資源簡介

1.3.2空間向量運算的坐標表示
一、選擇題
1．已知a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，若a·b＝1，則t＝(　　)
A．－ B．－4
C．4 D．
2．在空間直角坐標系Oxyz中，已知點A(2，－1，1)，B(1，1，2)，若點C與點B關于平面Ozx對稱，則||＝(　　)
A．
C．
3．(多選)已知向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，則下列說法正確的是(　　)
A．a＋b＝(0，1，3) B．|a|＝3
C．a·b＝2 D．cos 〈a，b〉＝
4．已知a＝(1－t，2－t，t)，b＝(2，t，t)，則|a－b|的最小值為(　　)
A．
C．
5．已知空間三點O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，2，2)，在直線OB上有一點H滿足AH⊥OB，則點H的坐標為(　　)
A．
C．
6．(多選)已知點P是△ABC所在的平面外一點，若＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，則(　　)
A．AP⊥AB B．AP⊥BP
C．BC＝ D．AP⊥BC
7．(多選)已知向量a＝(1，1，－1)，b＝(1，－1，)，則(　　)
A．向量c＝是與向量a方向相反的單位向量
B．|a|＝|b|
C．向量a，b的夾角的大小為
D．若向量m＝(3，1，－2)＝xa＋yb(x，y為實數)，則x－y＝－1
二、填空題
8．已知a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2，則|a|＝________．
9．已知向量a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)，若a⊥(a＋λb)，則實數λ的值為________．
10．在空間直角坐標系中已知A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)，CD為△ABC的邊AB上的高，則CD＝________．
11．已知空間向量a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，c＝(x，4，z)．
(1)若(a＋2b)⊥c，且x＝2，則z＝________；
(2)若a，b，c共面，在以下三個條件中①x＝1，②x＝0，③x＝－2選取一個作為已知，則z的值可以為 ________．
三、解答題
12．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量a＋c與b＋c所成角θ的余弦值．
13．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點．
(1)求AC與PB所成角的余弦值；
(2)在側面PAB內找一點N，使NE⊥平面PAC，求N點的坐標．
14．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD．在四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°．設AB＝AP，在線段AD上是否存在一點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由．
答案解析
1．B　[因為a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，
所以a·b＝1＋8＋2t＝1，解得t＝－4．
故選B．]
2．A　[因為點B(1，1，2)，又點C與點B關于平面Ozx對稱，可得C(1，－1，2)，
則向量＝(－1，0，1)，所以|．
故選A．]
3．AD　[對于A，∵向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
∴a＋b＝(0，1，3)，故A正確；
對于B，|a|＝，故B錯誤；
對于C，a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，
由數量積的定義得a·b＝1×(－1)＋1×0＋1×2＝1，故C錯誤；
對于D，|b|＝，
∴cos＝，故D正確．故選AD．]
4．D　[由題意得a－b＝(－1－t，2－2t，0)，
∴|a－b|＝＝≥，
當且僅當t＝時取等號，∴|a－b|的最小值為．
故選D．]
5．D　[由題意知：＝(－1，1，0)，＝(0，2，2)，
設＝(0，2λ，2λ)(λ∈R)，∴＝(1，2λ－1，2λ)，
∵AH⊥OB，∴·＝0＋2(2λ－1)＋4λ＝0，解得λ＝，
∴，又O(0，0，0)，∴H．故選D．]
6．ACD　[因為＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，
對于A，由·＝－2×1＋1×(－2)＋4×1＝0，所以⊥，即AP⊥AB，選項A正確；
對于B，由＝(3，－3，－3)，可得·＝3×1＋(－3)×(－2)＋(－3)×1＝6≠0，
所以不垂直，即AP與BP不垂直，選項B錯誤；
對于C，由＝(6，1，－4)，可得|，即BC＝，選項C正確；
對于D，由·＝1×6＋(－2)×1＋1×(－4)＝0，所以⊥，即AP⊥BC，選項D正確．
故選ACD．]
7．AC　[對于A，因為a＝(1，1，－1)，c＝，所以a＝－c，且|c|＝＝1，選項A正確；
對于B，由|a|＝，|b|＝，得|a|＝|b|，選項B錯誤；
對于C，由a·b＝1－1－，得cos＝，可得向量a，b的夾角的大小為，選項C正確；
對于D，由m＝xa＋yb，即(3，1，－2)＝x(1，1，－1)＋y(1，－1，)，即解得x＝2，y＝1，所以x－y＝1，選項D錯誤．故選AC．]
8．　[因為a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2，
所以2＋2x＝2，解得x＝0，
所以|a|＝．]
9．　[因為a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)，
則a2＝(－1)2＋22＋32＝14，a·b＝(－1)×1＋2×(－2)＋3×(－1)＝－8，因為a⊥(a＋λb)，
所以a·(a＋λb)＝a2＋λa·b＝14－8λ＝0，
解得λ＝，所以實數λ的值為．]
10．3　[因為A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)，
則＝(－2，－1，3)，＝(0，－2，1)，
故·＝5，|，|，
，
因為CD為△ABC的邊AB上的高，
則在Rt△ADC中，CD＝＝3．]
11．(1)　(2)－22或－12或8(寫出其中任意一個即可)　[(1)當x＝2時，c＝(2，4，z)，
因為a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，
所以a＋2b＝(1，－6，8)，
因為(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝1×2－6×4＋8z＝0，
解得z＝．
(2)因為a，b，c共面，
所以由空間向量基本定理可知，c＝λa＋μb，
選①x＝1，則(1，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故解得z＝－22．
選②x＝0，則(0，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故解得z＝－12．
選③x＝－2，則(－2，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)，
故解得z＝8．
綜上所述，z的值可以為－22或－12或8．]
12．解：(1)∵向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c，
∴解得x＝－1，y＝－1，z＝1，
∴向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1)．
(2)∵a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝，|b＋c|＝，
∴a＋c與b＋c所成角的余弦值為
cos θ＝．
13．解：
(1)由題意，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E，從而＝(，1，0)，＝(，0，－2)．
設所成的夾角為θ，則
cos θ＝．
∴AC與PB所成角的余弦值為．
(2)由于N點在側面PAB內，故可設N點坐標為(x，0，z)，則，
由NE⊥平面PAC，可得
即
化簡得∴
即N點的坐標為時，NE⊥平面PAC．
14．解：∵PA⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD．
∵AB⊥AD，∴AP，AB，AD兩兩垂直．
∴以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz．
在平面ABCD內，作CE∥AB交AD于點E，則CE⊥AD．
在Rt△CDE中，DE＝CD·cos 45°＝1，CE＝CD·sin 45°＝1．
設AB＝AP＝t，則B(t，0，0)，P(0，0，t)．
由AB＋AD＝4，得AD＝4－t，
∴E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)．
假設在線段AD上存在一點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等．
設G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，則＝(1，3－t－m，0)，＝(0，4－t－m，0)，＝(0，－m，t)，＝(t，－m，0)．
由||，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m．①
由||，得(4－t－m)2＝m2＋t2．②
由①②消去t，化簡得m2－3m＋4＝0．③
由于方程③沒有實數根，所以在線段AD上不存在一點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等．

展開更多......

收起↑