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第10點(diǎn) 透析三種力的特點(diǎn)，解決水平面內(nèi)
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題
關(guān)于水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題，要特別注意分析物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源，考慮達(dá)到臨界條件時(shí)物體所處的狀態(tài)，即臨界速度、臨界角速度，然后分析該狀態(tài)下物體的受力特點(diǎn)，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，列方程求解.通常碰到的是涉及如下三種力的作用：
(1)與繩的彈力有關(guān)的臨界問(wèn)題
此類問(wèn)題要分析出繩恰好無(wú)彈力這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度).
(2)與支持面彈力有關(guān)的臨界問(wèn)題
此類問(wèn)題要分析出恰好無(wú)支持力這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度).
(3)因靜摩擦力而產(chǎn)生的臨界問(wèn)題
此類問(wèn)題要分析出靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度).
對(duì)點(diǎn)例題　在一水平放置的圓盤上面有一勁度系數(shù)為k的彈簧.如圖1所示，彈簧的一端固定于軸O上，另一端連接一質(zhì)量為m的物體A，物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.現(xiàn)使圓盤繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)彈簧未發(fā)生形變，長(zhǎng)度為R，則：
圖1
(1)盤的轉(zhuǎn)速n0多大時(shí)，物體A開(kāi)始滑動(dòng)？
(2)當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到2n0時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量Δx是多少？(彈簧仍在彈性限度內(nèi))
解題指導(dǎo)　當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速較小時(shí)，由靜摩擦力提供向心力，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速較大時(shí)，彈力與摩擦力的合力提供向心力.
(1)圓盤開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由A所受靜摩擦力提供向心力，則有μmg≥mRω.又因?yàn)棣?＝2πn0，
由兩式得n0≤，
即當(dāng)n0＝時(shí)，物體A開(kāi)始滑動(dòng).
(2)轉(zhuǎn)速增加到2n0時(shí)，有μmg＋kΔx＝mrω.
ω1＝2π·2n0，r＝R＋Δx.整理得Δx＝.
答案　(1)　(2)
(多選)質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和B點(diǎn)，如圖2所示，a，b兩繩都張緊的狀態(tài)下，繩a與水平方向成θ角，繩b在水平方向且長(zhǎng)為l，當(dāng)輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
圖2
A.a繩張力不可能為零
B.a繩的張力隨角速度的增大而增大
C.若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發(fā)生變化
D.當(dāng)角速度ω＞ ，b繩將出現(xiàn)彈力
答案　AD
解析　小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，所以a繩在豎直方向上的分力與重力相等，可知a繩的張力不可能為零，故A正確.
根據(jù)豎直方向上平衡得，F(xiàn)asin θ＝mg，解得Fa＝，可知a繩的拉力不變，故B錯(cuò)誤.
當(dāng)b繩拉力為零時(shí)，有＝mω2l，解得ω＝ ，可知當(dāng)角速度ω＞ 時(shí)，b繩出現(xiàn)彈力.故D正確.
由于b繩可能沒(méi)有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，故C錯(cuò)誤.
第11點(diǎn)　開(kāi)普勒三定律的理解和應(yīng)用
開(kāi)普勒定律不僅適用于行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，也適用于衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng).我們可以從以下三方面應(yīng)用開(kāi)普勒定律迅速解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.www.21-cn-jy.com
1.由開(kāi)普勒第一定律知所有行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道都是橢圓，不同的行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的橢圓軌道是不同的，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，如圖1所示.該事實(shí)否定了圓形軌道的說(shuō)法，建立了正確的行星軌道理論，而且準(zhǔn)確地給出了太陽(yáng)的位置.【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
圖1
2.由開(kāi)普勒第二定律知：當(dāng)離太陽(yáng)比較近時(shí)，行星運(yùn)行的速度比較快，而離太陽(yáng)比較遠(yuǎn)時(shí)，行星運(yùn)動(dòng)的速度比較慢.21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
3.由開(kāi)普勒第三定律知：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方和公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等.該定律揭示了周期和軌道半徑的關(guān)系，其中的比例常數(shù)與行星無(wú)關(guān)，只與中心天體有關(guān).
對(duì)點(diǎn)例題1　火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，根據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知(　　)
A.太陽(yáng)位于木星運(yùn)行軌道的中心
B.火星和木星繞太陽(yáng)運(yùn)行速度的大小始終相等
C.火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長(zhǎng)軸之比的立方
D.相同時(shí)間內(nèi)，火星與太陽(yáng)連線掃過(guò)的面積等于木星與太陽(yáng)連線掃過(guò)的面積
解題指導(dǎo)　太陽(yáng)位于木星運(yùn)行橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由于火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，火星和木星繞太陽(yáng)運(yùn)行速度的大小變化，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知，火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長(zhǎng)軸之比的立方，選項(xiàng)C正確；相同時(shí)間內(nèi)，火星與太陽(yáng)連線掃過(guò)的面積不等于木星與太陽(yáng)連線掃過(guò)的面積，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.21cnjy.com
答案　C
特別提醒　本題中的D項(xiàng)是學(xué)生作答中的易錯(cuò)點(diǎn).對(duì)開(kāi)普勒三定律理解時(shí)要注意對(duì)象的同一性，不能張冠李戴將該行星和其他行星的相關(guān)量混為一談.21·cn·jy·com
對(duì)點(diǎn)例題2　飛船沿半徑為R的圓周繞地球運(yùn)動(dòng)，其周期為T.如圖2所示，飛船要返回地面，可以在軌道上的某一點(diǎn)A處，將速率降低到適當(dāng)數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點(diǎn)的特殊橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，橢圓和地球表面在B點(diǎn)相切.如果地球半徑為R0，求飛船由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所需的時(shí)間.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
圖2
解題指導(dǎo)　由開(kāi)普勒第三定律知，飛船繞地球做圓周(半長(zhǎng)軸和半短軸相等的特殊橢圓)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑的三次方跟周期的平方的比值，等于飛船繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)其半長(zhǎng)軸的三次方跟周期平方的比值.2·1·c·n·j·y
飛船橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為，
設(shè)飛船沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的周期為T′，
則有＝，
因此飛船從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所需的時(shí)間為
t＝＝ .
答案　
木星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期為地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)周期的12倍，那么，木星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)軸是地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)軸的多少倍？(可用根式表示)21教育網(wǎng)
答案　2
解析　木星、地球都繞著太陽(yáng)沿不同的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)位于它們的橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上.
設(shè)木星和地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期分別為T1和T2，
它們橢圓軌道的半長(zhǎng)軸分別為R1和R2，
根據(jù)開(kāi)普勒第三定律得：＝，
則＝ ＝＝2.
所以木星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)軸是地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)軸的2倍.
第12點(diǎn)　萬(wàn)有引力公式的適用條件
萬(wàn)有引力定律適用于任何兩個(gè)物體.但公式F＝G只能用來(lái)計(jì)算兩個(gè)可看做質(zhì)點(diǎn)的或可等效為質(zhì)點(diǎn)的物體間的萬(wàn)有引力.21cnjy.com
1.質(zhì)點(diǎn)間或可看成質(zhì)點(diǎn)的物體間
這種情況下可直接利用萬(wàn)有引力公式求兩質(zhì)點(diǎn)間或兩物體間的萬(wàn)有引力.
2.兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間
這種情況下也可以直接利用萬(wàn)有引力公式計(jì)算兩球間的萬(wàn)有引力，其中的距離r是兩球心之間的距離.
3.質(zhì)量分布均勻的球體與球外質(zhì)點(diǎn)間
這種情況下可以直接利用萬(wàn)有引力公式計(jì)算它們之間的萬(wàn)有引力，此時(shí)公式中的r是質(zhì)點(diǎn)與球心間的距離.
當(dāng)物體不能看成質(zhì)點(diǎn)，也不屬于以上2、3中的情況時(shí)，可以把物體假想分割成無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，求出物體上每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)與另一個(gè)物體上所有質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力，然后求合力，這種情況高中階段不要求.21教育網(wǎng)
對(duì)點(diǎn)例題　理論上已經(jīng)證明：質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的萬(wàn)有引力為零.假設(shè)地球是一個(gè)半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實(shí)心球體，O為球心，以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸Ox，如圖1所示.一個(gè)質(zhì)量一定的小物體(可視為質(zhì)點(diǎn)，假設(shè)它能夠在地球內(nèi)部移動(dòng))在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，則下列選項(xiàng)中的四個(gè)F隨x的變化關(guān)系圖正確的是(　　)
圖1
解題指導(dǎo)　由題意，物體在地球內(nèi)部距離球心x的位置時(shí)，外面球殼對(duì)其引力為0，內(nèi)部以x為半徑的球體對(duì)物體的引力為F＝G＝G＝πGρmx，F(xiàn)∝x，圖象為過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線；當(dāng)x>R時(shí)，地球?qū)ξ矬w的引力為F＝G＝G，F(xiàn)∝，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤.21·cn·jy·com
答案　A
關(guān)于萬(wàn)有引力公式F＝G，下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A.當(dāng)兩個(gè)物體之間的距離趨近于零時(shí)，F(xiàn)趨于無(wú)窮大
B.只要兩個(gè)物體是球體，就可用此式求解萬(wàn)有引力
C.兩只相距0.5 m的小狗之間的萬(wàn)有引力可用此式計(jì)算
D.任何兩個(gè)物體間都存在萬(wàn)有引力
答案　D
解析　當(dāng)兩個(gè)物體之間的距離趨近于零時(shí)，物體不能看成質(zhì)點(diǎn)，就不能直接用F＝G來(lái)計(jì)算萬(wàn)有引力，所以距離很近時(shí)，不能用此公式推出F趨于無(wú)窮大，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；球體間只有質(zhì)量分布均勻時(shí)，才能用公式F＝G求解萬(wàn)有引力，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；兩只小狗相距0.5 m時(shí)，它們之間的距離與它們的尺寸相差不多，故不能看成質(zhì)點(diǎn)，不可以用F＝G求它們之間的萬(wàn)有引力，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由萬(wàn)有引力定律知D正確.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
第13點(diǎn)　“兩個(gè)關(guān)系”理解重力與萬(wàn)有引力
地球?qū)ξ矬w的引力是物體受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力，這是因?yàn)榈厍蛟诓煌５刈赞D(zhuǎn)，地球上的一切物體都隨著地球的自轉(zhuǎn)而繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這就需要向心力，這個(gè)向心力來(lái)自地球?qū)ξ矬w的引力F，它是引力的一個(gè)分力，如圖1所示，引力F的另一個(gè)分力才是物體的重力mg.21cnjy.com
圖1
1.重力與緯度的關(guān)系
在赤道上時(shí)，引力F、重力mg、向心力Fn三力同向，滿足F＝Fn＋mg.在兩極時(shí)，由于向心力Fn＝0，則mg＝F.在其他位置，mg、F與Fn不在一條直線上，遵從平行四邊形定則，同一物體在赤道處向心力最大，重力最小，并且重力隨緯度的增加而增大.而且重力的方向豎直向下，并不指向地心，只有在赤道和兩極，重力的方向才指向地心.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
2.重力、重力加速度與高度的關(guān)系
若不考慮地球自轉(zhuǎn)，地球表面處有mg＝G，可以得出地球表面處的重力加速度g＝.
在距地面高度為h處，重力加速度為g′，
則：mg′＝G
即距地面高度為h處的重力加速度
g′＝＝g.
對(duì)點(diǎn)例題　某宇航員在飛船發(fā)射前測(cè)得自身連同宇航服等隨身裝備共重840 N，在火箭發(fā)射階段，發(fā)現(xiàn)當(dāng)飛船隨火箭以a＝的加速度勻加速豎直上升到某位置時(shí)(其中g(shù)為地球表面處的重力加速度)，其身體下方體重測(cè)試儀的示數(shù)為1 220 N.已知地球半徑R＝6 400 km.地球表面重力加速度g取10 m/s2(求解過(guò)程中可能用到≈1.03，≈1.02).問(wèn)：
(1)該位置處的重力加速度g′是地面處重力加速度g的多少倍？
(2)該位置距地球表面的高度h為多大？
解題指導(dǎo)　(1)飛船起飛前，對(duì)宇航員受力分析有G＝mg，得m＝84 kg.
在h高度處對(duì)宇航員受力分析，
應(yīng)用牛頓第二定律有F－mg′＝ma，
得＝.
(2)根據(jù)萬(wàn)有引力公式，在地面處有G＝mg，在h高度處有G＝mg′.
解以上兩式得h≈0.02R＝128 km.
答案　(1)　(2)128 km
1.地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，若某高處的重力加速度為，則該處距地面的高度為(　　)
A.R B.(－1)R
C.R D.3R
答案　B
2.某行星的自轉(zhuǎn)周期為T＝6 h，用彈簧測(cè)力計(jì)在該行星的“赤道”和“兩極”處測(cè)同一物體的重力，彈簧測(cè)力計(jì)在“赤道”上的讀數(shù)比在“兩極”上的讀數(shù)小10%(行星視為球體).
(1)求該行星的平均密度；
(2)設(shè)想該行星自轉(zhuǎn)角速度加快到某一值時(shí)，在“赤道”上的物體會(huì)“飄”起來(lái)，求此時(shí)的自轉(zhuǎn)周期.
