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三次函數(shù)專題練習
1、三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
三次函數(shù)f (x)=ax +bx +cx+d(a≠0)的圖象有六種，如圖：
對函數(shù)f (x)=ax +bx +cx+d(a≠0)進行求導：f '(x)=3ax +2bx+c 是二次函數(shù)，原函數(shù)的極值點與單調(diào)性與導函數(shù)的正負有關(guān)，所以容易發(fā)現(xiàn)導函數(shù)中的參數(shù)a 與△的符號起決定性作用.
(1)a的影響分類：
當 a 為正時，原函數(shù)的圖象應(yīng)為上圖中的(1)、(3)、(5)三種情況；
當a 為負時，原函數(shù)的圖象則為(2)、(4)、(6)三種情況.
(2)判別式的影響分類：
當△>0時，二次方程f '(x)=0有兩相異實根x ,x , 且在x ,x 的兩邊f(xié) '(x)的符號相反，故函數(shù)f (x)存在兩個極值點，圖象為上圖中的(3)、(4)兩種；
當△=0時，二次方程f '(x)=0有兩相等實根，且在根的兩邊f(xié) '(x)=0的符號相同，這時函數(shù)f (x)只存在駐點(但不是極值點),函數(shù)的圖象為上圖中(1)、(2)兩種，
當△<0時；方程f '(x)=0無實根，f '(x)的值恒為正(或負),函數(shù)的圖象為上圖中的(5)、(6)兩種.
2、三次函數(shù)的對稱中心：
三次函數(shù)是中心對稱曲線，且對稱中心為
解讀：(1)仔細觀察圖象，我們還不難發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)是中心對稱曲線，這一點可以得到進一步的驗證：設(shè) f(m-x)+f(m+x)=2n,得[a(m-x) +b(m-x) +c(m-x)+d]+[a(m+x) +b(m+x) +c(m+x)+d]=2n，整理得，
(6ma+2b)x +(2am +2bm +2mc+2d)=2n.
據(jù)多項式恒等對應(yīng)系數(shù)相等，可得且n=am +bm +mc+d, 從而三次函數(shù)是中心對稱曲線，且由n=f(m)知其對稱中心(m,f(m)) 仍然在曲線上，
(2) 的特殊意義：對函數(shù)f(x)進行兩次求導，f"(x)=6ax+2b再令等于0,得 ,恰好是對稱中心的橫坐標，這可不是巧合，因為滿足f"(m)=0 的 m 正是函數(shù)拐點的橫坐標，這一性質(zhì)剛好與圖象吻合.
3、三次函數(shù)的切線：
(1)曲線上的點的切線：過三次曲線的對稱中心且與該三次曲線相切的直線有且僅有一條；而過三次曲線上除 對稱中心外的任一點與該三次曲線相切的直線有二條.
由于三次曲線都是中心對稱曲線，因此，將其對稱中心移至坐標原點便可將三次函數(shù)的解析式簡化為 f(x)=ax +bx.
若M（x1,y1）是三次曲線f(x)=ax +bx上的任一點，設(shè)過M的切線與曲線y=f(x)相切于（x0,y0），則切線方程為y-y0=f'(x0)（x-x0），因點M上在此切線上，故y1-y0=f '(x0)（x1-x0），又y0=ax0 +bx0，y1=ax1 +bx1，所以ax1 +bx1-(ax0 +bx0)=(3ax02+b)（x1-x0）,
整理得：(x0-x1)2(2x0+x1)=0，解得，x0=x1或x0=.
綜上所述，
當點M 是對稱中心即x =0時，過點M 作曲線的切線切點是惟一的，且為M,故只有一條切線；
當點M 不是對稱中心即x ≠0時，過點M 作曲線的切線可產(chǎn)生兩個不同的切點，故必有兩條切線，其中一條就是以 M 為切點(亦即曲線在點M 處)的切線.
