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第7章證明強(qiáng)化訓(xùn)練-2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)八年級上冊北師大版（2024）
一、單選題
1．下列證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”所作的輔助線不正確的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
2．如圖，在中，，平分，，，下列四個(gè)結(jié)論中錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
3．下列說法中，正確的是（ ）
A．過直線外一點(diǎn)作直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離
B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
C．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等
D．平行于同一條直線的兩條直線平行
4．小龍、小軍和小康三人在甲、乙、丙三所不同的學(xué)校讀書，唱歌、閱讀、繪畫是三人的不同愛好． 并且知道：①小龍不在甲校讀書，小軍不在甲校讀書，也不在丙校讀書；②在甲校讀書的同學(xué)愛好唱歌，愛好繪畫的同學(xué)不在丙校讀書． 根據(jù)以上信息，下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．小龍?jiān)谝倚Ｗx書，愛好閱讀 B．小龍?jiān)诒Ｗx書，愛好繪畫
C．小軍在乙校讀書，愛好繪畫 D．小康在甲校讀書，愛好閱讀
5．下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)位于第二象限 B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)
C．的平方根是 D．的立方根是
6．如圖所示，下列條件中能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
7．將一塊含有、、的三角尺如圖放置，點(diǎn)A、B分別在直線m、n上，下列條件中：①，②，③，④，⑤，，能判斷的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
8．下列命題是真命題的有（　?。?br/>①過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；②兩條平行線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行；③點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C為直線l上的三點(diǎn)，，，，那么點(diǎn)P到直線l的距離是；④與的兩邊分別平行；比的3倍少，則．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
二、填空題
9．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： ．
10．如圖，，，，則的度數(shù)為 ．
11．在討論“對頂角不相等”是不是命題的問題時(shí)，甲說：“這不是命題，因?yàn)檫@句話是錯誤的．”乙說：“這是命題，因?yàn)樗鞒隽伺袛啵徊贿^這一判斷是錯誤的，所以它是假命題．”由此可判斷 的說法是正確的．
12．命題“若，則．”的結(jié)論是 ．
13．如圖，已知，與互為余角，， 度．
14．如圖，已知直線，被直線所截，，點(diǎn)是直線右側(cè)的任意一點(diǎn)（點(diǎn)不在直線，，上），設(shè)，．用含，的式子表示的度數(shù)是 ．
三、解答題
15．如圖，在中，，過點(diǎn)作，且，連接，．試說明：．
16．如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，連接，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
17．完成下列證明過程，并在括號內(nèi)填上依據(jù)：
如圖，，，求證：．
證明：已知

已知
等量代換
_____ ______（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）
18．如圖1，在四邊形中，，．
(1)試說明：；
(2)如圖2，將四邊形沿折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)重合，，，求的度數(shù)．
19．如圖是一種躺椅及其簡化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手與底座都平行于地面，前支架與后支架分別與交于點(diǎn)G和點(diǎn)D，．
(1)求證：；
(2)若平分，，求扶手與靠背的夾角的度數(shù)．
20．空竹在中國有悠久的歷史，明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法記述，明定陵亦有出土的文物為證．年5月日，抖空竹經(jīng)中華人民共和國國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．
【特殊與一般】小明在觀察“抖空竹”時(shí)發(fā)現(xiàn)，可將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題．
如圖①，已知，
（1）若，則__________°．
（2）若，則__________．（用含、的代數(shù)式表示）
【拓展與探究】小明繼續(xù)思考，在平面內(nèi)，已知射線、，若，點(diǎn)為、外一點(diǎn)（不同于圖①），連接、．請補(bǔ)全圖形，并探究與、之間的數(shù)量關(guān)系．
【遷移與應(yīng)用】根據(jù)以上啟發(fā)，請你利用平行線的性質(zhì)證明“四邊形內(nèi)角和是”．
（要求：畫出圖形，寫出已知、求證，并完成證明過程）
《第7章證明強(qiáng)化訓(xùn)練-2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)八年級上冊北師大版（2024）》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D C A A C A
1．D
【分析】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，根據(jù)平行線性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、作，則可得，
，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、作，則可得，
，故該選項(xiàng)不符合題意；
C、如圖，過點(diǎn)作，
，