答案　(1)3.0×103 kg/m3　(2)1.9 h
解析　(1)放在行星“兩極”處的物體，其萬(wàn)有引力等于重力，即G＝mg.“赤道”上的物體由萬(wàn)有引力提供了其向心力及重力，即在“赤道”上，我們把物體所受到的萬(wàn)有引力分解為自轉(zhuǎn)所需的向心力和重力.21教育網(wǎng)
G＝mg′＋mR
則mg－mg′＝0.1G＝mR
所以該行星的質(zhì)量為M＝
行星的平均密度為ρ＝＝≈3.0×103 kg/m3.
(2)對(duì)物體原來(lái)有0.1G＝mR①
當(dāng)物體“飄”起時(shí)，萬(wàn)有引力提供向心力，有
G＝mR②
由①②得：T′＝＝ h≈1.9 h.
第14點(diǎn)　計(jì)算天體質(zhì)量的兩條思路
1.“自力更生”法——根據(jù)天體表面的重力加速度求解
忽略天體自轉(zhuǎn)的影響，物體的重力近似等于物體所受的萬(wàn)有引力，即mg＝G，得M＝.(式中M、g、R分別表示天體的質(zhì)量、天體表面的重力加速度和天體的半徑).
2.“借助外援”法——根據(jù)環(huán)繞運(yùn)轉(zhuǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)求中心天體的質(zhì)量
選繞天體運(yùn)動(dòng)的另一星體(或人造星體)為研究對(duì)象，將星體的運(yùn)動(dòng)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星體繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由天體對(duì)星體的萬(wàn)有引力提供，利用牛頓第二定律得G＝m＝mω2r＝m.若已知星體的軌道半徑r和星體的運(yùn)行線速度v、角速度ω或周期T，可求得中心天體的質(zhì)量為M＝＝＝.2·1·c·n·j·y
3.星球密度的計(jì)算
根據(jù)求得的星球質(zhì)量，由ρ＝＝可以求得星球的密度.其中R為該星球的半徑.
對(duì)點(diǎn)例題1　土星周圍有美麗壯觀的“光環(huán)”，組成環(huán)的顆粒是大小不等、線度從1 μm到10 m的巖石、塵埃，類似于衛(wèi)星，它們與土星中心的距離從7.3×104 km延伸到1.4×105 km.已知環(huán)的外緣顆粒繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期約為14 h，引力常量為6.67×10－11 N·m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為(估算時(shí)不考慮環(huán)中顆粒間的相互作用)(　　)【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
A.9.0×1016 kg B.6.4×1017 kg
C.9.0×1025 kg D.6.4×1026 kg
解題指導(dǎo)　環(huán)的外緣顆粒繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式：
G＝mR()2
M＝，其中R為軌道半徑，大小為1.4×105 km，T為周期，約為14 h.
代入數(shù)據(jù)得：M≈6.4×1026 kg.
答案　D
特別提醒　此方法只能求中心天體質(zhì)量，而不能求周圍環(huán)繞星(或行星)的質(zhì)量.
對(duì)點(diǎn)例題2　嫦娥五號(hào)探測(cè)器由軌道器、返回器、著陸器等多個(gè)部分組成.探測(cè)器預(yù)計(jì)在2017年由長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在中國(guó)文昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，自動(dòng)完成月面樣品采集，并從月球起飛，返回地球，帶回約2 kg月球樣品.某同學(xué)從網(wǎng)上得到一些信息，如表格中的數(shù)據(jù)所示，請(qǐng)根據(jù)題意，判斷地球和月球的密度之比為(　　)21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
月球半徑
R0
月球表面處的重力加速度
g0
地球和月球的半徑之比
＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比
＝6
A. B. C.4 D.6
解題指導(dǎo)　在地球表面，重力等于萬(wàn)有引力，故mg＝G，解得M＝，故地球的密度ρ＝＝＝.同理，月球的密度ρ0＝，故地球和月球的密度之比＝＝6×＝.
答案　B
1.(多選) 有一宇宙飛船到了某行星上(該行星沒(méi)有自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng))，以速度v貼近行星表面勻速飛行，測(cè)出飛船運(yùn)動(dòng)的周期為T，已知引力常量為G，則可得(　　)21教育網(wǎng)
A.該行星的半徑為
B.該行星的平均密度為
C.無(wú)法求出該行星的質(zhì)量
D.該行星表面的重力加速度為
答案　AB
解析　由T＝可得R＝，A正確；由＝m可得M＝，C錯(cuò)誤；由M＝πR3ρ得ρ＝，B正確；由＝mg得g＝，D錯(cuò)誤.21cnjy.com
2.我國(guó)首個(gè)月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”將分三個(gè)階段實(shí)施，大約用十年左右時(shí)間完成，2007年10月24日，“嫦娥一號(hào)”繞月探測(cè)衛(wèi)星發(fā)射成功.以下是某同學(xué)就有關(guān)月球的知識(shí)設(shè)計(jì)的兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解答：21·cn·jy·com
(1)若已知地球質(zhì)量為M，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，且把月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng).萬(wàn)有引力常量為G.試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r.
(2)若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球某水平表面上方h高處以速度v0水平拋出一個(gè)小球，小球落地點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)的水平距離為x.已知月球半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G.試求出月球的質(zhì)量M月.www.21-cn-jy.com
答案　見(jiàn)解析
解析　(1)由＝m()2r
得r＝ .
(2)由x＝v0t，h＝gt2
得g＝又＝mg
得M月＝.
第15點(diǎn)　雙星系統(tǒng)中的三個(gè)特點(diǎn)
宇宙中兩個(gè)靠得比較近的天體，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)而不至因?yàn)槿f(wàn)有引力的作用吸引到一起，從而使它們間的距離不變，這樣的系統(tǒng)稱為雙星系統(tǒng)，雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)做孤立的系統(tǒng)處理.www.21-cn-jy.com
雙星系統(tǒng)具有的三個(gè)特點(diǎn)：
(1)兩顆子星的向心力大小相等
由于圓心O處無(wú)物體存在，所以這兩顆行星做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力只能由它們之間的萬(wàn)有引力互相提供——m2給m1的引力F1使m1做圓周運(yùn)動(dòng)；m1給m2的引力F2使m2做圓周運(yùn)動(dòng).根據(jù)牛頓第三定律可知F1＝F2，且方向相反，分別作用在m1、m2兩顆星上.
(2)兩顆子星的圓心相同，且兩軌道半徑之和等于兩星間距
如圖1所示，由于F1和F2提供向心力，所以它們都必須永遠(yuǎn)指向圓心O，又因兩顆星的距離總是L，所以兩顆星的連線必須始終通過(guò)圓心O，于是r1＋r2＝L.【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
圖1
(3)兩顆子星的運(yùn)行周期相同
兩顆子星之間的距離總是恒定不變，且圓心總是在兩星連線上，兩星好像用一根無(wú)形的桿連著，所以這兩顆星的運(yùn)行周期必須相等，即T1＝T2.21教育網(wǎng)
對(duì)點(diǎn)例題　在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此相距較近的星體稱為雙星.它們?cè)谙嗷サ娜f(wàn)有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng).如果雙星間距為L(zhǎng)，質(zhì)量分別為M1和M2，引力常量為G，試計(jì)算：2-1-c-n-j-y
(1)雙星的軌道半徑R1、R2；
(2)雙星的運(yùn)行周期T；
(3)雙星的線速度v1、v2的大小.
解題指導(dǎo)　因?yàn)殡p星受到同樣大小的萬(wàn)有引力作用，且保持距離不變，繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以具有周期、轉(zhuǎn)速和角速度均相同，而軌道半徑和線速度不同的特點(diǎn).
(1)根據(jù)萬(wàn)有引力定律F＝M1ω2R1＝M2ω2R2及L＝R1＋R2可得R1＝L，R2＝L.
(2)同理，G＝M12R1＝M22R2
所以，周期T＝＝
＝2πL .
(3)根據(jù)線速度公式有
v1＝＝M2，
v2＝＝M1.
答案　(1)L　L
(2)2πL
(3)M2　M1
1.(多選)宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不至于因萬(wàn)有引力的作用吸引到一起.設(shè)兩者的質(zhì)量分別為m1和m2且m1>m2，則下列說(shuō)法正確的是(　　)21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
A.兩天體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等
B.兩天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小相等
C.m1的軌道半徑大于m2的軌道半徑
D.m2的軌道半徑大于m1的軌道半徑
答案　 AD
解析　 雙星繞連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度相同，兩者之間的萬(wàn)有引力提供向心力，所以兩者周期相同，故選項(xiàng)A正確；由F萬(wàn)＝ma向可知，兩者的向心加速度不同，與質(zhì)量成反比，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由F萬(wàn)＝mω2r可知半徑與質(zhì)量成反比，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確.
2.天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星.雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍.利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特征可推算出它們的總質(zhì)量.已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r，試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量.(引力常量為G)21cnjy.com
答案　
解析　設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1、r2，角速度分別為ω1、ω2.根據(jù)題意有21·cn·jy·com
ω1＝ω2 ①2·1·c·n·j·y
r1＋r2＝r ②
根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，有
G＝m1ωr1 ③21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
G＝m2ωr2 ④www-2-1-cnjy-com
聯(lián)立以上各式解得r1＝ ⑤
根據(jù)角速度與周期的關(guān)系知ω1＝ω2＝ ⑥
聯(lián)立③④⑤⑥式解得這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量
m1＋m2＝.
第16點(diǎn)　抓“兩個(gè)特點(diǎn)”、按“四個(gè)步驟”，輕松解決多星問(wèn)題
天體運(yùn)動(dòng)的形式是多種多樣的，除行星圍繞恒星、衛(wèi)星圍繞行星運(yùn)動(dòng)的形式外，還存在“雙星”“三星”等多星運(yùn)動(dòng)形式.“多星”問(wèn)題涉及力的合成與分解、萬(wàn)有引力定律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律和圓周運(yùn)動(dòng)等方面的知識(shí)，綜合性較強(qiáng).如果能掌握多星系統(tǒng)的兩個(gè)特點(diǎn)和分析此類問(wèn)題的四個(gè)步驟，就可以很輕松地解決多星問(wèn)題.21cnjy.com
1.兩個(gè)特點(diǎn)
(1)多顆星體共同繞空間某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).
(2)每顆星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和角速度都相同，以保持其相對(duì)位置不變.
2.四個(gè)步驟
(1)要明確各星體的幾何位置，畫出示意圖；
(2)明確各星體的轉(zhuǎn)動(dòng)方式，找出各星體共同做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心位置，確定各星體運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
(3)受力分析，確定每顆星體向心力的來(lái)源；
(4)抓住每顆星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和角速度相同這一特點(diǎn).
對(duì)點(diǎn)例題1　(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng).其中有一種三星系統(tǒng)如圖1所示，三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長(zhǎng)為R.忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G.則(　　)21·cn·jy·com
圖1
A.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為
B.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為
C.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π
D.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無(wú)關(guān)
解題指導(dǎo)　任意兩個(gè)星體之間的萬(wàn)有引力F＝，每一顆星體受到的合力F1＝F
由幾何關(guān)系知：它們的軌道半徑r＝R①
合力提供它們的向心力：＝②
聯(lián)立①②，解得：v＝ ，故A正確；
由＝
解得：T＝2π ，故C正確；
角速度ω＝＝ ，故B錯(cuò)誤；
由牛頓第二定律：＝ma
得a＝，所以加速度與它們的質(zhì)量有關(guān)，故D錯(cuò)誤.
答案　AC
對(duì)點(diǎn)例題2　宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用.已觀測(cè)到的四星系統(tǒng)存在著一種基本的構(gòu)成形式是：三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，第四顆星位于圓形軌道的圓心處，已知引力常量為G，圓形軌道的半徑為R，每顆星體的質(zhì)量均為m.求：
(1)中心星體受到其余三顆星體的引力的合力大小；
(2)三顆星體沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)的線速度大小和周期.
解題指導(dǎo)　四星系統(tǒng)的圓周運(yùn)動(dòng)示意圖如圖所示
(1)中心星體受到其余三顆星體的引力大小相等，方向互成120°.
根據(jù)力的合成法則，中心星體受到其他三顆星體的引力的合力為零.
(2)對(duì)圓形軌道上任意一顆星體，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有：
G＋2Gcos 30°＝m
r＝2Rcos 30°
由以上兩式可得三顆星體運(yùn)動(dòng)的線速度為
v＝
三顆星體運(yùn)動(dòng)的周期為T＝＝2πR.
答案　(1)0　(2)　2πR
(多選)宇宙間存在一個(gè)離其他星體遙遠(yuǎn)的四星系統(tǒng)，其中有一種四星系統(tǒng)如圖2所示，四顆質(zhì)量均為m的星體位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，正方形的邊長(zhǎng)為a，忽略其它星體對(duì)它們的引力作用，四顆星都在同一平面內(nèi)繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力常量為G，則(　　)21教育網(wǎng)
圖2
A.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為
B.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小為
C.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π
D.每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與質(zhì)量m有關(guān)
答案　AD
解析　由星體均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可知，星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r＝a
每顆星體在其他三個(gè)星體萬(wàn)有引力的合力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得：21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
G＋2Gcos 45°＝m
解得v＝
角速度ω＝＝
周期為T＝＝2π
加速度a＝＝
故選A、D.
