當F萬＞F向時，衛星在引力作用下，向地心做橢圓運動，若此時發生在最近軌道，則v＜7.9 km/s，衛星將墜人大氣層燒毀。
因此：星箭分離時的速度是決定衛星運行軌道的主要條件．
2.人造衛星如何變軌
衛星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛星技術的一個重要方面，衛星定軌和返回都要用到這個技術．
以衛星從橢圓遠點變到圓軌道為例加以分析：如圖所示，在軌道A點，萬有引力FA＞，要使衛星改做圓周運動，必須滿足FA＝和FA⊥v，在遠點已滿足了FA⊥v的條件，所以只需增大速度，讓速度增大到＝FA，這個任務由衛星自帶的推進器完成．
這說明人造衛星要從橢圓軌道變到大圓軌道，只要在橢圓軌道的遠點由推進器加速，當速度達到沿圓軌道所需的速度，人造衛星就不再沿橢圓軌道運動而轉到大圓軌道．“神州五號”就是通過這種技術變軌的，地球同步衛星也是通過這種技術定點于同步軌道上的．
規律方法1、處理人造天體問題的基本思路
由于運行中的人造天體，萬有引力全部提供人造地球衛星繞地球做圓周運動的向心力，因此所有的人造地球衛星的軌道圓心都在地心．解關于人造衛星問題的基本思路：①視為勻速圓周運動處理；②萬有引力充當向心力；③根據已知條件選擇向心加速度的表達式便于計算；④利用代換式gR2=GM推導化簡運算過程。
注意：①人造衛星的軌道半徑與它的高度不同．②離地面不同高度，重力加速度不同，
【例l】設人造地球衛星繞地球做勻速圓周運動，衛星離地面越高，則衛星的（ ）
A．速度越大 B．角速度越大 C．向心加速度越大；D．周期越長
解析：（1）v與 r的關系： G= m；即（r越大v越小）．所以答案A錯誤．（2）ω與r的關系：G=mω2r ，，即（r越大，ω越小）．所以答案B錯誤．（3）a與r的關系：G=ma，a=GM/r2，即a∝1/r2。衛星繞軌道半徑 r運轉時的向心加速度與該處的重力加速度g/相等，所以 g/＝a， g/∝1/r2，（r越大．加速度越小）．所以答案C錯誤．（4）T與r的關系：G=mr ，T=2π即T∝（ r越大，T越大）．所以答案D正確．
因 GM＝g0R02，所以 T＝2π，當 r=Ro時，T＝Tmin＝2π 答案：D
說明：可以看出，繞地球做勻速圓周運動的人造衛星的軌道半徑r、線速度大小v和周期T是一一對應的，其中一個量確定后，另外兩個量也就唯一確定了。離地面越高的人造衛星，線速度越小而周期越大。
【例2】設地球的半徑為R0，質量為m的衛星在距地面R0高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g0，則以下說法錯誤的是（ ）
A.衛星的線速度為； B.衛星的角速度為；
C.衛星的加速度為； D.衛星的周期；
解析：在地面：;在高空：；
g=?g0；此重力加速度即為衛星的向心加速度故C選項錯誤．
衛星的線速度故A選項正確．
周期故D選項正確
角速度故B選項正確
2、人造天體的發射與變軌
【例3】一組太空人乘坐大空穿梭機，去修理位于離地球表面 6．0×105m的圓形軌道上的哈勃太空望遠鏡H．機組人員使穿梭機S進入與H相同的軌道并關閉推動火箭，而望遠鏡則在穿梭機前方數公里處，如圖所示，設G為引力常數，而ME為地球質量．（已知：地球半徑為 6．4×106m）
（1）在穿梭機內，一質量為70kg的太空人的視重是多少？
（2）①計算軌道上的重力加速度的值．
②計算穿梭機在軌道上的速率和周期．
（3）①證明穿梭機的總機械能跟成正比，r為它的軌道半徑．
［注：若力 F與位移r之間有如下的關系：F=K／r2（其中K為常數），則當r由∞處變為0，F做功的大小可用以下規律進行計算： W＝ K／r（設∞處的勢能為0）］．
②穿梭機須首先螺旋進入半徑較小的軌道，才有較大的角速度以超前望遠鏡．用上題的結果判所穿梭機要進入較低軌道時應增加還是減少其原有速率，解釋你的答案．
【解析】：（1）在穿梭機內，一質量為70kg的太空人的視重為0．
（2）①因為mg/＝G［MEm/（R＋h）2］，所以 g/=GME／（R＋h）2，其中R＝6．4×106m， h＝6．0×105m．g/=8．2m／s2
②地球對穿梭機的萬有引力提供向心力．
有：GMEm/（R＋h）2＝mv2/（R＋h）=m（2π/T）2（R十h），
所以v==7．6×103m／s
T＝＝5．8×103s．