則可得，，，
，
故該選項(xiàng)不符合題意，
D、添加圖中輔助線不能說明“三角形的內(nèi)角和等于180°”，故該選項(xiàng)符合題意，
故選：D．
2．C
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，等角的余角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識．
由平行線的性質(zhì)，結(jié)合角平分線的定義，可以判斷選項(xiàng)，，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，等角的余角相等，可以判斷選項(xiàng)，即可得符合題意的選項(xiàng)．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴選項(xiàng)不符合題意，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴選項(xiàng)不符合題意，
由已知無法得出，
∴選項(xiàng)符合題意，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴選項(xiàng)不符合題意，
故選：．
3．D
【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，平行公理等進(jìn)行判斷．
本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行公理等，掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，故A選項(xiàng)錯誤；
B、同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故B選項(xiàng)錯誤；
C、兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，故C選項(xiàng)錯誤；
D、平行于同一條直線的兩條直線平行，故D選項(xiàng)正確；
故選：D
4．C
【分析】本題考查邏輯推理，根據(jù)①得到小康在甲校讀書，小軍在乙校讀書，小龍?jiān)诒Ｗx書，根據(jù)②得到小康愛好唱歌，小軍愛好繪畫，小龍愛好閱讀，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：因?yàn)樾↓埐辉诩仔Ｗx書，小軍不在甲校讀書，也不在丙校讀書，
所以小康在甲校讀書，小軍在乙校讀書，小龍?jiān)诒Ｗx書，
因?yàn)樵诩仔Ｗx書的同學(xué)愛好唱歌，愛好繪畫的同學(xué)不在丙校讀書，
所以小康愛好唱歌，小軍愛好繪畫，小龍愛好閱讀，
故選C．
5．A
【分析】本題考查的是平方根，立方根的含義，平行線的性質(zhì)，判斷點(diǎn)所在的象限.根據(jù)以上知識逐一分析判斷即可.
【詳解】解：∵，
∴點(diǎn)位于第二象限，A符合題意；
∵兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，
∴同旁內(nèi)角互補(bǔ)的說法錯誤，B不符合題意；
∵，
∴的平方根是，C不符合題意；
∵的立方根是，
∴D不符合題意.
故選：A
6．A
【分析】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定，逐項(xiàng)分析判斷即可得出答案．
【詳解】解：A、∵，
∴，故此選項(xiàng)符合題意；
B、∵，
∴，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、不能判定，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、∵，
∴，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
7．C
【分析】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)平行線的判定方法和題目中各個(gè)小題中的條件，可以判斷是否可以得到，從而可以解答本題．
【詳解】解：，，
不一定等于，
和n不一定平行，故①不符合題意；
，，
不一定等于，
和n不一定平行，故②不符合題意；
過點(diǎn)C作，
，
，，
，
，
，故③符合題意；
，
，
，故④符合題意；
，，，
，
，故⑤符合題意；
故選：C．
8．A
【分析】本題考查了命題“真”“假”判定，根據(jù)垂線公理判斷①；根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)判斷②；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義判斷③；根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷，當(dāng)與的兩邊分別平行時(shí)，有兩種可能或求出即可判斷④．
【詳解】解：①在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線，原說法錯誤，故①是假命題；
②兩條平行線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行，正確，故②是真命題；
③點(diǎn)為直線外一點(diǎn)，點(diǎn)、、為直線上的三點(diǎn)，，，，那么點(diǎn)到直線的距離不超過，原說法錯誤，故③是假命題；
④與的兩邊分別平行，比的3倍少，則有或，即或，解得或，所以或，故④是假命題；
∴是真命題的只有②，共1個(gè)．
故選：A．
9．如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等
【分析】本題考查了命題的敘述，“同角的余角相等”的條件是：兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，結(jié)論是：這兩個(gè)角相等，由此即可得出答案，熟練掌握此知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等，
故答案為：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等．
10．/53度
【分析】本題考查了兩直線平行內(nèi)錯角相等，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，解題關(guān)鍵是掌握上述知識點(diǎn)．
先利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，求得，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余，求解的度數(shù)．
【詳解】解：∵， ，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
11．乙
【分析】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式；有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．根據(jù)命題的定義對兩種說法進(jìn)行判斷．