第17點(diǎn)　衛(wèi)星軌道調(diào)整的原理剖析
1.人造衛(wèi)星沿圓軌道和橢圓軌道運(yùn)行的條件
圖1
當(dāng)衛(wèi)星與火箭分離時(shí)，設(shè)衛(wèi)星的速度為v，衛(wèi)星距離地心為r，并設(shè)此時(shí)速度與萬(wàn)有引力垂直(通過(guò)地面控制可以實(shí)現(xiàn))，如圖1所示，若衛(wèi)星以速度v繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，則所需要的向心力為Fn＝m，衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力F＝G21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
(1)當(dāng)F＝Fn時(shí)，衛(wèi)星將做圓周運(yùn)動(dòng).若此時(shí)剛好是離地面最近的軌道，則可求出此時(shí)的發(fā)射速度v＝7.9 km/s.21教育網(wǎng)
(2)當(dāng)F(3)當(dāng)F>Fn時(shí)，衛(wèi)星在引力作用下，向地心做橢圓運(yùn)動(dòng).
因此，星、箭分離時(shí)的速度是決定衛(wèi)星運(yùn)行軌道的主要因素.
2.人造衛(wèi)星的軌道調(diào)整
如圖2所示，以衛(wèi)星從近地圓軌道Ⅰ變軌到圓軌道Ⅲ為例加以分析.
圖2
在圓軌道Ⅰ穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)滿足＝m(rA為A到地心的距離).若在A點(diǎn)提高速度(衛(wèi)星自帶推進(jìn)器可完成這個(gè)任務(wù))至vA′則有由此可以看出，衛(wèi)星由低軌道變到高軌道必須在適當(dāng)?shù)奈恢锰崴伲恚筛哕壍雷兊降蛙壍辣仨氃谶m當(dāng)?shù)奈恢脺p速.21·cn·jy·com
對(duì)點(diǎn)例題　2013年6月23日10時(shí)07分，在航天員聶海勝的精準(zhǔn)操控和張曉光、王亞平的密切配合下，“神舟十號(hào)”飛船與“天宮一號(hào)”目標(biāo)飛行器成功實(shí)現(xiàn)手控交會(huì)對(duì)接.如果對(duì)接前飛船和飛行器在同一軌道上運(yùn)行，飛船與前面飛行器對(duì)接，飛船為了追上飛行器，可采用的方法是(　　)21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
A.飛船加速追上飛行器，完成對(duì)接
B.飛船從原軌道減速至一個(gè)較低軌道，再加速追上飛行器完成對(duì)接
C.飛船加速至一個(gè)較低軌道再減速追上飛行器完成對(duì)接
D.無(wú)論飛船如何采取措施，均不能與飛行器對(duì)接
解題指導(dǎo)　飛船要追上飛行器，應(yīng)先減速，使它的半徑減小，當(dāng)飛船運(yùn)動(dòng)到合適的位置時(shí)再加速，使其軌道半徑增大，當(dāng)剛好運(yùn)動(dòng)到飛行器所在軌道時(shí)停止加速，則飛船的速度剛好等于飛行器的速度，可以完成對(duì)接.B正確.www.21-cn-jy.com
答案　B
我國(guó)某同步衛(wèi)星在發(fā)射過(guò)程中經(jīng)過(guò)四次變軌進(jìn)入同步軌道.如圖3為第四次變軌的示意圖，衛(wèi)星先沿橢圓軌道Ⅰ飛行，后在遠(yuǎn)地點(diǎn)P處實(shí)現(xiàn)變軌，由橢圓軌道Ⅰ進(jìn)入同步軌道Ⅱ，則該衛(wèi)星(　　)【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
圖3
A.在軌道Ⅱ上的周期比地球自轉(zhuǎn)周期大
B.在軌道 Ⅱ 上的加速度比在軌道 Ⅰ 上任意一點(diǎn)的加速度大
C.在軌道Ⅰ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度比在軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度小
D.在軌道Ⅱ上的速度比在軌道Ⅰ上任意一點(diǎn)的速度大
答案　C
解析　軌道Ⅱ是同步軌道，周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期，故A錯(cuò)誤；衛(wèi)星在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)所受的萬(wàn)有引力相等，所以加速度相等，故B錯(cuò)誤；衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的P點(diǎn)速度較小，萬(wàn)有引力大于所需的向心力，會(huì)做近心運(yùn)動(dòng)，要想進(jìn)入圓軌道Ⅱ，需加速，使萬(wàn)有引力等于所需要的向心力.所以衛(wèi)星在軌道Ⅰ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速度小于在軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度，故C正確，D錯(cuò)誤.2·1·c·n·j·y
第18點(diǎn)　透析衛(wèi)星“追趕”問(wèn)題
兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)同向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a衛(wèi)星的角速度為ωa，b衛(wèi)星的角速度為ωb，若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過(guò)地面同一點(diǎn)正上方，相距最近(如圖1所示).
當(dāng)它們轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差Δθ＝π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝π時(shí)，兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)，如圖2所示.
　
　　 　　圖1　　　 　　　　　圖2
當(dāng)它們轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差Δθ＝2π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝2π時(shí)，兩衛(wèi)星再次相距最近.
經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，兩衛(wèi)星又會(huì)相距最遠(yuǎn)和最近.
1.兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的條件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…).
2.兩衛(wèi)星相距最近的條件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…).
對(duì)點(diǎn)例題　如圖3是在同一平面不同軌道上同向運(yùn)行的兩顆人造地球衛(wèi)星.設(shè)它們運(yùn)行的周期分別是T1、T2(T1圖3
(1)兩衛(wèi)星再次相距最近的時(shí)間是多少？
(2)兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)的時(shí)間是多少？
解題指導(dǎo)　(1)依題意，T1則它們運(yùn)行的角度之差Δθ＝2π
即t－t＝2π
解得t＝.
(2)兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí)，它們運(yùn)行的角度之差
Δθ＝(2k＋1)π(k＝0,1,2，…)
即t－t＝(2k＋1)π(k＝0,1,2，…)
解得t＝(k＝0,1,2…).
答案　(1)
(2)(k＝0,1,2，…)
設(shè)地球的自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g.某人造衛(wèi)星在赤道上空做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，且r＜5R(已知同步衛(wèi)星距地心的距離約為7R).飛行方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同.在某時(shí)刻，該人造衛(wèi)星通過(guò)赤道上某建筑物的正上方，則到它下一次通過(guò)該建筑物正上方所需時(shí)間為(　　)21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
A. B.
C. D.
答案　A
解析　根據(jù)＝mrω2得ω＝，同步衛(wèi)星距地心距離大約為7R，而人造地球衛(wèi)星r＜5R，所以人造衛(wèi)星的角速度大于地球自轉(zhuǎn)的角速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星下一次通過(guò)該建筑物正上方所需時(shí)間為t，則ωt－ω0t＝2π，ω＝ ＝ ，所以t＝＝，A正確.21教育網(wǎng)
第19點(diǎn)　從六個(gè)方面解讀功的概念
1.做功的條件
做功有兩個(gè)條件：力和物體在力的方向上發(fā)生的位移，兩個(gè)條件對(duì)于功而言，缺一不可.
2.功是標(biāo)量
功是標(biāo)量，只有大小，沒(méi)有方向，功的正負(fù)既不表示功有方向，也不表示功的數(shù)量的大小，正功和負(fù)功只表示兩種相反的做功效果，既不能說(shuō)“正功和負(fù)功方向相反”，也不能說(shuō)“正功大于負(fù)功”.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
因功是標(biāo)量，所以幾個(gè)力對(duì)物體所做的總功等于各個(gè)力分別對(duì)物體所做的功的代數(shù)和.即分別求出每一個(gè)力做的功：W1＝F1l1cos α1，W2＝F2l2cos α2，W3＝F3l3cos α3，…，再把各個(gè)力做的功求代數(shù)和，即W總＝W1＋W2＋W3＋….21教育網(wǎng)
3.決定功大小的因素
由功的定義式W＝Flcos α可以看出，功的大小決定于做功的力的大小及受力物體在力的方向上發(fā)生的位移大小，與物體的質(zhì)量大小、物體所處環(huán)境、物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)等因素?zé)o關(guān)，即力做功具有獨(dú)立性.21·cn·jy·com
4.功是過(guò)程量
功描述了力的作用效果在空間上的累積，反映了物體受力并運(yùn)動(dòng)的效果，它總與一個(gè)具體過(guò)程相聯(lián)系.因此，功是過(guò)程量.公式W＝Flcos α中的F和l是同一過(guò)程中的兩個(gè)物理量.
5.公式W＝Flcos α的適用范圍
公式W＝Flcos α只適用于恒力做功的計(jì)算，不能直接用于處理變力做功的問(wèn)題.
6.功具有相對(duì)性
由于位移l與選取的參考系有關(guān)，具有相對(duì)性，因此，同一個(gè)力對(duì)同一物體做功，由于選取的參考系不同，從而做功的大小不同.但是，中學(xué)階段計(jì)算功時(shí)，一般均以地面為參考系.
對(duì)點(diǎn)例題　如圖1所示，質(zhì)量為m的物體靜止在傾角為θ的斜面上，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.現(xiàn)使斜面水平向左勻速移動(dòng)距離l，物體與斜面始終保持相對(duì)靜止.試求：
圖1
(1)摩擦力對(duì)物體做的功；
(2)斜面對(duì)物體的彈力對(duì)物體做的功；
(3)重力對(duì)物體做的功；
(4)斜面對(duì)物體做的功是多少？各力對(duì)物體所做的總功是多少？
解題指導(dǎo)　物體的受力情況如圖所示，物體相對(duì)斜面靜止，相對(duì)地面水平向左勻速移動(dòng)l，物體受到重力mg、摩擦力Ff和支持力FN的作用，這些力均是恒力，故可用W＝Flcos α計(jì)算各力做的功.21cnjy.com
根據(jù)物體的平衡條件，
可得Ff＝mgsin θ，F(xiàn)N＝mgcos θ.
(1)Wf＝Fflcos(180°－θ)＝－mglsin θcos θ；
(2)WN＝FNlcos(90°－θ)＝mglsin θcos θ；
(3)WG＝mglcos 90°＝0；
(4)斜面對(duì)物體做的功為斜面對(duì)物體施加的力做功的代數(shù)和：W斜＝Wf＋WN＝0.
各力對(duì)物體所做的總功等于各力做功的代數(shù)和，
即W總＝Wf＋WN＋WG＝0.
答案　(1)－mglsin θcos θ　(2)mglsin θcos θ　(3)0　(4)0　0
如圖2所示，利用斜面從貨車上卸貨，每包貨物的質(zhì)量m＝20 kg，斜面傾角α＝37°，斜面的長(zhǎng)度l＝0.5 m，貨物與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，求貨物從斜面頂端滑到底端的過(guò)程中受到的各個(gè)力所做的功以及合外力做的功.(取g＝10 m/s2)www.21-cn-jy.com
圖2
答案　見(jiàn)解析
解析　斜面上的貨物受到重力G、斜面支持力FN和摩擦力Ff共三個(gè)力的作用.
其中重力G對(duì)貨物做的功WG＝mglsin 37°＝20×10×0.5×0.6 J＝60 J.
支持力FN對(duì)貨物沒(méi)有做功WN＝0.
摩擦力Ff對(duì)貨物做負(fù)功
Wf＝μmgcos 37°·lcos 180°＝－0.2×20×10×0.8×0.5 J＝－16 J.
合外力做的功
W＝F合l＝(mgsin 37°－μmgcos 37°)l
＝(20×10×0.6－0.2×20×10×0.8)×0.5 J＝44 J.
第1點(diǎn)　對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)的四個(gè)誤區(qū)
誤區(qū)1　曲線運(yùn)動(dòng)速度的大小一定變化
曲線運(yùn)動(dòng)中速度的方向時(shí)刻在變，但曲線運(yùn)動(dòng)中速度的大小不一定變化，如旋轉(zhuǎn)的砂輪、風(fēng)扇，旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定后，砂輪、風(fēng)扇葉片邊緣上各點(diǎn)的速度大小不變.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
誤區(qū)2　曲線運(yùn)動(dòng)中平均速度的大小即為平均速率
在曲線運(yùn)動(dòng)中，由于位移的大小和路程不相等，所以，曲線運(yùn)動(dòng)中的平均速度的大小不等于平均速率.
誤區(qū)3　做曲線運(yùn)動(dòng)的物體不一定受力
曲線運(yùn)動(dòng)中速度的方向時(shí)刻在變，所以曲線運(yùn)動(dòng)是變速運(yùn)動(dòng).由a＝可知，曲線運(yùn)動(dòng)中的加速度不為零，根據(jù)牛頓第二定律可以斷定，做曲線運(yùn)動(dòng)的物體一定受力，且合外力不為零.
誤區(qū)4　曲線運(yùn)動(dòng)的加速度一定變化
物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件是合力方向與速度方向不在一條直線上，但合力既可能是變力，也可能是恒力.