（3）①因為萬有引力 F ＝GMEm/r2滿足F＝k（1／r2）（其中 k＝GMEm為常數），由“注”可知，當穿梭機與地球之間的距離由∞處變到r時，萬有引力對其所做的功w＝k/r=GMEm/r，又因為：萬有引力對穿梭機做多少功，其重力勢能就減小多少，若設∞處的勢能為零，則穿梭機在半徑為r的軌道上時。其重力勢能為E=一GMEm/r，則穿梭機此時的總機械能E總=EP十Ek=一GMEm/r十?mv2．代入（2）中的v值，得：
E總=一GMEm/r十?m（GME/r）＝一（GMEm/2）（1／r）
故穿梭機的總機械能跟一1／r成正比，得證．
因為E總跟一1／r成正比，故進入低軌道時總機械能要減小，故必須減速，使總機械能減小，當速度減小后，在引力場的作用下進行低軌道運行，因引力做正功，動能增加，低軌道環繞速度vr/大于原軌道環繞速度vr，又因為v＝ωr，vr/＞vr，r/＜r，則ωr/＞ωr，從而獲得較大的角速度，則可能趕上哈勃太空望遠鏡．
【例4】 如圖所示，某次發射同步衛星時，先進入一個近地的圓軌道，然后在P點點火加速，進入橢圓形轉移軌道（該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步軌道上的Q），到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道。設衛星在近地圓軌道上運行的速率為v1，在P點短時間加速后的速率為v2，沿轉移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在Q點短時間加速后進入同步軌道后的速率為v4。試比較v1、v2、v3、v4的大小，并用小于號將它們排列起來______。
解析：根據題意有v2>v1、v4>v3,而v1、v4是繞地球做勻速圓周運動的人造衛星的線速度，由式②知v1>v4,故結論為v2>v1>v4>v3。衛星沿橢圓軌道由P→Q運行時，由機械能守恒可知，其重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，因此有v2>v3。]
衛星的回收實際上是衛星發射過程的逆過程。
【例5】在空中飛行了十多年的“和平號”航天站已失去動力，由于受大氣阻力作用其繞地球轉動半徑將逐漸減小，最后在大氣層中墜毀，在此過程中下列說法正確的是（ ）
A．航天站的速度將加大 B．航天站繞地球旋轉的周期加大
C．航天站的向心加速度加大 D．航天站的角速度將增大
【解析】由GMm/r2=mv2/r=mrω2=mr（2π/T）2=ma
得v=， ω＝． T＝2π
可知r減小，v增大，ω增大，T減小，a增大．A、C、 D正確．
【例6】“神舟三號”順利發射升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了108圈。運行中需要進行多次“軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發動機的點火時間和推力的大小方向，使飛船能保持在預定軌道上穩定運行。如果不進行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、重力勢能和機械能變化情況將會是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ａ.動能、重力勢能和機械能都逐漸減小
　　Ｂ.重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變
　　Ｃ.重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變
　　Ｄ.重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小
[由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛星運行的每一圈仍可認為是勻速圓周運動。由于摩擦阻力做負功所以衛星的機械能減小；由于重力做正功所以重力勢能減小；由式②可知衛星動能將增大(這也說明重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的總功為正)。答案選D。]
【例7】飛船發射過程是一個加速過程，在加速過程中，宇航員處于__超重狀態____狀態。人們把這種狀態下的重力與靜止在地球表面時的重力的比值稱為耐受力值，用K表示，則K=__ K=1+a/g _____（設宇航員的質量為m，加速上升加速度為a），選擇宇般員時，要求他在此狀態的耐受值為4≤K≤12，說明飛船發射時的加速度值的變化范圍__3g≤a≤11g _______.