【詳解】解：乙的說法正確．因?yàn)椤皩斀遣幌嗟取笔且粋€(gè)判斷語句，所以它是命題，根據(jù)對頂角的性質(zhì)可得到它是假命題．
故答案為：乙．
12．
【分析】本題考查了寫出命題的題設(shè)與結(jié)論，根據(jù)命題是由條件和結(jié)論組成，進(jìn)行作答即可．
【詳解】解：∵命題“若，則．”
∴該命題的結(jié)論是，
故答案為：
13．
【分析】本題主要考查了余角的定義，平行線的性質(zhì)，掌握余角的定義是解題的關(guān)鍵．由與互為余角，可求得，再利用平行線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：與互為余角，，
，
，
．
故答案為：．
14．或或
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理推論，分三種情況，當(dāng)在上方時(shí)，當(dāng)在與之間時(shí)，當(dāng)在下方時(shí)，然后由平行線的性質(zhì)即可求解，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，當(dāng)在上方時(shí)，
過作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如圖，當(dāng)在與之間時(shí)，
過作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
如圖，當(dāng)在下方時(shí)，
過作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
故答案為：或或．
15．見解析
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、“等邊對等角”、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出是解題的關(guān)鍵．由，，，由，得，則，而，，即可根據(jù)“”證明，則．
【詳解】解：，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
16．(1)見解析
(2)
【分析】此題考查角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊，等腰三角形的性質(zhì)：
（1）根據(jù)角平分線及平行線推出，即可得到．
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，F(xiàn)是的中點(diǎn)，
∴．
17．對頂角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得，由兩直線平行，同位角相等得到，即，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到，再由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到結(jié)論即可．
【詳解】證明：∵（已知）
（對頂角相等）
∴
∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）
∴（兩直線平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代換）
∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）
∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
故答案為：對頂角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；；；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
18．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和折疊性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再等量代換得到，進(jìn)而根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得結(jié)論；
（2）由折疊的性質(zhì)，．再由平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而求得，由可求得答案．
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以?br/>因?yàn)?，所以?br/>所以．
（2）解：由折疊的性質(zhì)，得，．
因?yàn)?，所以?br/>所以．
由（1）得，
所以．
19．(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，掌握以上知識，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意得到，再由同位角相等，兩直線平行即可求解；
（2）根據(jù)，可得，從而得到，再結(jié)合角平分線的定義可得，然后根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵扶手與底座都平行于地面，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
20．（1）（2）【拓展與探究】或或 或
【遷移與應(yīng)用】見解析
【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意，作，利用平行線的性質(zhì)，求出和的度數(shù)，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，仿照（1）的解答，即可得到結(jié)果；
【拓展與探究】根據(jù)題意，畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)，得到或或 或；
【遷移與應(yīng)用】利用上一題的結(jié)論，證得即可．
【詳解】解：（1）如圖①，過點(diǎn)，作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案為：20；
（2）如圖①，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；
【拓展與探究】如下圖，過點(diǎn)，作，
，
，
，
，
，
；
如下圖，過點(diǎn)，作，
，
，
，
，
，
；
如圖，，
，
；
如下圖，
，
；
如下圖，延長交于，
，
，
；
綜上所述，或或 或；
【遷移與應(yīng)用】已知：如圖④，四邊形，
求證：，
證明：分別過、兩點(diǎn)，作，
由【拓展與探究】知：，，
即，
，
，
，
，
即．
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