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專題強(qiáng)化練6　圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題
1.摩托車轉(zhuǎn)彎時(shí)容易發(fā)生側(cè)滑(速度過(guò)大)或側(cè)翻(車身傾斜角度不當(dāng)),所以除了控制速度外車手還要將車身傾斜一個(gè)適當(dāng)角度,使車輪受到路面沿轉(zhuǎn)彎半徑方向的靜摩擦力與路面對(duì)車支持力的合力沿車身(過(guò)重心)。某摩托車沿水平路面以恒定速率v轉(zhuǎn)彎,車身與路面間的夾角為θ,人與摩托車的總質(zhì)量為m,重力加速度大小為g。則 (　　)
A.路面對(duì)輪胎的靜摩擦力大小為mg tan θ
B.輪胎與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)大于
C.轉(zhuǎn)彎半徑為v
D.若僅減小轉(zhuǎn)彎半徑,應(yīng)適當(dāng)增大夾角θ
2.(多選題)質(zhì)量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的A點(diǎn)和B點(diǎn),如圖所示,繩a與水平方向成θ角,繩b水平且長(zhǎng)為l,當(dāng)輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則下列說(shuō)法正確的是(重力加速度為g) (　　)
A.a繩的彈力不可能為零
B.a繩的彈力隨角速度的增大而增大
C.當(dāng)角速度ω>,b繩將出現(xiàn)彈力
D.若b繩突然被剪斷,則a繩的彈力一定發(fā)生變化
3.如圖所示,一傾斜圓盤(pán)可繞通過(guò)圓心、垂直于盤(pán)面的固定軸以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng),盤(pán)面上距離轉(zhuǎn)軸l=5 cm處有一可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊在圓盤(pán)上且始終與圓盤(pán)保持相對(duì)靜止。已知物塊與盤(pán)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為,盤(pán)面與水平面的夾角θ=30°,重力加速度大小為g=10 m/s2,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,下列說(shuō)法正確的是 (　　)
A.若圓盤(pán)角速度逐漸增大,物塊會(huì)在最高點(diǎn)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)
B.圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度可能為5 rad/s
C.物塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)所受摩擦力方向一定背離圓心
D.物塊運(yùn)動(dòng)到與圓盤(pán)圓心等高點(diǎn)時(shí),摩擦力的方向垂直于物塊和轉(zhuǎn)盤(pán)圓心的連線
4.(多選題)如圖所示,兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤(pán)上,a與轉(zhuǎn)軸OO'的距離為l,b與轉(zhuǎn)軸OO'的距離為2l。木塊與圓盤(pán)間的最大靜摩擦力為木塊重力的k倍,重力加速度大小為g。若圓盤(pán)從靜止開(kāi)始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng),用ω表示圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,下列說(shuō)法正確的是 (　　)
A.a可能比b先開(kāi)始滑動(dòng)
B.a、b所受的靜摩擦力始終相等
C.ω=是b開(kāi)始滑動(dòng)的臨界角速度
D.當(dāng)ω=時(shí),a所受摩擦力的大小為kmg
5.(多選題)如圖所示,用一根長(zhǎng)為l的輕繩一端系一質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn)),另一端固定在光滑固定的圓錐體頂端,錐面與豎直方向的夾角α=37°,小球繞著錐體的軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),重力加速度為g,sin 37°=0.6。則 (　　)
A.小球恰好離開(kāi)錐面時(shí)的角速度為
B.若小球的角速度ω=,小球?qū)﹀F面的壓力為零
C.若小球的角速度ω=,繩子的拉力大小為mg
D.若小球的角速度ω>,繩子的拉力FT隨著角速度ω變化的函數(shù)關(guān)系式為FT=mlω2
6.如圖所示,水平轉(zhuǎn)臺(tái)上有一個(gè)質(zhì)量m=1 kg且可看作質(zhì)點(diǎn)的小物塊,用長(zhǎng)L=0.4 m的細(xì)線將物塊連接到轉(zhuǎn)軸上,此時(shí)細(xì)線恰好繃直無(wú)拉力。小物塊與轉(zhuǎn)盤(pán)之間的最大靜摩擦力為重力的k倍。現(xiàn)使轉(zhuǎn)臺(tái)由靜止開(kāi)始逐漸加速轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)角速度達(dá)到一定程度時(shí),細(xì)線斷裂,物塊恰好從轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣水平飛出,重力加速度為g=10 m/s2。求:
(1)當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度增大至ω= rad/s時(shí),細(xì)線上剛好開(kāi)始出現(xiàn)拉力,則k多大
(2)若轉(zhuǎn)臺(tái)角速度逐漸增大,細(xì)線所能承受最大拉力為36 N,則細(xì)線剛好斷裂時(shí)物塊的速度v1多大
7.如圖所示,裝置BOO'可繞豎直軸OO'轉(zhuǎn)動(dòng),可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn),裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平,細(xì)線AC與豎直方向的夾角為θ=37°。已知小球的質(zhì)量為m=1 kg,細(xì)線AC長(zhǎng)為L(zhǎng)=1 m,B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離相等,取重力加速度g=10 m/s2。 sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)當(dāng)細(xì)線AB水平且拉力為零時(shí),該裝置繞OO'軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω1(結(jié)果可用根號(hào)表示);
