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第十二章　第69練　專題強化：電磁感應中的動量問題
[分值：60分]
1~3題每小題5分，共15分
1.如圖，方向豎直向下的勻強磁場中有兩根位于同一水平面內的足夠長的平行金屬導軌，兩相同的光滑導體棒ab、cd靜止在導軌上，t=0時，棒ab以初速度v0向右滑動。運動過程中，ab、cd始終與導軌垂直并接觸良好，兩者速度分別用v1、v2表示，回路中的電流用I表示。下列圖像中可能正確的是(　　)
2.(2024·江蘇省錫中、省常中、溧陽中學期初調研)2023年11月，我國第三艘國產航母福建艦在長興島成功進行了首次電磁彈射測試。電磁彈射的原理可簡化為如圖所示結構，電容為C的電容器充滿電后板間電壓為U0，導體軌道abcd處存在磁感應強度為B的勻強磁場，裝置置于水平面內，勻強磁場方向豎直向下，金屬牽引桿開始時靜止在ac處，接通電路，電容器通過軌道和金屬桿放電。金屬桿和軌道電阻可忽略不計，金屬桿在安培力作用下開始加速，已知ac=L。金屬桿的質量為m，所受阻力忽略不計，金屬桿在運動到bd之前已經勻速，速度大小為v，則(　　)
A.整個過程電容器放出的電荷量為CU0
B.整個過程電容器放出的電荷量為CBLv
C.金屬桿勻速運動的速度可表示為v=
D.金屬桿勻速運動的速度可表示為v=
3.(2025·江蘇省開學考)如圖所示，光滑絕緣水平桌面上有一均質正方形金屬線框abcd，線框以速度v進入一個有明顯邊界的勻強磁場(磁場的寬度大于線框的邊長)，當線框全部進入磁場區域時，速度減小到。下列說法中正確的是(　　)
A.線框進入磁場時與離開磁場時均做勻減速直線運動
B.線框能全部穿出磁場
C.線框進入磁場時與離開磁場時產生的熱量之比為8∶1
D.線框進入磁場時與離開磁場時通過線框某橫截面的電荷量之比為1∶2
4題7分，5題12分，6題16分，共35分
4.(2024·江蘇南京市模擬)在甲、乙兩圖中，足夠長的光滑平行金屬導軌在同一水平面內固定放置在方向豎直向下的勻強磁場中，導軌左端分別接有電荷量為零且電容足夠大的電容器和阻值為R的定值電阻，金屬桿ab、cd垂直導軌靜止放置，除了電阻R以外不計其他電阻。若給棒ab施加水平向右的恒力F，棒cd瞬間獲得水平向右的初速度v0，則下列關于兩棒在運動過程中所受安培力F安和棒兩端電壓U隨棒的位移x變化的圖像中正確的是(兩棒運動過程中始終與導軌垂直且接觸良好)(　　)
5.(12分)(2023·江蘇省南通市質檢)如圖所示，光滑平行導軌MNPQ固定在水平面上，導軌寬度為d，處于磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場中，導軌足夠長，將質量分別為2m、m，有效電阻均為R的金屬棒J和K分別置于軌道上，棒始終與軌道垂直并接觸良好，導軌電阻不計。現使J棒獲得水平向右的初速度2v0，K棒獲得水平向左的初速度v0，兩棒不會相碰，求：
(1)(5分)全過程中系統產生的焦耳熱Q；
(2)(7分)從開始運動到穩定狀態過程中兩棒間距離的改變量Δx。
6.(16分)(2024·湖北卷·15)如圖所示，兩足夠長平行金屬直導軌MN、PQ的間距為L，固定在同一水平面內，直導軌在左端M、P點分別與兩條豎直固定、半徑為L的圓弧導軌相切。MP連線與直導軌垂直，其左側無磁場，右側存在磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場。長為L、質量為m、電阻為R的金屬棒ab跨放在兩圓弧導軌的最高點。質量為2m、電阻為6R的均勻金屬絲制成一個半徑為L的圓環，水平放置在兩直導軌上，其圓心到兩直導軌的距離相等。忽略導軌的電阻、所有摩擦以及金屬環的可能形變，金屬棒、金屬環均與導軌始終接觸良好，重力加速度大小為g。現將金屬棒ab由靜止釋放，求：
