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第3章位置與坐標強化訓練-2025-2026學年數學八年級上冊北師大版（2024）
一、單選題
1．過和兩點的直線一定（　?。?br/>A．垂直于x軸 B．平行于x軸 C．經過原點 D．以上都不對
2．若，且點在第三象限，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在平面直角坐標系中，， ，平分點，關于x軸的對稱點是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，點A的坐標是，像這樣橫坐標和縱坐標都是整數的點稱為整點．若在x軸正半軸上有整點（n為正整數），則內部（不包括邊界）的整點個數m的值是（ ）
A． B． C． D．
6．將點向左平移2個單位得到，則的坐標為（ ）
A． B． C． D．
7．在如圖所示的平面直角坐標系中，小手蓋住的點的坐標可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，一個點在第一象限及x軸，y軸上移動，在第一秒鐘，它從原點移動到點，然后按照圖中箭頭所示方向移動，即→→→→→…，且每秒移動一個單位，那么第20秒時，點所在位置的坐標是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9．如果將電影票“排號”簡記為，那么“排號”可簡記為 ．
10．已知點在x軸上，點在y軸上，則點位于第 象限．
11．已知軸，，B在第一象限且，則B點的坐標為 ．
12．點在第一、三象限的角平分線上，則的坐標為 ．
13．如圖，將三角形向右平移個方格，得到圖形．用數對表示和的位置．
（ ， ），（ ， ）
14．在平面直角坐標系中，若點與點之間的距離是5，那么的值是 ．
15．在平面直角坐標系中，作與關于軸對稱的，點的對應點為，則 ．
16．在平面直角坐標系中，點，點，若，，即點，則表示點A到點的一個平移．例如：點，若，，則表示點A向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度得到．
根據上述定義，探究下列問題：
（1）已知點，點，則線段的長度是 ；
（2）已知點，點，則線段的長度是 ；
（3）長方形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，，，點，若，（為正數），當 時，點在的直角邊上．
三、解答題
17．如圖，在直角坐標系中，點是第一象限內的點，點是軸上的一個動點，且，三點不在同一條直線上，在直線軸上求作一點，使的周長最?。?br/>18．已知，如圖在平面直角坐標系中，，,求三個頂點的坐標．
19．已知點，分別根據下列條件求出點M的坐標．
(1)點M在x軸上；
(2)點M在一、三象限角平分線上．
20．如圖，在直角坐標系中，各頂點坐標分別為，與關于y軸對稱，點A的對稱點為．
(1)作出；
(2)寫出的坐標；
(3)若P為x軸上一動點，當最小時，直接寫出點P的坐標．
21．如圖，在平面直角坐標系中，已知，，三點，且滿足關系式，．
(1)______，______，______；
(2)四邊形的面積為______；
(3)是否存在點，使得的面積為四邊形面積的2倍？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
22．如圖，平面直角坐標系中，點的坐標分別為，其中滿足，將點向右平移個單位得到點．
(1)求兩點的坐標；
(2)點分別為線段上兩個動點，自點向點以個單位/秒向右運動，同時點自點向點以個單位/秒向左運動、設運動的時間為秒（），連接，當恰好平分四邊形的面積時，求的值．
(3)點是直線上一點，連接，作一個，邊與的延長線相交于點，平分，平分，當點運動時，的度數變不變？如變化．請求變化范圍：如不變，請求出的度數．
《第3章位置與坐標強化訓練-2025-2026學年數學八年級上冊北師大版（2024）》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C B D B B
1．B
【分析】本題考查了平面直角坐標系中直線的位置與點坐標的關系，解題的關鍵是根據兩點縱坐標相同判斷直線與軸的位置關系．
通過觀察、兩點坐標的特征，根據坐標與直線位置關系來判斷直線情況．
【詳解】兩點的縱坐標相等，橫坐標不相等，所以過兩點的直線一定平行于軸．
故選：B．
2．C
【分析】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解題的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根據絕對值的意義可得，，然后由第三象限內點的橫坐標與縱坐標都是負數得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，，
∵點在第三象限，
∴，，
∴點M的坐標是．
故選：C．
3．B
【分析】本題考查了平面內兩點間的距離公式，熟記公式是解題的關鍵．根據兩點間距離公式代入求解即可．
【詳解】解：∵點，，
∴線段，
故選：B．
4．C
【分析】本題考查角平分線，全等三角形的判定和性質，關于x軸對稱的點坐標的特征．作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
過B點作軸于點，則，即，可求B點坐標，最后求出關于軸的對稱點的坐標即可．
【詳解】解：如圖，過B點作軸于點，則，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴關于軸的對稱點的坐標為，
故選：C．
5．B
【分析】本題考查了點的坐標，新定義，點的規(guī)律．先理解整點的定義，再研究當時，整點為共三個點，當時，點B的橫坐標的值是4；當點B的橫坐標為8時，即時，整點個數，當點B的橫坐標為12時，即時，整點個數，故當點B的橫坐標為（n為正整數）時，，即可作答．
【詳解】解：如圖：
∵點A的坐標是，像這樣橫坐標和縱坐標都是整數的點稱為整點．且在x軸正半軸上有整點（n為正整數），
∴當時，則點B在點時，內部（不包括邊界）的整點為共三個點，
∴當點B的橫坐標的4時，；
當點B的橫坐標為8時，
即時，內部（不包括邊界）的整點個數，
當點B的橫坐標為12時，
即時，內部（不包括邊界）的整點個數，
∴當點B的橫坐標為（n為正整數）時，；
故選：B
6．D
【分析】本題主要考查了平面直角坐標系內點的平移，根據將點向左平移2個單位，其橫坐標減2，縱坐標不變，可得答案.