(2)當(dāng)裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω2=2 rad/s時(shí),細(xì)線AB和AC上的拉力大小;
(3)當(dāng)裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω3= rad/s時(shí),細(xì)線AB的方向和AC的拉力大小。
答案與分層梯度式解析
專題強(qiáng)化練6　圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題
1.B　摩托車在水平路面上轉(zhuǎn)彎,向心力由沿半徑方向的靜摩擦力f提供,在豎直方向支持力與重力平衡,FN=mg,支持力與摩擦力的合力沿車身方向,所以f=,A錯(cuò)誤;最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力,則fmax=μmg>,得μ>,B正確;設(shè)轉(zhuǎn)彎半徑為r,則=m,得r=,則若僅減小轉(zhuǎn)彎半徑,應(yīng)適當(dāng)減小夾角θ,C、D錯(cuò)誤。
2.AC　對(duì)小球受力分析可得a繩的彈力在豎直方向的分力與小球的重力平衡,解得Ta=,為定值,A正確,B錯(cuò)誤。當(dāng)b繩的彈力為零時(shí),有Ta cos θ=mω2l,即ω=,若角速度大于該值,則b繩將出現(xiàn)彈力,C正確。由于b繩可能沒(méi)有彈力,故b繩突然被剪斷,a繩的彈力可能不變,D錯(cuò)誤。
3.C　物塊在最低點(diǎn)即將滑動(dòng)時(shí),圓盤(pán)角速度最大,由牛頓第二定律有μmg cos 30°-mg sin 30°=ml,解得圓盤(pán)角速度的最大值ω1==5 rad/s,故B錯(cuò)誤;小物塊在最高點(diǎn)恰好不受摩擦力時(shí),根據(jù)牛頓第二定律有mg sin 30°=ml,解得小物塊在最高點(diǎn)不受摩擦力時(shí)的角速度ω2=,代入數(shù)據(jù)解得ω2=10 rad/s,由于物塊與圓盤(pán)相對(duì)靜止,且圓盤(pán)角速度不會(huì)超過(guò)5 rad/s,故到最高點(diǎn)摩擦力一定背離圓心,且物塊在最低點(diǎn)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng),故C正確,A錯(cuò)誤;由于物塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng),合力方向指向圓盤(pán)中心,最高點(diǎn)和最低點(diǎn)以外的其他位置,重力的下滑分力與摩擦力的合力提供向心力,則摩擦力的方向不垂直于物塊和轉(zhuǎn)盤(pán)圓心的連線,故D錯(cuò)誤。
4.CD　兩個(gè)木塊的最大靜摩擦力相等,木塊隨圓盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng),木塊所受靜摩擦力提供向心力,由牛頓第二定律得,木塊所受的靜摩擦力滿足f=mω2r,由于兩個(gè)木塊的m、ω相等,a的運(yùn)動(dòng)半徑小于b的運(yùn)動(dòng)半徑,所以b所受的靜摩擦力大于a的靜摩擦力,當(dāng)圓盤(pán)的角速度增大時(shí),b的靜摩擦力先達(dá)到最大值,所以b一定比a先開(kāi)始滑動(dòng),故A、B錯(cuò)誤;當(dāng)b剛要滑動(dòng)時(shí),b所受靜摩擦力達(dá)到最大,則有kmg=m×2l,解得b開(kāi)始滑動(dòng)的臨界角速度為ωb0=,故C正確;當(dāng)a剛要滑動(dòng)時(shí),a所受靜摩擦力達(dá)到最大,則有kmg=ml,解得a開(kāi)始滑動(dòng)的臨界角速度為ωa0=,因?yàn)棣?<=ωa0,所以a相對(duì)圓盤(pán)靜止,此時(shí)a所受摩擦力是靜摩擦力,則a所受摩擦力的大小為f=mω2l=kmg,故D正確。
5.CD　當(dāng)小球剛好離開(kāi)圓錐面時(shí),重力與輕繩的拉力提供向心力,有mg tan α=ml sin α·,可得ω0==,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;若小球的角速度ω=<,小球未離開(kāi)圓錐面,則小球?qū)﹀F面有壓力,豎直方向有N sin α+FT cos α=mg,水平方向有FT sin α-N cos α=ml sin α·ω2,解得繩子的拉力大小為FT=mg,選項(xiàng)B錯(cuò)誤,C正確;若小球的角速度ω>,小球離開(kāi)圓錐面,繩子的拉力與重力的合力提供向心力,設(shè)繩子方向與豎直方向夾角為θ,則有=ml sin θ· ω2,其中sin θ=,解得FT=mlω2,選項(xiàng)D正確。
6.答案　(1)0.4　(2)4 m/s
解析　(1)當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度增大至ω= rad/s時(shí),細(xì)線上剛好開(kāi)始出現(xiàn)拉力,說(shuō)明此時(shí)物塊受到的靜摩擦力達(dá)到最大值,根據(jù)牛頓第二定律可得
Ffmax=kmg=mω2L
解得Ffmax=4 N,k=0.4
(2)細(xì)線剛好斷裂時(shí),細(xì)線拉力和最大靜摩擦力共同提供物塊做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,則有
Tmax+Ffmax=m
解得v1=4 m/s
7.答案　(1) rad/s　(2)5.1 N　12.5 N　(3)豎直方向　 N
解析　(1)當(dāng)細(xì)線AB水平且拉力為0時(shí),小球的重力和細(xì)線AC的拉力的合力提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,有mg tan 37°=mL sin 37°
解得ω1= rad/s。
(2)當(dāng)ω2=2 rad/s<ω1= rad/s時(shí),細(xì)線AB水平,對(duì)小球受力分析,設(shè)AB和AC的拉力分別為F1、F2,則豎直方向有F2 cos 37°=mg
水平方向有F2 sin 37°-F1=mL sin 37°
解得F1=5.1 N,F2=12.5 N。
(3)當(dāng)ω3= rad/s>ω1= rad/s時(shí),小球向左上方擺起,若AB拉力為零,設(shè)AC與豎直方向的夾角為θ',則有mg tan θ'=mL sin θ'
解得 cos θ'=,即θ'=53°
由于B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離相等,此時(shí)細(xì)線AB恰好沿豎直方向,可得
F'2== N。

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