例如，將物體水平或斜向上拋出，物體做的是曲線運(yùn)動(dòng)，若忽略空氣阻力，物體只受重力的作用，重力是恒力，物體運(yùn)動(dòng)的加速度大小和方向均不變，這樣的曲線運(yùn)動(dòng)我們稱之為勻變速曲線運(yùn)動(dòng).所以，曲線運(yùn)動(dòng)的加速度不一定變化.21教育網(wǎng)
對(duì)點(diǎn)例題　(多選)下列對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的理解正確的是(　　)
A.物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度一定變化
B.做曲線運(yùn)動(dòng)的物體不可能受恒力作用
C.曲線運(yùn)動(dòng)可以是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)
D.做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，速度的大小可以不變
解題指導(dǎo)　當(dāng)物體受到恒力作用且力與速度方向不共線時(shí)，物體就做加速度恒定的曲線運(yùn)動(dòng)，故A、B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)物體受到的力的方向始終與速度方向垂直時(shí)，物體做速度大小保持不變的曲線運(yùn)動(dòng)，故D正確.21cnjy.com
答案　CD
(多選)下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.判斷物體是做曲線運(yùn)動(dòng)還是直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)看合外力方向與速度方向是否在同一條直線上
B.物體在恒定外力作用下一定做直線運(yùn)動(dòng)
C.判斷物體是做勻變速運(yùn)動(dòng)還是非勻變速運(yùn)動(dòng)應(yīng)看所受合外力是否恒定
D.勻變速運(yùn)動(dòng)的物體一定沿直線運(yùn)動(dòng)
答案　AC
解析　當(dāng)合外力方向與速度方向在同一條直線上時(shí)，物體做直線運(yùn)動(dòng)，有一夾角時(shí)，物體做曲線運(yùn)動(dòng)，故A對(duì)，B錯(cuò).物體受到的合外力恒定時(shí)，就做勻變速運(yùn)動(dòng)，合外力不恒定時(shí)就做非勻變速運(yùn)動(dòng)，可見(jiàn)勻變速運(yùn)動(dòng)可能是直線運(yùn)動(dòng)也可能是曲線運(yùn)動(dòng)，故C對(duì)，D錯(cuò).
第20點(diǎn)　兩組功率概念的對(duì)比辨析
1.平均功率和瞬時(shí)功率
(1)平均功率
平均功率表示力在一段時(shí)間內(nèi)做功的平均快慢程度.平均功率與一段時(shí)間(或過(guò)程)相關(guān).計(jì)算時(shí)應(yīng)明確是哪個(gè)力在哪段時(shí)間(或過(guò)程)內(nèi)做功的平均功率.常用P＝求平均功率，如果用P＝Fv求平均功率，公式中的v應(yīng)為平均速度.21·cn·jy·com
(2)瞬時(shí)功率
瞬時(shí)功率表示力在一段極短時(shí)間內(nèi)做功的快慢程度，計(jì)算時(shí)應(yīng)明確是哪個(gè)力在哪個(gè)時(shí)刻(或狀態(tài))的功率.如果用公式P＝Fvcos θ求瞬時(shí)功率，公式中的v應(yīng)為瞬時(shí)速度，θ為F與v的夾角.21教育網(wǎng)
2.額定功率和實(shí)際功率
(1)額定功率是指動(dòng)力機(jī)械長(zhǎng)期正常工作時(shí)最大的輸出功率，是動(dòng)力機(jī)械重要的性能指標(biāo).一個(gè)動(dòng)力機(jī)械的額定功率是一定的，通常都在銘牌上標(biāo)明.機(jī)械工作時(shí)必須受額定功率的限制.www.21-cn-jy.com
(2)實(shí)際功率是機(jī)械工作時(shí)實(shí)際的輸出功率，實(shí)際功率可以小于等于額定功率，但實(shí)際功率長(zhǎng)時(shí)間大于額定功率會(huì)損壞機(jī)器.2·1·c·n·j·y
對(duì)點(diǎn)例題　質(zhì)量是2 t、額定功率為80 kW的汽車，在平直公路上行駛中的最大速度為20 m/s.若汽車從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為2 m/s2，運(yùn)動(dòng)中的阻力不變.求：
(1)汽車所受阻力的大小；
(2)3 s末汽車的實(shí)際功率；
(3)前3 s內(nèi)汽車的平均功率；
(4)6 s末汽車的實(shí)際功率.
解題指導(dǎo)　(1)汽車以最大速度行駛時(shí)，牽引力和阻力大小相等，根據(jù)P額＝Ffvm，可求得Ff＝4 000 N.【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
(2)由于3 s末的速度v＝at＝6 m/s，而由F－Ff＝ma得牽引力F＝8 000 N，故此時(shí)的功率為P＝Fv＝4.8×104 W＝48 kW.21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
(3)汽車前3 s內(nèi)的位移l＝at2＝9 m
前3 s內(nèi)汽車牽引力所做的功W＝Fl＝72 000 J
前3 s內(nèi)的平均功率＝＝ W＝24 kW.
(4)若汽車勻加速運(yùn)動(dòng)6 s，則此時(shí)汽車的速率v′＝at′＝12 m/s，此時(shí)汽車實(shí)際功率P1＝Fv′＝8 000×12 W＝96 kW.顯然，此時(shí)的實(shí)際功率超過(guò)了汽車所允許的額定功率，即汽車勻加速的時(shí)間應(yīng)該小于6 s，當(dāng)汽車的實(shí)際功率等于汽車的額定功率時(shí)，汽車開(kāi)始以額定功率做變加速運(yùn)動(dòng).21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
故汽車6 s末的實(shí)際功率P′＝P額＝80 kW.
答案　(1)4 000 N　(2)48 kW　(3)24 kW　(4)80 kW
1.將質(zhì)量為20 kg的物體從靜止開(kāi)始以1 m/s2的加速度豎直提升2 m.求在此過(guò)程中拉力做功的平均功率為多少？到達(dá)2 m高處時(shí)拉力做功的瞬時(shí)功率多大？(g＝10 m/s2)
答案　220 W　440 W
解析　由F－mg＝ma得拉力大小
F＝mg＋ma＝220 N
物體上升2 m所需時(shí)間t＝＝2 s
故拉力做功的平均功率
P＝＝＝ W＝220 W
到達(dá)2 m高處時(shí)拉力做功的瞬時(shí)功率
P′＝Fv＝Fat＝220×1×2 W＝440 W.
2. (多選)如圖1所示，一質(zhì)量為1.2 kg的物體從一固定的傾角為30°、長(zhǎng)度為10 m的光滑斜面頂端由靜止開(kāi)始下滑.則(　　)21cnjy.com
圖1
A.物體滑到斜面底端時(shí)重力做功的瞬時(shí)功率是60 W
B.物體滑到斜面底端時(shí)重力做功的瞬時(shí)功率是120 W
C.整個(gè)過(guò)程中重力做功的平均功率是30 W
D.整個(gè)過(guò)程中重力做功的平均功率是60 W
答案　AC
第21點(diǎn)　重力勢(shì)能的“四性”
1.重力勢(shì)能具有系統(tǒng)性.重力勢(shì)能是物體和地球所組成的系統(tǒng)共有的，而不是地球上物體獨(dú)有的，通常所說(shuō)的物體的重力勢(shì)能是一種簡(jiǎn)略的習(xí)慣說(shuō)法.www.21-cn-jy.com
2.重力勢(shì)能具有相對(duì)性.重力勢(shì)能的數(shù)學(xué)表達(dá)式Ep＝mgh是與參考平面的選擇有關(guān)的，式中的h是物體重心到參考平面的高度.重力勢(shì)能是標(biāo)量，只有大小而無(wú)方向，但有正負(fù)，當(dāng)物體在參考平面上方時(shí)，重力勢(shì)能Ep為正值；當(dāng)物體在參考平面下方時(shí)，重力勢(shì)能Ep為負(fù)值.物體重力勢(shì)能正負(fù)的物理意義是表示比零勢(shì)能大，還是比零勢(shì)能小，這與功的正負(fù)的物理意義是不同的.2·1·c·n·j·y
3.參考平面選擇的任意性.根據(jù)處理問(wèn)題的方便而定，一般可選擇地面或物體運(yùn)動(dòng)時(shí)所到達(dá)的最低點(diǎn)為零勢(shì)能參考平面.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
4.重力勢(shì)能變化的絕對(duì)性.物體從一個(gè)位置運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)位置的過(guò)程中，重力勢(shì)能的變化與參考平面的選取無(wú)關(guān)，它的變化是絕對(duì)的.【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
對(duì)點(diǎn)例題　如圖1所示，桌面距地面的高度為0.8 m，一物體質(zhì)量為2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，g取10 m/s2.求：21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
圖1
(1)以桌面為零勢(shì)能參考平面，計(jì)算物體具有的重力勢(shì)能，并計(jì)算物體由支架下落到地面過(guò)程中重力勢(shì)能減少多少？www-2-1-cnjy-com
(2)以地面為零勢(shì)能參考平面，計(jì)算物體具有的重力勢(shì)能，并計(jì)算物體由支架下落到地面過(guò)程中重力勢(shì)能減少多少？2-1-c-n-j-y
(3)以上計(jì)算結(jié)果說(shuō)明什么？
解題指導(dǎo)　(1)以桌面為零勢(shì)能參考平面，物體距離零勢(shì)能參考平面的高度h1＝0.4 m，因而物體具有的重力勢(shì)能21*cnjy*com
Ep1＝mgh1＝2×10×0.4 J＝8 J.
物體落至地面時(shí)，重力勢(shì)能
Ep2＝2×10×(－0.8) J＝－16 J.
因此物體在此過(guò)程中重力勢(shì)能減少量
ΔEp＝Ep1－Ep2＝8 J－(－16) J＝24 J.
(2)以地面為零勢(shì)能參考平面，物體的高度h1′＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m.因而物體具有的重力勢(shì)能Ep1′＝mgh1′＝2×10×1.2 J＝24 J.21教育網(wǎng)
物體落至地面時(shí)重力勢(shì)能Ep2′＝0.
在此過(guò)程中物體重力勢(shì)能減少量
ΔEp′＝Ep1′－Ep2′＝24 J－0＝24 J.
(3)通過(guò)上面的計(jì)算可知，重力勢(shì)能是相對(duì)的，它的大小與零勢(shì)能參考平面的選取有關(guān)，而重力勢(shì)能的變化是絕對(duì)的，它與零勢(shì)能參考平面的選取無(wú)關(guān)，其變化值與重力對(duì)物體做功的多少有關(guān).21cnjy.com
答案　(1)8 J　24 J　 (2)24 J　24 J　(3)見(jiàn)解析
(多選)下列關(guān)于重力勢(shì)能的說(shuō)法中正確的是(　　)
A.重力勢(shì)能是物體和地球共同具有的，而不是物體單獨(dú)具有的
B.在同一高度，將同一物體以v0向不同方向拋出，落地時(shí)物體減少的重力勢(shì)能一定相等
C.重力勢(shì)能等于零的物體，不可能對(duì)別的物體做功
D.在地面上的物體，它的重力勢(shì)能一定為零
答案　AB
解析　重力勢(shì)能是物體與地球共有的，具有系統(tǒng)性，故A正確；重力勢(shì)能的變化，僅與物體位置的變化有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)， 故B正確；重力勢(shì)能為零的物體，也可能對(duì)別的物體做功，故C錯(cuò)誤；物體的重力勢(shì)能是相對(duì)于零勢(shì)能參考平面而言的，如果不選地面為零勢(shì)能面，地面上的物體的重力勢(shì)能就不是零，故D錯(cuò)誤.21·cn·jy·com
第22點(diǎn)　對(duì)動(dòng)能概念的“四點(diǎn)詮釋”
關(guān)于動(dòng)能，可從以下四點(diǎn)來(lái)加深理解：
(1)動(dòng)能具有相對(duì)性，參考系不同，速度就不同，所以動(dòng)能也不等.一般都以地面為參考系描述物體的動(dòng)能.
(2)動(dòng)能是狀態(tài)量，是表示物體狀態(tài)的物理量.物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一旦確定，物體的動(dòng)能就被唯一地確定了.
(3)動(dòng)能是標(biāo)量，動(dòng)能對(duì)應(yīng)于某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的能量，它僅與速度的大小有關(guān)，而與速度的方向無(wú)關(guān).
(4)動(dòng)能的變化：動(dòng)能沒(méi)有負(fù)值，但動(dòng)能的變化卻有正有負(fù).“變化”是指末狀態(tài)的物理量減去初狀態(tài)的物理量.動(dòng)能的變化量為正值，表示物體的動(dòng)能增加了，對(duì)應(yīng)于合力對(duì)物體做正功；動(dòng)能的變化量為負(fù)值，表示物體的動(dòng)能減小了，對(duì)應(yīng)于合力對(duì)物體做負(fù)功，或者說(shuō)物體克服合力做功.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
對(duì)點(diǎn)例題　(多選)關(guān)于動(dòng)能，下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A.動(dòng)能是機(jī)械能中的一種基本形式，凡是運(yùn)動(dòng)的物體都有動(dòng)能
B.公式Ek＝中，速度v是物體相對(duì)地面的速度，且動(dòng)能總是正值
C.一定質(zhì)量的物體，動(dòng)能變化時(shí)，速度一定變化，但速度變化時(shí)，動(dòng)能不一定變化
D.動(dòng)能不變的物體，一定處于平衡狀態(tài)
解題指導(dǎo)　動(dòng)能就是物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是普遍存在的機(jī)械能中的一種基本形式，凡是運(yùn)動(dòng)的物體都有動(dòng)能，所以A正確；物體的動(dòng)能是沒(méi)有方向的，它是標(biāo)量，速度v是物體相對(duì)參考系的速度，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于一定質(zhì)量的物體，動(dòng)能變化時(shí)，速度一定是變化的，但速度變化時(shí)，動(dòng)能不一定變化，所以C正確；動(dòng)能不變的物體，物體速度的大小一定不變，但速度的方向可以變化，比如勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的物體并不一定是平衡狀態(tài)，所以D錯(cuò)誤.
