資源簡介

本章復習提升
易混易錯練
易錯點1　混淆萬有引力表達式中的r和向心力表達式中的r
1.中國天眼FAST已發現約500顆脈沖星,成為世界上發現脈沖星效率最高的設備,如在球狀星團M92第一次探測到“紅背蜘蛛”脈沖雙星。如圖,距離為L的A、B雙星繞它們連線上的某點O在二者萬有引力作用下做勻速圓周運動,運動周期為T,引力常量為G,則雙星總質量為 (　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
易錯點2　混淆衛星的發射速度與運行速度
2.關于三個宇宙速度,下列說法正確的是 (　　)
A.第一宇宙速度大小為7.9 km/h
B.繞地球運行的同步衛星的環繞速度必定小于第一宇宙速度
C.第二宇宙速度為11.2 km/s,是繞地飛行器最大的環繞速度
D.第三宇宙速度是衛星掙脫地球束縛所需的最小速度
易錯點3　混淆衛星的穩定運行速度和動態變軌速度
3.如圖所示,一顆質量為m的衛星要發射到中地圓軌道上,通過M、N兩位置的變軌,經橢圓轉移軌道進入中地圓軌道運行。已知近地圓軌道的半徑可認為等于地球半徑,中地圓軌道與近地圓軌道共面且軌道半徑為地球半徑的3倍,地球半徑為R,地球表面的重力加速度為g,下列說法中正確的是 (　　)
A.衛星進入中地圓軌道時需要在N點減速
B.在轉移軌道上的M點和N點速度關系為vMC.該衛星在中地圓軌道上運行的速度為
D.該衛星在轉移軌道上從M點運行至N點(M、N與地心在同一直線上)所需的時間為2π
易錯點4　混淆赤道上物體隨地球自轉與衛星繞地球運動的區別
4.(多選題)同步衛星離地心距離為r,運行速率為v1,加速度為a1;地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度為a2,第一宇宙速度為v2,地球半徑為R,則下列比值正確的是 (　　)
A.=　　　　B.=
C.=　　　　D.=
思想方法練
一、數形結合法
方法概述
數形結合法是將抽象的物理問題直觀化、形象化的最佳工具,能從整體上反映出兩個或兩個以上物理量的定性或定量關系,圖像問題是常見的數形結合法的具體應用。利用圖像解題時一定要從圖像縱、橫坐標的物理意義以及圖線中的“點”“線”“斜率”“截距”和“面積”等諸多方面尋找解題的突破口。利用圖像解題不但快速、準確,能避免繁雜的運算,還能解決一些用一般計算方法無法解決的問題。
1.(多選題)如圖甲所示,假設某星球表面上有一傾角為θ=30°的固定斜面,一質量為m的小物塊從斜面底端沿斜面向上運動,其速度-時間圖像如圖乙所示。已知小物塊和斜面間的動摩擦因數為μ=,該星球半徑為R=6×104 km。引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,則下列說法正確的是　 (　　)
A.該星球的第一宇宙速度v1=3.0×104 m/s
B.該星球的質量M=8.1×1026 kg
C.該星球的自轉周期T=1.3×104 s
D.該星球的平均密度ρ=895 kg/m3
2.在星球M上,將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上,把物體P輕放在彈簧上端,P由靜止向下運動,其加速度a與彈簧的壓縮量x之間的關系如圖中實線所示。在另一星球N上,用完全相同的彈簧,改用物體Q完成同樣的過程,其a-x關系如圖中虛線所示。假設兩星球均為質量均勻分布的球體,已知星球M的半徑是星球N的3倍,求:
(1)Q和P的質量之比;
(2)星球M和星球N的密度之比。
二、割補思想
方法概述