【例8】飛船在發射升空時，如果宇航員是站立的，則他的心血管系統受到何種影響？你認為宇航員采取什么資勢為好？
答：由于在發射升空過程中，人處于超衙狀態下，頭部血壓降低，足部血壓升高，使大量血液淤積在下肢靜脈中，嚴重影響靜脈血的回流，使心臟輸出血量不足，造成頭部供血不足，輕則引起視覺障礙，重則可能導致意識喪失，所以宇航員采用平躺姿勢為好。
【例9】航天飛船進入距地表3R地的軌道繞地球做圓周運動時，質量為64kg的宇航員處于_完全失重___狀態，他的視重為__0___N。實際所受力__40___N。
【例10】若飛船要與軌道空間站對接，飛船為了追上軌道空間站（ A ）
A可以從較低的軌道上加速 B可以從較高的軌道上加速
C可以從與空間站同一軌道上加速 D無論在什么軌道上，只要加速都行
【例11】 我國的國土遼闊，在東西方向上分布在東經70°到東經135°的廣大范圍內，所以我國發射的同步通信衛星一般定點在赤道上空3.6萬公里，東經100°附近。假設某顆通信衛星計劃定點在赤道上空東經104°的位置。經測量剛進入軌道時它位于赤道上空3.6萬公里，東經103°處。為了把它調整到104°處，可以短時間啟動星上的小型發動機，通過適當調整衛星的軌道高度，改變其周期，從而使其自動“漂移”到預定經度。然后再短時間啟動星上的小型發動機調整衛星的高度，實現最終定點。這兩次調整高度的方向應該依次是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
Ａ.向下、向上 Ｂ.向上、向下 Ｃ.向上、向上 Ｄ.向下、向下
[東經103°在東經104°西邊，為使衛星向東漂移，應使它的周期變小，為此應降低其高度，所以先向下；到達東經104°后，再向上。]
【例12】設想宇航員完成了對火星表面的科學考察任務，乘坐返回艙返回圍繞火星做圓周運動的軌道艙，如圖所示．為了安全，返回艙與軌道艙對接時，必須具有相同的速度．求該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得多少能量，才能返回軌道艙？
已知：返回過程中需克服火星引力做功W＝mgR（1一R/r），返回艙與人的總質量為m，火星表面重力加速度為g，火星半徑為R，軌道艙到火星中心的距離為r；不計火星表面大氣對返回艙的阻力和火星自轉的影響．
解析：物體m在火星M表面附近時，有＝mg解得GM＝gR2
設軌道艙的質量為m0，速度大小為v，則
返回艙與軌道艙對接時，應具有的動能為Ek=?mv2
聯立解得
依題意知返回艙返回過程需克服引力做功W＝mgR（1－R/r）
返回艙返回時至少需要能量為W總=Ek + W=
說明：這是一道關于天體運動的信息題．題中有多個對象，解題時要分清研究對象，選好規律．
【例13】2003年10月15日上午9時，我國在酒泉衛星發射中心成功發射“神舟五號”載人航天飛船，這是我國首次實現載人航天飛行，也是全世界第三個具有發射載人航天器能力的國家．“神舟五號”飛船長8. 86 m ;質量為7990 kg.飛船在達到預定的橢圓軌道后運行的軌道傾角為42. 4 0，近地點高度200 km，遠地點高度約350 km.實行變軌后，進入離地約350 km的圓軌道上運行，飛船運動14圈后，于16日凌晨在內蒙古成功著陸．（地球半徑Ro=-6.4×106 m，地球表面重力加速度g=10 m/s2，··＝5.48，計算結果保留三位有效數字）求：
（1)飛船變軌后在軌道上正常運行時的速度．
（2)飛船在圓軌道上運行的周期．
解析：設飛船的質量為m，地球質量為M.飛船在圓軌道上運行時：
對于地面上質量為m0的物體有：
由上兩式得飛船的運行速度為：
飛船在圓軌道上運行時的周期為：
說明：天體運動的問題，要緊扣兩條主線：萬有引力提供向心力，重力等于萬有引力．
