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專題15　圓周運動有關問題的分析
題組1　圓周運動的運動學分析(ω、v、a同軸，常見傳動裝置)
1．如圖1所示，當正方形薄板繞著過其中心O并與板垂直的轉動軸轉動時，板上A、B兩點的(　　)
A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶圖1
C．線速度之比vA∶vB＝∶1
D．線速度之比vA∶vB＝1∶
2．如圖2所示，輪O1、O3固定在同一轉軸上，輪O1、O2用皮帶連接且不打滑．在O1、O2、O3三個輪的邊緣各取一點A、B、C，已知三個輪的半徑比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：
(1)A、B、C三點的線速度大小之比vA∶vB∶vC；
(2)A、B、C三點的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；圖2
(3)A、B、C三點的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.
3．如圖3所示為A、B兩物體(可看作質點)做勻速圓周運動的向心加速度隨半徑變化的圖象，其中A為雙曲線的一個分支，由圖可知(　　)
A．A物體運動的線速度大小不變
B．A物體運動的角速度大小不變圖3
C．A物體運動的線速度與半徑成正比
D．B物體運動的角速度與半徑成正比
4．如圖4所示，在半徑為R＝2米的水平圓盤中心O的正上方高h＝0.8米處水平拋出一個小球，圓盤做勻速轉動，當圓盤半徑OB轉到與小球水平初速度方向平行時，小球開始拋出，圓盤轉動了一圈，小球剛好落到圓盤上，且落點為B，則小球的初速度為________，圓盤轉動的角速度為________．圖4
題組2　圓周運動的動力學分析(向心力＝合外力)
5．如圖5所示，小物塊放在水平轉盤上，隨盤同步做勻速圓周運動，則下列關于物塊受力情況的敘述中正確的是(　　)
A．受重力、支持力、靜摩擦力和向心力的作用圖5
B．摩擦力的方向始終指向圓心O
C．摩擦力的方向始終與線速度的方向相同
D．靜摩擦力提供使物體做勻速圓周運動的向心力
6．小球m用線通過光滑的水平板間小孔與砝碼M相連，并且正在做勻速圓周運動，如圖6所示，如果減少M的重量，則小球m的軌道半徑r、角速度ω、線速度v的大小變化情況是(　　)
A．r不變，v變小 B．r增大，ω減小圖6
C．r減小，v不變 D．r減小，ω不變
7．如圖7所示，在雙人花樣滑冰運動中，有時會看到被男運動員拉著的女運動員離開地面在空中做圓錐擺運動的精彩場面，目測體重為G的女運動員做圓錐擺運動時和水平冰面的夾角約為30°，重力加速度為g，估算該女運動員(　　)圖7
A．受到的拉力為G B．受到的拉力為2G
C．向心加速度為g D．向心加速度為2g
8．在云南省某些地方到現在還要依靠滑鐵索過江，若把這滑鐵索過江簡化成如圖8所示的模型，鐵索的兩個固定點A、B在同一水平面內，A、B間的距離為L＝80m，鐵索的最低點離A、B連線的垂直距離為H＝8m，若把鐵索看做是圓弧，已知一質量m＝52kg的人借助滑輪(滑輪質量不計)滑到最低點時的速度為10m/s，那么(　　)
圖8
A．人在整個鐵索上的運動可看成是勻速圓周運動
B．可求得鐵索的圓弧半徑為100m
C．人在滑到最低點時，滑輪對鐵索的壓力為570N
D．人在滑到最低點時，滑輪對鐵索的壓力為50N
題組3　圓周運動的臨界問題(無支撐物的)

9．如圖9所示，質量為m的小球在豎直平面內的光滑圓環軌道上做圓周運動．圓環半徑為R，小球經過圓環最高點時剛好不脫離圓環，則其通過最高點時(　　)
A．小球對圓環的壓力大小等于mg
B．小球受到的向心力等于0圖9
C．小球的線速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
10．如圖10所示，AC、BC兩繩系一質量為m＝0.1kg的小球，AC繩長L＝2m，兩繩都拉直時與軸的夾角分別為30°與45°(g取10m/s2)，求：
(1)小球的角速度在什么范圍內，兩繩始終張緊；
(2)當角速度為3rad/s時，兩繩拉力分別為多大．圖10
題組4　圓周運動的臨界問題(有支撐物的)
11．如圖11所示，用一連接體一端與一小球相連，繞過O點的水平軸在豎直平面內做圓周運動，設軌道半徑為r，圖中P、Q兩點分別表示小球軌道的最高點和最低點，則以下說法正確的是(　　)
A．若連接體是輕質細繩時，小球到達P點的速度可以為零
B．若連接體是輕質細桿時，小球到達P點的速度可以為零圖11
C．若連接體是輕質細繩時，小球在P點受到細繩的拉力不可能為零
D．若連接體是輕質細桿時，小球在P點受到細桿的作用力為拉力，在Q點受到細桿的作用力為推力
12．在用高級瀝青鋪設的高速公路上，汽車的設計時速是108km/h.汽車在這種路面上行駛時，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的0.6倍．如果汽車在這種高速公路的水平彎道上拐彎，假設彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是多少？如果高速公路上設計了圓弧拱橋做立交橋，要使汽車能夠安全通過圓弧拱橋，這個圓弧拱橋的半徑至少是多少？(取g＝10 m/s2)
