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第5章二元一次方程組強化訓練-2025-2026學年數學八年級上冊北師大版（2024）
一、單選題
1．下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程組的解為，則“”“”表示的數分別是（ ）
A．10，2 B．10，3 C．12，2 D．12，3
3．下列x、y的值是二元一次方程的解的是（ ）
A．2，1 B．3， C．2，4 D．，2
4．在解關于的二元一次方程組時，若可直接消去未知數，則和滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知一次函數的圖象經過點，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．我們知道自行車一般是由后輪驅動，因此，后輪胎的磨損要超過前輪胎，假設前輪行駛6000公里報廢，后輪行駛4000公里報廢，如果在自行車行駛若干公里后，將前后輪進行對換，那么這對輪胎最多可以行駛（ ）公里．
A．4250 B．4750 C．4800 D．5000
7．我校為了獎勵在“紅五月”活動中表現優異的班級，花了2000元錢購買甲乙兩種獎品共30件，其中乙種獎品60元/件，甲種獎品80元/件，若設購買甲種獎品x件，乙種獎品y件，則所列方程組正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．《九章算術》中的“方程”一章中講述了算籌圖，圖中各行從左到右列出的算籌數分別表示未知數，的系數與相應的常數項，如：即可表示方程，則表示的方程為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．，（為自然數），那么 ， ．
10．直線與直線的交點在第二象限，且是正整數，則的值是 ；交點的坐標是 ．
11．設的三邊分別為a，b，c，其中a，b滿足，則最長邊c的取值范圍是 ．
12．如圖，在平面直角坐標系中有一個的正方形網格，每個格點的橫、縱坐標均為整數，已知點，作直線并向右平移k個單位，要使分布在平移后的直線兩側的格點數相同，則k的值是 ．
13．甲、乙、丙三人進行智力搶答活動，規定：第一個問題由乙提出，由甲、丙搶答．以后在搶答過程中若甲答對1題，就可提6個問題，乙答對1題就可提5個問題，丙答對1題就可提4個問題，供另兩人搶答．搶答結束后，總共有16個問題沒有任何人答對，則甲、乙、丙答對的題數分別是 ．
14．已知關于，的方程組的解滿足，則的值為 ．
15．某校運動會在400米環形跑道上進行10000米比賽，甲、乙兩運動員同時起跑后，乙速超過甲速，在第15分鐘時甲加快速度，在第18分鐘時甲追上乙并且開始超過乙，在第23分鐘時，甲再次追上乙，而在第23分50秒時，甲到達終點，那么乙跑完全程所用的時間是 分鐘．
16．用兩塊相同的長方體木塊測量一張桌子的高度，分別按圖①、②的方式放置．測量的數據如圖，這張桌子的高度是 ．
三、解答題
17．解方程組：
18．對x，y定義一種新運算“※”，規定：，（其中x，y均為非零常數），若，，求的值．
19．甲、乙兩人共同解方程組時，甲看錯了方程②中的a，解得；乙看錯了方程①中的b，解得，求的值．
20．先閱讀材料，然后解方程組．
材料：解方程組
由①得，③
把③代入②，得，解得，
把代入③得，所以這個方程組的解為．
這種方法稱為“整體代入法”．你若留心觀察，有很多方程組可以采用此方法解答，請用這種方法解方程組：．
21．某公司后勤部準備去超市購買牛奶和咖啡若干箱，現有兩種不同的購買方案，如表：
牛奶（箱） 咖啡（箱） 金額（元）
方案一 20 10 1100
方案二 25 20 1750
(1)求牛奶與咖啡每箱的價格分別為多少元．
(2)超市中該款咖啡和牛奶有部分因保質期臨近，進行打六折的促銷活動，后勤部根據需要選擇原價或打折的咖啡和牛奶，此次購買共花費了1200元，其中購買打折的牛奶箱數是所有牛奶、咖啡的總箱數的，則此次按原價購買的咖啡有_____箱
22．如圖，在平面直角坐標系中，直線交x軸于點A，交y軸于點B，點在直線上，直線經過點C和點．
(1)填空： ，直線的函數表達式為 ；
(2)已知Q是直線上一動點，若，求點Q的坐標；
(3)已知在x軸上有一動點E，連接，將沿直線CE翻折后，點D的對應點D'恰好落在直線上，請求出點E的坐標．
《第5章二元一次方程組強化訓練-2025-2026學年數學八年級上冊北師大版（2024）》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C C C C C B
1．C
【分析】本題主要考查了二元一次方程的判斷，
根據定義逐項判斷即可解答.
【詳解】解：因為是一元一次方程，所以A不符合題意；
因為不是整式方程，所以B不符合題意；
因為是二元一次方程，所以C符合題意；
因為是二元二次方程，所以D不符合題意.
故選：C.
2．A
【分析】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數的值．將代入方程組即可得到以“■”“”為未知數的方程組，解方程組求解即可．
【詳解】解：將代入方程組得：，
解得：，．
故選：A．
3．C
【分析】本題主要考查了二元一次方程解的概念，根據使方程左右兩邊相等的未知數的值是二元一次方程的解，代入驗證即可.