“割”“補”相對于“多余”和“缺損”,“割補法”是處理數學或物理問題常用的方法,可以使原來不完整的物體變得完整,使原來不對稱的物體變得對稱,使雜亂無章的現象變得有規律可循。采用割補法求萬有引力,先將空腔填滿,根據萬有引力定律列式求解萬有引力,該引力是填入部分的引力與剩余部分引力的合力。
3.某地區的地下發現了天然氣資源,如圖所示,在水平地面P點的正下方有一球形空腔區域內貯藏有天然氣。假設該地區巖石均勻分布且密度為ρ,天然氣的密度遠小于ρ,可忽略不計。如果沒有該空腔,地球表面正常的重力加速度大小為g;由于空腔的存在,現測得P點處的重力加速度大小為kg(k<1)。已知引力常量為G,球形空腔的球心深度為d,則此球形空腔的體積是 (　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
4.如圖所示,將一半徑為R、質量為M的均勻大球,沿直徑挖去兩個半徑分別為大球半徑一半的小球,并把其中一個放在球外與大球靠在一起,挖去小球的球心、球外小球的球心、大球的球心都在一條直線上,則大球中剩余部分與球外小球間的萬有引力大小約為 (　　)
A.0.01　　　　B.0.02
C.0.05　　　　D.0.04
5.如圖所示,一個質量均勻分布的半徑為R的球體對球外質點P的萬有引力為F,如果在球體中央挖去半徑為r的球體,且r=,則原球體剩余部分對質點P的萬有引力變為多少
6.如圖所示,陰影區域是質量為M、半徑為R的球體挖去一個小圓球后的剩余部分。所挖去的小圓球的球心O'和大球體球心O的距離是。求球體的剩余部分對球體外離球心O距離為2R、質量為m的質點P的引力(P在兩球心連線的延長線上)。
答案與分層梯度式解析
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易混易錯練
1.C　雙星A、B之間的萬有引力提供向心力,有G=mAω2RA,G=mBω2RB,其中ω=,L=RA+RB,聯立解得mA+mB=(RA+RB)3=,故選C。
錯解分析　同學們在習慣了萬有引力G提供向心力m、mrω2后可能會形成一種解題定勢,即認為萬有引力表達式G的r和向心力表達式m、mrω2的r始終是同一個物理量,殊不知G中的r為兩物體間的距離,而m、mrω2中的r為圓周運動的軌道半徑,兩者含義并不相同。
2.B　第一宇宙速度大小為7.9 km/s,故A錯誤;根據G=m,可得v=,繞地球運行的同步衛星的環繞半徑大于地球的半徑,則環繞速度必定小于第一宇宙速度,故B正確;第二宇宙速度為11.2 km/s,是衛星脫離地球吸引力的最小速度,故C錯誤;第三宇宙速度是衛星掙脫太陽系束縛所需的最小速度,故D錯誤。
錯解分析　學生在解答關于宇宙速度、發射速度和運行速度的問題時,經常會產生一些錯誤,諸如將發射速度與運行速度理解為同一種速度;不能判斷運行軌道半徑增大時,運行速度與發射速度的大小變化情況。
3.D　衛星進入中地圓軌道時需要在N點加速,故A錯誤;由開普勒第二定律知,M點到地球的距離小于N點到地球的距離,因此近地點M點的速度大于遠地點N點的速度,即vM>vN,故B錯誤;衛星在中地圓軌道上,由萬有引力提供向心力得=,在地球表面附近有=mg,解得v=,故C錯誤;衛星在中地圓軌道上的周期T中==6π,由開普勒第三定律得=,聯立解得T轉=4π,在轉移軌道上從M點運行至N點所需的時間tMN==2π,故D正確。
錯解分析　根據v=分析之所以得出錯誤結論,是因為不了解該式的適用對象是正在做勻速圓周運動的衛星,即v=是衛星穩定運行的速度,而衛星加速后(此時的速度稱為變軌速度)將離開原來的軌道,并不是做勻速圓周運動,不能再用v=分析。
4.AD　要比較地球赤道上的物體和同步衛星的加速度要有不同的思路。