13．如圖12所示，A、B、C三個物塊放在水平的圓盤上，它們的質量關系是mA＝2mB＝2mC，它們與轉軸的距離的關系是2rA＝2rB＝rC，三個物塊與圓盤表面的動摩擦因數都為μ，且最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，當圓盤轉動時，A、B、C都沒有滑動，則下列判斷正確的是(　　)圖12
A．C的向心加速度最大
B．B受的摩擦力最小
C．當圓盤轉速增大時，B比A先滑動
D．當圓盤轉速增大時，C比B先滑動
題組5　實際問題模型化(圓錐擺模型、拱形橋問題、水流星問題、航天器中的失重現象)
14．如圖13所示，一輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，小球在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時，由于小球對桿有作用，使桿發生了微小形變，關于桿的變量與小球在最高點時的速度大小關系，正確的是(　　)
A．桿的形變量越大，小球速度一定越大圖13
B．桿的形變量越大，小球速度一定越小
C．桿的形變量為零，小球速度一定不為零
D．小球速度為零，桿可能無形變
15.雜技演員表演“水流星”，在長為1.6m的細繩的一端，系一個與水的總質量為m＝0.5kg的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內做圓周運動，如圖14所示，若“水流星”通過最高點時的速率為4m/s，則下列說法正確的是(g＝10 m/s2)(　　)
A．“水流星”通過最高點時，有水從容器中流出圖14
B．“水流星”通過最高點時，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零
C．“水流星”通過最高點時，處于完全失重狀態，不受力的作用
D．“水流星”通過最高點時，繩子的拉力大小為5N
16．公路急轉彎處通常是交通事故多發地帶．如圖15所示，某公路急轉彎處是一圓弧，當汽車行駛的速率為vc時，汽車恰好沒有向公路內外兩側滑動的趨勢，則在該彎道處(　　)
A．路面外側高內側低
B．車速只要低于vc，車輛便會向內側滑動圖15
C．車速雖然高于vc，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側滑動
D．當路面結冰時，與未結冰時相比，vc的值變小

17．如圖16所示，用長為L的細線拴一個質量為m的小球，使小球在水平面內做勻速圓周運動，細線與豎直方向間的夾角為θ，關于小球的受力情況，下列說法正確的是(　　)
A．小球受重力、線的拉力和向心力三個力的作用圖16
B．向心力是細線的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力等于細線對小球拉力的豎直分量
D．向心力的大小等于mgtanθ
18．如圖17所示，“旋轉秋千”裝置中的兩個座椅A、B質量相等，通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉圓盤上．不考慮空氣阻力的影響，當旋轉圓盤繞豎直的中心軸勻速轉動時，下列說法正確的是(　　)
A．A的角速度比B的大圖17
B．A的速度比B的大
C．A與B的向心加速度大小相等
D．懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小

答案解析
1．AD　[板上A、B兩點繞同一個轉軸轉動，所以具有相同的角速度．角速度之比ωA：ωB＝1∶1，A正確，B錯誤；根據幾何關系得板上A、B的軌道半徑之比為1∶，所以線速度之比vA：vB＝1∶，C錯誤，D正確；故選A、D.]
2．(1)2∶2∶1　(2)1∶2∶1　(3)2∶4∶1
解析　(1)令vA＝v，由于皮帶轉動時不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，當角速度一定時，線速度跟半徑成正比，故vC＝v，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1.
(2)令ωA＝ω，由于共軸轉動，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式ω＝知，當線速度一定時，角速度跟半徑成反比，故ωB＝2ω.所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.
(3)令A點向心加速度為aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，當線速度一定時，向心加速度跟半徑成反比，所以aB＝2a.又因為ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，當角速度一定時，向心加速度跟半徑成正比，故aC＝a.所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1.
3．A　[A為雙曲線的一個分支，知A的向心加速度與半徑成反比，根據a＝知，A的線速度不變；B為過原點的傾斜直線，知B的向心加速度與半徑成正比，根據a＝rω2知，B的角速度不變；A正確，B、C、D錯誤；故選A.]
4．5m/s　5π rad/s
解析　由h＝gt2得，t＝＝0.4s.
則初速度v0＝＝m/s＝5 m/s，
圓盤的角速度ω＝＝rad/s＝5π rad/s.