【補例】地球赤道上的N城市想實施一個“人造月亮”計劃，在地球同步衛星上用一面平面鏡將太陽光射到地球上，使這座城市在午夜時分有“日出”時的效果，若此時的N城市正值盛夏季節，地球的半徑為R，自轉周期為T，地球表面重力加速度為g，太陽在非常遙遠的地方．求
（1)地球同步衛星離地心的距離
(2)懸掛平面鏡的同步衛星所在經度平面的經度與N城的經度差α。
（3)此時平面鏡與衛星所在經度平面的夾角θ
解析：（1)設地球及同步衛星的質量分別為M,m，則
又：g＝GM/R2，可得：
(2)過赤道平面的截面圖如圖所示，水平入射光線MA經反射后的反射光線AN與地球相切，故∠MAN＝900
衛星所在經線在平面內的投影為OA,N城市所在經線在平面內的投影為ON,
所以：α＝arccos ( R/r)
θ＝450＋arcsin（R/r）
說明：本題的關鍵是理解“午夜萬分有‘日出’時的效果”的含義，并要有一定的空間想象力，且能畫出截面圖，能力要求較高．
跟蹤練習:
一、選擇題
1、關于開普勒第三定律中的公式，下列說法中正確的是（ ）
A．適用于所有天體 B．適用于圍繞地球運行的所有衛星
C．適用于圍繞太陽運行的所有行星 D．以上說法均錯誤
2、已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，若高空中某處的重力加速度為g，則該處距地面球表面的高度為（ ）
A．（—1）R B．R C． R D．2 R
3、一個行星，其半徑比地球的半徑大2倍，質量是地球的25倍，則它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的（ ）
A．6倍 B．4倍 C．25/9倍 D．12倍
4、要使兩物體間萬有引力減小到原來的1/4,可采取的方法是( )
A使兩物體的質量各減少一半,距離保持不變
B使兩物體間距離變為原來的2倍,質量不變
C使其中一個物體質量減為原來的1/4,距離不變
D使兩物體質量及它們之間的距離都減為原來的1/4
5、根據天體演變的規律,太陽的體積在不斷增大,幾十億年后將變成紅巨星.在此過程中太陽對地球的引力(太陽和地球的質量可認為不變)將( )
A變大 B變小 C不變 D不能確定
6、設土星繞太陽的運動為勻速圓周運動,若測得土星到太陽的距離為R,土星繞太陽運動的周期為T,萬有引力常量G已知,根據這些數據,能夠求出的量有( )
A土星線速度的大小 B土星加速度的大小 C土星的質量 D太陽的質量
7、已知下面的哪組數據,可以算出地球的質量M(引力常量G為已知) ( )
A月球繞地球運動的周期T 及月球到地球中心的距離R
B地球繞太陽運行周期T 及地球到太陽中心的距離R
C人造衛星在地面附近的運行速度V和運行周期T
D地球繞太陽運行速度V 及地球到太陽中心的距離R
8、某行星的衛星，在靠近行星表面軌道上運行．若要計算行星的密度，唯一要測量出的物理量是( )
A. 行星的半徑． B. 衛星的半徑．C. 衛星運行的線速度 D.衛星運行的周期．
9、下列說法正確的是（ ）
A. 天王星是人們由萬有引力定律計算其軌道而發現的
B. 海王星及冥王星是人們依據萬有引力定律計算其軌 道而發現的
C.天王星的運行軌道偏離,其原因是由于天王星受到 軌道外面的其它行星的引力作用
D.以上說法均不正確
10、關于地球的第一宇宙速度,下列說法中正確的是( )
A它是人造地球衛星環繞地球運轉的最小速度
B它是近地圓行軌道上人造衛星的運行速度
C 它是能使衛星進入近地軌道最小發射速度
D它是能使衛星進入軌道的最大發射速度
11、地球上有兩位相距非常遠的觀察者,都發現自己的正上方有一顆人造地球衛星相對自己靜止不動,則這兩位觀察者的位置以及兩顆人造地球衛星到地球中心的距離可能是( )