(1)(3分)ab剛越過MP時產生的感應電動勢大小；
(2)(5分)金屬環剛開始運動時的加速度大小；
(3)(8分)為使ab在整個運動過程中不與金屬環接觸，金屬環圓心初始位置到MP的最小距離。
　(10分)
7.(2025·江蘇南京市開學考)某電磁緩沖裝置如圖所示，兩足夠長的平行金屬導軌置于同一水平面內，平行金屬導軌間距為L，導軌左端與一阻值為R的定值電阻相連，導軌BC段與B1C1段粗糙，其余部分光滑，AA1右側處于豎直向下的勻強磁場中，一質量為m的金屬桿垂直導軌放置。現讓金屬桿以初速度v0沿導軌向右經過AA1進入磁場，最終恰好停在CC1處。已知金屬桿接入導軌之間的阻值為R，與粗糙導軌間的動摩擦因數為μ，AB=BC=d。導軌電阻不計，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A.金屬桿經過BB1的速度為
B.在整個過程中，定值電阻R產生的熱量為m-μmgd
C.金屬桿經過AA1B1B區域過程，其所受安培力的沖量大小為
D.若將金屬桿的初速度加倍，則金屬桿在磁場中運動的距離等于原來的2倍
參考解析
1.A　[棒ab以初速度v0向右滑動，切割磁感線產生感應電動勢，使整個回路中產生感應電流，判斷可知棒ab受到與v0方向相反的安培力的作用而做變減速運動，棒cd受到與v0方向相同的安培力的作用而做變加速運動，它們之間的速度差Δv＝v1－v2逐漸減小，整個系統產生的感應電動勢逐漸減小，回路中感應電流逐漸減小，最后變為零，即最終棒ab和棒cd的速度相同，v1＝v2，這時兩相同的光滑導體棒ab、cd組成的系統在足夠長的平行金屬導軌上運動，水平方向上不受外力作用，由動量守恒定律有mv0＝mv1＋mv2，解得v1＝v2＝，選項A正確，B、C、D錯誤。]
2.D　[金屬桿在運動到bd之前已經勻速，速度大小為v，設此時電容器兩端電壓為U，則有U＝BLv
可知整個過程電容器放出的電荷量為
Δq＝CΔU＝C(U0－BLv)
對金屬桿根據動量定理可得
BLΔt＝BLΔq＝mv－0
則有BLC(U0－BLv)＝mv
解得金屬桿勻速運動的速度可表示為
v＝，故選D。]
3.C　[線框進入磁場時與離開磁場時受安培力大小為
F＝BIL＝BL＝＝ma
隨著速度減小，安培力逐漸減小，加速度減小，所以線框進入磁場時與離開磁場時做變減速直線運動，故A錯誤；假設線框能全部穿出磁場，線框剛全部進入磁場時速度為，剛全部離開磁場時速度設為v'，線框進入磁場的過程，取向右為正方向，由動量定理得－BI1L·t1＝m－mv
通過線框的電荷量
q1＝I1t1＝
線框離開磁場的過程，取向右為正方向，由動量定理得
－BI2L·t2＝mv'－m
通過線框的電荷量
q2＝I2t2＝
聯立解得v'＝－
所以線框不能全部穿出磁場，則v'＝0，代入上式可知，故B、D錯誤；線框進入磁場的過程，根據能量守恒定律有Q1＝mv2－m(v)2
線框離開磁場的過程，根據能量守恒定律有Q2＝m(v)2
解得，故C正確。]