本題中涉及三個物體,其已知量排列如下:
地球同步衛星:軌道半徑r,運行速率v1,加速度a1;
地球赤道上的物體:半徑R,隨地球自轉的向心加速度a2;
近地衛星:軌道半徑R,運行速率v2。
對于衛星,其共同特點是萬有引力提供向心力,有G=m,故=。
對于同步衛星和地球赤道上的物體,共同特點是角速度相等,有a=ω2r,故=。故選A、D。
錯解分析　沒有具體分析赤道上物體的受力情況,而盲目地認為和衛星受力情況相同,只受萬有引力。赤道上的物體除受萬有引力外,還受地面對它的支持力,所以方程G=ma=m只適用于衛星,對于地球赤道上的物體并不適用。
思想方法練
1.ABD　上滑過程中,根據牛頓第二定律,在沿斜面方向上有μmg cos θ+mg sin θ=ma1,下滑過程中,在沿斜面方向上有mg sin θ-μmg cos θ=ma2,又知v-t圖像的斜率表示加速度,則上滑和下滑過程中的加速度大小分別為a1= m/s2=10 m/s2,a2= m/s2=5 m/s2,聯立解得g=15 m/s2,故該星球的第一宇宙速度為v== m/s=3.0×104 m/s,選項A正確;根據黃金替代公式GM=gR2可得該星球的質量為M== kg=8.1×1026 kg,選項B正確;根據所給條件無法計算自轉周期,選項C錯誤;該星球的平均密度ρ====895 kg/m3,選項D正確。
2.答案　(1)6∶1　(2)1∶1
解析　(1)設星球M和星球N表面的重力加速度分別為gM和gN,P、Q兩物體的質量分別為mP和mQ。
由牛頓第二定律可得mg-kx=ma
故加速度a=-+g
由題圖可知=,=
解得mQ∶mP=6∶1。
(2)由a=-+g結合題圖可得gM∶gN=3∶1
在星球表面,有mg=G
可得gR2=GM
又有M=ρπR3
可得ρ=
故ρM∶ρN==1∶1。
方法點津　根據題述物理過程,寫出a-x函數關系式,根據關系式與a-x圖像的對應關系,得出P、Q兩物體的質量之比及M、N兩星球表面的重力加速度之比,再推導出兩星球密度之比。
3.D　如果將地下的球形空腔填滿密度為ρ的巖石,則該地區重力加速度便回到正常值,因此,如果將空腔填滿,地面上P點處質量為m的物體的重力為mg,有空腔時是kmg,故空腔填滿后引起的引力為(1-k)mg;根據萬有引力定律,有(1-k)mg=G,解得V=,故選D。
4.D　由題意可得,挖去的小球的半徑為、質量為。挖出小球前,大球對球外小球的萬有引力為F=G=;將挖出的小球填回原位置,則填入左側原位置的小球對球外小球的萬有引力為F1=G=,填入右側原位置的小球對球外小球的萬有引力為F2=G=,則大球中剩余部分對球外小球的萬有引力為F3=F-F1-F2≈0.04,故選D。
方法點津　先把挖去的部分“補”上,得到半徑為R的完整球體,再根據萬有引力公式,分別計算補回的左、右兩個半徑為的球體和半徑為R的完整球體對球外小球的萬有引力F1、F2、F,再利用力的合成與分解規律即可求得結果。
5.答案　F
解析　設原球體質量為M,質點P的質量為m,球心與質點P之間的距離為r0,則它們之間的萬有引力
F=G
被挖去的球體的質量
m1=·M=·M=
被挖去的球體與質點P之間的萬有引力
F1=G=G=
所以,原球體剩余部分對質點P的萬有引力變為
F2=F-F1=F
6.答案　
解析　將挖去的部分補上,則完整的大球對球外質點P的引力F1==
半徑為的小球的質量M'=π·ρ=
補上的小球對質點P的引力F2=G=
因而挖去小球后剩余部分對質點P的引力
F=F1-F2=-=。

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