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專題強化練5　豎直面內圓周運動的兩類模型問題
1.如圖所示,汽車以某一速度通過拱形橋最高點,已知拱形橋的半徑為R,重力加速度為g,下列說法正確的是 (　　)
A.當R一定時,汽車速度越大,對拱形橋的壓力越大
B.當汽車速率恒定時,R越大,汽車對拱形橋的壓力越小
C.汽車能以順利通過最高點
D.汽車能以順利通過最高點
2.如圖所示,將一半徑為R的光滑圓形管道豎直放置,A、B、C、D是過管道圓心的水平、豎直虛線與管道的四個交點,可視為質點的小球在圓形管道內做完整的圓周運動,重力加速度為g。下列說法正確的是 (　　)
A.當vD=時小球恰好能通過最高點
B.小球通過A點時對外側管壁的作用力可以為零
C.小球在上半部分管道運動過程中對內側管壁一定有作用力
D.小球在下半部分管道運動過程中對外側管壁一定有作用力
3.(多選題)如圖甲所示為建筑行業使用的一種小型打夯機,其原理可簡化為一個質量為M的支架(含電動機)上由一根長為l的輕桿帶動一個質量為m的鐵球(鐵球可視為質點),如圖乙所示,重力加速度為g。若在某次打夯過程中,鐵球以角速度ω勻速轉動,則 (　　)
　　
A.鐵球轉動過程線速度大小不變
B.鐵球做圓周運動的向心加速度始終不變
C.鐵球轉動到最低點時,處于超重狀態
D.若鐵球轉動到最高點時,支架對地面的壓力剛好為零,則ω=
4.如圖,玩具小車在軌道上做勻速圓周運動,測得小車1 s繞軌道運動一周,圓軌道半徑為0.3 m,玩具小車的質量為0.5 kg,AC為過圓心的豎直線,BD為過圓心的水平線,重力加速度g大小取10 m/s2,小車可看作質點,下列說法正確的是 (　　)
A.小車在BD下方運動時處于失重狀態
B.小車在B點不受摩擦力作用
C.小車在C點時對軌道的壓力恰好為零
D.小車在A點時對軌道的壓力比在C點時大10 N
5.(多選題)如圖甲所示,輕桿一端固定在O點,另一端固定一小球,現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時,桿與小球間彈力大小為F,小球在最高點的速度大小為v,其F-v2圖像如圖乙所示。則 (　　)
　
A.當地的重力加速度大小為
B.當地的重力加速度大小為
C.v2=c時,桿的彈力大小為a
D.v2=c時,桿的彈力大小為
6.如圖所示,一個固定在豎直平面上的光滑半圓形管道中有一個直徑略小于管道內徑的小球,小球在管道內做圓周運動,從B點脫離后做平拋運動,經過0.3 s后又恰好垂直與傾角為45°的斜面相碰。已知半圓形管道的半徑為R=1 m,小球可看成質點且其質量為m=1 kg,重力加速度g取10 m/s2。則 (　　)
A.小球在斜面上的相碰點C與B點的水平距離是0.9 m
B.小球在斜面上的相碰點C與B點的水平距離是1.9 m
C.小球經過管道的B點時,受到上管道的作用力FNB的大小是1 N
D.小球經過管道的B點時,受到下管道的作用力FNB的大小是2 N
7.如圖所示,一環形車道豎直放置,半徑為6 m,特技演員駕車以恒定速率行駛,演員與汽車的總質量為1 000 kg,重力加速度為10 m/s2,則:
(1)若汽車以12 m/s恒定的速率運動,汽車通過最高點時對環形車道的壓力多大
(2)若要挑戰成功,汽車的速率最小值為多少 (保留一位小數)
(3)若軌道能承受的壓力最大值為80 000 N,汽車的速率最大值為多少 (保留一位小數)
答案與分層梯度式解析
專題強化練5　豎直面內圓周運動的兩類模型問題
1.D　汽車以某一速度通過拱形橋最高點,根據牛頓第二定律可得mg-N=m,根據牛頓第三定律可得N壓=N=mg-m,可知當R一定時,汽車速度越大,對拱形橋的壓力越小;當汽車速率恒定時,R越大,汽車對拱形橋的壓力越大,故A、B錯誤。根據N=mg-m,當N=0時,可得v=,可知汽車能以順利通過最高點,不能以順利通過最高點,故C錯誤,D正確。