A一人在南極,一人在北極,兩衛星到地球中心的距離一定相等
B一人在南極,一人在北極,兩衛星到地球中心的距離可以不等,但應成整數倍
C兩人都在赤道上,兩衛星到地球中心的距離一定相等
D兩人都在赤道上,兩衛星到地球中心的距離可以不等,但應成整數倍
12、把太陽系各行星的運動近似看作勻速圓周運動,則離太陽越遠的行星( )
A周期越小 B線速度越小 C角速度越小 D加速度越小
13、我們國家在1986年成功發射了一顆實用地球同步衛星,從1999年至今已幾次將”神州”號宇宙飛船送入太空,在某次實驗中,飛船在空中飛行了36h,環繞地球24圈.則同步衛星與飛船在軌道上正常運轉相比較( )
A衛星運轉周期比飛船大
B衛星運轉速度比飛船大
C衛星運加轉速度比飛船大
D衛星離地高度比飛船大
14、關于人造地球衛星及其中物體的超重.失重問題,下列說法正確的是( )
A在發射過程中向上加速時產生超重現象
B 在降落過程中向下減速時產生超重現象
C 進入軌道時做勻速圓周運動, 產生失重現象
D失重是由于地球對衛星內物體的作用力減小而引起的
15、在繞地球做勻速圓周運動的航天飛機外表面,有一隔熱陶瓷片自動脫落,則( )
A陶瓷片做平拋運動
B陶瓷片做自由落體運動
C陶瓷片按原圓軌道做勻速圓周運動
D陶瓷片做圓周運動,逐漸落后于航天飛機
16、宇宙飛船和空間站在同一軌道上運動,若飛船想與前面的空間站對接,飛船為了追上軌道空間站,可采取的方法是( )
A飛船加速直到追上軌道空間站,完成對接
B飛船從原軌道減速至一個較低軌道,再加速追上軌道空間站,完成對接.
C飛船加速至一個較高軌道,再減速追上軌道空間站,完成對接.
D無論飛船如何采取何種措施,均不能與空間站對接
17、“神舟六號”的發射成功，可以預見，隨著航天員在軌道艙內停留時間的增加，體育鍛煉成了一個必不可少的環節，下列器材適宜航天員在軌道艙中進行鍛煉的是 （ ）
A．啞鈴 B．彈簧拉力器 C．單杠 D．跑步機
18若取地球的第一宇宙速度為8km/s,某行星的質量是地球質量的6倍,半徑是地球半徑的
1.5倍,則這一行星的第一宇宙速度為________________
19、兩顆人造地球衛星，都在圓形軌道上運行，質量之比為mA∶mB=1∶2,，軌道半徑之比rA∶rB=1:2,則它們的
(1)線速度之比 vA∶vB=
(2)角速度之比 A：B =
(3)周期之比 TA∶TB =
(4)向心加速度之比aA∶aB =
20、地球的同步衛星距地面高H約為地球半徑R的5倍, 同步衛星正下方的地面上有一靜止的物體A,則同步衛星與物體A的向心加速度之比是多少?若給物體A以適當的繞行速度,使A成為近地衛星,則同步衛星與近地衛星的向心加速度之比是多少?
21、一宇航員為了估測一星球的質量，他在該星球的表面做自由落體實驗：讓小球在離地面h高處自由下落，他測出經時間t小球落地，又已知該星球的半徑為R，試估算該星球的質量。已知萬有引力常量G
22、在某星球表面以初速度v0豎直上拋一個物體，如果僅考慮物體受該星球的引力作用，忽略其他力的影響，物體上升的最大高度為H，已知該星球的直徑為D，若發射一顆在該星球表面附近繞該星球做勻速圓周運動的衛星，求這顆衛星的速度。
23、已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉的周期為T，試求地球同步衛星的向心加速度大小。
24、地球表面的重力加速度g=10m/s2，地球半徑R=6.4×106m，某物體在地面上受到的重力為160N，將它放置在衛星中，在衛星以的加速度隨火箭上升的過程中，求當物體與衛星中的支持物的相互擠壓力為90N時，衛星到地球的距離。

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