【詳解】解：A.當 ，時，，故錯誤；
B.當 ，時， ，故錯誤；
C. 當 ，時，，故正確；
D. 當 ，時，，故錯誤；
故選：C.
4．C
【分析】本題考查二元一次方程組的解法，熟練掌握加減消元法是解題的關鍵．根據加減消元法的原理，當兩個方程相減后消去未知數，需滿足的系數之差為0．
【詳解】解：將方程組①和②相減，得到：，
化簡后為：，
若可直接消去未知數，需使其系數為0，即：，
故選：C．
5．C
【分析】本題考查用待定系數法求函數解析式，只需把所給的點的坐標代入即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解：一次函數的圖象經過點，
∴，
∴，
故選：C．
6．C
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．利用二元一次方程組求解的應用題一般情況下題中要給出兩個等量關系，準確地找到等量關系并用方程組表示出來是解題的關鍵．
設每個新輪胎報廢時的總磨損量為，一對新輪胎交換位置前走了公里，交換位置后走了公里，根據交換前磨損總量和交換后的磨損總量相等，可列出方程組，解方程組即可．
【詳解】解：設每個新輪胎報廢時的總磨損量為，
則安裝在前輪的輪胎每行駛 1 公里磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行駛 1 公里的磨損量為，
設一對新輪胎交換位置前走了公里，交換位置后走了公里，
由題意得 ，
兩式相加，得，
解得，
答：輪胎最多可以行駛 4800 公里，
故選：C．
7．C
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，根據題意找到等量關系，列出二元一次方程組即可．
【詳解】解：由題意可列出二元一次方程組為：．
故選：C．
8．B
【分析】本題考查了列二元一次方程，理解題意是解題的關鍵．根據橫著的算籌為10，豎放的算籌為1，結合未知數的系數與等式后面的數字，即可求解．
【詳解】
解：依題意，表示的方程為，
故選：B．
9．
【分析】本題重點考查 二元一次方程組的求解能力 ，特別是涉及小數系數和自然數條件的處理． 利用代入消元法求解是解題的關鍵．化簡得，代入求解即可．
【詳解】化簡得，
代入，得，即，
解得，代入，即，
故答案為：；．
10．
【分析】本題考查了一次函數，關鍵是將題目中兩個一次函數解析式聯立，得到，求解二元一次方程組，解得交點坐標，結合交點在第二象限，且是正整數即可得出結論．
【詳解】解：由題意可知，聯立兩個直線方程可得，
將可得，
，
解得：，代入式得，
．
交點坐標為，
交點在第二象限，
可得，，
解得：．
是正整數，
，代入坐標可得，交點坐標為．
11．
【分析】先根據非負數的性質求出a、b的值，再根據三角形三邊的關系進行求解即可．
本題主要考查了非負數的性質，三角形三邊的關系，解二元一次方程組，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，且，，
∴，
解得，
∴，即，
∴，
故答案為：．
12．1
【分析】本題考查了一次函數與幾何綜合，涉及待定系數法求一次函數解析式，一次函數圖象的平移，正確理解題意是解題的關鍵．
先由待定系數法求出直線的表達式，再由一次函數圖象平移的規律求出直線的表達式，再求出其與軸交點即可．
【詳解】
如圖所示，設直線為，則
由點，可得，
又平移后的直線兩側的格點數相同，
平移后的直線過點、，
設直線的解析式為，則
由，可得，
解得，
∴直線的解析式為，
令，
則，
即直線與x軸的交點是，其與原點的距離是1．
∴k的值為1．
故答案為：1．
13．1，1，2或0，3，1
【分析】本題考查了三元一次方程的應用，根據甲答對1題，就可提6個問題，乙答對1題就可提5個問題，丙答對1題就可提4個問題，供另兩人搶答．搶答結束后，總共有16個問題沒有任何人答對，進行列式，再結合皆為非負整數，即可作答．
【詳解】解：設甲、乙、丙答對的題數分別是，
依題意，得，
整理得，
∵皆為非負整數，
∴或，
故答案為：1，1，2或0，3，1
14．
【分析】本題考查二元一次方程組的解、解二元一次方程組等知識點，掌握二元一次方程組的解的定義是解題的關鍵．
根據題意求出方程組的解，再代入求解即可．
【詳解】解：解方程組：可得：，
把，代入得，
．
故答案為：．
15．
【分析】本題考查行程問題，設出發時甲速度為a米/分，乙速度為b米/分．第15分鐘甲提高的速度為x米/分，根據題意，到第15分鐘時，乙比甲多跑米，甲提速后3分鐘（即第18分）追上乙，所以①，接著甲又跑了5分鐘（即第23分鐘），已經超過乙一圈（400米）再次追上乙，所以②，到了第23分50秒時甲跑完10000米，這10000米前（15分）是以速度a米/分跑完的，后面的分鐘是以速度米/分跑完的，進而得到③，聯立三個方程進行求解即可．
【詳解】解：設出發時甲速度為a米/分，乙速度為b米/分．第15分鐘甲提高的速度為x米/分，