2.D　當vD=時,由m=mgh得小球能上升的最大高度為h==R,選項A錯誤;小球通過A點時外側管壁要提供小球做圓周運動的向心力,則小球對外側管壁的作用力不能為零,選項B錯誤;小球在上半部分管道運動過程中,向心力有向下的分量,因重力向下,則內壁對小球不一定有作用力,即小球對內側管壁不一定有作用力,選項C錯誤;小球在下半部分管道運動過程中,向心力有向上的分量,因重力向下,則外壁對小球一定有支持力,即小球對外側管壁一定有作用力,選項D正確。
3.ACD　鐵球轉動過程中,線速度大小為v=ωl,故鐵球轉動過程線速度大小不變,故A正確;鐵球做圓周運動的向心加速度的方向時刻變化,故B錯誤;鐵球轉動到最低點時,有向上的向心加速度,拉力大于重力,故處于超重狀態,故C正確;若鐵球轉動到最高點時,支架對地面的壓力剛好為零,則地面對支架的支持力為零,對支架受力分析,支架受到的輕桿拉力大小等于支架重力,即T=Mg,對鐵球受力分析有T+mg=mω2l,聯立解得ω=,故D正確。
4.D　小車在BD下方運動時,向心加速度指向圓心,均有豎直向上的分量,處于超重狀態,故A錯誤;由于玩具小車在軌道上做勻速圓周運動,切向分量上合力為零,在B點受到豎直向上的摩擦力,故B錯誤;設玩具小車在C點時受到向下的彈力FNC,則有FNC+mg=m,又v==0.6π m/s,解得FNC'=FNC≈1 N,故C錯誤;設玩具小車在A點時受到向上的彈力FNA,則FNA-mg=m,由牛頓第三定律知FNA'=FNA,得FNA'-FNC'=2mg=10 N,故D正確。
規律總結　 兩類模型的規律對比
(1)輕繩模型
①v>時,繩子的彈力F=m-mg,方向豎直向下。
②v=時,繩子的彈力為零,是安全通過最高點的臨界條件。
(2)輕桿模型
①v>時,輕桿對物體的彈力F=m-mg,方向豎直向下。
②v=時,輕桿對物體的彈力為零,是物體所受彈力方向變化的臨界速度。
③v<時,輕桿對物體的彈力F=mg-m,方向豎直向上。
5.AC　對小球在最高點分析,當v=0時,有F=mg=a,當F=0時,有mg=m=m,解得g=,m=,A正確,B錯誤;由題圖可知,當v2b時,桿對小球的彈力方向向下,所以當v2=c時,桿對小球的彈力方向向下,則有F+mg=m=m,聯立得F=-a=a,故C正確,D錯誤。
6.A　小球從B點脫離后做平拋運動,則在C點的豎直分速度為vCy=gt=3 m/s,小球恰好垂直撞在傾角為45°的斜面上,則平拋運動的水平初速度為vB=vCy tan 45°=3 m/s,小球在斜面上的相碰點C與B點的水平距離為x=vBt=0.9 m,故A正確,B錯誤;設小球經過B點時,受到上管道豎直向下的作用力,根據牛頓第二定律可得FNB+mg=m,聯立解得FNB=-1 N,負號說明小球在B點受到下管道的作用力大小是1 N,方向豎直向上,故C、D錯誤。
7.答案　(1)14 000 N　(2)7.7 m/s　(3)20.5 m/s
解析　(1)若汽車以12 m/s恒定的速率運動,汽車通過最高點時,根據牛頓第二定律得FN+mg=m
解得FN=14 000 N
根據牛頓第三定律可知,汽車對環形車道的壓力F'N=14 000 N
(2)若要挑戰成功,則汽車在最高點的速率最小值滿足mg=m
解得vmin==2 m/s≈7.7 m/s
(3)汽車在最低點時對軌道的壓力最大,則若軌道能承受的壓力最大值為80 000 N,由牛頓第三定律知,軌道提供的支持力最大為80 000 N,汽車在最低點時的最大速率滿足
FNmax-mg=m
解得vmax= m/s≈20.5 m/s

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