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專題強化練1　磁場中的臨界、極值問題
一、選擇題
1.如圖所示,空間正四棱錐P-ABCD的底邊長和側(cè)棱長均為a,此區(qū)域存在平行于CB邊由C指向B的勻強磁場,現(xiàn)一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子,以豎直向上的初速度v0從底面ABCD的中心O垂直于磁場方向進入磁場區(qū)域,最后恰好沒有從側(cè)面PBC飛出磁場區(qū)域,忽略粒子受到的重力。則磁感應(yīng)強度大小為 (　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
2.如圖,空間存在垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為B,磁場下邊界OM和熒光屏ON之間的夾角為30°。OM上的P點處有一粒子源沿與OM垂直的方向以不同的速率持續(xù)向磁場發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子。已知P點到O點的距離為d,熒光屏上被打亮區(qū)域的長度為 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.d　　　　D.2d
3.一勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B,方向垂直于紙面向外,其邊界如圖中虛線所示,ab=cd=2L,bc=de=L,一束粒子在紙面內(nèi)從a點垂直于ab射入磁場,這些粒子具有各種速率。不計重力和粒子之間的相互作用。已知粒子的質(zhì)量為m、電荷量為+q。則在磁場中運動時間最長的粒子,其運動速率為 (　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.(經(jīng)典題)如圖所示,在一等腰直角三角形ACD區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場,磁場的磁感應(yīng)強度大小為B,一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子(重力不計)從AC邊的中點O垂直于AC邊射入該勻強磁場區(qū)域,若該三角形的兩直角邊長均為2l,則下列關(guān)于粒子運動的說法中正確的是 (　　)
A.若該粒子的入射速度為v=,則粒子一定從AD邊射出磁場
B.若要使粒子從CD邊射出,則該粒子從O點入射的最大速度應(yīng)為v=
C.若要使粒子從CD邊射出,則該粒子從O點入射的最大速度應(yīng)為v=
D.當該粒子以不同的速度入射時,在磁場中運動的最長時間為
5.如圖所示,在以半徑為R和2R的同心圓為邊界的區(qū)域中,有磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場。在圓心O處有一粒子源(圖中未畫出),在紙面內(nèi)沿各個方向發(fā)射出比荷為的帶負電的粒子,粒子的速率分布連續(xù),忽略粒子所受重力和粒子間的相互作用力,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁場,則下列說法正確的是 (　　)
A.粒子速度的最大值為
B.粒子速度的最大值為
C.某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場,其在磁場中運動的時間為(不考慮粒子再次進入磁場的情況)
D.某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場,其在磁場中運動的時間為(不考慮粒子再次進入磁場的情況)
6.如圖所示,水平直線邊界PQ的上方空間內(nèi)有方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場,長為2d、與PQ平行的擋板MN到PQ的距離為d,邊界PQ上的S點處有一電子源,可在紙面內(nèi)向PQ上方各方向均勻地發(fā)射電子。已知電子質(zhì)量為m、電荷量為e、速度大小均為,N、S的連線與PQ垂直,不計電子所受重力及電子之間的作用力,則擋板MN的上表面沒有被電子擊中部分的長度為 (　　)
A.d　　　　　　B.(-1)d
C.(2-)d　　　　　　D.(3-)d
7.(經(jīng)典題)如圖所示,半徑為R的圓形區(qū)域中有垂直紙面向外的勻強磁場(圖中未畫出),磁感應(yīng)強度大小為B,一比荷為的帶正電粒子,從圓形磁場邊界上的A點以v0=的速度垂直直徑MN射入磁場,恰好從N點射出,且∠AON=120°,下列選項正確的是 (　　)
A.粒子在磁場中運動的時間為t=
B.粒子從N點射出方向豎直向下
C.若粒子改為從圓形磁場邊界上的C點以相同的速度入射,一定從N點射出
D.若要實現(xiàn)帶電粒子從A點入射,從N點出射,則所加圓形磁場的最小面積為S=
二、非選擇題