答案　AC
(多選)關(guān)于動(dòng)能的理解，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.兩質(zhì)量相同的物體，若動(dòng)能相同，其速度不一定相同
B.物體以相同的速率向東和向西運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能大小相等，方向相反
C.當(dāng)物體以相同的速率做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其動(dòng)能不斷變化
D.動(dòng)能的大小由物體的質(zhì)量和速度大小決定，與物體的運(yùn)動(dòng)方向無(wú)關(guān)
答案　AD
解析　質(zhì)量相同的物體，若動(dòng)能相同，速度的大小一定相同，但速度方向不一定相同，A選項(xiàng)正確；動(dòng)能是標(biāo)量，只有大小沒(méi)有方向，故B錯(cuò)誤；只要速率不變，則物體的動(dòng)能就不會(huì)改變，故C錯(cuò)誤；由動(dòng)能公式可得，動(dòng)能的大小由物體的質(zhì)量和速度大小決定，與物體的運(yùn)動(dòng)方向無(wú)關(guān)，故D正確.21教育網(wǎng)
第23點(diǎn)　求解變力做功的“五法”
1.將變力的功轉(zhuǎn)化為恒力功W＝力×路程
當(dāng)力的大小不變而方向始終與運(yùn)動(dòng)方向相同、相反時(shí)，這類力所做的功可以采用微元法，將整個(gè)過(guò)程分成很多小段，在每一小段上應(yīng)用W＝FΔl求功，整個(gè)過(guò)程的功等于力和路程的乘積，如滑動(dòng)摩擦力、空氣阻力等做的功.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
2.變力的功＝平均力×lcos α
當(dāng)力的方向不變，大小隨位移線性變化時(shí)，可先求出力的平均值＝，再由W＝lcos α計(jì)算.
3.變力的功＝功率×?xí)r間
當(dāng)變力的功率P一定時(shí)，可用W＝Pt求功.
4.變力的功＝“面積”
作出變力F隨位移l變化的圖象，圖象與橫軸所夾的“面積”即為變力做的功，如圖1中陰影部分所示.
圖1
5.變力的功＝動(dòng)能的變化－其他恒力所做的功
當(dāng)物體受到變力及其他恒力(也可只受變力)作用引起物體的動(dòng)能發(fā)生變化時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理知，變力的功等于動(dòng)能的變化減去其他恒力所做的功.21cnjy.com
對(duì)點(diǎn)例題　如圖2所示，摩托車做特技表演時(shí)，以v0＝10 m/s 的初速度從高臺(tái)底部沖向高臺(tái)頂端，然后從高臺(tái)頂端水平飛出.摩托車在沖向高臺(tái)頂端的過(guò)程中始終以P＝4 kW的額定功率行駛，所經(jīng)歷的時(shí)間t＝3 s.人和車的總質(zhì)量m＝1.8×102 kg，臺(tái)高h(yuǎn)＝5 m，摩托車沖到高臺(tái)頂端時(shí)的速度為v＝11 m/s.取重力加速度g＝10 m/s2.求：21·cn·jy·com
(1)摩托車在沖向高臺(tái)頂端的過(guò)程中牽引力所做的功；
(2)摩托車在沖向高臺(tái)頂端的過(guò)程中克服阻力所做的功.
圖2
解題指導(dǎo)　(1)摩托車在沖向高臺(tái)頂端的過(guò)程中牽引力所做的功W＝Pt＝1.2×104 J
(2)設(shè)摩托車在沖向高臺(tái)頂端的過(guò)程中克服阻力所做的功為Wf, 根據(jù)動(dòng)能定理
W－Wf－mgh＝mv2－mv
代入數(shù)據(jù)，可得Wf＝1.11×103 J .
答案　(1)1.2×104 J　(2)1.11×103 J
如圖3所示，一質(zhì)量m＝1.0 kg的物體從半徑R＝5.0 m的圓弧的A端，在拉力作用下沿圓弧緩慢運(yùn)動(dòng)到B端(圓弧AB在豎直平面內(nèi)).拉力F的大小始終為15 N不變，方向始終沿物體在該點(diǎn)的切線方向.圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，BO邊沿豎直方向，g取10 m/s2.在這一過(guò)程中，求：21教育網(wǎng)
圖3
(1)拉力F做的功；
(2)重力G做的功；
(3)圓弧面對(duì)物體的支持力FN做的功.
答案　(1)78.5 J　(2)－25 J　(3)0
解析　(1)將圓弧AB分成很多小段l1，l2，…，ln，則拉力在每小段上做的功為W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不變，方向始終沿物體在該點(diǎn)的切線方向，所以W1＝Fl1，W2＝Fl2，…，Wn＝Fln，所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(l1＋l2＋…＋ln)＝F·R＝25π J≈78.5 J.
(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－25 J.
(3)物體受的支持力FN始終與物體的運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以WN＝0.
第24點(diǎn)　學(xué)會(huì)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和動(dòng)能定理兩種觀點(diǎn)解題
動(dòng)能定理是從功的定義式出發(fā)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式推導(dǎo)出來(lái)的.所以，解決物體在恒力作用下的直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，可以用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，也可以用動(dòng)能定理求解.21教育網(wǎng)
應(yīng)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律解題時(shí)，涉及的有關(guān)物理量比較多，對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的細(xì)節(jié)也要仔細(xì)研究，而應(yīng)用動(dòng)能定理解題只需考慮外力做功和初、末兩個(gè)狀態(tài)的動(dòng)能，并且可以把不同的運(yùn)動(dòng)過(guò)程合并為一個(gè)全過(guò)程來(lái)處理.一般情況下，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律能夠解決的問(wèn)題，用動(dòng)能定理也可以求解，并且更為簡(jiǎn)捷.21cnjy.com
對(duì)點(diǎn)例題　如圖1所示，一個(gè)物體從斜面上高h(yuǎn)處由靜止滑下并緊接著在水平面上滑行一段距離后停止.測(cè)得停止處相對(duì)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)處的水平距離為l，不考慮物體滑至斜面底端的碰撞作用，并認(rèn)為斜面與水平面和物體的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，求動(dòng)摩擦因數(shù)μ.
圖1
解題指導(dǎo)　解法一　用動(dòng)能定理求解
以物體為研究對(duì)象，它從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，最后又靜止在水平面上，整個(gè)過(guò)程中物體的動(dòng)能沒(méi)有變化，即
Ek2＝Ek1＝0
物體沿斜面下滑時(shí)，重力和摩擦力對(duì)物體做功，支持力不做功，設(shè)斜面傾角為α，斜面長(zhǎng)為L(zhǎng)，則重力和摩擦力的功分別為21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
WG＝mgh
Wf1＝－μmgLcos α
物體在水平面上滑行時(shí)，重力和支持力不做功，僅有摩擦力做功，設(shè)物體在水平面上滑行的距離為l2，則
Wf2＝－μmgl2
根據(jù)動(dòng)能定理得
WG＋Wf1＋Wf2＝Ek2－Ek1
即mgh－μmgLcos α－μmgl2＝0
又l＝＋l2，h＝Lsin α
解得μ＝＝
解法二　用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解
設(shè)斜面傾角為α，物體沿斜面下滑時(shí)，
由牛頓第二定律得
mgsin α－μmgcos α＝ma1
設(shè)斜面長(zhǎng)為L(zhǎng)，物體滑到斜面底端時(shí)的速度為v1，則
v＝2a1L
物體在水平面上滑行時(shí)，
由牛頓第二定律得－μmg＝ma2
設(shè)物體在水平面上滑行的距離為l2，
則－v＝2a2l2
又l＝＋l2，h＝Lsin α
聯(lián)立以上各式解得：μ＝＝
答案　
如圖2所示，質(zhì)量為m的物體，從高為h、傾角為θ的光滑斜面頂端由靜止開(kāi)始沿斜面下滑，最后停在水平面上，已知物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體從斜面滑上水平面時(shí)速度大小不變，求：21·cn·jy·com
圖2
(1)物體滑至斜面底端時(shí)的速度大小；
(2)物體在水平面上滑行的距離.
答案　(1)　(2)
解析　解法一　用動(dòng)能定理求解
(1)由動(dòng)能定理可得mgh＝mv2，解得v＝.
(2)設(shè)物體在水平面上滑行的距離為l，由動(dòng)能定理得
－μmgl＝0－mv2，
解得l＝＝.
此題也可對(duì)整個(gè)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理求解：
mgh－μmgl＝0－0
整理得l＝.
解法二　用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解
(1)沿斜面下滑的加速度a1＝gsin θ
斜面長(zhǎng)l1＝
由2a1l1＝v2得v＝＝.
(2)在水平面上滑行的加速度a2＝－μg
由0－v2＝2a2l
得l＝.
第25點(diǎn)　巧用動(dòng)能定理求變力的功
利用動(dòng)能定理求變力的功通常有以下兩種情況：
(1)如果物體只受到一個(gè)變力的作用，那么W＝Ek2－Ek1.
只要求出做功過(guò)程中物體的動(dòng)能變化量ΔEk，也就等于知道了這個(gè)過(guò)程中變力所做的功.
(2)如果物體同時(shí)受到幾個(gè)力作用，但是其中只有一個(gè)力F1是變力，其他的力都是恒力，則可以先用恒力做功的公式求出這幾個(gè)恒力所做的功，然后再運(yùn)用動(dòng)能定理來(lái)間接求變力做的功：W1＋W其他＝ΔEk.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
對(duì)點(diǎn)例題　如圖1所示，質(zhì)量m＝60 kg的高山滑雪運(yùn)動(dòng)員，從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿滑道滑下，然后由B點(diǎn)水平飛出，最后落在斜坡上的C點(diǎn).已知BC連線與水平方向夾角θ＝37°，A、B兩點(diǎn)間的高度差為hAB＝25 m，B、C兩點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)＝75 m，(不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：21cnjy.com
圖1
(1)運(yùn)動(dòng)員從B點(diǎn)飛出時(shí)的速度vB的大小；
(2)運(yùn)動(dòng)員從A滑到B的過(guò)程中克服摩擦力所做的功.
解題指導(dǎo)　(1)設(shè)由B到C平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t
豎直方向：hBC＝Lsin 37°＝gt2
水平方向：Lcos 37°＝vBt
代入數(shù)據(jù)，解得vB＝20 m/s.
(2)A到B過(guò)程由動(dòng)能定理有
mghAB＋Wf＝mv
代入數(shù)據(jù)，解得Wf＝－3 000 J，
運(yùn)動(dòng)員克服摩擦力所做的功為3 000 J.
答案　(1)20 m/s　(2)3 000 J
如圖2所示，質(zhì)量為m的物體靜止在光滑的水平平臺(tái)上，系在物體上的繩子跨過(guò)光滑的定滑輪，由地面上的人以速度v0水平向右勻速拉動(dòng)，設(shè)人從地面上平臺(tái)的邊緣開(kāi)始向右行至繩與水平方向夾角為45°處，在此過(guò)程中人的拉力對(duì)物體所做的功為(　　)
圖2
A. B.
C. D.mv
答案　C
解析　人行至繩與水平方向夾角為45°處時(shí)，物體的速度為v＝v0cos θ，由動(dòng)能定理，人對(duì)物體所做的功：W＝ΔEk＝mv2＝mv，正確選項(xiàng)為C.21教育網(wǎng)
第26點(diǎn)　應(yīng)用動(dòng)能定理分析多過(guò)程問(wèn)題
動(dòng)能定理雖然是由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式推導(dǎo)出來(lái)的，但是動(dòng)能定理也能解決應(yīng)用牛頓第二定律無(wú)法解決的一些問(wèn)題，如變力作用下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程問(wèn)題、曲線運(yùn)動(dòng)過(guò)程問(wèn)題等.特別是在多過(guò)程問(wèn)題中更能體現(xiàn)它的優(yōu)越性.2·1·c·n·j·y
當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程包含幾個(gè)不同的物理過(guò)程，又不需要研究過(guò)程的中間狀態(tài)時(shí)，可以把幾個(gè)物理過(guò)程看做一個(gè)整體，巧妙運(yùn)用動(dòng)能定理來(lái)研究，從而避開(kāi)每個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的具體細(xì)節(jié)，大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
對(duì)點(diǎn)例題　如圖1所示，將毛刷均勻粘貼在斜面上，讓所有毛的方向均沿斜面向上傾斜，從而使物塊M沿斜面的運(yùn)動(dòng)有如下特點(diǎn)：①順著毛的傾斜方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，毛產(chǎn)生的阻力可以忽略，②逆著毛的傾斜方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)受到來(lái)自毛的滑動(dòng)摩擦力，且動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.5.斜面頂端距水平面高度為h＝0.8 m，質(zhì)量為m＝2 kg的物塊M從斜面頂端A由靜止滑下，從O點(diǎn)進(jìn)入光滑水平滑道時(shí)無(wú)機(jī)械能損失，為使物塊M制動(dòng)，將輕彈簧的一端固定在水平滑道延長(zhǎng)線B處的墻上，另一端恰位于水平軌道的中點(diǎn)C.已知斜面的傾角θ＝53°，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.求：21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
圖1
(1)物塊M滑到O點(diǎn)時(shí)的速度大小以及彈簧壓縮到最短時(shí)的彈性勢(shì)能(設(shè)彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)彈性勢(shì)能為零)；
(2)若物塊M能夠被彈回到斜面上，則它能夠上升的最大高度；
(3)物塊M在斜面上下滑動(dòng)過(guò)程中的總路程.
