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1.4.1.2空間中直線、平面的平行
一、選擇題
1．已知直線l的方向向量為a＝(1，2，－2)，平面α的一個法向量為n＝(2，4，m)，若l∥α，則m等于(　　)
A．5 B．2
C． D．－4
2．(多選)設a，b分別是不重合直線l1，l2的方向向量，則根據(jù)下列條件能判斷l(xiāng)1∥l2的是(　　)
A．a(chǎn)＝，b＝(－2，－4，0)
B．a(chǎn)＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)
C．a(chǎn)＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)
D．a(chǎn)＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8)
3．已知平面α的一個法向量為(1，2，－2)，平面β的一個法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k等于(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－2
4．如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝a，則MN與平面BB1C1C的位置關系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能確定
5．如圖所示，已知正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，則M點的坐標為(　　)
A．(1，1，1) B．
C．
6．已知向量a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分別為直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則(　　)
A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28
C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝
7．已知直線l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的一個法向量是u＝(－1，2，－1)，則l與α的位置關系是(　　)
A．l⊥α
B．l∥α
C．l與α相交但不垂直
D．l∥α或l α
二、填空題
8．已知直線l的方向向量為(1，m，2)，平面α的一個法向量為(3，－1，1)，且l∥α，則m＝________．
9．若a＝是平面α的一個法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均與平面α平行，則向量a＝________．
10．已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分別是平面α，β的法向量，且α∥β，則mn＝________．
11．已知平面α與平面ABC是不重合的兩個平面，若平面α的一個法向量為m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，則平面α與平面ABC的位置關系是________．
三、解答題
12．在一個正方體ABCD-A1B1C1D1木塊上，已知M，N分別是CC1，B1C1的中點，試判斷直線MN與平面A1BD有無交點．
13．如圖所示，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點．求證：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面QMN∥平面PAD．
14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．
問：側棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明；若不存在，請說明理由．
答案
1．A　[根據(jù)題意，因為l∥α，且直線l的方向向量為a＝(1，2，－2)，平面α的一個法向量為n＝(2，4，m)，所以a⊥n，所以a·n＝0，則有1×2＋2×4＋(－2)×m＝0，解得m＝5．故選A．]
2．AB　[對于A，易知a＝－b，所以l1∥l2，A正確；對于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正確；對于選項C、D，由于a與b不共線，所以不能判斷l(xiāng)1∥l2．故選AB．]
3．C　[因為α∥β，所以，所以k＝4．]
4．B　[如圖，分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．
因為A1M＝AN＝a，
所以M，N，
所以．
又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，所以＝(0，a，0)，
所以·＝0，所以⊥．
因為是平面BB1C1C的一個法向量，且MN 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C．]
5．C　[∵M在EF上，∴不妨設ME＝x，則M，
∵A(，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，，0)，
∴＝(，0，－1)，＝(0，，－1)，．設平面BDE的法向量為n＝(a，b，c)，
易求其中一個法向量為n＝(1，1，)，
∴有n·＝0，即＝0，
∴，∴x＝1．
∴M，故選C．]
6.C　[因為l1∥l2，且a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)分別為l1，l2的方向向量，所以＝＝，解得m＝8，n＝．故選C．]
7.D　[因為a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u．
所以l∥α或l α．故選D．]
8．5　[根據(jù)題意，設直線l的方向向量為a＝(1，m，2)，
平面α的一個法向量為b＝(3，－1，1)，
若l∥α，必有a⊥b，則有a·b＝3－m＋2＝0，解得m＝5．]
9．　[由題意知
即
解得∴a＝．]
10．－3　[根據(jù)題意，若α∥β，則有a∥b，設a＝kb，即(0，1，m)＝k(0，n，－3)，則有變形可得mn＝－3．]
11.平行　[根據(jù)題意，平面α的一個法向量為m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，則有m·＝2×2－4＝0，則m⊥，同理m·＝2－6＋4＝0，
則m⊥，故m也是平面ABC的法向量，必有平面α∥平面ABC．]
12．解：直線MN與平面A1BD無交點，MN∥平面A1BD．
法一：如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，．
設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則
取x＝1，則y＝－1，z＝－1，
∴平面A1BD的一個法向量為n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n．又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
法二：∵()＝，∴∥．
又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
法三：()－()＝，即線性表示，∴是共面向量．
又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
13．證明：(1)以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設AB＝b，AD＝d，則A(0，0，0)，B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d)，C(b，d，0)．因為M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點，所以M，N，Q，所以．
因為平面PAD的一個法向量為m＝(1，0，0)，所以·m＝0，即⊥m，因為MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD．
(2)由(1)知，＝(0，－d，0)，所以·m＝0，所以⊥m，又由(1)知⊥m，所以m也是平面QMN的一個法向量，所以平面QMN∥平面PAD．
14．解：在PA上存在中點E，使得BE∥平面PCD．證明如下：
因為∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
又因為側面PAD⊥底面ABCD，且側面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因為∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP兩兩垂直．分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設AD＝2，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．
設側棱PA的中點是E，則E．
設平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，則
因為＝(－1，1，0)，＝(0，2，－1)，所以
取x＝1，則y＝1，z＝2，
所以平面PCD的一個法向量為n＝(1，1，2)．
所以n·＝(1，1，2)·＝0，所以n⊥．
因為BE 平面PCD，所以BE∥平面PCD．
綜上所述，當E為PA的中點時，BE∥平面PCD．

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