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專題強(qiáng)化練2　磁場(chǎng)中的多解性和周期性問題
一、選擇題
1.如圖所示,A點(diǎn)的離子源沿紙面垂直O(jiān)Q方向向上射出一束負(fù)離子,離子的重力忽略不計(jì)。為把這束負(fù)離子約束在OP之下的區(qū)域,可加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知O、A兩點(diǎn)間的距離為s,負(fù)離子的比荷為,速率為v,OP與OQ間的夾角為30°,則所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向可能是 (　　)
A.B>,垂直紙面向里
B.B>,垂直紙面向里
C.B>,垂直紙面向外
D.B<,垂直紙面向外
2.平面OM和平面ON之間的夾角為35°,其橫截面(紙面)如圖所示,平面OM上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外。一質(zhì)量為m、電荷量絕對(duì)值為q、電性未知的帶電粒子從OM上的某點(diǎn)向左上方射入磁場(chǎng),速度方向與OM成20°角,運(yùn)動(dòng)一會(huì)兒后從OM上另一點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力。則下列幾種情形不可能出現(xiàn)的是 (　　)
A.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與ON只有一個(gè)公共點(diǎn),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是
B.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與ON只有一個(gè)公共點(diǎn),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是
C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與ON共有兩個(gè)公共點(diǎn),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是
D.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與ON共有兩個(gè)公共點(diǎn),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是
3.如圖所示,邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著兩方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng),三角形內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外,兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。頂點(diǎn)A處有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分線發(fā)射不同速率的粒子,粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為+q,不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用力,則能通過B點(diǎn)且通過B點(diǎn)前的軌跡不穿過BC、AC邊的粒子的發(fā)射速度v0的大小可能為　 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.(經(jīng)典題)如圖甲所示的平行金屬極板M、N之間存在交替出現(xiàn)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng),取垂直紙面向外為磁場(chǎng)正方向,磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t周期性變化的規(guī)律如圖乙所示,取垂直極板向上為電場(chǎng)正方向,電場(chǎng)強(qiáng)度E隨時(shí)間t周期性變化的規(guī)律如圖丙所示。t=0.5t0時(shí),一不計(jì)重力、帶正電的粒子從極板左端以大小為v的速度沿板間中線平行極板射入板間,最終平行于極板中線射出,已知粒子在t=1.5t0時(shí)速度為零,且整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終未與兩極板接觸,則下列說法不正確的是 (　　)
　
A.粒子可能在2.5t0時(shí)刻射出極板
B.極板間距不小于+
C.極板長(zhǎng)度為(n=1,2,3,…)
D.=
二、非選擇題
5.(經(jīng)典題)如圖甲所示,M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板,板間距離為d,兩板中央各有一個(gè)小孔O、O'正對(duì),在兩板間有垂直于紙面方向的磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖乙所示。有一群正離子在t=0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場(chǎng)。已知正離子質(zhì)量為m、帶電荷量為q,正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T0,不考慮由于磁場(chǎng)變化而產(chǎn)生的電場(chǎng)的影響,不計(jì)離子所受重力。求:
(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大小;
(2)要使正離子從O'垂直于N板射出磁場(chǎng),正離子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v0的可能值。
　
6.如圖所示,勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。磁場(chǎng)中的水平絕緣薄板與磁場(chǎng)的左、右邊界分別垂直相交于M、N,MN=L,粒子打到板上時(shí)會(huì)被反彈(碰撞時(shí)間極短),反彈前后水平分速度不變,豎直分速度大小不變、方向相反。質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子速度大小一定,可以從左邊界的不同位置水平射入磁場(chǎng),在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為d,且d(1)求粒子運(yùn)動(dòng)速度的大小v;
(2)欲使粒子從磁場(chǎng)右邊界射出,求入射點(diǎn)到M的最大距離dm;
(3)從P點(diǎn)射入的粒子最終從Q點(diǎn)射出磁場(chǎng),PM=d,QN=d,求粒子從P到Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t。(結(jié)果用L、d、m、q、B等物理量表示)
答案與分層梯度式解析
專題強(qiáng)化練2　磁場(chǎng)中的多解性和周期性問題
1.B　當(dāng)所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向里時(shí),由左手定則知,負(fù)離子向右偏轉(zhuǎn),約束在OP之下的區(qū)域的臨界條件是離子運(yùn)動(dòng)軌跡與OP相切,如圖(大圓弧),由幾何知識(shí)知R2=OB sin 30°=OB,而OB=s+R2,所以R2=s,所以當(dāng)離子軌跡的半徑小于s時(shí)滿足約束條件,由牛頓第二定律及洛倫茲力公式列出qvB=m,所以得B>,故A錯(cuò)誤,B正確;當(dāng)所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外時(shí),由左手定則知,負(fù)離子向左偏轉(zhuǎn),約束在OP之下的區(qū)域的臨界條件是離子運(yùn)動(dòng)軌跡與OP相切,如圖(小圓弧),由幾何知識(shí)知R1=,所以當(dāng)離子軌跡的半徑小于時(shí)滿足約束條件,由牛頓第二定律及洛倫茲力公式列出qvB=m,所以得B>,故C、D錯(cuò)誤。