解題指導(dǎo)　(1)由牛頓第二定律得
mgsin θ－μmgcos θ＝ma
滑到O點(diǎn)時(shí)的速度v＝
又 sin θ＝
解得v＝ m/s
物塊M從斜面頂端A運(yùn)動(dòng)到彈簧壓縮到最短的過(guò)程，由動(dòng)能定理有mgh－μmgcos θ－Ep＝0
則彈性勢(shì)能Ep＝mgh－μmgcos θ＝10 J.
(2)設(shè)物塊M第一次被彈回，上升的最大高度為H，由動(dòng)能定理得mg(h－H)－μmgcos θ ＝021·cn·jy·com
則H＝h－μcos θ ＝0.5 m.
(3)物塊M最終停止在水平面上，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，由動(dòng)能定理有mgh－μmgcos θ·s＝0
物塊M在斜面上下滑動(dòng)過(guò)程中的總路程
s＝≈2.67 m.
答案　 (1) m/s　10 J　(2)0.5 m　(3)2.67 m
1.將小球自h＝2 m的高度由靜止釋放，小球與地面碰撞后反彈的高度為h.設(shè)碰撞時(shí)沒(méi)有動(dòng)能的損失，且小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的空氣阻力大小不變，求：www.21-cn-jy.com
(1)小球受到的空氣阻力是重力的多少倍？
(2)小球從開(kāi)始到停止運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的總路程.
答案　(1)　(2)14 m
解析　設(shè)小球的質(zhì)量為m，所受空氣阻力大小為Ff.
(1)小球從h處釋放時(shí)速度為零，與地面碰撞反彈到h時(shí)，速度也為零，
由動(dòng)能定理得mg－Ff＝0
解得Ff＝mg.
(2)設(shè)小球運(yùn)動(dòng)的總路程為s，且最后小球靜止在地面上，對(duì)于整個(gè)過(guò)程，由動(dòng)能定理得
mgh－Ffs＝0
s＝h＝7×2 m＝14 m.
2.如圖2所示，ABC和DEF是在同一豎直平面內(nèi)的兩條光滑軌道，其中ABC的末端水平，DEF是半徑為r＝0.4 m的半圓形軌道，其直徑DF沿豎直方向，OE沿水平方向，C、D可看做重合的點(diǎn).現(xiàn)將一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從軌道ABC上距C點(diǎn)高為H的地方由靜止釋放.(g取10 m/s2)21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
圖2
(1)若要使小球經(jīng)C點(diǎn)水平進(jìn)入軌道DEF且能沿軌道運(yùn)動(dòng)，H至少多高？
(2)若小球靜止釋放處離C點(diǎn)的高度h小于(1)中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的E點(diǎn)，求h.
答案　(1)0.2 m　(2)0.1 m
解析　(1)小球沿ABC軌道下滑，設(shè)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，則由動(dòng)能定理得
mgH＝mv2 ①21教育網(wǎng)
小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在圓周最高點(diǎn)必須滿足mg≤②
①②兩式聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得H≥0.2 m.
(2)若hr＝gt2 ③21cnjy.com
水平方向上有r＝vxt ④
又由動(dòng)能定理得mgh＝mv ⑤
由③④⑤聯(lián)立可解得h＝＝0.1 m.
第27點(diǎn)　找準(zhǔn)角度，靈活選用機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式
機(jī)械能守恒定律的三種不同的表達(dá)式，實(shí)際上是從三個(gè)不同的角度對(duì)機(jī)械能守恒定律的理解.所以在應(yīng)對(duì)有關(guān)機(jī)械能守恒的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該找準(zhǔn)角度，選擇出最佳的表達(dá)式，使問(wèn)題解決起來(lái)更便捷.21教育網(wǎng)
1.從守恒的角度來(lái)看，系統(tǒng)初、末兩個(gè)狀態(tài)的機(jī)械能相等，表達(dá)式為E初＝E末.選用這個(gè)表達(dá)式時(shí)，要注意選擇合適的零勢(shì)能參考平面，并說(shuō)明其位置.【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
2.從能量轉(zhuǎn)化的角度來(lái)看，動(dòng)能的增加量等于勢(shì)能的減少量或動(dòng)能的減少量等于勢(shì)能的增加量，表達(dá)式為ΔEk＝－ΔEp.21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
這個(gè)表達(dá)式的優(yōu)點(diǎn)是不用選擇零勢(shì)能參考平面，而且解決多個(gè)物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問(wèn)題很方便.
3.從能量轉(zhuǎn)移的角度來(lái)看，A物體機(jī)械能的增加量等于B物體機(jī)械能的減少量，表達(dá)式為ΔEA增＝ΔEB減.www-2-1-cnjy-com
這個(gè)表達(dá)式常用于解決兩個(gè)或多個(gè)物體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒問(wèn)題.
對(duì)點(diǎn)例題　如圖1所示，質(zhì)量為m的木塊放在光滑的水平桌面上，用輕繩繞過(guò)桌邊的光滑定滑輪與質(zhì)量為M的砝碼相連.已知M＝2m，讓繩拉直后使砝碼從靜止開(kāi)始下降h的距離(未落地)時(shí)，木塊仍沒(méi)離開(kāi)桌面，則砝碼的速度為多少？21·cn·jy·com
圖1
解題指導(dǎo)　解法一　用ΔEk增＝ΔEp減求解.
在砝碼下降h的過(guò)程中，系統(tǒng)增加的動(dòng)能為
ΔEk增＝(M＋m)v2
系統(tǒng)減少的重力勢(shì)能ΔEp減＝Mgh
由ΔEk增＝ΔEp減得： (M＋m)v2＝Mgh
解得v＝ ＝.
解法二　用E初＝E末求解.
設(shè)砝碼開(kāi)始離桌面的距離為x，取桌面所在的水平面為參考面，則系統(tǒng)的初始機(jī)械能E初＝－Mgx，系統(tǒng)的末機(jī)械能E末＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
由E初＝E末得：
－Mgx＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2，解得v＝.
解法三　用ΔEA增＝ΔEB減求解.
在砝碼下降的過(guò)程中，木塊增加的機(jī)械能ΔEm增＝mv2，砝碼減少的機(jī)械能ΔEM減＝Mgh－Mv2.
由ΔEm增＝ΔEM減得：
mv2＝Mgh－Mv2，
解得v＝.
答案　
如圖2所示，半徑為R、圓心為O的大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，兩個(gè)輕質(zhì)小圓環(huán)套在大圓環(huán)上.一根輕質(zhì)長(zhǎng)繩穿過(guò)兩個(gè)小圓環(huán)并關(guān)于大圓環(huán)的豎直對(duì)稱軸對(duì)稱，它的兩端都系上質(zhì)量為m的重物.忽略小圓環(huán)的大小.將兩個(gè)小圓環(huán)固定在大圓環(huán)與圓心O連線和豎直對(duì)稱軸的夾角θ＝30°的位置上.在兩個(gè)小圓環(huán)間繩子的中點(diǎn)C處，掛上一個(gè)質(zhì)量M＝m的重物，使兩個(gè)小圓環(huán)間的繩子水平，然后無(wú)初速度地釋放重物M，設(shè)繩子與大、小圓環(huán)間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離.21cnjy.com
圖2
答案　R
解析　　解法一　利用E初＝E末
設(shè)兩小圓環(huán)下側(cè)的繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩重物m所在位置的水平面為零勢(shì)能參考平面，則初狀態(tài)的機(jī)械能E初＝MgL
重物M下降到最大距離h時(shí)速度為零，兩重物m的速度也為零，各物體位置關(guān)系如圖中的虛線所示，則末狀態(tài)的機(jī)械能為www.21-cn-jy.com
E末＝2mg(－Rsin θ)＋Mg(L－h(huán))
又由于E初＝E末，θ＝30°，M＝m
所以h＝R(另解h＝0舍去).
解法二　利用ΔEA增＝ΔEB減
重物M先向下加速，然后向下減速，當(dāng)重物M速度為零時(shí)，下降的距離最大.此時(shí)質(zhì)量為m的重物速度也為零，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，M機(jī)械能的減少量等于m機(jī)械能的增加量，設(shè)下降的最大距離為h.2·1·c·n·j·y
Mgh＝2mg[－Rsin θ]，
解得h＝R(另解h＝0舍去).
第28點(diǎn)　體會(huì)應(yīng)用能量守恒定律解題的簡(jiǎn)便性
用能量守恒的觀點(diǎn)去分析、解決物理問(wèn)題具有簡(jiǎn)便、適用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，同學(xué)們要逐步養(yǎng)成用能量守恒的觀點(diǎn)分析、解決問(wèn)題的習(xí)慣.一般應(yīng)用能量守恒定律解題要分三步走：
第一步：分清有多少種形式的能(如機(jī)械能、內(nèi)能)在變化.
第二步：分別找出所有減少的能量和所有增加的能量.
第三步：利用增加的能量與減少的能量相等列式計(jì)算.
對(duì)點(diǎn)例題　如圖1所示為某探究活動(dòng)小組設(shè)計(jì)的節(jié)能運(yùn)動(dòng)系統(tǒng).斜面軌道傾角為θ＝30°，質(zhì)量為M的木箱與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝.木箱在軌道頂端時(shí)，自動(dòng)裝貨裝置將質(zhì)量為m的貨物裝入木箱，然后木箱載著貨物沿軌道無(wú)初速度滑下，在輕彈簧被壓縮至最短時(shí)，自動(dòng)卸貨裝置立刻將貨物卸下，然后木箱恰好被彈回到軌道頂端，再重復(fù)上述過(guò)程.若這種節(jié)能運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)能實(shí)現(xiàn)，則M與m需要滿足什么關(guān)系？21教育網(wǎng)
圖1
解題指導(dǎo)　解法一　分階段應(yīng)用能量守恒定律
設(shè)彈簧壓縮至最短時(shí)的彈性勢(shì)能為Ep，在木箱與貨物從頂端滑到最低點(diǎn)的過(guò)程中，重力勢(shì)能減少，彈性勢(shì)能增加，摩擦力做功產(chǎn)生內(nèi)能，設(shè)頂端到最低點(diǎn)的長(zhǎng)度為l，由能量守恒定律得
(M＋m)glsin θ＝μ(M＋m)glcos θ＋Ep
在木箱從最低點(diǎn)上滑至頂端的過(guò)程中，重力勢(shì)能增加，彈性勢(shì)能減少，摩擦力做功產(chǎn)生內(nèi)能，由能量守恒定律得
Ep＝Mglsin θ＋μMglcos θ
聯(lián)立兩式解得m＝2M.
解法二　全過(guò)程應(yīng)用能量守恒定律
木箱與貨物從頂端開(kāi)始下滑到木箱返回到斜面頂端的全過(guò)程中，彈性勢(shì)能不變，重力勢(shì)能減少，摩擦力做功產(chǎn)生內(nèi)能，設(shè)頂端到最低點(diǎn)的長(zhǎng)度為l，由能量守恒定律得
mglsin θ＝μ(M＋m)glcos θ＋μMglcos θ
解得m＝2M.
答案　m＝2M
1. 如圖2所示，一個(gè)粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有同種液體，液體質(zhì)量為m.U形管的左端開(kāi)口，右端用蓋板A密閉，兩邊液面高度差為h，U形管內(nèi)液體的總長(zhǎng)度為4h，拿去蓋板，液體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，由于管壁的阻力作用，最終管內(nèi)液體停止運(yùn)動(dòng)，則該過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能為(　　)
圖2
A.mgh B. mgh
C. mgh D. mgh
答案　A
解析　去掉右側(cè)蓋板之后，液體向左側(cè)流動(dòng)，最終兩側(cè)液面相平，液體的重力勢(shì)能減少，減少的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.如圖所示，最終狀態(tài)可等效為右側(cè)h的液柱移到左側(cè)管中，即增加的內(nèi)能等于該液柱減少的重力勢(shì)能，21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
則Q＝mg·h＝mgh，故A正確.
2.如圖3所示，一塊足夠長(zhǎng)的平板靜止在光滑的水平面上，其質(zhì)量M＝2 kg，一滑塊以v0＝12 m/s的初速度沖上平板，滑塊的質(zhì)量m＝1 kg，滑塊與平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4，g＝10 m/s2.求最終滑塊與平板由于摩擦產(chǎn)生的熱量.21cnjy.com
圖3
答案　48 J
解析　滑塊的加速度大小
a1＝＝0.4×10 m/s2＝4 m/s2
平板的加速度大小
a2＝＝ m/s2＝2 m/s2
最終滑塊與平板具有共同速度v.
則v＝v0－a1t，v＝a2t
代入數(shù)據(jù)解得v＝4 m/s
由能量守恒定律知Q＝mv－(M＋m)v2
代入數(shù)據(jù)得Q＝48 J.
第2點(diǎn)　軌跡彎曲方向與合外力方向互判
做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，所受合外力方向不僅與速度方向成一夾角，而且總是指向曲線的“凹”側(cè)，即軌跡總是向合外力所指的方向彎曲，軌跡在合外力與速度的夾角之間.因此物體的運(yùn)動(dòng)軌跡與合外力的方向可以粗略的互相判斷.處理這類問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
(1)物體的軌跡在速度和合外力夾角之間且與速度相切.
(2)物體的運(yùn)動(dòng)軌跡向合外力的方向彎曲.