8.如圖所示,圓形區(qū)域有一勻強磁場,磁感應(yīng)強度為B,方向垂直紙面向里,邊界跟y軸相切于坐標原點O。O點處有一放射源,沿紙面向各方向射出速率均為v的某種帶電粒子,帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑是圓形磁場區(qū)域半徑的兩倍。已知帶電粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q,不考慮帶電粒子的重力。
(1)求帶電粒子在磁場空間做圓周運動的軌跡半徑;
(2)求帶電粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角。
答案與分層梯度式解析
專題強化練1　磁場中的臨界、極值問題
1.C　粒子從空間正四棱錐P-ABCD的底面ABCD中心O向上垂直進入磁場區(qū)域,最后恰好沒有從側(cè)面PBC飛出磁場區(qū)域,可知粒子軌跡剛好與側(cè)面PBC相切,作出粒子的運動軌跡如圖所示:
設(shè)側(cè)面PBC與底面的夾角為θ,由幾何關(guān)系可算出sin θ=,由幾何關(guān)系有r+=,由洛倫茲力提供向心力得qv0B=m,聯(lián)立解得B=,故選C。
2.A　若粒子的速率足夠大,粒子無限接近沿直線打到熒光屏的A點(解題技法),如圖所示
由幾何關(guān)系有AO==d;
若粒子的速率較小,打到熒光屏上B點為臨界點,如圖所示
設(shè)粒子做圓周運動的半徑為r,由幾何關(guān)系有=sin 30°,OB=(d-r) cos 30°,解得OB=d,則熒光屏上被打亮區(qū)域的長度為L=OA-OB=d,選A。
3.B　
方法點撥　應(yīng)用“放縮圓”法作出各類運動軌跡如圖所示,可知,當粒子過c點時,圓心角α最大,運動時間最長(周期相同,t=T)。
粒子在磁場中做勻速圓周運動,由牛頓第二定律有qvB=m;設(shè)運動時間最長的粒子軌跡半徑為R,根據(jù)幾何關(guān)系有L2+(2L-R)2=R2,解得R=L,聯(lián)立可得v=,故選B。
4.B　
解題關(guān)鍵　
若該粒子的入射速度為v=,則由qvB=m可得r==l,由幾何關(guān)系可知,粒子將從CD邊的中點射出磁場,故A錯誤;由qvB=m可得v=,即粒子在磁場中的運動半徑越大,速度就越大,由幾何關(guān)系可得,當粒子的軌跡與AD邊相切時,從CD邊射出的軌跡半徑最大,此時粒子的軌跡半徑為r=(+1)l,所以粒子的最大速度為v==,故B正確,C錯誤;粒子在磁場中的運動時間取決于運動軌跡所對應(yīng)的圓心角,所以粒子從AC邊射出時運動時間最長,因為此時運動軌跡對應(yīng)的圓心角為180°,其在磁場中的運動時間為t=T=,故D錯誤。
5.C　根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=m,可得粒子的運動半徑為r=,可知粒子速度最大時,運動半徑最大,作出粒子的運動軌跡如圖所示
根據(jù)幾何關(guān)系有(2R-r)2=R2+r2,聯(lián)立解得r=R,v=,故A、B錯誤;某粒子恰好不從大圓邊界射出磁場,即粒子速度最大時,根據(jù)幾何關(guān)系有tan ==,解得其在磁場中運動的時間為t=×T=,故C正確,D錯誤。故選C。
6.D　
方法點撥　應(yīng)用“旋轉(zhuǎn)圓”法作粒子從不同方向射出的軌跡,找出兩個臨界情況,如圖所示
電子在勻強磁場中做勻速圓周運動,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有evB=m,可得r==d,根據(jù)“方法點撥”,擋板MN的上表面被電子擊中部分為CD,根據(jù)幾何關(guān)系有DN==d,CN=d,故沒有被電子擊中部分的長度為s=2d-(d-d)=(3-)d,故選D。
7.C　粒子恰好從N點射出,軌跡如圖所示,運動周期為T=,軌跡對應(yīng)的圓心角為α=∠APN=∠AON,粒子在磁場中運動的時間為t=T=,故A錯誤;粒子在磁場中速度偏轉(zhuǎn)120°,從N點射出方向與豎直方向成30°角,故B錯誤;若粒子改為從圓形磁場邊界上的C點以相同的速度入射,軌跡如圖所示,r=R,由幾何知識可知粒子一定從N點射出,故C正確;若要實現(xiàn)帶電粒子從A點入射,從N點出射,則所加圓形磁場以AN為直徑時面積最小,最小面積為S=π=,故D錯誤。故選C。
歸納總結(jié)　 磁發(fā)散、磁聚焦模型
磁發(fā)散 磁聚焦
帶電粒子從圓形有界勻強磁場邊界上同一點射入,如果軌跡半徑與磁場半徑相等,則粒子出射方向與入射點的切線方向平行 帶電粒子平行射入圓形有界勻強磁場,如果軌跡半徑與磁場半徑相等,則粒子從磁場邊界上同一點射出,該點切線與粒子入射方向平行
8.答案　(1)　(2)60°
思路點撥　粒子的速率均相同,因此粒子軌跡圓的半徑均相同,但粒子射入磁場的速度方向不確定,故可以保持圓的大小不變,只改變圓的位置,畫出“動態(tài)圓”。
(1)帶電粒子進入磁場后,受洛倫茲力作用,由牛頓第二定律得Bqv=m,解得r=。
(2)如圖甲所示,通過“動態(tài)圓”可以觀察到粒子在磁場中運動的軌跡均為劣弧,對于劣弧而言,弧越長,弧所對應(yīng)的圓心角越大,偏轉(zhuǎn)角越大,則運動時間越長。當粒子運動的軌跡圓的弦長等于磁場區(qū)域的直徑時,粒子在磁場空間的偏轉(zhuǎn)角最大,如圖乙所示,則sin φ==,即φ=30°,則最大偏轉(zhuǎn)角為60°。
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