4.B　[對棒ab分析，某一時刻t，根據牛頓第二定律有F－F安ab＝ma，設該時刻電流大小為i，則F安ab＝BiL，F－BiL＝ma，在很短時間間隔內ΔQ＝i·Δt，ΔQ＝C·ΔU，ΔU＝BL·Δv，聯立可得i＝BLC＝BLCa，結合前式可得F－B2L2Ca＝ma，可得a＝，可知導體棒ab做勻加速直線運動，根據運動學公式v2＝2ax，可得v＝，通過導體棒ab的電流不變，導體棒ab所受安培力始終不變；導體棒ab兩端的電壓Uab＝BL·v＝BL·，故A、C錯誤；導體棒cd所受的安培力F安cd＝＝ma'＝m，則v·Δt＝m·Δv，兩邊求和∑v·Δt＝m·∑Δv，得x＝m(v0－v)，整理可得v＝v0－x，則F安cd＝·v＝·x，Ucd＝BLv＝BLv0－·x，可知F安cd、Ucd與x是一次函數，故B正確，D錯誤。]
5.(1)3m　(2)
解析　(1)兩棒組成的系統動量守恒，取向右為正方向，則2m·2v0－mv0＝(2m＋m)v
根據能量守恒可得產生的焦耳熱為Q＝×2m(2v0)2＋m(2m＋m)v2
聯立解得v＝v0，Q＝3m
(2)取J棒研究，設運動過程中平均電流為，經歷時間為Δt，取向右為正方向，根據動量定理得－Bd·Δt＝2mv0－2m·2v0
而
解得Δx＝
6.(1)BL　(2)
(3)
解析　(1)根據題意可知，對金屬棒ab由靜止釋放到剛越過MP過程中，
由動能定理有mgL＝m
解得v0＝
則金屬棒ab剛越過MP時產生的感應電動勢大小為E＝BLv0＝BL
(2)根據題意可知，金屬環在導軌間兩段圓弧并聯接入電路中，軌道外側的兩段圓弧被短路，由幾何關系可得，每段圓弧的電阻為R0＝R
可知，整個回路的總電阻為
R總＝R＋R
ab剛越過MP時，通過金屬棒ab的感應電流為I＝
對金屬環由牛頓第二定律有
2BL·＝2ma
解得a＝
(3)根據題意，結合上述分析可知，金屬環和金屬棒ab所受的安培力等大反向，則系統的動量守恒，由于金屬環做加速運動，金屬棒做減速運動，為使ab在整個運動過程中不與金屬環接觸，則有當金屬棒ab和金屬環速度相等時，金屬棒ab恰好追上金屬環，設此時速度為v，
由動量守恒定律有mv0＝mv＋2mv
解得v＝v0
設經過時間t，金屬棒ab與金屬環共速，對金屬棒ab，由動量定理有
－BLt＝m·－mv0
則有BLq＝mv0
設金屬棒運動距離為x1，金屬環運動的距離為x2，
則有q＝
聯立解得Δx＝x1－x2＝
則金屬環圓心初始位置到MP的最小距離d＝L＋Δx＝。
7.B　[金屬桿在AA1B1B區域向右運動的過程中切割磁感線有
E＝BLv，I＝
金屬桿在AA1B1B區域運動的過程中根據動量定理有－BILΔt＝mΔv
則－Δt＝mΔv
由于d＝∑vtΔt，
則上面方程左右兩邊累計求和，可得
－＝mvB－mv0
則vB＝v0－
設金屬桿在BB1C1C區域運動的時間為t0，同理可得，則金屬桿在BB1C1C區域運動的過程中有
－－μmgt0＝－mvB
聯立解得vB＝>
則金屬桿經過BB1的速度大于，故A錯誤；在整個過程中，根據能量守恒有m＝μmgd＋Q
則在整個過程中，定值電阻R產生的熱量為QR＝Q＝mμmgd，故B正確；金屬桿經過AA1B1B區域所受安培力的沖量為－∑BILΔt＝－∑vtΔt＝－，負號表示方向與運動方向相反，故C錯誤；
金屬桿以初速度v0在磁場中運動全過程有－－μmgt0＝－mv0
若金屬桿的初速度加倍，
則有－－μmgt0'＝－2mv0
得2d＝
x＝2(mv0－μmgt0')·
當初速度為2v0時，由A項可知，金屬桿到達BB1時速度變大，所以經過BCC1B1區域時間變短，即有t0'4d，D錯誤。]

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