(3)合外力在垂直于速度方向上的分力改變速度方向，合外力在沿著速度方向上的分力改變速度大小.
對(duì)點(diǎn)例題　“神舟十號(hào)”在飛行過(guò)程中，沿曲線從M點(diǎn)向N點(diǎn)飛行的過(guò)程中，速度逐漸減小.在此過(guò)程中“神舟十號(hào)”所受合力方向可能是下列圖中的(　　)21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
解題指導(dǎo)　做曲線運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)軌跡向合力方向彎曲，A、D錯(cuò)誤；“神舟十號(hào)”速度減小，表明它所受的合力沿切線方向的分力與速度方向相反，故B錯(cuò)誤，C正確.
答案　C
一個(gè)物體在光滑水平面上以初速度v0做曲線運(yùn)動(dòng)，已知在此過(guò)程中物體只受一個(gè)恒力F作用，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示.則由M到N的過(guò)程中，物體的速度大小將(　　)
圖1
A.逐漸增大　　　　　 B.逐漸減小
C.先增大后減小 D.先減小后增大
答案　D
解析　判斷做曲線運(yùn)動(dòng)的物體速度大小的變化情況時(shí)，應(yīng)從下列關(guān)系入手：當(dāng)物體所受合外力方向與速度方向的夾角為銳角時(shí)，物體做曲線運(yùn)動(dòng)的速率增大；當(dāng)物體所受合外力方向與速度方向的夾角為鈍角時(shí)，物體做曲線運(yùn)動(dòng)的速率減小；當(dāng)物體所受合外力方向與速度方向的夾角始終為直角時(shí)，物體做曲線運(yùn)動(dòng)的速率不變.在本題中，合力F的方向與速度方向的夾角先為鈍角，后為銳角，故D選項(xiàng)正確.21教育網(wǎng)
第3點(diǎn)　兩種典型運(yùn)動(dòng)的合成與分解
1.小船渡河模型
(1)三個(gè)速度：v1(船在靜水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的實(shí)際速度).
(2)兩個(gè)問(wèn)題：
①渡河時(shí)間
a.船頭與河岸成θ角時(shí)，渡河時(shí)間為t＝(d為河寬).
b.船頭正對(duì)河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，tmin＝(d為河寬).
②最短航程
a.若v2＜v1，則當(dāng)合速度垂直于河岸時(shí)，航程最短，xmin＝d.船頭指向上游與河岸的夾角α滿足cos α＝.21教育網(wǎng)
b.若v2＞v1，則合速度不可能垂直于河岸，無(wú)法垂直渡河.
如圖1所示，以v2矢量的末端為圓心、以v1矢量的大小為半徑畫弧，從v2矢量的始端向圓弧作切線，則合速度沿此切線方向時(shí)航程最短，由圖可知cos α＝，最短航程x短＝＝d.21cnjy.com
圖1
2.繩(桿)關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題
(1)對(duì)“關(guān)聯(lián)速度”問(wèn)題的理解
用繩、桿相牽連的物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度通常不同，但兩物體沿繩或桿方向的分速度大小相等.
(2)“關(guān)聯(lián)速度”問(wèn)題的解題步驟
①確定合速度：牽連物端點(diǎn)的速度(即所連接物體的實(shí)際速度)是合速度.
②分解合速度：合運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的實(shí)際效果：一方面產(chǎn)生使繩或桿伸縮的效果；另一方面產(chǎn)生使繩或桿轉(zhuǎn)動(dòng)的效果.兩個(gè)分速度的方向：沿繩或桿方向和垂直于繩或桿方向.
常見(jiàn)的模型如圖2所示：
圖2
③沿繩或桿方向的分速度大小相等，列方程求解.
對(duì)點(diǎn)例題1　(多選)船在靜水中的速度是1 m/s，河岸筆直，河寬恒定，河水靠近岸邊的流速為2 m/s，河中間水的流速為3 m/s，以下說(shuō)法正確的是(　　)21·cn·jy·com
A.船可能沿曲線過(guò)河
B.因船速小于水流速度，船不能到達(dá)對(duì)岸
C.船能垂直到達(dá)河正對(duì)岸
D.船過(guò)河的最短時(shí)間是一定的
解題指導(dǎo)　當(dāng)船頭指向始終垂直河岸時(shí)，船的合運(yùn)動(dòng)方向始終變化，船沿曲線過(guò)河，選項(xiàng)A正確；只要船的合速度具有垂直河岸方向的分量，船就能到達(dá)對(duì)岸，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)榇傩∮谒魉俣龋暮纤俣炔豢赡艽怪睂?duì)岸，所以船不能垂直到達(dá)河對(duì)岸，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)船頭垂直河岸渡河時(shí)，船過(guò)河的時(shí)間最短，并且船過(guò)河的最短時(shí)間是一定的，等于河寬除以船在靜水中的速度，選項(xiàng)D正確.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
答案　AD
對(duì)點(diǎn)例題2　如圖3所示，有一個(gè)直角支架AOB，OA水平放置，OB豎直向下，OA上套有小環(huán)P，OB上套有小環(huán)Q，兩環(huán)間由一根質(zhì)量不計(jì)、不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩相連，小環(huán)P受水平向右外力作用使其勻速向右平動(dòng)，在P平動(dòng)過(guò)程中，關(guān)于Q的運(yùn)動(dòng)情況以下說(shuō)法正確的是(　　)
圖3
A.Q勻速上升
B.Q減速上升
C.Q勻加速上升
D.Q變加速上升
解題指導(dǎo)　小環(huán)P、小環(huán)Q的合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系如圖所示，若細(xì)繩與OB的夾角為α，則v0＝vPsin α，而vQ＝，所以vQ＝vPtan α，由于vP保持不變，α增大，所以vQ增大.Q的加速度向上，但速度不是均勻增大，即Q變加速上升，因此只有選項(xiàng)D正確.
答案　D
1.有一條兩岸平直，河水均勻流動(dòng)、流速恒為v的大河.小明駕著小船渡河，去程時(shí)船頭指向始終與河岸垂直，回程時(shí)行駛路線與河岸垂直.去程與回程所用時(shí)間的比值為k，船在靜水中的速度大小相同，則小船在靜水中的速度大小為(　　)www.21-cn-jy.com
A. B.
C. D.
答案　B
解析　設(shè)河寬為d，船在靜水中的速度為vc，第一種情況時(shí)時(shí)間t1＝，第二種情況時(shí)時(shí)間t2＝，由＝k，可得出選項(xiàng)B是正確的.2·1·c·n·j·y
2.在不計(jì)滑輪摩擦和繩子質(zhì)量的條件下，當(dāng)小車以速度v勻速向右運(yùn)動(dòng)到如圖4所示位置時(shí)，物體P的速度為(　　)【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
圖4
A.v B.vcos θ
C. D.vcos2 θ
答案　B
解析　如圖所示，繩子與水平方向的夾角為θ，將小車的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，沿繩子方向的速度等于P的速度，根據(jù)平行四邊形定則得，vP＝vcos θ.故B正確，A、C、D錯(cuò)誤.21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
第4點(diǎn)　平拋運(yùn)動(dòng)的六個(gè)重要結(jié)論
1.運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t＝，即平拋物體在空中的飛行時(shí)間僅取決于下落的高度，與初速度v0無(wú)關(guān).
2.水平射程：x＝v0t＝v0，即落地的水平距離只與初速度v0和下落高度h有關(guān)，與其他因素?zé)o關(guān).
3.落地速度：v＝，即落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關(guān).
4.速度變化量：Δv＝gΔt，即Δv的方向與g的方向相同，總是豎直向下.
5.平拋運(yùn)動(dòng)的速度偏角θ與位移偏角α的關(guān)系：tan θ＝2tan α.
6.從拋出點(diǎn)開(kāi)始，平拋物體任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度方向的反向延長(zhǎng)線必過(guò)水平位移的中點(diǎn)(如圖1所示).
圖1
對(duì)點(diǎn)例題　將某一物體以一定的初速度水平拋出，在某1 s內(nèi)其速度方向與水平方向的夾角由37°變成53°，則此物體的初速度大小是多少？此物體在這1 s內(nèi)下落的高度是多少？(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)
解題指導(dǎo)　解法一：如圖甲所示，小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)vA與水平方向的夾角為37°，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)vB與水平方向的夾角為53°.設(shè)從初始位置到A點(diǎn)經(jīng)歷時(shí)間t，則到B點(diǎn)共經(jīng)歷t＋1 s.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
vyA＝gt＝v0tan 37°，
vyB＝g(t＋1 s)＝v0tan 53°.
由以上兩式解得初速度
v0≈17 m/s，且t＝ s
在這1 s內(nèi)下落的高度Δh＝y(tǒng)B－yA＝g(t＋1)2－gt2＝×10×2 m－×10×2 m≈18 m.
解法二：如圖乙所示，由幾何關(guān)系可得
Δv＝gΔt＝v0tan 53°－v0tan 37°，
解得v0＝≈17 m/s
根據(jù)推導(dǎo)公式有
Δh＝＝≈18 m.
答案　17 m/s　18 m
如圖2所示，乒乓球網(wǎng)上沿高出桌面H，網(wǎng)到桌邊的距離為L(zhǎng).某人在乒乓球訓(xùn)練中，從左側(cè)處，將球沿垂直于網(wǎng)的方向水平擊出，球恰好通過(guò)網(wǎng)的上沿落到右側(cè)桌邊緣.設(shè)乒乓球的運(yùn)動(dòng)為平拋運(yùn)動(dòng)，則乒乓球(　　)21教育網(wǎng)
圖2
A.在空中做變加速直線運(yùn)動(dòng)
B.在水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
C.在網(wǎng)的右側(cè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是左側(cè)的2倍
D.擊球點(diǎn)的高度是網(wǎng)高的2倍
答案　C
解析　乒乓球擊出后，在重力作用下做平拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向上的自由落體運(yùn)動(dòng)，A、B錯(cuò)誤；球在網(wǎng)的左側(cè)和右側(cè)通過(guò)的水平距離之比＝＝＝，C正確；設(shè)擊球點(diǎn)到桌面的高度為h，則擊球點(diǎn)到網(wǎng)上沿的高度與擊球點(diǎn)到桌面的高度之比為＝＝，所以擊球點(diǎn)的高度與網(wǎng)高度之比為＝，D錯(cuò)誤.
第5點(diǎn)　平拋運(yùn)動(dòng)與斜面結(jié)合的問(wèn)題
解答斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)要充分運(yùn)用斜面傾角，找出斜面傾角同位移或速度與水平方向夾角的關(guān)系，通過(guò)分解位移或速度使問(wèn)題得到順利解決.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
對(duì)點(diǎn)例題　一水平拋出的小球落到一傾角為β的斜面上時(shí)，其速度方向與斜面垂直，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1中虛線所示.則小球在豎直方向下落的距離與水平方向通過(guò)的距離之比為(　　)
圖1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.tan β B.2tan β C. D.
解題指導(dǎo)　由圖可知小球在豎直方向下落的距離y與水平方向通過(guò)的距離x之比等于tan α，即＝tan α，21·cn·jy·com
tan θ＝，又由于tan θ＝2tan α.
所以＝tan α＝，故選項(xiàng)D正確.
答案　D
1.(多選)如圖2所示，光滑斜面固定在水平面上，頂端O有一小球由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)到底端B的時(shí)間為t1.若給小球不同的水平初速度，落到斜面上的A點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t2，落到斜面底端B點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t3，落到水平面上的C點(diǎn)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t4，則(　　)
圖2
A.t2＞t1 B.t3＞t2
C.t4＞t3 D.t1＞t4
答案　BD
解析　設(shè)斜面高為h，傾角為θ，則當(dāng)小球沿斜面下滑時(shí)，其加速度a＝gsin θ，由＝at得t1＝，小球平拋時(shí)，由h＝gt2得t3＝t4＝＞t2＝，故t1＞t3＝t4＞t2，選項(xiàng)B、D正確.21cnjy.com
2.如圖3為湖邊一傾角為θ＝37°的大壩的橫截面示意圖，水面與大壩的交點(diǎn)為O.一人(身高忽略不計(jì))站在A點(diǎn)處以速度v0沿水平方向扔小石子，已知AO＝50 m，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.則：www.21-cn-jy.com
圖3
(1)若要求小石子能直接落到水面上，v0最小是多少？
(2)若小石子不能直接落到水面上，落到斜面時(shí)速度方向與水平面夾角的正切值是多少？
答案　(1)16.33 m/s　(2)1.5
解析　(1)若小石子恰能落到O點(diǎn)，v0最小，有AOcos θ＝v0t，AOsin θ＝gt2，解得v0≈16.33 m/s.21教育網(wǎng)
(2)斜面與水平方向夾角θ＝37°，若小石子落到斜面上時(shí)，設(shè)速度方向與水平面的夾角為α，
則tan θ＝＝，tan α＝，
所以tan α＝2tan θ＝1.5.
第6點(diǎn)　三“確定”解決平拋運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題
平拋運(yùn)動(dòng)中經(jīng)常出現(xiàn)臨界問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：
(1)確定運(yùn)動(dòng)性質(zhì)——平拋運(yùn)動(dòng).
(2)確定臨界位置.
(3)確定臨界軌跡，并畫出軌跡示意圖.