5．BD　[小物塊受到重力、支持力和靜摩擦力三個力，向心力是物體做圓周運動所需要的力．故A錯誤．物塊做圓周運動所需要的向心力由靜摩擦力提供，向心力的方向指向圓心，所以靜摩擦力的方向指向圓心．故B、D正確，C錯誤．故選B、D.]
6．B　[小球在砝碼的重力作用下，在光滑水平面上做勻速圓周運動．砝碼的重力提供向心力，當砝碼的重量減小，此時小球所需向心力大于砝碼的重力，從而做離心運動，導致半徑變大．當再次出現砝碼的重力與向心力相等時，小球又做勻速圓周運動．由于半徑變大，而向心力大小變小，則線速度大小可不變、可變大、也可變小，故A、C均錯誤；由于半徑變大，而向心力大小變小，則角速度減小，B正確，D錯誤．]
7．BC　[女運動員做圓錐擺運動，對女運動員受力分析可知，受到重力、男運動員對女運動員的拉力，如圖所示，豎直方向合力為零，由Fsin30°＝G，解得：F＝2G，故A錯誤，B正確；水平方向的合力提供勻速圓周運動的向心力，有Fcos30°＝ma向即2mgcos30°＝ma向，所以a向＝g，故C正確，D錯誤．]
8．C　[人借助滑輪下滑過程中，其速度是逐漸增大的，因此人在整個鐵索上的運動不能看成勻速圓周運動；設圓弧的半徑為r，由幾何關系，有：(r－H)2＋()2＝r2，解得r＝104m；人在滑到最低點時，根據牛頓第二定律得：FN－mg＝m，解得FN＝570N，選項C正確．]
9．CD　[小球在最高點時剛好不脫離圓環，則圓環剛好對小球沒有作用力，小球只受重力，重力豎直向下提供向心力，由mg＝m得，v＝，故選C、D.]
10．(1)2.4rad/s≤ω≤3.16 rad/s
(2)FTAC≈0.27N　FTBC≈1.08N
解析　(1)當角速度ω很小時，AC和BC與軸的夾角都很小，BC繩處于松弛狀態．當ω逐漸增大到AC與軸的夾角為30°時，BC才會被拉直(這是一個臨界狀態)，但BC繩中的張力仍然為零．設此時的角速度為ω1，則
FTACcos30°＝mg，
FTACsin30°＝mωLsin30°，
將已知條件代入上式解得ω1≈2.4rad/s，
當角速度ω繼續增大時，FTAC減小，FTBC增大．設角速度達到ω2時，FTAC＝0(這又是一個臨界狀態，角速度再增大就會導致AC繩處于松弛狀態)，則
FTBCcos45°＝mg，
FTBCsin45°＝mωLsin30°，
將已知條件代入上式解得ω2≈3.16rad/s，
所以當ω滿足2.4rad/s≤ω≤3.16 rad/s時，AC、BC兩繩始終張緊．
(2)本題所給條件為ω＝3rad/s，此時兩繩拉力FTAC、FTBC都不為零．
FTACsin30°＋FTBCsin45°＝mω2Lsin30°，
FTACcos30°＋FTBCcos45°＝mg，
將數據代入上面兩式解得FTAC≈0.27N，FTBC≈1.08N.
11．B　[若連接體是輕質細繩，小球在最高點的最小速度為，此時細繩拉力為零，A、C錯誤；若連接體是輕質細桿，小球剛好到達P點的速度為零，B正確；如果小球在最高點P的速度為，細桿拉力為零，如果v>，細桿的作用力為拉力，如果v<，細桿的作用力為推力，小球在最低點Q時受到細桿的拉力作用，D錯誤．故選B.]
12．150m　90m
解析　汽車在水平路面上拐彎，做勻速圓周運動，其向心力是車與路面間的最大靜摩擦力，有m<0.6mg
由速度v＝108km/h＝30 m/s，得半徑r>150m；
汽車過圓弧拱橋，看作在豎直平面內做勻速圓周運動，
到達最高點時，
有m＝mg－FN
為了保證安全，車對路面的壓力FN必須大于零．
有m則R>90m.
13．ABD　14.C
15．B　[“水流星”在最高點的臨界速度v＝＝4m/s，由此知繩的拉力恰為零，且水恰不流出，故選B.]
16．AC
17．BD　[小球在水平面內做勻速圓周運動，對小球受力分析，如圖所示．小球受重力和繩子的拉力，由于它們的合力總是指向圓心并使得小球在水平面內做圓周運動，即向心力是重力和拉力的合力，故A錯誤，B正確；根據幾何關系可知：F向＝mgtanθ，C錯誤，D正確．故選B、D.]
18．D　[當旋轉圓盤繞豎直的中心軸勻速轉動時，二者的角速度ω相等，選項A錯誤．由v＝ωr可知，A的速度比B的小，選項B錯誤．由a＝ω2r可知aA

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