所以第15分鐘后甲的速度是米/分．
由題意得，
由得，
把，代入②，得：，
解得：米/分
將代入③得：，
∴．
∴乙跑完全程所用的時間為（分）．
故答案為：25．
16．75
【分析】本題考查了方程組的應用，根據圖形正確列出方程組是解題的關鍵．
設桌子高，長方體長，寬，列方程組得到，解得，即可得到答案．
【詳解】解：設桌子高，長方體長，寬，
根據題意得，
得，
解得：，
故答案為：．
17．
【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解題的關鍵．先將，利用加減消元法求解即可．
【詳解】解：
得：，
得：，
將代入②得：,
解得，
所以原方程組的解為．
18．9
【分析】本題考查了解二元一次方程組，新定義，有理數的混合運算，根據新定義，得出方程組，利用加減消元法解方程組，得出m，n的值，然后再根據新定義，可得，把m，n的值代入即可得出答案．
【詳解】解：由新定義，可得方程組為：
，得，
把代入①，得，
解得：．
．
19．0
【分析】本題考查了二元一次方程組的解的概念以及代數式的求值， 二元一次方程組的解是能使方程組中每個方程都成立的未知數的值，這是解題的關鍵．
根據甲、乙兩人看錯方程的情況，分別將他們得到的解代入對應的方程，從而求出和的值，最后代入所求式子計算．
【詳解】解：甲看錯了方程②中的，但方程①中的是正確的，
所以將甲得到的解，
代入方程①中，可得：，
移項，得．
乙看錯了方程①中的，但方程②中的是正確的，
所以將乙得到的解，代入方程②中，
可得：，解得．
所以
．
20．
【分析】本題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
由第一個方程求出的值，代入第二個方程求出y的值，進而求出x的值，即可確定出方程組的解．
【詳解】解：
由①，得：．③
把③代入②，得：，解得：．
把代入③，得，解得：．
∴原方程組的解為．
21．(1)每箱牛奶價格為30元，每箱咖啡價格是50元
(2)6
【分析】本題主要考查二元一次方程組的應用，實際問題與一元一次方程；
（1）設每箱牛奶價格為x元，每箱咖啡價格是y元，根據題意列出二元一次方程組，計算求解即可；
（2）根據題意得到打折的咖啡的價格與牛奶的原價相同，設打折的牛奶買了m箱，打折的咖啡和原價的牛奶共買了n箱，根據題意列出二元一次方程，計算求解即可．
【詳解】（1）解：設每箱牛奶價格為x元，每箱咖啡價格是y元，
根據題意得：
，
解得，
答：每箱牛奶價格為30元，每箱咖啡價格是50元．
（2）解：，
∴打折的咖啡的價格與牛奶的原價相同．
設打折的牛奶買了m箱，打折的咖啡和原價的牛奶共買了n箱，
則原價的咖啡買了（箱）．
根據題意得
∴．
又∵均為非負整數，
∴，
∴ （箱），
∴此次按原價購買的咖啡有6箱．
故答案為：6．
22．(1)1；
(2)點的坐標為或
(3)點的坐標為或
【分析】本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法、全等三角形的判定與性質、翻折問題、一次函數與坐標軸的交點問題等知識，解題的關鍵是掌握作輔助線構造全等三角形解決問題.
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）分以下兩種情況討論：①當點Q在線段的延長線上時；②當點Q在線段上時，求出兩條直線的方程，聯立求解即可；
（3）分兩種情況，，當點E在點A的左側時，構造，使，設直線的函數表達式為，求出直線的函數表達式為．再求出．②當點E在點A的右側時，構造，使，設直線的函數表達式為．求出直線的函數表達式為．再算出．
【詳解】（1）解：∵點在直線：上，
∴，
∴，
∴．
設直線的函數表達式為．
∵點，在直線上，
∴，
解得
∴直線的函數表達式為．
故答案為：1；．
（2）解：由直線：，可知，
如圖1，分以下兩種情況討論：
①當點Q在線段的延長線上時，
∵，
∴，
∴，
∴．
②當點Q在線段上時，在y軸上取一點M，使得，則．
∵，
∴點Q在直線上．
設，則．
在中，，
∴，
解得．
∴．
由，，可得直線的函數表達式為．
聯立，
解得
∴．
綜上所述，點的坐標為或．
（3）解：①當點E在點A的左側時，如圖2所示．
∵，，，
∴，，，
∴，
∴為直角三角形，且．
∵將沿直線翻折得到，
∴．
以為直角邊作等腰直角，交射線于點F，構造，使，
則，，
可得．
設直線的函數表達式為．
將，代入上式，
得，
解得，
∴直線的函數表達式為．
令，則，
∴．
②當點E在點A的右側時，如圖3所示．
同理可得：．
以為直角邊作等腰直角，交直線于點F，構造，使，
可得．
設直線的函數表達式為．
將，代入上式，得
解得
∴直線的函數表達式為．
令，
則，
∴．
綜上所述，點的坐標為或．
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