【詳解】解：將點向左平移2個單位長度得到點，
∴點，即.
故選：D.
7．B
【分析】判斷小手蓋住的象限，再根據各象限內點的坐標特征進行選擇．本題主要考查了平面直角坐標系中各象限內點的坐標特征，熟練掌握各象限內點的橫、縱坐標的符號特點是解題的關鍵．
【詳解】解：小手蓋住的是第二象限，第二象限內點的橫坐標為負，縱坐標為正．
選項A，在第一象限；
選項B，在第二象限；
選項C，在第三象限；
選項D，在第四象限．
故選：B．
8．B
【分析】本題考查了平面直角坐標系中點的移動規(guī)律，核心是對平面直角坐標系內點的運動規(guī)律與時間關系的探究．
通過觀察點的移動規(guī)律，計算出到各個關鍵位置所用的時間，從而確定第 20 秒時點的坐標．
【詳解】解：點從原點開始，先向右移動1秒到，
然后向上移動1秒到，接著向左移動1秒到，再向上移動1秒到，
∴可知到達點用了（秒）；
然后向右移動2秒到，向下移動2秒到，
向右移動1秒到，
∴可知到達點用了（秒）；
∴當點離開x軸時的橫坐標為時間的平方，當點離開y軸時的縱坐標為時間的平方，
此時時間為奇數的點在x軸上，時間為偶數的點在y軸上
∵，
第16秒時，點的坐標為，
故在第20秒時，動點向右平移4秒，點所在位置的坐標是．
故選：B．
9．
【分析】本題主要考查了用有序數對表示位置，根據題意可知有序數對左邊的數表示排，右邊的數表示號，據此求解即可，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：∵電影票“排號”簡記為，
∴“排號”可簡記為，
故答案為：．
10．二
【分析】本題考查平面直角坐標系中點的坐標特征，熟知坐標軸上及象限內的點的坐標特征是解答的關鍵．根據坐標軸上點的坐標特征求得m、n值，再根據各個象限中點的坐標特征解答即可．
【詳解】解： ∵點在x軸上，點在y軸上，
∴，，
∴，，
∴點位于第二象限，
故答案為：二．
11．
【分析】因為軸，所以、兩點橫坐標相同．已知點坐標和的長度，結合在第一象限，可求出點縱坐標，進而得到點坐標．本題主要考查了坐標與圖形性質，平行于軸的直線上的點橫坐標相同是解題的關鍵．
【詳解】解：軸，
設點坐標為
，在第一象限，即
點坐標為
故答案為：
12．
【分析】本題考查了點的坐標的知識，根據第一、三象限的角平分線上的點，橫縱坐標相等，由此就可以得到關于的方程，解出的值，即可求得點的坐標．
【詳解】解：∵點在第一、三象限的角平分線上，
，
解得：，
．
故答案為：．
13．
【分析】本題考查了用數對表示位置．用數對表示位置時，先表示第幾列，再表示第幾行，據此即可求解．
【詳解】解：將三角形向右平移個方格，得到圖形，用數對表示和的位置．
由圖可得：；．
故答案為：，，，．
14．8或
【分析】本題考查了平面內兩點間的距離，根據橫坐標相同的點所在的直線與y軸平行，再分點N在點M的上方和下方兩種情況討論即可．
【詳解】解∵點與點之間的距離是5，
∴或，
故答案為∶8或．
15．
【分析】本題考查了點關于坐標軸對稱的規(guī)律，由關于軸對稱得，即可求解．
【詳解】解：關于軸對稱的，點的對應點為，
，
，
故答案為：．
16． 2 5
【分析】本題考查的是新定義，坐標與圖形，勾股定理的應用，熟練掌握平面直角坐標系是解題的關鍵．
（1）由點，點，利用兩點間距離公式可得答案．
（2）由點，點，根據勾股定理即可求出線段的長度．
（3）由點的坐標為， 假設點在邊上時求出m，檢驗是否在邊上，若點在邊上，檢驗是否在邊上即可求解．
【詳解】解：（1）∵點，點，
∴線段的長度是．
故答案為：
（2）∵點，點，
∴線段的長度是．
故答案為：
（3）∵，，，，
∴，，
∴點的坐標為，
當點在邊上，則，
解得，此時點的坐標為．
∵，
∴當時，點在邊上．
當點在邊上，則，此時點的坐標為，在第四象限，
∴當時，點不在邊上．
綜上：當時，點在的直角邊上．
故答案為：
17．見解析
【分析】本題考查了軸對稱---最短路徑問題，利用軸對稱的作圖是解題的關鍵．