對(duì)點(diǎn)例題　女排比賽時(shí)，某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了一次跳發(fā)球，若擊球點(diǎn)恰在發(fā)球處底線上方3.04 m高處，擊球后排球以25 m/s的速度水平飛出，球的初速度方向與底線垂直，排球場(chǎng)的有關(guān)尺寸如圖1所示，試計(jì)算說(shuō)明：(不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2)21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
圖1
(1)此球能否過(guò)網(wǎng)？
(2)若此球能過(guò)網(wǎng)，球是落在對(duì)方界內(nèi)，還是界外？
解題指導(dǎo)　(1)當(dāng)排球在豎直方向下落高度Δh＝(3.04－2.24) m＝0.8 m時(shí)，所用時(shí)間為t1，由Δh＝gt，x＝v0t1，解得x＝10 m＞9 m，故此球能過(guò)網(wǎng).21教育網(wǎng)
(2)當(dāng)排球落地時(shí)，h＝gt，x′＝v0t2.
將h＝3.04 m代入得x′≈19.5 m＞18 m，
故排球落在界外.
答案　(1)能過(guò)網(wǎng)　(2)界外
如圖2所示，窗子上、下沿間的高度H＝1.6 m，墻的厚度d＝0.4 m，某人在離墻壁L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m處的P點(diǎn)，將可視為質(zhì)點(diǎn)的小物件以速度v水平拋出，小物件直接穿過(guò)窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2.則v的取值范圍是(　　)
圖2
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/s答案　C
第7點(diǎn)　圓周運(yùn)動(dòng)的周期性造成多解
勻速圓周運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題常涉及兩個(gè)物體的兩種不同的運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)做其他形式的運(yùn)動(dòng).因勻速圓周運(yùn)動(dòng)具有周期性，使得在一個(gè)周期中發(fā)生的事件在其他周期同樣可能發(fā)生，這就要求我們?cè)诮鉀Q此類問(wèn)題時(shí)，必須考慮多解的可能性. 一般處理這類問(wèn)題時(shí)，要把一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，與圓周運(yùn)動(dòng)的周期T建立起聯(lián)系，才會(huì)較快地解決問(wèn)題.
對(duì)點(diǎn)例題　如圖1所示，小球Q在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q球轉(zhuǎn)到圖示位置時(shí)，O點(diǎn)正上方有另一小球P在距圓周最高點(diǎn)h處開(kāi)始自由下落，要使兩球在圓周最高點(diǎn)相碰，則Q球的角速度ω應(yīng)滿足什么條件？21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
圖1
解題指導(dǎo)　設(shè)P球自由下落到圓周最高點(diǎn)的時(shí)間為t，由自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得
gt2＝h，
解得t＝ .
經(jīng)過(guò)時(shí)間t，Q球由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)，才能與P球在圓周最高點(diǎn)相碰，其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)周期為T，有
t＝(4n＋1)(n＝0,1,2,3…)
兩式聯(lián)立再由T＝得，
(4n＋1)＝.
所以ω＝(4n＋1)(n＝0,1,2,3…).
答案　(4n＋1)(n＝0,1,2,3…)
1.(多選) 如圖2所示，半徑為R的水平圓盤中心軸正上方a處有一小球，圓盤以角速度ω做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)將小球水平拋出，此時(shí)圓盤半徑Ob恰好轉(zhuǎn)到如圖所示與初速度方向平行的位置，要使小球與圓盤只碰一次，且落點(diǎn)為b，重力加速度為g，小球拋出點(diǎn)a距圓盤的高度h和小球的初速度v0可能的取值為(　　)21教育網(wǎng)
A.h＝，v0＝
B.h＝，v0＝
C.h＝，v0＝
D.h＝，v0＝
答案　BD
解析　因圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)具有周期性，則當(dāng)小球落到b點(diǎn)時(shí)，圓盤轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ＝2πk(k＝1,2,3，…)，由ω＝，可得圓盤的角速度ω＝(k＝1,2,3，…)，因小球做平拋運(yùn)動(dòng)，則小球下落高度h＝gt2＝(k＝1,2,3，…)，初速21cnjy.com
度v0＝＝(k＝1,2,3，…)，將k的取值代入可知，當(dāng)k取2和4時(shí)，B、D項(xiàng)正確.
2. 如圖3所示，B物體放在光滑的水平地面上，在水平恒力F的作用下由靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，B物體質(zhì)量為m，同時(shí)A物體從圖中位置開(kāi)始在豎直面內(nèi)由M點(diǎn)開(kāi)始逆時(shí)針做半徑為r、角速度為ω的勻速圓周運(yùn)動(dòng).求力F為多大時(shí)可使A、B兩物體在某些時(shí)刻的速度相同.
圖3
答案　(n＝0,1,2…)
解析　因?yàn)槲矬wB在力F的作用下沿水平地面向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度方向水平向右，要使A與B速度相同，則只有當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到圓軌道的最低點(diǎn)時(shí)，才有可能.
設(shè)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí)間t后兩者速度相同(大小相等，方向相同).
對(duì)A物體有：
t＝T＋nT＝(n＝0,1,2…)，vA＝rω.
對(duì)B物體有：F＝ma，a＝，vB＝at＝t.
令vB＝vA，
得＝ωr.
解得F＝(n＝0,1,2…).
第8點(diǎn)　圓錐擺模型及其拓展應(yīng)用
1. 圓錐擺結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)模型
如圖1所示，一根不可伸長(zhǎng)的繩，一端固定在O1點(diǎn)，另一端拴一小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，給小球一水平初速度，不計(jì)空氣阻力，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
圖1
2.提供的向心力
(1)可認(rèn)為繩子對(duì)小球的拉力和小球的重力的合力提供向心力.
(2)也可認(rèn)為是繩子拉力在水平方向的分量提供向心力.
3. 線速度和繩長(zhǎng)的關(guān)系(如圖2所示)
設(shè)小球的質(zhì)量為m，懸線與豎直方向的夾角為θ，繩長(zhǎng)為l，則小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r＝lsin θ.由牛頓第二定律得mgtan θ＝m.21cnjy.com
所以v＝＝.
圖2
4.拓展
(1)光滑漏斗上小球的圓周運(yùn)動(dòng).如圖3.
(2)火車轉(zhuǎn)彎問(wèn)題.如圖4.
　　
　　　 　圖3　　　　　　　圖4
對(duì)點(diǎn)例題　長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線，一端固定于O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，讓其在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(這種運(yùn)動(dòng)通常稱為圓錐擺運(yùn)動(dòng))，如圖5所示，擺線與豎直方向的夾角為α，求：
圖5
(1)線的拉力大小；
(2)小球運(yùn)動(dòng)的線速度的大小；
(3)小球運(yùn)動(dòng)的周期.
解題指導(dǎo)　對(duì)小球受力分析如圖所示，小球受重力mg和線的拉力FT作用，這兩個(gè)力的合力mgtan α指向圓心，提供向心力，由受力分析可知，細(xì)線拉力FT＝.由Fn＝m＝mω2R＝m＝mgtan α，半徑R＝Lsin α，得v＝ ＝ sin α，T＝2π .21教育網(wǎng)
答案　見(jiàn)解題指導(dǎo)
如圖6所示，質(zhì)量為1 kg的小球用長(zhǎng)為0.5 m的細(xì)線懸掛在O點(diǎn)，O點(diǎn)距地面豎直距離為1 m，如果使小球繞OO′豎直軸在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，若細(xì)線最大承受拉力為12.5 N，(g＝10 m/s2)求：21·cn·jy·com
圖6
(1)當(dāng)小球的角速度為多大時(shí)，細(xì)線將斷裂；
(2)線斷裂后小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離.
答案　(1)5 rad/s　(2)0.6 m
解析　(1)當(dāng)細(xì)線承受的拉力恰為最大時(shí)，對(duì)小球受力分析，如圖所示：
豎直方向FTcos θ＝mg，
解得θ＝37°
向心力F向＝mgtan 37°＝mω2Lsin 37°
解得ω＝5 rad/s.
(2)線斷裂后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，則其平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為v0＝ωLsin 37°＝1.5 m/s
豎直方向：y＝h－Lcos 37°＝gt2
水平方向：x＝v0t
解得d＝＝0.6 m.
第9點(diǎn)　繩、桿、橋類模型的臨界問(wèn)題
對(duì)于物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，中學(xué)物理中只研究物體通過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)的情況，并且經(jīng)常出現(xiàn)臨界狀態(tài).這類問(wèn)題常出現(xiàn)在繩、桿、橋類模型的臨界問(wèn)題中.
1.類繩模型
(1)此類模型的施力特點(diǎn)：只能提供指向圓心的力.
(2)常見(jiàn)的裝置：①用繩系物體(如圖1甲所示)；②物體沿軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)(如圖乙所示).
圖1
(3)臨界特點(diǎn)：此種情況下，如果物體恰能通過(guò)最高點(diǎn)，繩子的拉力或軌道對(duì)物體的支持力等于零，只有重力提供向心力，即mg＝，得臨界速度v0＝.當(dāng)物體的速度不小于v0時(shí)，才能通過(guò)最高點(diǎn).2·1·c·n·j·y
2.類桿模型
(1)此類模型的施力特點(diǎn)：對(duì)物體既能提供指向圓心的力，又能提供背離圓心的力.
(2)常見(jiàn)的裝置：①用桿固定的物體(如圖2甲所示)；②小球在光滑圓管中(如圖乙所示)；③小球穿在光滑圓環(huán)上(如圖丙所示).21教育網(wǎng)
圖2
(3)臨界特點(diǎn)：此種情況下，由于物體所受的重力可以由桿、管或環(huán)對(duì)它的向上的支持力來(lái)平衡，所以在最高點(diǎn)時(shí)的速度可以為零.當(dāng)物體在最高點(diǎn)的速度v≥0時(shí)，物體就可以完成一個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng).【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
3.拱橋模型
(1)此類模型的施力特點(diǎn)：對(duì)物體只提供背離圓心的力.
(2)常見(jiàn)裝置：①拱形橋(如圖3甲所示)；②凹凸不平的路面的凸處(如圖乙所示).
　　　　
圖3
(3)臨界特點(diǎn)：此時(shí)，如果物體的速度過(guò)大，將會(huì)脫離圓軌道而做平拋運(yùn)動(dòng).同樣，當(dāng)軌道對(duì)物體的支持力等于零時(shí)，是物體做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界情況，即v0＝為臨界速度.所以只有當(dāng)物體的速度小于時(shí)，它才能沿軌道外側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng).21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
對(duì)點(diǎn)例題　(多選)用細(xì)繩拴著質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4所示.則下列說(shuō)法正確的是(　　)21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
圖4
A.小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩子張力可以為0
B.小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為0
C.小球剛好通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度是
D.小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩子對(duì)小球的作用力可以與小球所受重力方向相反
解題指導(dǎo)　設(shè)小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v，由合力提供向心力及牛頓第二定律得mg＋FT＝m.
當(dāng)FT＝0時(shí)，v＝，故選項(xiàng)A正確；
當(dāng)v＜時(shí)，F(xiàn)T＜0，而繩子只能產(chǎn)生拉力，
不能產(chǎn)生與重力方向相反的支持力，故選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤；
當(dāng)v＞時(shí)，F(xiàn)T＞0，
小球能沿圓弧通過(guò)最高點(diǎn).可見(jiàn)，
v≥是小球能沿圓弧通過(guò)最高點(diǎn)的條件.
答案　AC
1.質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的圓形軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，若經(jīng)最高點(diǎn)不脫離軌道的臨界速度為v，則當(dāng)小球以2v速度經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，小球?qū)壍赖膲毫Υ笮?　　)
A.0 B.mg C.3mg D.5mg
答案　C
解析　當(dāng)小球以速度v經(jīng)內(nèi)軌道最高點(diǎn)時(shí)，小球僅受重力，重力充當(dāng)向心力，有mg＝m
當(dāng)小球以速度2v經(jīng)內(nèi)軌道最高點(diǎn)時(shí)，小球受重力mg和向下的支持力FN，如圖所示，合力充當(dāng)向心力，
有mg＋FN＝m；又由牛頓第三定律得到，小球?qū)壍赖膲毫εc軌道對(duì)小球的支持力相等，F(xiàn)N′＝FN；由以上三式得到，F(xiàn)N′＝3mg.故C正確.21cnjy.com
2.如圖5甲所示，輕桿一端固定在O點(diǎn)，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng).小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其FN－v2圖象如圖乙所示.則(　　)21·cn·jy·com
圖5
A.小球的質(zhì)量為
B.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?br/>C.v2＝c時(shí)，在最高點(diǎn)桿對(duì)小球的彈力方向向上
D.v2＝2b時(shí)，在最高點(diǎn)桿對(duì)小球的彈力大小為2a
答案　A
解析　由圖乙可知，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，若v2＝b，則FN＝0，輕桿既不向上推小球也不向下拉小球，這時(shí)由小球受到的重力提供向心力，即mg＝，得v2＝gR＝b，故g＝，B錯(cuò)誤；當(dāng)v2>b時(shí)，輕桿向下拉小球，C錯(cuò)誤；當(dāng)v2＝0時(shí)，輕桿對(duì)小球彈力的大小等于小球的重力，即a＝mg，代入g＝得小球的質(zhì)量m＝，A正確；當(dāng)v2＝2b時(shí)，由向心力公式得FN＋mg＝，可得桿的拉力大小FN＝mg，故FN＝a，D錯(cuò)誤.故選A.www.21-cn-jy.com

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