2.C
思路點(diǎn)撥　粒子電性不確定、速度大小不確定,造成多解,軌跡圖如下
帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),周期T=,若粒子帶負(fù)電,將做逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng),粒子回到OM平面時(shí),由圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性,速度方向必與OM成20°角,若粒子軌跡與平面ON有公共點(diǎn),由于35°>20°,則粒子軌跡與ON只可能有一個(gè)公共點(diǎn),粒子偏轉(zhuǎn)角只可能為40°,運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=×=,A可能,C不可能。若粒子帶正電,將做順時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng),若粒子軌跡與平面ON有公共點(diǎn),則軌跡與平面ON可能有一個(gè)公共點(diǎn),也可能有兩個(gè)公共點(diǎn),無論軌跡與ON有幾個(gè)公共點(diǎn),粒子回到OM時(shí),由圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性,速度方向必與OM成20°角,粒子偏轉(zhuǎn)角為360°-40°=320°,則粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=×=,B、D可能。
3.D　粒子可能的軌跡如圖所示
由幾何關(guān)系有nR=L(n=1,2,3,…),由牛頓第二定律有qv0B=m,解得v0=(n=1,2,3,…),當(dāng)n=7時(shí),v0=,故選項(xiàng)A、B、C不符合題意,D符合題意。
方法技巧　求解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)多解問題的技巧
(1)分析題目特點(diǎn),確定題目多解性形成原因。
(2)作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖(全面考慮多種可能性)。
(3)若為周期性重復(fù)的多解問題,應(yīng)尋找通項(xiàng)式,若是出現(xiàn)幾種解的可能性,注意每種解出現(xiàn)的條件。
4.C　帶電粒子在交替出現(xiàn)的磁場(chǎng)和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),根據(jù)題意先得到1個(gè)運(yùn)動(dòng)周期的情況。在0.5t0~t0內(nèi),粒子只受洛倫茲力,在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),且轉(zhuǎn)了周;在t0~1.5t0內(nèi),粒子在電場(chǎng)中向下做減速運(yùn)動(dòng)到速度為零;在1.5t0~2t0內(nèi),粒子在電場(chǎng)中向上做加速運(yùn)動(dòng)到速度大小為v;在2t0~2.5t0內(nèi),粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),轉(zhuǎn)了周,2.5t0時(shí),粒子回到極板中線,速度平行于極板中線,接下來粒子周期性地重復(fù)以上運(yùn)動(dòng),粒子在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的軌跡如圖所示,粒子一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期為T=2.5t0-0.5t0=2t0。粒子射出極板的時(shí)刻可能為t=0.5t0+nT=(0.5+2n)t0(n=1,2,3,…),當(dāng)n=1時(shí),t=2.5t0,A正確。粒子在磁場(chǎng)中,設(shè)粒子的軌跡半徑為r,則有T磁==2t0,解得r=,粒子在電場(chǎng)中向下減速的位移大小為y=×0.5t0=,極板間距應(yīng)滿足d≥2(r+y)=+,B正確。極板長(zhǎng)度可能為L(zhǎng)=n·2r=(n=1,2,3,…),C錯(cuò)誤。粒子在磁場(chǎng)中,有T磁==2t0,解得B0=,粒子在電場(chǎng)中,有v=a×0.5t0=×0.5t0,解得E0=,可得=,D正確。故選C。
5.答案　(1)　(2)(n=1,2,3,…)
解析　(1)設(shè)垂直于紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎较?正離子射入磁場(chǎng),由洛倫茲力提供向心力有qB0v0=m
正離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T0=
聯(lián)立可得磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大小為B0=
(2)要使正離子從O'孔垂直于N板射出磁場(chǎng),正離子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示
兩板之間正離子只運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期T0時(shí),有R=
當(dāng)兩板之間正離子運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期即nT0時(shí),有R=(n=1,2,3,…)
解得正離子的速度的可能值為v0==(n=1,2,3,…)
6.答案　(1)　(2)d　(3)見解析
解析　(1)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由洛倫茲力提供向心力有qvB=
在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=d
解得v=
(2)如圖所示,粒子碰撞薄板后的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與磁場(chǎng)左邊界相切,此時(shí)入射點(diǎn)到M的距離最大(破題關(guān)鍵),由幾何關(guān)系有dm=d(1+sin 60°)
解得dm=d
(3)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T==
由于PM=d,且半徑r=d,所以粒子垂直打到水平薄板上。設(shè)粒子最后一次碰撞薄板到射出磁場(chǎng)的時(shí)間為t',則粒子從P到Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=n+t'(n=1,3,5,…)
(a)當(dāng)L=nd+d=nd+d時(shí),粒子斜向上射出磁場(chǎng)(如圖甲),粒子從最后一次碰撞薄板到射出磁場(chǎng)轉(zhuǎn)過的圓心角為,所以t'=T=
解得t=
(b)當(dāng)L=nd+(1+)d=nd+d時(shí),粒子斜向下射出磁場(chǎng)(如圖乙),粒子從最后一次碰撞到射出磁場(chǎng)轉(zhuǎn)過的圓心角為π,所以t'=T=T
解得t=
　　
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