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第五章 萬有引力與航天知識點總結
1、開普勒行星運動三大定律
① 第一定律（軌道定律）：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。
② 第二定律（面積定律）：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積。
推論：近日點速度比較快，遠日點速度比較慢。
③ 第三定律（周期定律）：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等。
理解：（1）k是與太陽質量有關而與行星無關的常量．
(2)開普勒第三定律不僅適用于行星，也適用于衛星，只不過此時 a3 /T2 ＝k′，比值k′是由行星的質量所決定的另一常量，與衛星無關．
2、萬有引力定律
(1)內容：宇宙間的一切物體都是互相吸引的，兩個物體間的引力大小，跟它們的質量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比．
(2)公式：F＝G,其中，叫做引力常量。
(3)適用條件：此公式適用于質點間的相互作用．當兩物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點．均勻的球體可視為質點，r是兩球心間的距離．一個均勻球體與球外一個質點間的萬有引力也適用，其中r為球心到質點間的距離．
3、萬有引力定律的應用
基本思路: 一是把天體(或人造衛星)的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供;二是在地球表面或地面附近的物體所受的重力等于地球對物體的引力.
（1）把行星(或衛星)繞中心天體看做勻速圓周運動，萬有引力充當向心力（）
G＝m＝mω2r＝mr＝ma向 r增大

（2）天體對其表面的物體的萬有引力近似等于重力，即或（R、g分別是天體的半徑、表面重力加速度），公式應用廣泛，稱“黃金代換”。
推論：距地面高為h處的重力加速度
（3）用萬有引力定律求星球的質量和密度
T、r法
g、R法
M
ρ
若當衛星環繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，
即 r=R， 則 （T為近地衛星的公轉周期）
4、宇宙速度
（1）第一宇宙速度 近地衛星的環繞速度
推導：近地衛星（r=R) ， 萬有引力提供向心力（）
表達式一
表達式二
第一宇宙速度既是衛星最大的環繞速度，也是衛星最小的發射速度
（2）第二宇宙速度使衛星掙脫地球引力束縛的最小發射速度。
（3）第三宇宙速度使衛星掙脫太陽引力束縛的最小發射速度。
5、地球同步衛星
（1）軌道一定：在赤道的正上方
（2）周期一定：運動周期與地球自轉周期相同，且T=24h
（3）離地高度：h=36000km
（4）線速度大小：v=3.1km/s
（5）角速度大小：定值
（6）向心加速度大小：定值
6、同步衛星、近地衛星及赤道上物體的區別
（1）同步衛星，萬有引力為它提供向心力，其向心加速度等于軌道處的重力加速度，比地面處的重力加速度小的多，運行周期T＝24小時．
（2）近地衛星可看做繞地球表面運行的衛星．
近地衛星由于離開了地球，它只受到一個萬有引力的作用，萬有引力全部充當向心力，其向心加速度近似等于地面上的重力加速度，即a＝g.
近地衛星的線速度為第一宇宙速度7.9 km/s，遠大于地面赤道上物體的速度．其運行周期可由方程G＝mR求出，T＝84 min，遠小于地球同步衛星的周期．
（3）放在赤道上的物體隨地球自轉時受到兩個力的作用，一個是萬有引力，另一個是地面對物體的支持力，即
G－FN＝mω2R.(FN＝mg)．
由于物體的向心加速度遠小于地面的重力加速度，因此在近似計算中常忽略地球自轉影響，而認為物體的重力與物體受到的萬有引力相等(這在前面已經提到過)．但在研究它隨地球的自轉而做勻速圓周運動時，應另當別論，此時它的周期及軌道半徑分別等于地球自轉周期24小時及地球半徑．
通過以上討論可以看出，放在赤道上的物體與近地衛星有著顯著的區別. 首先兩者的受力不同，前者受到的萬有引力只有一小部分充當向心力，絕大多數作為重力使得物體緊壓地面；而后者受到的萬有引力全部充當向心力，它們的運動周期和速度也不同，并且有很大的差異．赤道上的物體相對地球保持靜止，而近地衛星相對于地球而言處于高速旋轉狀態. 而同步衛星和近地衛星都只受萬有引力，全部提供向心力，研究方法相同．
7、衛星的變軌
（1）當衛星的速度突然增加時，，即萬有引力不足以提供向心力，衛星將做離心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，當衛星進入新的軌道穩定運行時由可知其運行速度比原軌道時減小。
（2）當衛星的速度突然減小時，，即萬有引力大于所需要的向心力，衛星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當衛星進入新的軌道穩定運行時由可知其運行速度比原軌道時增大。
（3）衛星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛星技術的一個重要方面，衛星定軌和返回都要用到這個技術．
以衛星從橢圓遠點變到圓軌道為例加以分析：在橢圓軌道遠地點A點，萬有引力FA＞，要使衛星改做圓周運動，必須滿足FA＝和FA⊥v，在遠點已滿足了FA⊥v的條件，所以只需增大速度，讓速度增大到＝FA，這個任務由衛星自帶的推進器完成．
這說明人造衛星要從橢圓軌道變到大圓軌道，只要在橢圓軌道的遠點由推進器加速，當速度達到沿圓軌道所需的速度，人造衛星就不再沿橢圓軌道運動而轉到大圓軌道．
8、雙星問題
宇宙中往往會有相距較近，質量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠，因此其它星球對它們的萬有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將各自圍繞它們連線上的某一固定點做同周期的勻速圓周運動。這種結構叫做雙星。
特點歸納：（1）雙星繞它們共同的圓心做勻速圓周運動，兩星之間的萬有引力提供各自需要的向心力（即F向 大小相等）
（2）雙星系統中每顆星的角速度ω和周期T都相等；
（3）兩星的軌道半徑之和等于兩星間的距離 ( R1＋R2＝l )
（4）由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得軌道半徑與質量成反比，即固定點離質量大的星較近。
9、衛星的超重和失重
（1）衛星進入軌道前加速過程，衛星上物體超重．
(2)衛星進入軌道后（無論是圓軌道還是橢圓軌道）正常運轉時，衛星上物體完全失重．
萬有引力與航天題型總結
一、萬有引力定律的應用
1、與重力加速度有關的計算
2、計算星球質量
3、計算星球密度
二、近地軌道衛星的相關物理量
1、人造衛星
2、近地軌道衛星
三、同步衛星的運行問題
四、衛星的變軌問題
1、漸變
2、突變
五、宇宙中的雙星系統問題
1、宇宙中的雙星系統
2、雙星系統規律總結

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