(2)過曲線外一點的切線：
過1、4區(qū)域內(nèi)的點作函數(shù)曲線的切線，有且僅有3條；
過2、3區(qū)域內(nèi)的點作函數(shù)曲線的切線，有且僅有1條；
一、單調(diào)性問題：
例題1:已知函數(shù)f(x)=-x +ax -x-1 在(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
變式1:已知函數(shù)f(x)=2x -mx +2(m>0) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(a,b), 若b-a ≤ 2, 則 m 的最大值為( )
A.1 B.2 C.3 D.6
變式2:如果函數(shù)在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在(6,+∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.a≤5 B.5≤a≤7 C.a≥7 D.a≤5或a≥7
變式3:已知函數(shù)在區(qū)間(0,1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a 的取值范圍是( )
A.(0,2) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(2,+∞)
二、極值(最值)問題：
例題1:若函數(shù)在區(qū)間上有極值點，則實數(shù)a 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
例題2:(多選題) 已知函數(shù)f(x)=2x -a +b 若f(x)區(qū)間[0.1]的最小值為-1且最大值為1，則a的值可以是( )
A.0 B.4 C. D.
例題3:已知函數(shù)f(x)=x -3x +5,g(x)=m(x+1)(m∈R), 若存在唯一的正整數(shù)x0,使得f(x0)A. B. C. D.
變式1:已知函數(shù)在區(qū)間上既有極大值又有極小值，則實數(shù)a 的取值范圍是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞) C. D.
變式2:函數(shù)在(0,4)上無極值，則m= ·
變式3：已知函數(shù)，則下列命題正確的有： ·
①
②
③
④
變式4:設(shè)函數(shù)f(x)=x -3x -ax-a+5,若存在唯一的正整數(shù)x0,使得f(x0)<0,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
三、零點問題：
例題1:已知函數(shù) ,則方程3[f(x)] -2f(x)-1=0 實根的個數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
例題2:已知函數(shù),若函數(shù)g(x)=2f(x)-ax恰有2個不同的零點則實數(shù)a的取值范圍是 ·
變式1已知函數(shù)f(x)=x +(a+2)x +bx+c(a,b,c∈R) 若存在異于a 的實數(shù)m,n(m≠n) 使得f(m)=f(n)=f(a), 則b的取值范圍為( )
A.(-∞,1) B.(-∞,1] C. D.
變式2:已知函數(shù)的兩個極值點(極值點是指函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值)分別為x 、 x2, 且 x (1)證明：函數(shù)f(x) 有三個零點；
( 2 ) 當x∈[m,+∞)時，對任意的實數(shù)a,f(x )總是函數(shù)f(x)的最小值，求整數(shù)m的最小值.
四、切線問題：
例題1:已知函數(shù)
(1)求曲線y=f(x)在點P 處的切線與x軸和y 軸圍成的三角形面積；
(2)若過點(2,a)可作三條不同直線與曲線y=f(x)相切，求實數(shù)a 的取值范圍.
例題2:過原點向曲線y=x +2x +a可作三條切線，則實數(shù)a的取值范圍是 ·
變式1:已知函數(shù)f(x)=x -3x, 若過點M(2,t)可作曲線y=f(x)的兩條切線，且點M 不在函數(shù)f(x)的圖象上，則實數(shù)t的值為 ·
變式2:已知函數(shù)f(x)=-x +2x -3x, 若過點P(-1,m)(其中m是整數(shù))可作曲線y=f(x) 的三條切線，則m 的所有可能取值為( )
A.3 B.4 C.5 D.6
變式3:已知函數(shù)，f(x)滿足f(x)+f(-x)=4，已知點M 是曲線y=f(x)上任意一點，曲線在M 處的切線為l.
(1)求切線l的傾斜角α的取值范圍；
(2)若過點P(1,m)可作曲線y=f(x)的三條切線，求實數(shù)m 的取值范圍.

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