作出點關于軸的對稱點，連接與軸交點即為點．根據軸對稱的性質可得，而長不變，則的周長最小轉化為的最小值，即為的最小值，再根據兩點之間線段最短即可確定連接與軸交點即為點．
【詳解】解：如圖，點C即為所求：
18．，，
【分析】本題主要考查了坐標與圖形，三角形面積，熟知三角形面積公式是解題的關鍵；
首先根據面積求得、OB的長，最后求得的長．然后寫出坐標即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵點O為原點，
∴，，．
19．(1)
(2)
【分析】本題考查的是平面直角坐標系內x軸上的點以及一、三象限角平分線上的點的坐標特點，熟練掌握其特點并代入計算是解題的關鍵．
（1）根據x軸上的點的坐標特點為縱坐標都為0，求出a的值，再代入計算即可；
（2）根據一、三象限的角平分線上的點的橫縱坐標相等，進行列式計算即可．
【詳解】（1）解：∵點在x軸上，
∴，
解得．
∴．
∴點M的坐標為；
（2）解：∵點M在一、三象限角平分線上時，
∴．
解得．
∴，
∴點M的坐標為．
20．(1)見解析；
(2)；
(3)點P的坐標為．
【分析】本題考查作圖中的軸對稱變換、最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質是解答本題的關鍵．
（1）根據軸對稱的性質作圖即可；
（2）由圖可得答案；
（3）取點C關于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，則點P即為所求，即可得出答案．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
（2）由圖可得，．
（3）取點C關于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，連接，
此時，為最小值，
則點P即為所求，
點P的坐標為．
21．(1)2，3，4
(2)9
(3)存在．點的坐標為或．
【分析】本題考查了非負數的性質，平面直角坐標系中兩點間的距離公式，圖形面積的計算，本題的關鍵是求出點的坐標以及根據點的坐標求解直角坐標系中的圖形面積．
（1）根據非負數的性質，可求解a與b的值，再由這一條件可求解c的值；
（2）根據直角梯形的面積公式代入邊長求解即可；
（3）先表示出的面積，再由面積關系列式可求解m的值，即可得點的坐標．
【詳解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案為：2，3，4；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴，
故答案為：9；
（3）解：存在，
∵，，
∴以為底，點P的橫坐標的絕對值為，
∴，
∵的面積為四邊形面積的2倍，
∴，
即，解得，
當時，，
當時，，
綜上，點的坐標為或．
22．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（）根據非負數的性質解答即可求解；
（）由題意可得，即得，進而得到，又由題意得，，，， 根據梯形的面積公式列出關于的方程解答即可；
（）分兩種情況：點在線段的延長線上或的延長線 上；點在線段上，分別畫出圖形，根據角平分線的定義解答即可；
本題考查了非負數的性質，一元一次方程的應用，角平分線的定義等，運用分類討論思想解答是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，；
（2）解：∵軸，，
∴，
∴，
當運動時間為時，，，，，
∵恰好平分四邊形時，
∴，
∴，
解得；
（3）解：當點運動時，的度數不變．
如圖，當點在線段的延長線上或的延長線上時，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
當點在線段上時，
∵平分，平分，
∴，，
設， 則，，
∴，
∴，
∴；
綜上所述，或．
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